HH12 c3 b1 HE TOA DO TRONG KG OXYZ HS 2022

 Hệ tọa độ trong không gian Oxyz Trong không gian, xét ba trục tọa độ vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc..  Biểu thức tọa độ của các phép toán Định lý: Trong không

 Hệ tọa độ trong không gian Oxyz

Trong không gian, xét ba trục tọa độ vuông góc

với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc Gọi

là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục

Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong

◈-Ghi nhớ ❸

 Biểu thức tọa độ của các phép toán

Định lý: Trong không gian cho hai vectơ và

Định lý: Trong không gian tích vô hướng của hai vectơ và

được xác định bởi công thức:

Ứng dụng:

• Độ dài của một vectơ: Cho Ta có

• Khoảng cách giữa hai điểm: Cho và

• Góc giữa hai vectơ: Cho Gọi là góc giữa hai vectơ

Ta có

◈-Ghi nhớ ❺

_Bài tập minh họa:

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(2; 1;1− ), tìm tọa độ M là hình chiếu vuông

góc của M trên mặt phẳng (Oxy)

A M  −( 2;1; 0) B M (2;1; 1− ) C M (0;0;1) D M (2; 1; 0− )

Lời giải Chọn D

Câu 2: Trong không gian Oxyz , tọa độ điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB với A(1; 0; 4− );

(3; 4; 4)

A O(0; 0; 0) B M(2; 2; 0) C M(4; 4; 0) D M(2;−2; 0)

Lời giải Chọn B

• Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

• Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD là

Gọi M x y z( ; ; ) ta có:

1 3

22

0 4

22

4 4

02

x y z

+



+

Gọi u =(x y z; ; ) Ta có u=4a−5b 

( ) ( ) ( )

4.2 5 1

4 3 5.0

4 1 5.4

x y z

x y z

Trong không gian Oxyz, vectơ đơn vị trên trục Oy là j =(0;1;0)

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho điểm M thỏa mãn hệ thức OM = + Tọa độ điểm 2i j M là

A M(0; 2;1) B M(1; 2;0) C M(2;1;0) D M(2;0;1)

Lời giải Chọn C

Ta sử dụng định nghĩa, nếu điểm M thỏa mãn: OM = +xi y j+zkthì M x y z( ; ; )với , ,i j k lần

lượt là các véc tơ đơn vị trên các trục Ox Oy Oz , ,

Do đó ta chọn phương án B

Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1; 2; 4− ) Hình chiếu vuông góc của A trên trục Oy làđiểm

A N(0; 2; 0− ) B M(0; 2; 4− ) C P(0; 0; 4) D Q(1; 0; 0)

Lời giải Chọn A

Hình chiếu vuông góc của A(1; 2; 4− )trên trục Oy làđiểm N(0; 2; 0− )

_Bài tập rèn luyện:

Câu 1:Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1; 2;3− ) Hình chiếu vuông

góc của điểm A lên mặt phẳng (Oyz) là điểm M Tọa độ điểm M là

A. M(1; 0;3) B M(1;0;0)

C M(1; 2; 0− ) D M(0; 2;3− )

Câu 2:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A − −( 1; 1;1) Hình

chiếu vuông góc của A lên trục Ox là

A N − −( 1; 1;0) B M(0; 1;1− )

C P(0; 1; 0− ) D Q −( 1;0;0)

Câu 3:Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;3) và B −( 2;1; 2)

Tìm tọa độ điểm M thỏa MB=2MA

Câu 6:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M thỏa mãn hệ

thức OM =2j+k Tọa độ của điểm M là

A. M(2;0;1) B M(0; 2;1)

Câu 7:Trong không gian Oxyz cho biết A −( 2;3;1); B(2;1;3) Điểm nào

dưới đây là trung điểm của đoạn AB ?

A. M(0; 2; 2) B N(2; 2; 2)

C. P(0; 2;0) D Q(2; 2;0)

Câu 8:Trong không gian Oxyz , cho điểm A −( 1; 2;3) Tìm tọa độ điểm

điểm B đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (Oyz)

A. B(1; 2;3− ) B B(1; 2; 3− )

C B − − −( 1; 2; 3) D B(1; 2;3)

Câu 9:Trong không gian Oxyz , cho biểu diễn của vectơ a qua các vectơ

đơn vị là a= + −2i k 3j Tọa độ của vectơ a là

A (1; 2; 3− ) B (2; 3;1− ). C (2;1; 3− ) D (1; 3; 2− )

Câu 10:Trong không gian Oxyz , cho điểm A(−2;3; 1− ) Gọi A là điểm

đối xứng với điểm A qua trục hoành Tìm tọa độ điểm  A

Câu 14:Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật OABC EFGH có

các cạnh OA = , 5 OC = , 8 OE = (xem hình vẽ) Hãy tìm tọa độ điểm H 7

Câu 15:Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1; 2;3− ) Tọa độ điểm B

đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (Oxy) là

Câu 17:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ a =(2; 1;3− )

, b =(1;3; 2− ) Tìm tọa độ của vectơ c = −a 2b

A c =(4; 7;7− ) B c =(0; 7;7− )

C. c =(0;7;7) D c =(0; 7; 7− − )

Câu 18:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; 1− , )

(2; 1;3)

B − , C −( 4;7;5) Tọa độ chân đường phân giác trong góc B của

tam giác ABC là

Câu 19:Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;3 ,) (B − −2; 4;9)

Điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA=2MB Độ dài đoạn thẳng OM là

A Hai vectơ a và c cùng phương.

