Chuyên đề mặt cầu (2022) toán 12

Mặt cầu Toán 12 A Lý thuyết I Với Chuyên đề Nhân đơn thức với đa thức (2022) Toán 12 mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán 12 giúp các bạn học tốt môn Toán hơn cầu và các khái niệm liên qu[.]

Mặt cầu - Toán 12

A Lý thuyết

I Với Chuyên đề Nhân đơn thức với đa thức (2022) - Toán 12 mới nhất được biên

soạn bám sát chương trình Toán 12 giúp các bạn học tốt môn Toán hơn cầu và

các khái niệm liên quan đến mặt cầu

1 Mặt cầu

- Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng

không đổi bằng r (r > 0) được gọi là mặt cầu tâm O, bán kính r

Ta kí hiệu mặt cầu tâm O, bán kính r là S(O; r) hay viết tắt là (S) Như vậy ta có mặt cầu S(O; r) = {M| OM = r}

- Nếu hai điểm C; D nằm trên mặt cầu S(O; r) thì đoạn thẳng CD được gọi là dây cung của mặt cầu đó

- Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là một đường kính của mặt cầu Khi đó, độ

dài đường kính bằng 2r

- Một mặt cầu được xác định nếu biết tâm và bán kính của nó hoặc biết một đường

kính của mặt cầu đó

Ví dụ 1 Cho tứ diện ABCD có O là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của

hai cạnh đối diện Tìm tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn hệ

Lời giải:

Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD

Suy ra O là trung điểm của EF

Ta có:

Vậy tập hợp các điểm M cần tìm trong không gian là mặt cầu tâm O bán kính r=

2 Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu Khối cầu

Cho mặt cầu tâm O bán kính r và A là một điểm bất kì trong không gian

- Nếu OA = r thì ta nói điểm A nằm trên mặt cầu S(O; r)

- Nếu OA < r thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu S(O; r)

- Nếu OA > r thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r)

Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O; r) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó

được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O, bán kính r

3 Biểu diễn mặt cầu

- Ta thường dùng phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng để biểu diễn mặt cầu Khi

đó, hình biểu diễn của mặt cầu là một hình tròn

- Muốn cho hình biểu diễn của mặt cầu được trực quan ta thường vẽ thêm hình biểu diễn của một số đường tròn nằm trên mặt cầu đó

4 Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu

Ta có thể xem mặt cầu như là mặt tròn xoay được tạo nên bởi một nửa đường tròn quay quanh trục chứa đường kính của nửa đường tròn đó Khi đó, giao tuyến của mặt cầu với các nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến của mặt cầu, giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi

là hai cực của mặt cầu

II Giao của mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (P) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P) Khi đó h = OH là khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P) Ta có ba trường hợp sau:

2 Trường hợp h = r

- Trong trường hợp này điểm H thuộc mặt cầu S (O; r) Khi đí, với mọi điểm M thuộc mp(P) nhưng khác với H ta luôn có:

OM > OH = r nên OM > r

Như vậy, H là điểm chung duy nhất của mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (P) Khi đó

ta nói mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) tại H

- Điểm H gọi là tiếp điểm của mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (P), mp(P) gọi là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của mặt cầu Vậy ta có:

- Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó

này gọi là đường tròn lớn

Mặt phẳng đi qua tâm O của mặt cầu được gọi là mặt phẳng kính của mặt cầu đó

III Giao của mặt cầu với đường thẳng.Tiếp tuyến của mặt cầu

Cho mặt cầu S(O; r) và đường thẳng ∆

Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên ∆ và d = OH là khoảng cách từ O đến ∆

1 Nếu d > r thì ∆ không cắt mặt cầu S(O; r), vì với mọi điểm M thuộc ∆ ta đều có

OM > r và như vậy mọi điểm M thuộc ∆ đều nằm ngoài mặt cầu

2 Nếu d = r thì mọi điểm H thuộc mặt cầu S(O; r) Khi đó, với mọi điểm M thuộc

∆ nhưng khác H ta luôn có: OM > OH = r nên OM > r

- Như vậy H là điểm chung duy nhất của mặt cầu S(O; r) và đường thẳng ∆ Khi

đó, ta nói đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) tại H

Điểm H gọi là tiếp điểm của ∆ và mặt cầu Đường thẳng ∆ gọi là tiếp tuyến của mặt

cầu

- Vậy: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) tại điểm

H là ∆ vuông góc với bán kính OH tại điểm H

3 Nếu d < r thì đường thẳng ∆ cắt mặt cầu S(O; r) tại hai điểm M; N phân biệt

Hai điểm đó chính là giao điểm của đường thẳng ∆ với đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (O; ∆)

