Toán học 12 Chuyên đề: Nguyên hàm tích phân27075

Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến... Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.. Nguyên hàm của một số hàm phân thức hữu tỷ... Các bài toán cơ bản: a Nguyên hàm của các hàm số có

Trang 1

Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân

Phần 1 Tìm nguyên hàm

Dạng 1: Tìm nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm

Bài 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số

(x2)(x 2x4)dx

( x dx)

x 

sin xdx

10 3 5x x x

dx

(x )(x )

dx x

 sin(2x 1)dx

1 2

(  x ) xdx

x



xe dx

1 2

dx x





Dạng 2 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến.

Tính tích phân I  f x dx( )

Phương pháp 1 Đổi biến t( )x , rút x theo t.

+) Xác định vi phân: dx'( )t dt

+) Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử f x dx( ) g t dt( ) Khi đó I g t dt( )

Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:

Hàm f x( ,n ( ),x m ( ))x Đặt tmn ( )x

sin cos

f x





2

x

t

Phương pháp 2 Đổi biến x( )t

+) Lấy vi phân dx'( )t dt

+) Biểu thị f(x) theo t và dt, Giả sử: f(x)dx= g(t)dt Khi đó I g t dt( )

Trang 2

Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc chọn ẩn phụ:

| | os , 0

x a t t

x a c t t







| |

2 os

a

t a

c t







;

x a

| | ot , 0

x a t t

x a c t t







hoặc







Đặt xacos 2t

( ) sin

x  a b a t

(2x1) dx

2 5

z dz

2 (x x 1)dx

xe dx



x

dx

sin x.cosxdx

e



2 1 2012

x

dx



 

9 1

x dx x





1

1 (1 ) dx

1 cos (5x2)dx

sin osc dx

sin x.cosxdx



(3 1)

os

x

dx



xdx

2

x dx

(1 )

x dx x





Dạng 3 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.

xe dx

cos

ln



2

1

dx x



.cos

x

x dx



Dạng 4 Nguyên hàm của một số hàm phân thức hữu tỷ.

Bài 4 Tìm nguyên hàm

dx

x 

x



dx

x 

x



x

dx





Trang 3

x

dx



dx

1

x

dx



 

dx



3

2

9

dx x



1 1

dx x

 



2 3

xdx



Dạng 5 Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác.

Các bài toán cơ bản:

a) Nguyên hàm của các hàm số có dạng:

( ) cos cos ( ) sin sin

Phương pháp chung: Dùng các công thức biến đổi, công thức hạ bậc để đưa về tổng các nguyên hàm cơ bản.

Bài 5 Tìm các nguyên hàm:

s in os 2x c xdx

2 sin 2 os



b) Nguyên hàm của các hàm số có dạng: f x( )sinn x c osm x

Phương pháp chung: Dựa vào tính chẵn lẻ của m, n để biến đổi hoặc đặt ẩn phụ cho phù hợp.

(sin x c os 2 )x dx

(sin x c os x dx)

sin

os

dx x

sin

dx x



sin 2xdx

sin

dx x

sin os

x dx

sin

os

dx x



Dạng 6 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến lượng giác.

2 3

(1 )

dx

x



1

x dx

(1 )

dx x



2 1

x dx



Dạng 7 Nguyên hàm của một số hàm số mũ và lôgarit

(3 )

dx

(x1).e xdx



.ln

2

x x

dx

x





Phần 2 Tính tích phân

 Dạng 1 Dùng định nghĩa và các tính chất của tích phân.

Bài 10 Tính các tích phân

2

0

1 cos2xdx





1

1 (x ) dx x



0 (x x1)dx

1



Trang 4

16

0

1

0

tan xdx



0

4 inx osc x dx





0

1 1

dx x

 





2

4

os5x.sin3xdx

c



0

os





0

cos s cos

2 s

inx inx

dx





6 sin (5 6)

dx x





Dạng 2 Tính tích phân bằng phương pháp phân tích

Bài 11 Tính tích phân

1

2

0( 1)

xdx

x

x dx

0

os



0 os

dx



0

sin cos s

x inx

dx x





1 ( 1)

dx



 Dạng 3 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.

Bài 12 Tính các tích phân sau

2

2 25

1

(x 1) xdx

0

1

0

2

x

dx



0

1

x

dx



 

0

s cos

os inx

c x





3

2

6

sin

os

dx

x



0

sin xdx



0

1 cos x.sinx os.c xdx





1

1 ln

e

x dx x





3

0

(sin x e inx).cosxdx





0 (3e x) e dx x

4

x

e dx x

1

( 1) ln





1

2

01

dx

x



0

2x dx

dx



3 2

2 1

dx x





2

1

9 3x dx

x



0

sin 2

2 sin os

xdx





dx



 Dạng 4 Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần.

1

2

0

(x1)e dx x

1

x

x e dx

0 (1 x) sin 3xdx





3 ln( 1)



0

cos

x





0 (ln ) os

e



1

ln(1 x)

dx x



0 cos ln(1 cos )x x dx







 Dạng 5 Liên kết phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần

Bài 15 Tính tích phân

Trang 5

1

0



5

2

ln ln(ln )

e

x

0 (x sin x e inx).cosxdx





Phần 3 Bài tập tổng hợp

Bài 16 Tính các tích phân.

2

1

(ln 2013)

e

x

dx x



0

3 ( 3)

x dx

0 1

o

dx x







2

0

sin 2

2 sin os

x

dx





0 cosx cosx cos xdx





0 (e inx cos ) cosx xdx





0

cos sin 4 sin 3

xdx





1

ln

e

x

dx

x

0

3

os x osx



0 ln( 1)

x dx

0



3

2

0

tan



x x

xe dx

0

dx



3

ln ln(ln )

e

dx

x x

e dx



2

1

2(2 1)

( 2)( 1)

x

dx





4

2

2 sin (ln )

e

dx



1

1 1

x dx x





3 4



6 sin cot

dx





Bài 18 Tính tích phân.

ln 3

3

ln 2 ( 1)

x

e dx

0

x x

dx





ln 3 x 2 x 3

dx

x

e dx



2 2

0(1 )

x



0

2xx dx



1

2 2

0

1 1

x dx x



0

sin 2

4 sin os

x

dx







1

1 3ln ln

e

dx x





2

4

0

1 2 sin

1 sin 2

x

dx x







0

sin 2 s

1 3cos

inx

x

dx x





1

ln (2 ln )

e

x dx

dx



Bài 19 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

y  x x y x

c 0, s , , 3 d

inx

x

dx

0 (1 sin 2 )





1

1 ln(1 x)

dx x



Trang 6

2 2

2 1

1 ln

x

xdx x



0 2

0

( 1) 1

x dx x





TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2009-2013

2

0 (cos x 1) cos xdx





3 

1

2 1

ln 3

dx x

x

) 16

27 ln 3 ( 4

1



Bài 3: Tính I = 3  - ĐHKD-2009 KQ: ln(e2+e+1) – 2

1

dx

e x

0

2

1 2

x

dx e

 



e



1

ln (2 ln )

e

xdx

 

1

3

e

x

   

2

e 

4

0

sin ( 1) cos sin cos

dx



 



    

3 2 0

1 sin os

dx





3



4

0

2 1 2

x

dx x



 

Bài 10: Tính tích phân - KA-2012 KQ:

3

2 1

1 ln(x 1)

x



Bài 11: Tính tích phân 1 4 32 - ĐHKB-2012 KQ:

0

x



2 ln 3 3ln 2

Bài 12: Tính tích phân / 4 - ĐHKD-2012 KQ:

0

I x(1 sin 2x)dx



2

1

 

Bài 13: Tính tích phân - ĐHKA-2013 KQ:

2 1

1 ln

x



1

2

0

2

Bài 15: Tính tích phân - ĐHKD-2013 KQ:

2 0

( 1) 1

x







Định dạng
Số trang	6
Dung lượng	178,93 KB