Tài liệu Các định lý và định đề về cơ học lượng tử pptx

3 Các định lí về toán tử Hermitian Vì phép đo một thuộc tính vật lí A được mô tả bởi toán tử Hermitian bA phải cho kết quả dương nên đặc trị của toán tử Hermitian phải là số thực.. 3.2 Đ

Các định lí và định đề của cơ học lượng tử

Lý Lê Ngày 8 tháng 12 năm 2009

Tóm tắt nội dung Trong những phần trước, chúng ta đã áp dụng cơ học lượng tử để khảo sát những hệ hóa học học đơn giản như hạt chuyển động trong hộp, sự dao động và sự quay của phân tử hai nguyên tử, nguyên tử hydro và giống hydro Trong phần này, chúng ta sẽ tóm tắt những định

lí và định đề đã được đề cập trước đó Đây là cơ sở để phát triển cơ học lượng tử xa hơn nhằm giải quyết những hệ hóa học phức tạp thường gặp trong thực tế.

1 Kí hiệu bra − ket

Tích vô hướng của hai hàm số ϕm(x) và ϕn(x) được xác định như sau

Z +∞

−∞

ϕ∗m(x)ϕn(x)dx (1)

Đối với những hàm của các tọa độ (x, y, z), tích vô hướng của hai hàm

ϕm(x, y, z) và ϕn(x, y, z) là

Z +∞

−∞

ϕ∗m(x, y, z)ϕn(x, y, z)dxdydz (2)

Đối với những hàm của các tọa độ (r, θ, ϕ), tích vô hướng của hai hàm

ϕm(r, θ, ϕ) và ϕn(r, θ, ϕ) là

Z 2π

0

Z π 0

Z +∞

−∞

ϕ∗m(r, θ, ϕ)ϕn(r, θ, ϕ)r2sin θdrdθdϕ (3)

Một cách tổng quát, chúng ta sử dụngR dτ để chỉ tích phân toàn phần của tất cả những tọa độ trong hệ đang xét và viết tích vô hướng của hai hàm

ϕm, ϕn dưới dạng

Z

Đơn giản hơn, ta sử dụng các kí hiệu ket và bra cho các tích phân Theo

đó, tích phân hàm ψi được gọi là ket và kí hiệu như sau

Z

ψidτ =

ψi

E

= i

E

(5) Tích phân của hàm liên hợp phức ψj∗ được gọi là bra

Z

ψj∗dτ =Dψj

=Dj

Ví dụ:

Z

ψj∗(x)ψi(x)dx =Dψj

ψiE=Dj

iE Z

ϕ∗m(x, y, z)ϕn(x, y, z)dxdydz = Dϕm

ϕnE=Dm

nE Chúng ta có

Z

ϕ∗mϕndτ

∗

=

Z (ϕ∗m)∗(ϕn)∗dτ =

Z

ϕ∗nϕmdτ (7)

Do đó

D

ϕm

ϕn

E∗

=

D

ϕn

ϕm

E hay

D m n

E∗

=

D n m

E

(8) Đặt biệt

D

ϕm

ϕm

E∗

=

D

ϕm

ϕm

E hay

D m m

E∗

=

D m m

E

(9)

Vì tích phân

D

ϕm

ϕm

E∗

=

D

ϕm

ϕm

E nên tích vô hướng

D

ϕm

ϕm

E

là một kết quả thực Tương tự, ta có

D

ϕm

cϕnE= cDϕn

ϕmE; Dcϕm

ϕnE= c∗Dϕn

ϕmE (10) Với c là hằng số bất kì Trong kí hiệu bra - ket

D

ψm

ψn

E

hàm được viết trước là hàm liên hợp phức của ψm

Nếu các đặc hàm ψi của toán tử bA tuân theo phương trình

D

ψi

ψj

E

= 0 với mọi giá trị i 6= j (11) thì ta nói các hàm ψi là một bộ trực giao (orthogonal) Hơn nữa, nếu tích

vô hướng của ψi với chính nó bằng đơn vị thì ψi được gọi là đã chuẩn hóa

Một bộ những hàm vừa trực giao với nhau vừa chuẩn hóa được gọi là bộ hàm trực chuẩn (orthonormal)

D

ψi

ψjE= δij (12) với δij được gọi là Kronecker delta; nó bằng 1 khi i = j và bằng zero khi

i 6= j

δij =



0 nếu i 6= j

Khi giải quyết những bài toán liên quan đến hệ nhiều electron, ta thường gặp những tích phân của một toán tử nằm giữa hai hàm fm và fn như sau