- Đặc biệt, khi d = 0 thì đường thẳng ∆ đi qua tâm O và căt mặt cầu tại hai điểm A;

B Khi đó, AB là đường kính của mặt cầu

- Nhận xét:

a) Qua một điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu đó Tất cả các tiếp tuyến này đều vuông góc với bán kính OA của mặt cầu tại A và đều nằm trên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A

b) Qua một điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu đã cho Các tiếp tuyến này tạo thành một mặt nón đỉnh A Khi đó độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A đến các tiếp điểm đều bằng nhau

- Chú ý: Người ta nói mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất

cả các mặt của hình đa diện, còn nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu

Khi mặt cầu nội tiếp (ngoại tiếp) hình đa diện, người ta cũng nói hình đa

diện ngoại tiếp (nội tiếp) mặt cầu

IV Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

- Mặt cầu bán kính r có diện tích là: S  =  4πr2

- Ví dụ 2 Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó Khi đó thể

tích khối tròn xoay sinh ra bằng bao nhiêu?

Ta có:

Ta nhận thấy tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương chính là tâm của hình lập phương đó Do đó I chính là trung điểm của AC’ và mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có bán kính là

Đáp án đúng là C

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho

Lời giải:

Câu 3: Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S,ABC , biết các cạnh đáy có độ dài bằng a , cạnh bên SA =

Lời giải:

Câu 4: Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó

Lời giải:

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'

Gọi G, G; lần lượt là tâm của hai đáy ABC và A'B'C'

Ta có GG' chính là trục của các tam giác ABC và A'B'C'

Gọi O là trung điểm của GG' thì O cách đều 6 đỉnh của hình lăng trụ

nên là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Bán kính mặt cầu là R = OA Xét tam giác OAG vuông tại G , ta có:

Câu 5: Cho mặt cầu tâm O bán kính R và điểm A bất kì trong không gian Điểm A không nằm ngoài mặt cầu khi và chỉ khi:

Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuôg cân đỉnh B và BC = a, SA

⊥ (ABC), SA = 2a Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Điểm S nằm trong mặt cầu tâm A bán kính a

B Điểm S nằm ngoài mặt cầu tâm A bán kính 2a

C Điểm C nằm trong mặt cầu tâm A bán kính 2a

D Cả ba điểm S, B, C cùng nằm trong mặt cầu tâm A bán kính 2a

Lời giải:

Từ giả thiết ta có: SA = 2a; AB = a và AC =

Đáp án đúng là C

Câu 7: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một mặt phẳng (P) Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) Mặt phẳng (P) có nhiều hơn một điểm chung với mặt cầu (S) nếu :

Từ vị trí tương đối của một mặt phẳng với mặt cầu ta có đáp án đúng là D

Câu 8: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một đường thẳng d Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến đường thẳng d Đường thẳng d có điểm chung với mặt cầu (S) nếu và chỉ nếu:

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a, SA vuông góc với đáy và SA = a Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) theo a là:

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2AD = 2a

SA vuông góc với đáy, góc giữa cạnh bên SB và đáy là 45o Bán kính mặt cầu tâm

A cắt mặt phẳng (SBD) theo một đường tròn có bán kính bằng a là:

Khi đó ta có:

Đáp án đúng là C

II Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với SC theo a là :

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA = AB = 2AD

= 2a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy Bán kính mặt cầu tâm B cắt SC theo một dây có độ dài 2a là?

Lời giải:

Do (SAB) ⊥ (ABCD) và (SAD) ⊥ (ABCD) ta có SA ⊥ (ABCD) Theo định lí ba đường vuông góc ta có BC ⊥ SB

Hạ BH ⊥ SC tại H Xét tam giác vuông SBC ta có:

Ta có mặt cầu S(B;r) cắt đường thẳng SC theo một dây cung có độ dài 2a khi và chỉ khi ta có

Câu 3: Cho hai quả cầu cùng bán kính là 5cm Để đựng hai quả cầu Nam phải làm một hình hộp chữ nhật từ bìa carton Hỏi trong các đáp án dưới đây, Nam cần ít nhất bao nhiêu xen-ti-mét vuông bìa carton để làm được chiếc hộp đó?

