HH12 c3 b1 HE TOA DO TRONG KG OXYZ 2022

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M thỏa mãn hệ thức OMuuuur2r rj k.. Tọa độ điểm B đối xứng với điểm A qua mặt phẳng Oxy là A... Tìm tọa độ của điểm M thỏa mãn h

WORD XINH

 _Bài tập minh họa:

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M2; 1;1  , tìm tọa độ Mlà hình

chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng Oxy 

WORD XINH

Gọi M x y z ; ;  ta có:

1 3

22

0 4

22

4 4

02

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai véctơ ar2; 3; 1   và ar  1;0;4.

Tìm tọa độ của véctơ ur4ar5br.

x y z

Trong không gian Oxyz , vectơ đơn vị trên trục Oy là rj0;1;0 .

Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho điểm M thỏa mãn hệ thức OMuuuur 2r ri j Tọa độ điểm

M là

A M0;2;1 B M1; 2;0 C M2;1;0 D M2;0;1

Lời giải Chọn C

Ta sử dụng định nghĩa, nếu điểm M thỏa mãn: OMuuuur xi y j zkr r rthì M x y z với ; ; , ,

Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho điểm A1; 2;3  Hình chiếu vuông góc của điểm A lên

mặt phẳng Oyz là điểm  M Tọa độ điểm M là

Hình chiếu của A 1; 1;1 lên trục Ox có tọa độ 1;0;0 .

Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1;2;3

x y z

x y z

Tọa độ hình chiếu của điểm M2;3; 2 trên trục Oy là 0;3;0 

Tổng quát: Cho điểm M x y z 0; ;0 0

+ Tọa độ hình chiếu của M trên trục Oxlà x0;0;0

+ Tọa độ hình chiếu của M trên trục Oy là 0; ;0y0 

.+ Tọa độ hình chiếu của M trên trục Ozlà 0;0; z0

.+ Tọa độ hình chiếu của M trên mặt phẳng Oxylà x y0; ;00 

+ Tọa độ hình chiếu của M trên mặt phẳng Oyz là 0; ;y z0 0

+ Tọa độ hình chiếu của M trên mặt phẳng Ozxlà x0;0;z0

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M thỏa mãn hệ thức OMuuuur2r rj k .

Tọa độ của điểm M là

WORD XINH

Câu 7: Trong không gian Oxyz cho biết A2;3;1 ; B2;1;3

Điểm nào dưới đây là trung

điểm của đoạn AB ?

y y y

z z z

Câu 8: Trong không gian Oxyz , cho điểm A1; 2;3 Tìm tọa độ điểm điểm B đối xứng với

điểm A qua mặt phẳng Oyz

Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm A2;3; 1  Gọi A là điểm đối xứng với điểm

A qua trục hoành Tìm tọa độ điểm  A

A A   2; 3;1 B A  2;0;0 C A2; 3;1  D A0; 3;1 

Lời giải

Chọn A

Câu 13: Trong không gian Oxyz Cho điểm A2;0;0, B0; 2;0,C0;0; 2và D2; 2; 2.

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD Tọa độ trung điểm của đoạn MN

y

587

A H0;8;7 B H7;8;0 C H8;7;0 D H0;7;8

Lời giải

Chọn A

Ta có HyOzvà hình chiếu của H lên Oy trùng với C nên H0;8;7

Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho điểm A1; 2;3  Tọa độ điểm B đối xứng với điểm

A qua mặt phẳng Oxy là

A 0;0;3

B 1;2;3. C 1; 2; 3  . D 1; 2;0 .

Lời giải Chọn C

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng OxyH(1; 2;0) .

Vì điểm B đối xứng với điểm A qua mặt phẳng Oxy

nên H là trung điểm của

Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ ar2; 1;3 , br1;3; 2 .

Tìm tọa độ của vectơ c ar r 2br.

A cr4; 7;7 . B cr0; 7;7 .

C cr0;7;7. D cr0; 7; 7   .

Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1;2;3 , B  2; 4;9 Điểm M thuộc đoạn

AB sao cho MA2MB Độ dài đoạn thẳng OM là

Lời giải Chọn C

Điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA2MB, ta suy ra MAuuur 2MBuuur  *

, thay vào MAuuur 2MBuuur  *

Câu 20: Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm là A1;3; 1 , B3; 1;5  Tìm tọa độ của

điểm M thỏa mãn hệ thức MAuuur3MBuuur.

1 33

1 338

1 3

A B M

A B M

A B M

A Hai vectơ arvà crcùng phương B Hai vectơ arvà brcùng phương

C Hai vectơ brvà crkhông cùng phương D a cr r. 1.