Z

fm∗Afb ndτ (14)

Có rất nhiều kí hiệu được dùng để chỉ tích phân kiểu sandwich như trên Sau đây là một số ví dụ

Z

fm∗Afb ndτ =

D

fm

Ab

fn

E

=

D m

Ab n

E

= Amn (15)

Tích phân này còn được gọi là phần tử ma trận của toán tử bA

2 Toán tử Hermitian

Toán tử tuyến tính bA được gọi là toán tử Hermitian nếu có tính chất sau

Z

fm∗Afb ndτ =

Z

fn( bAfm)∗dτ (16)

Trong đó fm và fn là những hàm hoàn hảo tùy ý Lưu ý, phương trình trên không có nghĩa là

fm∗Afb n= fn( bAfm)∗

Sử dụng kí hiệu ket và bra, ta viết lại (16) như sau

D

fm

Ab

fnE=Dfn

Ab

fmE

∗

=DAfb m

fnE (17) hay

D m

Ab

nE=Dn

Ab

mE

∗

=DAmb

nE (18)

Ví dụ: Xét hai toán tử đạo hàm bậc nhất d

dx và toán tử đạo hàm bậc hai d

2

dx2, với hai hàm f (x) và g(x) là những hàm thực, xác định trong khoảng

0 ≤ x ≤ 1 và thỏa mãn điều kiện biên là f (0) = f (1) = 0

Vì f (x) là hàm thực nên f∗(x) = f (x), ta có

Z 1 0

f∗(x) d

dxg(x)dx =

Z 1 0

f (x)g0(x)dx

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần, đặt

u = f (x) dv = g0(x)dx

Ta có

du = f0(x)dx v = g(x)

Do đó

Z 1

0

f (x)g0(x)dx = f (x)g(x)

1

0−

Z 1 0

g(x)f0(x)dx

= −

Z 1 0

g(x)f0(x)dx

= −

Z 1 0

g∗(x) d

dxf (x)dx

Ta thấy

Z 1 0

f∗(x) d

dxg(x)dx = −

Z 1 0

g∗(x) d

dxf (x)dx (19) Như vậy, toán tử d

dx không phải toán tử Hermitian, mà là anti-Hermitian. Tiếp theo, chúng ta xét

Z 1 0

f∗(x) d

2

dx2g(x)dx =

Z 1 0

f (x)g00(x)dx

Đặt

u = f (x) dv = g00(x)dx

Ta có

du = f0(x)dx v = g0(x)

Do đó

Z 1

0

f (x)g00(x)dx = f (x)g0(x)

1 0

−

Z 1 0

f0(x)g0(x)dx

= −

Z 1 0

f0(x)g0(x)dx

Đặt f0(x) = h(x) và áp dụng kết quả từ (19)

Z 1 0

f (x)g0(x)dx = −

Z 1 0

g(x)f0(x)dx

Ta có

Z 1

0

f0(x)g0(x)dx =

Z 1 0

h(x)g0(x)dx = −

Z 1 0

g(x)h0(x)dx

với h0(x) = f00(x), nên

Z 1

0

f0(x)g0(x)dx = −

Z 1 0

g(x)h0(x)dx = −

Z 1 0

g(x)f00(x)dx

Do đó

Z 1

0

f (x)g00(x)dx = −

Z 1 0

f0(x)g0(x)dx =

Z 1 0

g(x)f00(x)dx

hay

Z 1 0

f∗(x) d

2

dx2g(x)dx =

Z 1 0

g∗(x) d

2

dx2f (x)dx

Như vậy, trong điều kiện đã xét thì d

2

dx2 là toán tử Hermitian

Nếu bA là toán tử tuyến tính mô tả thuộc tính vật lí A Giá trị trung bình thu được khi thực hiện phép đo A được tính như sau

hAi =

Z

Ψ∗AΨdτb (20)

với Ψ là hàm trạng thái của hệ Giá trị trung bình của một thuộc tính vật

lí phải là một số thực; do đó, ta có

hay

Z

Ψ∗AΨdτ =b 

Z

Ψ∗AΨdτb 

∗

=

Z Ψ( bAΨ)∗dτ (22)

Phương trình trên có thể biểu diễn bằng kí hiệu ket - bra

D Ψ

Ab

ΨE=DΨ

Ab

Như vậy, nếu bA là toán tử tuyến tính mô tả thuộc tính vật lí thì nó

là toán tử Hermitian

Ví dụ: Chúng ta chứng minh toán tửpbx= −i~ d

dx là toán tử Hermitian; nghĩa là chứng minh

Z ∞

−∞

ψ∗i(x)pbxψj(x)dx =

Z ∞

−∞

ψj(x)pbxψi(x)∗dx (24)

Ta có

Z ∞

−∞

ψ∗i(x)pbxψj(x)dx =

Z ∞

−∞

ψi∗(x)



− i~ d

dxψj(x)

 dx

=

Z ∞

−∞

ψi∗(x)(−i~)ψ0j(x)dx

Đặt

u = ψ∗i(x) dv = −i~ψj0(x)dx

Ta có

du = (ψ∗i(x))0dx; v = −i~ψj(x)

Z ∞

−∞

ψi∗(x)(−i~)ψ0j(x)dx = ψ∗i(x)(−i~)ψj(x)

∞

−∞

−

Z ∞

−∞

(−i~)ψj(x)(ψi∗(x))0dx

= 0 +

Z ∞

−∞

ψj(x)(i~)(ψ∗i(x))0dx

=

Z ∞

−∞

ψj(x)



− i~dψi(x) dx

∗

dx

=

Z ∞

−∞

ψj(x)pbxψi(x)∗dx

Vì ψ(x) là những hàm mô tả trạng thái của hệ nên chúng bị triệt tiêu khi

x = ±∞, do đó ta có

ψi∗(x)(−i~)ψj(x)

∞

−∞= 0 Như vậy, ta có

Z ∞

−∞

ψ∗i(x)pbxψj(x)dx =

Z ∞

−∞

ψj(x)pbxψi(x)

∗

dx Đây chính là điều cần chứng minh

3 Các định lí về toán tử Hermitian

Vì phép đo một thuộc tính vật lí A được mô tả bởi toán tử Hermitian bA phải cho kết quả dương nên đặc trị của toán tử Hermitian phải là số thực Thật vậy, chúng ta xét phương trình đặc trị

b

Aψi = αiψi

Trong đó bA là toán tử Hermitian; ψi là đặc hàm của bA với αi là đặc trị tương ứng Nhân hai vế phương trình với ψ∗i rồi lấy tích phân toàn phần, ta được

Z

ψ∗iAψb idτ =

Z

ψ∗iαψidτ = αi

Z

ψ∗iψidτ = αi

Z

|ψi|2dτ

Vì bA là toán tử Hermitian nên

Z

ψi∗Aψb idτ =

Z

ψi( bAψi)∗dτ

=

Z ψ(αiψ)∗dτ = α∗i

Z

ψiψi∗dτ

= α∗

Z

|ψi|2dτ

Như vậy

Z

ψi∗Aψb idτ = αi

Z

|ψi|2dτ = αi∗

Z

|ψi|2dτ

Suy ra

(αi− α∗i)

Z

|ψi|2dτ = 0 (25)

VìR |ψi|2dτ không thể bằng zero tại mọi điểm nên αi− α∗

i = 0 hay αi= α∗i Nghĩa là, đặc trị αi là số thực

Chúng ta cũng có thể sử dụng kí hiệu ket - bra để chứng minh Ta có

D

ψi

Ab

ψi

E

=

D

ψi

αi

ψi

E

= αi

D

ψi

ψi

E

Mặt khác, ta có

D

ψi

ψi

E

=Dψi

ψi

E∗

=Dψi

ψi

E

Do đó

D

ψi

Ab

ψi

E∗

= α∗

D

ψi

ψi

E∗

= α∗i

D

ψi

ψi

E

Vì bA là toán tử Hermitian nên

D

ψi

Ab

ψiE=Dψi

Ab

ψiE

∗

αi

D

ψi

ψi

E

= α∗i

D

ψi

ψi

E

Suy ra

αi= α∗i Phương trình đúng khi αi là số thực

Tóm lại, các đặc trị của toán tử Hermitian là số thực

3.2 Định lí 2

Chúng ta đã chứng minh rằng nếu ψi và ψj là hai hàm sóng mô tả hai trạng thái khác nhau của hạt trong hộp thì chúng trực giao với nhau

D

ψi

ψjE= 0 Sau đây ta chứng minh một định lí tổng quát về sự trực giao đó là các đặc hàm không suy biến (nondegenerate eigenfunctions) của một toán tử Hermitian thì trực giao với nhau

Gọi ψ1 và ψ2 là những đặc hàm của toán tử Hermitian bA với những đặc trị α1 và α2 khác nhau Ta có

b

Aψ1 = α1ψ1; Aψb 2= α2ψ2 (26)