B Hai vectơ a và bcùng phương

C. Hai vectơ b và c không cùng phương.

D a c = 1

Câu 22:Trong không gian Oxyz , cho điểm M(3; 1; 2− ) Tìm tọa độ điểm

N đối xứng với M qua mặt phẳng (Oyz)

Câu 25:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; 1;1− )

Gọi Alà hình chiếu của A lên trục Oy Tính độ dài đoạn OA

Câu 26:Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2; 3;5− ) Tìm tọa độ A là

điểm đối xứng với A qua trục Oy

A. A − −( 2; 3;5) B A − − −( 2; 3; 5)

C A(2;3;5) D A(2; 3; 5− − )

Câu 27:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , điểm thuộc trục Oy

và cách đều hai điểm A(3; 4;1)và B(1; 2;1)là

A. M(0;5;0) B M(0; 5;0 − )

Câu 28:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ a = − −( 1; 2;3)

Tìm tọa độ của véctơ b =(2; ;y z), biết rằng vectơ bcùng phương với

vectơ a

A b =(2; 3;3− ) B b =(2; 4; 6− )

C b =(2; 4;6− ) D b =(2; 4;6)

Câu 29:Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;-1;2) và B(3;1;0) Tọa

độ trung điểm I của đoạn AB là.

A. I(4;0;2) B I(1;1;-1) C I(2;2;-2) D I(2;0;1)

Câu 30:Cho các vectơ a =(1; 2;3)

A − , B(8; 5;6− ) Hình chiếu vuông góc của trung điểm I của đoạn

ABtrên mặt phẳng (Oyz)là điểm nào dưới đây

Câu 34:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; 0)

; B(2;1;1); C(0;3; 1− Xét 4 khẳng định sau: )

I BC=2AB.II Điểm B thuộc đoạn AC

III ABC là một tam giác.IV A, B , C thẳng hàng

Trong 4 khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng?

Câu 37:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm M(3;13; 2),

B − , C(0; 1; 2− ) và D(− −2; n m; ) Trong các hệ thức liên hệ giữa m

và n dưới đây, hệ thức nào để 4 điểm A, B , C và D đồng phẳng?

_Bài tập minh họa:

Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 3; 5 ,− ) (B −3;1; 1− Tìm toạ độ trọng tâm G của tam )

giác OAB

Cách giải:

• là hình bình hành

• Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

• Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD là

Bài toán liên quan đến tính chất đa giác

▣

②

Toạ độ trọng tâm G của tam giác OAB là:

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; 1− , ) B −( 3; 4;3), C(3;1; 3− , số điểm )

D sao cho 4 điểm A , B , C , D là 4 đỉnh của một hình bình hành là

Lời giải Chọn B

A Ba điểm A , B , C không thẳng hàng. B B là trung điểm của AC

C Tam giác ABC vuông tại A D Ba điểm A , B , C thẳng hàng

Lời giải Chọn A

Ta có: AB = −( 1; 2;1) và AC =(0;1;0) mà 0 1 0

1 2 1

− nên ba điểm ,A B, C không thẳng hàng

Mặt khác AB AC = 20 nên tam giác ABC không vuông tại A

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(3; 2;8), N(0;1;3) và P(2; ; 4m ) Tìm m

để tam giác MNP vuông tại N

A m = −10 B m =4 C m = −1 D m =25

Lời giải Chọn A

Câu 6:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(1;0; 2),

( 2;1;3)

B − , C(3; 2; 4), D(6;9; 5− Hãy tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện )

ABCD ?

A. (2;3; 1− ) B (2; 3;1− ). C (2;3;1). D (−2;3;1)

Câu 7:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang

ABCD vuông tại A và B Ba đỉnh (1;2;1) A , (2;0; 1)B − , (6;1;0)C Hình

thang có diện tích bằng 6 2 Giả sử đỉnh ( ; ; )D a b c , tìm mệnh đề đúng?

A , B(2;3;0) Biết rằng tam giác ABC có trực tâm H(0;3; 2) tìm

tọa độ của điểm C

A. C(2;2;2). B C(3; 2;3). C C(4;2;4) D C(1; 2;1)

Câu 13:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho , A(0; 1;1− ),

Câu 15:Cho tam giác ABC biết A(2; 1;3− ) và trọng tâm G của tam

giác có toạ độ là G(2;1;0) Khi đó AB+AC có tọa độ là

A. (0;6; 9− ) B (0;9; 9− ) C (0; 9;9− ) D (0;6;9)

Câu 16:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A −( 2;3;1),

(2;1;0)

B , C − −( 3; 1;1) Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình

thang có đáy AD và S ABCD =3S ABC

A. D −( 12; 1;3− ) B ( )

8; 7;112;1; 3

D D

B , C(4;3; 2− , ) D(3; 4;1), E(1;1; 1− Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng )

cách đều 5 điểm trên?