Lời giải:

Hình hộp chữ nhật đựng được hai quả cầu bán kính 5cm thì độ dài các cạnh ít nhất

là 10cm, 10cm, 20cm Khi đó ta có: Stp = 2 x 102 + 4 x 10 x 20 = 1000(cm2)

Câu 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

-Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi hình chóp có đáy là một tứ giác nội tiếp được đường tròn

-Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là hình chóp tam giác

-Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó có các cạnh bên bằng nhau

-Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu có cạnh bên vuông góc với đáy

Lời giải:

Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi hình chóp đó có đáy là một đa giác nội tiếp được đường tròn nên mệnh đề A và B đúng Hình chps có các cạnh bên bằng nhau có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy nên hình chóp đó có đáy nội tiếp được đường tròn

Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

- Hình lăng trụ có mặtc ầu ngoại tiếp nếu đáy của nó là hình vuông

-Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là lăng trụ đứng

- Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn

- Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là lăng trụ đứng tam giác

Lời giải:

Đáp án đúng là 4

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy và SA = a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

Lời giải:

Theo định lí ba đường vuông góc ta có tam giác SBC, SDC lần lượt vuông tại B,

D Gọi I là trung điểm của SC Từ các tam giác SAC, SBC, SDC vuông ta có:

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu là

Câu 7: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,

BC = và góc giữa A’B và mặt phẳng (ABC) là 60o Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là :

là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy ABC và I cách đều B, B’ nên I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ Khi đó ta có :

Câu 8: Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a

Lời giải:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Gọi H là tâm đáy

thì SH là trục của hình vuông

Gọi M là trung điểm của ABCD

Trong mp (SDH) kẻ trung trực của đoạn SD cắt SH tại O

Thì OS = OA = OC = OD

Nên O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Bán kính mặt cầu là R = SO

Ta có :

Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A và AB =

SB = a , SB vuông góc với mặt phẳng (ABC) Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng SC và AB là?

Suy ra: d(SC; AB) = d(AB, (SCD)) = d(B; (SCD))

Câu 10: Cho đường thẳng a và điểm A cách đường thẳng a một khoảng bằng 4cm Trong các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng a, mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất thì diện tích đó bằng?

Lời giải:

Gọi S(I ;r) là mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với a

Ta có diện tích của mặt cầu là : S = 4πr3 nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi r đạt giá trị nhỏ nhất

Gọi tiếp điểm của đường thẳng a và mặt cầu là H và hình chiếu vuông góc hạ từ A lên đường thẳng A là A’ Khi đó ta có :

2r = IA + IH ≥ AH ≥ AA' => r ≥ = 2(cm)

Vậy r đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2cm khi I là trung điểm của AA’

Khi đó mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất là S = 4π22 = 16π(cm2)

III Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một mặt phẳng (P) Kí hiệu h là

khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có điểm chung nếu và chỉ nếu?

Bài 2 Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O cách Δ một khoảng bằng 20cm Mặt cầu (S) tâm O cắt đường thẳng Δ theo một dây có độ dài 30cm có bán kính r bằng?

Bài 3 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA tạo với đáy một góc bằng 30o và SA=2a Trong các điểm S, B, C điểm nào nằm trong mặt cầu tâm A bán kính 3a

Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a,

SAB là tam giác đều Bán kính mặt cầu tâm A cắt SB theo một dây có độ dài a là?

Bài 5 Cho đường tròn (C) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a, chiều cao AH Quay đường tròn (C) xung quanh trục AH , ta được một mặt cầu Thể tích của khối cầu tương ứng là?

Bài 6 Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 2a và Quay tam giác

vuông này quanh trục AB , ta được một hình nón đỉnh B Gọi S1 là diện tích toàn phần của hình nón

Bài 7 đó và S2 là diện tích mặt cầu có đường kính AB Khi đó, tỉ số là?

Bài 8 Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đều cạnh a

Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2AD = 2a,

SA vuông góc với đáy, SA = a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là?

Bài 10 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = a.Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC