Chuyên đề cực trị của hàm số (2022) toán 12

Chuyên đề Cực trị của hàm số Toán 12 A Lý thuyết 1 Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) và điểm x0∈(a;b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f (x) < f (x0) với mọi x∈(x0−h;x[.]

Chuyên đề Cực trị của hàm số - Toán 12

A Lý thuyết

1 Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) và điểm x0∈(a;b)

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f (x) < f (x0) với mọi x∈(x0−h;x0+h) và x≠x0 thì ta

nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f (x) > f (x0) với mọi x∈(x0−h;x0+h) và x≠x0 thì ta

nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0

2 Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Định lý 1: Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm xo Khi đó, nếu f(x) có đạo hàm

tại điểm xo thì f‘(xo) = 0

Lưu ý:

- Đạo hàm f‘(x) có thể bằng 0 tại điểm xo nhưng hàm số f(x) không đạt cực trị tại điểm xo.

- Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm

- Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

- Hàm số đạt cực trị tại xo và nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm (xo ; f(xo)) thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành

Ví dụ : Hàm số y = |x| và hàm số y = x 3

3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lý 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên K = ( x0 -h: x0 +h ) và có đạo hàm

trên K hoặc trên K\{x0} , với h >0

- Nếu f '(x) > 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và trên (x0;x0+h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x)

- Nếu f '(x) < 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và f '(x) > 0 trên (x0;x0+h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)

Minh họa bằng bảng biến thiến

Lưu ý:

- Như vậy: Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D (D ⊂ ℝ) Nếu f’(x)

không đổi dấu thì hàm số không có cực trị.

(Nhấn mạnh: x o ∈ (a; b)⊂ D nghĩa là xo là một điểm nằm ở giữa trong của D)

Ví dụ: Hàm số xác định trên D= [0,+∞) Ta có y ≥ y (0) với mọi x, nhưng x = 0 không phải là cực tiểu của hàm số vì D không chứa bất kì 1 lân cận nào của điểm

0

- Nếu hàm số y = f (x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực

đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f (x 0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu)

của hàm số, kí hiệu là f CĐ ( fCT ), còn điểm M (x0;f( x0)) được gọi là điểm cực

đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

- Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số

- Giá trị cực đại (cực tiểu) f(xo) nói chung không phải là GTLN (GTNN)

4 Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa

điểm xo ; f ‘(xo) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm xo

a) Nếu f ”(xo) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xo

b) Nếu f ”(xo) < 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xo

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là

cực đại của hàm số đã cho là:

Lập bảng biến thiên của hàm số

Vậy hàm số đã cho có một điểm cực đại

Chọn D

thiên như sau:

⇒Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương trình ( *)

Vậy số điểm cực trị của hàm số g(x) là 9

Suy ra đồ thị hàm số đã hai điểm cực trị là A(0;1) và B(1;2)

Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là đường thẳng AB có phương trình y=x+1

Chọn B

Cách 2 Lấy chia cho , ta được :

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là phần dư trong phép chia, đó là y=x+1

Do vậy không có m thỏa mãn Chọn đáp án D

Chú ý Sai lầm có thể gặp phải: khi giải y'(1) = 0 => m = 1 đã vội kết luận mà không kiểm tra lại, dẫn đến chọn đáp án B

A Cực đại của hàm số

B Điểm cực đại của hàm số

C Điểm cực đại của đồ thị hàm số

D Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

Chọn đáp án C

1 Hàm số không có đạo hàm tại x = 0

2 Hàm số không liên tục tại x = 0

A Một cực đại và hai cực tiểu

B Một cực tiểu và hai cực đại

C Một cực đại và không có cực tiểu

D Một cực tiểu và một cực đại

Lời giải:

Ta có y' = -12x3 - 4x

Xét y'=0 => x = 0

Hàm số chỉ có một cực đại tại x = 0 Chọn đáp án C

3 đỉnh của 1 tam giác vuông

II Bài tập tự luận có lời giải

Suy ra: f”(0) = – 4 < 0 nên x = 0 là điểm cực đại

f”(1) = f”(– 1) = 8 > 0 nên x = 1 và x = –1 là điểm cực tiểu

Kết luận:

Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = 1 và x = – 1; fCT = f(1) = f(–1) = 9 Hàm số f(x) đạt cực đại tại x = 0 và fCD = f(0) = 10

a) y = x4 – 2x3 + x2 – 8;

Lời giải:

a) TXĐ: D =

Ta có: y’ = 4x3 – 6x2 + 2x

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và x = 1; fCT = f(0) = f(1) = – 8

Hàm số đạt cực đại tại

Phương trình y’ = 0 vô nghiệm nên hàm số không có cực trị

a) y = 2x4 – 4x2 + 2;

b) y = x5 – 2x3 + x + 1;

Lời giải:

a) y = 2x4 – 4x2 + 2

TXĐ: D = R

Ta có: y’ = 8x3 – 8x

Đạo hàm cấp hai: y” (x) = 24x2 – 8

Vì y”(– 1) = 16 > 0; y”(1) = 16 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = – 1; x = 1 và yCT = y(1) = y(– 1) = 0

và y” (0) = –8 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCD = y(0) = 2

b) y = x5 – 2x3 + x + 1

TXĐ: D = R

Ta có: y’ = 5x4 – 6x2 + 1

Đạo hàm cấp hai: y” = 20x3 – 12x

Và y”(1) = 8 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

y”(– 1) = – 8 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = – 1

Vậy hàm số đã cho có 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu

y”(1) = 6 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT = y(1) = 3

Vậy để hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 1 thì m > 3

Do vậy không có m thỏa mãn

Chú ý Sai lầm có thể gặp phải: khi giải y'(1) = 0 => m = 1 đã vội kết luận mà không kiểm tra lại, dẫn đến chọn đáp án B

Lời giải:

Ta có: y' = 3x2 -4x; y'' = 6x - 4;

y''(0) = -4 < 0

Do đó, điểm M(0;3) là điểm cực đại của đồ thị hàm số

Chú ý Phân biệt các khái niệm: cực trị, điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của

đồ thị hàm số

Lời giải:

Ta có:

1 Hàm số không có đạo hàm tại x = 0

2 Hàm số không liên tục tại x = 0

Hàm số chỉ có một cực đại tại x = 0

3 đỉnh của 1 tam giác vuông

Lời giải:

III Bài tập vận dụng

độ x = 0?

1) có hai điểm cực trị x1,x2 thỏa mãn

Bài 4 Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = x3 - mx2 + 3(m2 - 1)x - m 3 + m có điểm cực đại B, điểm cực tiểu C thỏa mãn OC = 3OB, với O là gốc tọa độ?

C thẳng hàng với điểm A(-1;3)?

điểm cực trị của đồ thị hàm số (C) là?

cực trị của đồ thị hàm số trên là?

y = x3 - 3x2 + 3mx + 1 - m tạo với đường thẳng Δ: 3x + y - 8 = 0 một góc 45o ?

trị đối xứng qua đường thẳng?

cực trị tạo thành tam giác đều?