Lời giải

Chọn C

Ta có b cr;r   1; 1;0 0r

suy ra hai vectơ brvà crkhông cùng phương

Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho điểm M3; 1;2  Tìm tọa độ điểm N đối xứng với

M qua mặt phẳng Oyz

A N3;1; 2  . B N 3; 1;2. C N0;1; 2 . D N0; 1;2 .

Lời giải

Chọn B

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M3; 1;2  lên mặt phẳng Oyz H0; 1;2 .

N là điểm đối xứng với M qua mặt phẳng Oyz

nên H là trung điểm MN

Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho véctơ ar 1; 2;3 Tìm tọa độ

của véctơ br biết rằng véctơ br ngược hướng với véctơ ar và br 2 ar

Hình chiếu của A lên trục Oy là A20; 4;0 nên d A Oy ,  AA2 3 2.

Hình chiếu của A lên trục Oz là A30;0;3

nên d A Oz ,  AA3 5.

Tổng khoảng cách từ A đến ba trục tọa độ bằng 10 3 2 .

Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A3; 1;1  Gọi A là hình

chiếu của A lên trục Oy Tính độ dài đoạn OA

A OA  10. B OA  11. C OA  1 D OA   1

Lời giải

Chọn C

Vì A là hình chiếu của A lên trục Oy nên A 0; 1;0 OA 1

Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho điểm A2; 3;5  Tìm tọa độ A là điểm đối xứng

với A qua trục Oy

A A   2; 3;5. B A    2; 3; 5. C A2;3;5. D A2; 3; 5  .

Lời giải

Chọn B

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A2; 3;5  lên Oy Suy ra H0; 3;0 

Khi đó H là trung điểm đoạn AA Tọa độ A :

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ ar   1; 2;3 Tìm tọa độ của

véctơ br2; ;y z, biết rằng vectơ brcùng phương với vectơ ar.

y z

Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;-1;2) và B(3;1;0) Tọa độ trung

điểm I của đoạn AB là.

A I(4;0;2) B I(1;1;-1) C I(2;2;-2) D I(2;0;1)

Lời giải Chọn D

Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là

là trung điểm của B D 

Do ABCD A B C D.     là hình hộp nên AII A là hình bình hành nên

 3;3;3

AI A I  A 

uur uuuur

Câu 32: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;1 và B4;5; 2 Điểm

C thỏa mãn OC BAuuur uuur có tọa độ là

A    6; 1; 1. B    2; 9; 3. C 6; 1;1 D 2; 9;3

Lời giải Chọn A

Gọi C x y z ; ;  Ta có OCuuurx y z; ; , BAuuur    6; 1; 1.

Khi đó

611

Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A2;3;4 , B8; 5;6  .

Hình chiếu vuông góc của trung điểm I của đoạn ABtrên mặt phẳng Oyz làđiểm nào dưới đây

A N3; 1;5  . B Q0;0;5 C P3;0;0 D M0; 1;5 .

Lời giải

Chọn D

Tọa độ trung điểm của ABlà I3; 1;5 .

Vậy hình chiếu của I trên mặt phẳng Oyz là  M0; 1;5 .

Câu 34: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A1; 2;0 ; B2;1;1 ;

0;3; 1

C  Xét 4 khẳng định sau:

I BC2AB.II Điểm B thuộc đoạn AC

III ABC là một tam giác.IV A, B , C thẳng hàng.

Trong 4 khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng?

Lời giải

Chọn C

WORD XINH

Ta có: uuurAB1; 1;1 ; uuurAC1;1; 1 .

 uuurAB  3

; uuurAC  3

; ABuuur uuurAC  A là trung điểm của BC

Vậy khẳng định (I); (IV) đúng Khẳng định (II); (III) sai

Câu 35: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm A2;1;3 , B1; 2; 2 , C x y ; ;5

thẳng hàng Khi đó x y bằng

A x y  9 B x y  3 C x y  11 D x y  12

Lời giải Chọn C

x

x y y





          .

Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A2;5;3 , B3;7; 4và C x y ; ;6

thẳng hàng Giá trị của biểu thức x y là

Lời giải Chọn B

C M , N , Pthẳng hàng, M ở giữa P và N D M , N , Pkhôngthẳng hàng

Lời giải

và b

r cùng phương là

A m  và 1

43

n B m  và 1

34

n

C m và 1

43

n D m  và 3 n 4

Lời giải Chọn A

Hai vectơ ar và br

cùng phương khi và chỉ khi

12

n

Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A1; 2;0 , B1;0; 1 ,

Cách 1:

Ta có uuurAB0; 2; 1 , uuurAC  1;1; 2 suy ra uuur uuurAB AC 5;1; 2.

Mặt phẳng ABC đi qua điểm A1; 2;0  và nhận véc tơ n AB ACr uuur uuur  5;1;2 là mộtvéc tơ pháp tuyến nên có phương trình 5x 1 1 y 2 2 z 0 0

Ta có uuurAB0; 2; 1 , uuurAC  1;1; 2, uuurAD    3; n 2;m và uuur uuurAB AC 5;1; 2.

