CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 29 pot

Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm... Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 29 NGUYÊN TỬ TRONG TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN... Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Trang 1

HONG DUC UNIVERSITY

307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Nguyễn Văn Khiêm

Trang 2

Bài 29 NGUYÊN TỬ TRONG TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN

Trang 3

Trong lý thuyết phi tương đối tính, trường thuần tĩnh điện không có ảnh hưởng khác biệt nào lên hạt có spin so với hạt không có spin: moment từ riêng chỉ thể hiện trong tương tác với từ trường

Ở đây, ta sẽ thấy năng lượng của electron (và nguyên tử) có một

thành phần phụ thuộc spin ngay cả khi electron chỉ chịu tác dụng của trường tĩnh điện, nếu tính đến các “hiệu chỉnh tương đối tính” Việc khảo sát trạng thái của nguyên tử ở đây là không thể thực hiện được, nếu không dùng đến phương pháp nhiễu loạn

Trang 4

Hong Duc University

1 Các hiệu chỉnh tương đối tính đối với năng lượng của electron

Khi nhận được phương trình Pauli như trường hợp giới hạn của phương

Từ (26.9) và được hệ thức sau:

1 2

+ +

c

e p

e mc

(26.8)

E

eΦ mc

A c

e p c

E eΦ

mc A

c

e p c

2 2

2

2 1

1 1

1

2 2

ˆ

η η

σ

η η

(26.8)

E

eΦ mc

A c

e p c

E eΦ

mc A

c

e p c

2 2

2

2 1

1 1

1

2 2

ˆ

η η

σ

η η

Trang 5

Bây giờ ta sẽ thay (29.2) bởi một hệ thức chính xác hơn Muốn

vậy, ta dùng khai triển sau (với x đủ nhỏ về trị tuyệt đối):

1 1

+

− +

−

= + x x x x (29.3)

mc

e mc

= Φ + +

= Φ +

2

2 2

1 2

1

2

1 2

1

ε

Nếu trong khai triển (29.4) ta chỉ dữ lại số hạng bậc 0, ta nhận lại

được (29.2) Muốn có kết quả chính xác hơn, ta lấy thêm số hạng bậc

e mc

E

ε (29.5)

Trang 6

(ở đây viết dấu ‘=’ nhưng ta hiểu là gần bằng)

Thế (29.5) vào (29.1), ta được:

1 2

2

ˆ2

η

mc

p mc

1

2 2

c

e p

Trang 7

kết hợp (29.6) và (29.8) ta có:

2

ˆ2

1

ση

ε

mc

p mc

U p

c U

p f



×

∇ +

η

ε

c m

i p

U c

m

U m

p mc

4

ˆ4

22

2 2

Áp dụng (29.10) vào (29.9), ta được:

Trang 8

Bây giờ ta chú ý rằng ε - U là động năng của hạt và có thể coi gần bằng

4 1

8

ˆ

c m p

Trang 9

( )

[ U p]

c m

4

ˆ

2 2 2

2 3

4

Ý nghĩa của Hˆ 0

là rõ ràng :

đó là tổng năng lượng ‘phi tương đối tính’ của hạt

Toán tử V ˆ1 là hiệu chỉnh tương đối tính của động năng

Toán tử V ˆ2 được gọi là năng lượng tương tác spin - quỹ đạo

(chú ý rằng Vˆ2 ≠ 0 mặc dù từ trường bằng không);

Trang 10

năng lượng này phụ thuộc vào điện trường

Trong trường xuyên tâm, vì

dr

dU r

r U

V

2 3

8

Phần năng lượng này của hạt hoàn toàn xa lạ với mọi sự cắt nghĩa cổ điển cũng như giả cổ điển

Trang 11

2 Cấu trúc tinh tế của nguyên tử

Vì trong các trạng thái dừng bên trong nguyên tử, xung lượng của

electron rất nhỏ so với mc, nên có thể coi

3 2

1; ˆ ; ˆ

ˆ V V

V là các nhiễu loạn, và ta có thể hạn chế bởi xấp xỉ bậc nhất

Để cho tiện, ta sẽ dùng hệ đơn vị nguyên tử, trong đó ta có

2

4 2

2 3

được ký hiệu là α và gọi là hằng số cấu trúc tinh tế

Trang 12

Từ (29.19) ta có:

2 2

2

4

2 2

2

2 3

m c

S

M dr

dU r

U

2 3

8

ˆ = α ∇

trong trường Coulomb, ta có

2 3

1



 e m

4 2

2 3

1



 e m

Trang 13

( )r

Z r

Z

2

28

1

( 3

2n l

Z

E = α δ (29.20)

Như vậy phần năng lượng này khác 0 chitrong trạng thái với l = 0

Tiếp theo, có thể chứng tỏ rằng các trị riêng của Vˆ 1 bằng:

1 4

3

4

2 )

1

( 1

l n

n

Z

(29.21)

Trang 14

Vì trong giới hạn phi tương đối tính thì năng lượng của electron trong trường tĩnh điện không phụ thuộc vào spin, nên khi tính hiệu chỉnh năng lượng spin - quỹ đạo có thể coi các hàm trạng thái

“không nhiễu loạn” chính là các hàm riêng đồng thời của

1

14

4 )

1

(

2

l l j

j r

Z E

α

(29.22)

Trang 15

Vì:

21

l n

Z r

nên cuối cùng ta có (với l ≠ 0):

( ) ( )

( ) (1 0 )

12

1

4

31

1

4 3

4

2 )

1

(

l l

l

l l j

j n

= l

j từ (29.23) ta có

Trang 16

( ) (1 0 )

1 2

1 (

l l

1

4 3

4

2 )

1 (

l l n

Trang 17

1 4

3

4 3

4

2 )

1 ( 2

1

j n

n

Z

Có thể thấy rằng (29.24) lại cũng đúng cả khi l = 0

Công thức này gọi là ‘công thức cấu trúc tinh tế’ và được A Sommerfeld

tìm ra trong năm 1916 (tức là trước khi có cơ học lượng tử)

Chú ý rằng, công thức (29.24) không phụ thuộc trực tiếp vào l, nhưng

dùng được cho cả hai giá trị

2

1

±

= l j

với j ≠ 0 cho trước

Trang 18

Cũng cần lưu ý rằng công thức này cho thấy năng lượng phụ thuộc vào

cả spin (vì spin phụ thuộc j), mặc dù trường ngoài là thuần tĩnh điện.

Trang 19

Trang 20

Trang 21

Trang 22

Trang 23

Trang 24

Trang 25

Trang 26

Định dạng
Số trang	26
Dung lượng	744 KB