Nhân bAψ1 với ψ2∗ rồi lấy tích phân toàn phần, ta được

D

ψ2

Ab

ψ1

E

=

D

ψ2

α1

ψ1

E

= α1

D

ψ2

ψ1

E

(27) Mặt khác, vì bA là toán tử Hermitian nên

D

ψ2

Ab

ψ1E=Dψ1

Ab

ψ2E

∗

= α∗2Dψ1

ψ2E

∗

Do đặc trị α2 là số thực nên

D

ψ2

Ab

ψ1E= α∗2Dψ1

ψ2E∗= α2Dψ2

ψ1E (28)

Từ (27) và (28), ta có

α2Dψ1

ψ2E= α1Dψ1

ψ2E

(α2− α1)

D

ψ2

ψ1

E

= 0

vì α1 và α2 khác nhau nên

D

ψ2

Đây chính là điều chúng ta cần chứng minh

Trong trường hợp đặc trị suy biến, nghĩa là α2 = α1, và do đó

(α2− α1)Dψ2

ψ1E bằng zero dù ψ1 và ψ2 không trực giao với nhau Tuy nhiên, ta vẫn có thể xây dựng được ít nhất một đặc hàm mới từ ψ1 và ψ2 với cùng đặc trị và

trực giao với ψ1 và ψ2 Thật vậy, gọi ψ1 và ψ2 là những đặc hàm độc lập của toán tử Hermitian bA với cùng đặc trị α

b

Aψ1= αψ1; Aψb 2= αψ2

Chúng ta sẽ tổ hợp tuyến tính ψ1 và ψ2 thành hàm φ2 có dạng

φ2= ψ2+ cψ1 (30)

Ta thấy φ2 cũng là một đặc hàm của bA với đặc trị α

b

Aφ2= bA(ψ2+ cψ1) = bAψ2+ c bAψ1 = α(ψ2+ cψ1) = αφ2

Để φ2 trực giao với ψ1 thì hằng số c phải được chọn sao cho

Z

ψ∗1φ2dτ = 0

Z

ψ1∗(ψ2+ cψ1)dτ =

Z

ψ1∗ψ2+ c

Z

ψ1∗ψ1= 0

⇒ c = −R ψ∗

1ψ2

R ψ∗

1ψ1 = −

D

ψ1

ψ2

E

D

ψ1

ψ1

E = −

D

ψ1

ψ2

E

(31)

Phương pháp này còn được gọi là phép chuẩn hóa trực giao Schmidt (Schmidt orthogonalization procedure) và có thể được mở rộng để xây dựng các đặc hàm độc lập tuyến tính trực giao với nhau khi đặc trị suy biến bậc n

4 Đặc hàm đồng thời

Nếu hàm trạng thái ψ là một đặc hàm đồng thời của hai toán tử bA và bB với các đặc trị là α và β thì phép đo thuộc tính vật lí A cho kết quả là α và phép đo thuộc tính vật lí B cho kết quả là β Như vậy, hai tính chất A và

B đều có những giá trị xác định khi ψ là một đặc hàm đồng thời của bA và b

B Khi hai toán tử tuyến tính có chung một bộ đặc hàm thì chúng

sẽ giao hoán với nhau Sau đây, chúng ta chứng minh định lí này Gọi ψ1, ψ2, , ψn là các đặc hàm chung của hai toán tử bA và bB

b

Aψi = αiψi Bψb i = βiψi

với i = 1, 2, , n Ta cần phải chứng minh

[ bA, bB] = 0 hay ( bA bB − bB bA)f = 0 (32) trong đó, f là một hàm tùy ý có cùng điều kiện biên với ψi

Chúng ta bắt đầu bằng cách khai triển f theo ψi như sau

f = a1ψ1+ a2ψ2+ · · · =X

i

aiψi (33)

Ta có

( bB bA − bA bB)f = ( bB bA − bA bB)X

i

aiψi

Vì bA và bB đều là những toán tử tuyến tính nên

( bB bA − bA bB)X

i

aiψi = X

i

ai( bB bA − bA bB)ψi =X

i

ai( bB bAψi− bA bBψi)

= X

i

ai( bBαiψi− bAβiψi) =X

i

ai(αiBψb i− βiAψb i)

= X

i

ai(αiβiψi− βiαiψi)

= 0

Từ đó, ta có

[ bA, bB]f = ( bB bA − bA bB)X

i

aiψi= 0 (34)

Đây là điều ta cần chứng minh Như vậy, bA và bB sẽ giao hoán với nhau nếu chúng có chung một bộ các đặc hàm hoàn chỉnh

Sau đây, chúng ta sẽ chứng minh điều ngược lại với định lí 3 Nghĩa là, nếu hai toán tử Hermitian bA và bB giao hoán với nhau, chúng ta có thể xây dựng một tập hợp các đặc hàm hoàn chỉnh chung cho chúng Gọi ψi và αi là đặc hàm và đặc trị của bA

b

Aψi = αiψi

Từ đó, ta có

b

B bAψi= bB(αiψi)

Vì bA và bB giao hoán với nhau và vì bB là toán tử tuyến tính nên

b A( bBψi) = αi( bBψi) (35)

Điều này có nghĩa hàm bBψi là một đặc hàm của bA với đặc trị αi

Đến đây, có hai khả năng: các đặc trị αicủa bA có thể suy biến hoặc cũng

có thể không suy biến Nếu αi không suy biến, nó là đặc trị của một hàm độc lập ψi, nên hàm bBψi tỉ lệ với ψi

b

Bψi = βiψi

với βi là đặc trị của bB Như vậy, rõ ràng ψi là đặc hàm chung của hai toán

tử hoán vị bA và bB

Trong trường hợp các đặc trị αi suy biến, chúng ta vẫn có thể xây dựng được các đặc hàm mới của bB, đồng thời chúng cũng là các đặc hàm của bA, bằng cách tổ hợp tuyến tính các hàm ψi Để đơn giản, chúng ta xét trường hợp đặc trị αi suy biến bậc hai

Gọi ψi1 và ψi2là hai đặc hàm độc lập của bA với đặc trị αi; ψi là hàm tổ hợp tuyến tính của hai hàm này

ψi = c1ψi1+ c2ψi2 (36)

Chúng ta cần phải xác định các hệ số c1 và c2 sao cho

b

Bψi = βiψi

nghĩa là

c1Bψb i1+ c2Bψb i2= βi(c1ψi1+ c2ψi2) (37) Nhân hai vế phương trình trên với ψi1∗ rồi lấy tích phân toàn phần, ta được

D

ψi1

(c1Bψb i1+ c2Bψb i2)E=Dψi1

βi(c1ψi1+ c2ψi2)E

c1Dψi1

Bb

ψi1E+ c2Dψi1

Bb

ψi2E= βic1Dψi1

ψi1E+ βic2Dψi1

ψi2E (38)

Vì ψi1 và ψi2chuẩn hóa và trực giao với nhau nên (38) trở thành

c1(B11− βi) + c2B12= 0 (39)

với

B11=

D

ψi1

Bb

ψi1

E

B12=

D

ψi1

Bb

ψi2

E

Tương tự, nhân hai vế phương trình (37) với ψi2∗ rồi lấy tích phân toàn phần,

ta được

c1B21+ c2(B22− βi) = 0 (40) với

B21=Dψi2

Bb

ψi1E B22=Dψi2

Bb

ψi2E

Từ (39) và (40), ta có hệ phương trình

c1(B11− βi) + c2B12= 0

c1B21+ c2(B22− βi) = 0

Hệ phương trình trên có nghiệm không tầm thường (non-trivial) khi định thức sau bị triệt tiêu

(B11− βi) B12

B21 (B22− βi)

= 0

Khai triển định thức trên ta được phương trình bậc hai sau

βi2− (B11+ B22)βi+ B11B22− B12B21= 0

Phương trình bậc hai này có hai nghiệm βi(1) và βi(2) nên tương ứng sẽ có hai bộ c(1)1 , c(1)2 và c(2)1 , c(2)2 Vì vậy, có hai hàm riêng biệt ψ(1)i và ψ(2)i

ψi(1)= c(1)1 ψi1+ c(1)2 ψi2

ψi(2)= c(2)1 ψi1+ c(2)2 ψi2 đều thỏa mãn phương trình

b

Bψi(1)= βi(1)ψ(1)i

b

Bψi(2)= βi(2)ψ(2)i

Do đó, chúng là những đặc hàm đồng thời của các toán tử hoán vị bA và bB Như vậy, khi bA và bB giao hoán với nhau, chúng ta sẽ xây dựng được các đặc hàm chung cho chúng