Bốn điểm A, B , C và D đồng phẳng khi và chỉ khi uuur uuur uuurAB AC AD  0

 Vậy ABCD là hình vuông.

Tương tự, ta có MP QNuuur uuur 5;0;0; MQuuuur0;5;0 nên MPNQ cũng là hình vuông.Lại có, uuuurAM 0;0;5 nên AM ABCD và AM ABAD Vậy 8 điểm trên tạo thành hình lập phương nên có 9 mặt phẳng đối xứng

 _Bài tập minh họa:

Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1; 3; 5 ,  B 3;1; 1  Tìm toạ độ trọng tâm

G của tam giác OAB

Cách giải:

là hình bình hành

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD là

Bài toán liên quan đến tính chất đa giác

Toạ độ trọng tâm G của tam giác OAB là:

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A1; 2; 1 , B3; 4;3 , C3;1; 3 ,

số điểm D sao cho 4 điểm A , B , C , D là 4 đỉnh của một hình bình hành là

WORD XINH

Ta có: uuurAB  1; 2;1 và uuurAC0;1;0 mà 01 2 1 01 nên ba điểm ,A B C không thẳng,

hàng

Mặt khác uuur uuurAB AC.  2 0 nên tam giác ABC không vuông tại A

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M3; 2;8 , N0;1;3 và P2; ;4m 

Tìm m để tam giác MNP vuông tại N

Trung điểm I có tọa độ là 1 3; 2 0 3 1; 2; 1;1

Câu 3: Trong không gian tọa độ Oxyz cho A1;2; 1 , B3;1; 2  , C2;3; 3 và G là trọng tâm

tam giác ABC Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng OG

WORD XINH

A ur 2;2; 2 . B ur1;2; 1 . C ur 2;1; 2 . D ur 1;2; 2 .

Lời giải

Chọn A

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên OGuuur2;2; 2 .

Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A1;0;2 , B2;1; 3  và C1; 1;0  Tìm tọa độ

điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

A D2; 2;5. B D2;2; 5 . C D0;2; 1 . D D 2; 2;5.

Lời giải Chọn D

Gọi D x y z ; ; 

ABCD là hình bình hànhCD BAuuur uuur Vậy a , 4 b Suy ra 2 a2b Trong không 8

gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình hộp ABCD A B C D.     có A0; 0; 0, B3; 0; 0,

C

D

Cách 1: Ta có uuurAB3; 0; 0 Gọi C x y z ; ; DCuuurx y; 3; z

ABCD là hình bình hành uuur uuurAB DC x y z; ;   3; 3; 0C3; 3; 0

Ta có uuurAD0; 3; 0 Gọi A x y z    ; ; uuuurA D   x; 3y; 3 z

ADD A  là hình bình hành uuur uuuurADA D x y z  ; ;   0; 0; 3  A0; 0; 3 

Gọi B x y z 0; 0; 0uuuurA B x y z0; 0; 03

ABB A  là hình bình hành uuur uuuurABA B x y z0; 0; 0  3; 0; 3  B3; 0; 3 

trọng tâm tam giác A B C 

Ta có: DIuuur3IGuurvới

WORD XINH

444

0 1 2 94

2 3 4 54

x y z

x y z

Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang ABCD vuông tại A và B

Ba đỉnh (1;2;1)A , (2;0; 1)B  , (6;1;0)C Hình thang có diện tích bằng 6 2 Giả sử đỉnh( ; ; )

a b c

a b c

Vì G là trọng tâm của ABC

0 01

3

a b c

a b c

Ta có ABCD là hình bình hành nên uuur uuurAD BC suy ra D3;8; 7  .

BB D D   là hình bình hành nên BB DDuuur uuuur  suy ra B13;0;17.

Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD A B C D.     có A1;0;1, B2;1; 2,

1; 1;1

D  , C4;5; 5  Tính tọa độ đỉnh A của hình hộp.

A A2;0; 2 . B A3;5; 6  . C A3;4; 6 . D A4;6; 5 .

Lời giải

Chọn B

Theo quy tắc hình hộp ta có: uuur uuur uuur uuuurAB AD AA   AC.

Suy ra uuur uuuur uuur uuurAAACAB AD .

Lại có: uuuurAC 3;5; 6 , uuurAB1;1;1, uuurAD0; 1;0 .

Do đó: uuurAA 2;5; 7  .

Suy ra A3;5; 6 .