Định lí này còn được gọi là định lí trực giao mở rộng, được phát biểu như sau

Nếu ψi và ψj là các đặc hàm của toán tử Hermitian bA với các đặc trị khác nhau, nghĩa là

b

Aψi = αiψi Aψb j = αjψj (αi 6= αj)

và nếu bB là toán tử tuyến tính giao hoán với bA thì ta có

D

ψi

Bb

ψjE= 0 (41) Sau đây, chúng ta sẽ chứng minh định lí này

Ta có

[ bA, bB] = 0 hay

b

A bBψj = bB bAψj = bBαjψj = αjBψb j (42) Nhân αjBψb j với ψ∗i rồi lấy tích phân toàn phần, ta được

αjDψi

Bb

ψjE= αjDψi

Bψb jE (43)

Vì bA và bB giao hoán với nhau nên chúng sẽ có chung những đặc hàm, theo định lí 4 Do đó, nếu ψj là đặc hàm của bA thì nó cũng sẽ là đặc hàm của bB Gọi βj là đặc trị của bB, ta có

b

Bψj = βjψj (44)

Từ (43) và (44) ta được

αjDψi

Bb

ψjE= αjDψi

βjψjE= αjβjDψi

ψjE= 0 (45)

vì các đặc hàm ψi và ψj là những đặc hàm của toán tử Hermtian với các đặc trị khác nhau nên trực giao với nhau, theo định lí 2

5 Phép đo và những trạng thái chồng chất

Gọi ψ là hàm sóng mô tả trạng thái của hệ, bA là toán tử mô tả thuộc tính vật lí A Nếu ψ là đặc hàm của bA với đặc trị k

b

Aψ = kψ thì điều này có nghĩa là khi thực hiện phép đo thuộc tính vật lí A, ta luôn thu được kết quả là k Ví dụ, hàm sóng của hạt trong hộp một chiều như sau

ψ(x) =

r 2

l sin(

nπx

l ) b

T = −~

2

2m

d2

dx2 là toán tử mô tả động năng của hạt Ta có

b

T ψ = −~

2

2m

d2

dx2

r2

l sin(

nπx

l )



= n

2π2~2 2ml2

 r 2

l sin(

nπx

l )



= n

2π2~2 2ml2 ψ Như vậy, khi ta đo động năng của hạt trong hộp một chiều trong điều kiện như trên thì kết quả thu được

T = n

2π2~2 2ml2 = n

2h2 8ml2

Cũng có trường hợp ψ không phải là đặc hàm của bA

b

Aψ 6= constant · ψ

Ví dụ, ta xétpbx = −i~ d

dx và ψ(x) =

r 2

l sin(

nπx

l )

−i~ d dx

r 2

l sin(

nπx

l ) = −i~nπ

l

r 2

l cos(

nπx

l )

Ta thấy

b

pxψ 6= constant · ψ Như vậy, ψ(x) không phải là đặc hàm của toán tử động lượng pbx Do đó, khi thực hiện mỗi phép đo px, ta sẽ thu được một giá trị ngẫu nhiên Tuy ψ(x) không phải là đặc hàm củapbx nhưng nó vẫn có thể được tạo nên bằng cách tổ hợp tuyến tính những đặc hàm của pbx (xem lại bài toán hạt trong hộp một chiều)

ψ1(x) = c1eiαx và ψ2(x) = c2e−iαx (α =

√ 2mE

~ )

Từ đó, ta có nhận xét rằng cho dù hàm trạng thái ψ không phải là đặc hàm của toán tử bA mô tả thuộc tính vật lí A ta vẫn có thể biểu diễn ψ dưới dạng tổ hợp tuyến tính các đặc hàm cụ thể của bA và được gọi là trạng thái chồng chất

ψ = c1ψ1+ c2ψ2+ · · · =X

i

ciψi (46)

trong đó ci là các hệ số khai triển; ψi là những đặc hàm của bA

b

Aψi = αiψi (47)

Ta có điều kiện chuẩn hóa

D ψ ψ

E

= 1 Thế (46) vào điều kiện chuẩn hóa, ta được

D X

i

ciψi

X

i

ciψi

E

Thay biến số giả i = j, ta được

D X

i

ciψi

X

i

ciψiE = D X

i

ciψi

X

j

cjψjE

= X

i

X

j

c∗icj

D

ψi

ψj

E

= 1

Chúng ta phải sử dụng biến số giả khác nhau vì

X

i

ciψi

X

j

cjψj =X

i

X

j

cicjψiψj

Nếu ta sử dụng biến số giả giống nhau thì

X

i

ciψiX

i

ciψi 6=X

i

X

i

ciciψiψi