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho M1; 2; 3, N2; 3;1  , P3;1; 2 Tìm

tọa độ điểm Q sao cho MNPQ là hình bình hành.

x y z

WORD XINH

Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A1;1;1

, B2;3;0

.Biết rằng tam giác ABC có trực tâm H0;3;2

tìm tọa độ của điểm C

a b c

Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho , A0; 1;1 , B2;1; 1  , C1;3;2.

Biết rằng ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là

14

x y z

WORD XINH

A A 4;5; 6  . B A 3; 4; 1 . C A 3;5; 6 . D A 3;5;6.

Lời giải Chọn C

Giả sử tọa độ các đỉnh lần lượt là C x y z C; C; C,A x A;y A;z A Tứ giác ABCD là

x y z

1 7

A A A

x y z

Ta có: uuur uuurAB AC 3AGuuur 3 0;2; 3   0;6; 9 .

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A2;3;1 , B2;1;0,

D D

D D

Ta có uuurAB1; 1; 3  , DCuuur1; 1; 3  , uuurAD2; 4; 2   Suy ra ABCD là hình bình hành.

Ta lại có uuurAE0; 1; 4  , uuur uuurAB AD,       10; 4; 2 uuur uuur uuurAB AD AE,  12 0

E ABCD

 là hình chóp đáy là hình bình hành nên các mặt phẳng cách đều 5 điểmlà

+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm của 4 cạnh bên

+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của ED EC , , AD BC ,

+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của EC EB , , DC AB ,

+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của EA EB , , AD BC ,

+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của EA ED , , , AB DC

Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A2;3;1 , B2;1;0

D D

D D

; 4 ; ;18

5 ; 2 ;

AB

AB AC AC

uuur uuuruuur

Với D8;7; 1  uuurAD10; 4; 2  2CBuuur 2uuurBC.

Với D12; 1;3  uuurAD  10; 4; 2   2CBuuur2BCuuur.

Hình thang ABCD có đáy AD thì uuurAD k BC uuur với k  0

21

x y z

M M

M M

AD

Gọi D là chân đường phân giác trong góc ·AOBD thuộc đoạn AB

Theo tính chất của phân giác trong ta có:

34

a b c

WORD XINH

Lời giải Chọn B

Cách 1: Ta có uuurAB  4; 2; 4 ; CDuuura6;b3;c6

Do ABCD là hình thang cân nên CD k ABuuur uuurk ¡ hay a26 b13c26

2

a b

6

a b

c a a

nr uuurAB 

, suy ra phương trình của mp   là:   : 2  x y 2z 0 .

+ Vì ,C D đối xứng nhau qua mp  nên

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A1;0;1, B0;1; 1  Hai

điểm D , E thay đổi trên các đoạn OA, OB sao cho đường thẳng DE chia tam giác OAB thành hai phần có diện tích bằng nhau Khi DE ngắn nhất thì trung điểm của đoạn DE có tọa độ là

ODE OAB

Ta có DE2 OD2OE22OD OE. cos·AOB OD2OE2OD OE  3OD OE. DE 3.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi OD OE 1.

Khi đó

2.2

ODuuur OAuuur D 22;0; 22

  

2.2

 _Bài tập minh họa:

Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho A1;1; 3 , B3; 1;1  Gọi M là trung điểm của AB ,

WORD XINH

Chọn A

Ta có M là trung điểm AB nên M2;0; 1  OM  4 0 1   5.

Câu 2: Trong không gian Oxyz , tích vô hướng của hai vectơ ra3 ; 2 ;1và rb  5 ; 2 ; 4 

bằng

A  15. B  10. C  7. D 15

Lời giải Chọn A

Ta có: uuurAB  4;1;1và uuurAC  1; 2; 4  Vậy uuur uuurAB AC    4 2 4 2.

Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình bình hành ABCD Biết

Ta có BDuuur   ( 1; 1; 1);uuurBC(0; 2; 2);  BAuuur ( 1;0; 3) .

Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ ar 2; 4; 2  và br1; 2; 3  Tích vô hướng

của hai vectơ ar và br bằng

WORD XINH

Chọn C

Ta có a br r   3 0 1 4   2.5 6 .

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ ur x; 2;1và vr1; 1; 2 x Tính tích

vô hướng của urvà vr

Câu 8: Trong không gian Oxyz , cho A3;0;0 , B 0;0;4

Chu vi tam giác OAB bằng

Lời giải Chọn A

OA OB AB nên chu vi tam giác OAB bằng 3 4 5 12    .

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD A B C D.     có

Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1) và C(2;1;1) Diện tích

của tam giác ABC là.

Ta có uuurAB1;0;1 ; uuurAC1;1;1 uuur uuurAB AC 0.

Do đó tam giác ABC vuông tại A Vậy

Từ bài toán ta có a br r   1  2 ; 0 2; 3 5   hay a br r   1; 2; 8.

Do đó a a br r r.  1 1  0.2 3.8 23 