Câu 18:Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A −( 2;3;1), B(2;1;0),

( 3; 1;1)

C − − Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có

đáy AD và S ABCD =3S ABC

8; 7;112;1; 3

D D

Câu 19:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC có

(2; 2;1)

A , B(4; 4; 2), C −( 2; 4; 3− Đường phân giác trong AD của tam )

giác ABC có một vectơ chỉ phương là:

B − Hai điểm D , E thay đổi trên các đoạn OA, OBsao cho

đường thẳng DE chia tam giác OABthành hai phần có diện tích bằng

nhau Khi DE ngắn nhất thì trung điểm của đoạn DE có tọa độ là

_Bài tập minh họa:

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho A(1;1; 3− , ) B(3; 1;1− ) Gọi M là trung điểm của AB , đoạn OMcó

độ dài bằng

Lời giải Chọn A

Ta có M là trung điểm AB nên M(2;0; 1− )OM = 4 0 1+ + = 5

Câu 2: Trong không gian Oxyz , tích vô hướng của hai vectơ a=(3 ; 2 ;1)và b= −( 5 ; 2 ;−4)bằng

Lời giải Chọn A

Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho hình chóp A BCD có A(0;1; 1), (1;1; 2), (1; 1;0)− B C − và (0;0;1)D

Tính độ dài đường cao của hình chóp A BCD

Lời giải Chọn A

Câu 1:Trong không gian Oxyz , cho hai véc tơ u=i 3+k, v= j 3+k

Khi đó tích vô hướng của u v bằng

Câu 2:Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a =(2; 4;− và 2)

Câu 10:Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1) và

C(2;1;1) Diện tích của tam giác ABC là

Câu 11:Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với A(8;9; 2),

Câu 19:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang

ABCD vuông tại A và B Ba đỉnh A(1; 2;1), B(2;0; 1− , ) C(6;1;0) và

đỉnh D a b c( ; ; ) Biết rằng hình thang có diện tích là 6 2, tính a b c+ + ?

Câu 21:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;0;6)

Biết rằng có hai điểm M , N phân biệt thuộc trục Ox sao cho các đường

thẳng AM , AN cùng tạo với đường thẳng chứa trục Ox một góc 45

Tổng các hoành độ hai điểm M , N tìm được là

Câu 22: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A  u v u, = u v v, = 0

B.  u v = , 0 u , v cùng phương.

C Nếu u , v không cùng phương thì giá của vectơ  u v, vuông

góc với mọi mặt phẳng song song với giá của các vectơ u và v

C a vuông góc với b D a cùng phương với b

Câu 24:Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(2;1;0),B(0; 4;0),

Câu 27:Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A(1;1; 4), B(5; 1;3− ),

(2; 2; )

C m , D(3;1;5) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để A , B ,

C , D là bốn đỉnh của một hình tứ diện

A. m  6 B m  6 C m  6 D m = 6

Câu 28:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(0;0; 6− )

, B(0;1; 8− , ) C(1; 2; 5− và ) D(4;3;8) Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng

cách đều bốn điểm đó?

A. 7 mặt phẳng B 4 mặt phẳng

C. Có vô số mặt phẳng D 1 mặt phẳng

_Bài tập minh họa:

Câu 1.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình chính tắc của mặt cầu có đường kính AB

Tâm mặt cầu chính là trung điểm I của AB , với I(1;1;1)

Lời giải Chọn A

Cách giải:

Phương trình mặt cầu tâm và có bán kính có dạng

Phương trình là phương trình của mặt cầu nếu

Khi đó tâm của mặt cầu là và bán kính

Xác định các yếu tố của một mặt cầu

▣

④

A , B(4; 2;7− ) Suy ra AB = và trung điểm của đoạn thẳng AB là 9 I(2; 1;5− )

Vậy mặt cầu đường kính AB có phương trình là ( ) (2 ) (2 )2

A ( )S luôn tiếp xúc với trục Oz B ( )S luôn tiếp xúc với trục Oy

C ( )S luôn tiếp xúc với trục Ox D ( )S luôn đi qua gốc tọa độ O

Lời giải Chọn C

R = + Gọi H là hình chiếu của I trên Ox

thì H(1; 0; 0), R IH=  mặt cầu ( )S tiếp xúc với Ox

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(2;0;0), B(0; 2;0), C(0;0;2) Bán kính mặt cầu nội

tiếp tứ diện OABC bằng

Dễ thấy O ABC là hình chóp đều, ABC đều cạnh 2 2

Do đó diện tích toàn phần của tứ diện OABC là S tp =3SOAB+SABC = +6 2 3

V r S

Câu 5:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( )S có

phương trình ( ) 2 2 2

S x +y + −z x− y− z+ = Tính diện tích mặt cầu ( )S

Câu 14:Trong không gian Oxyz, có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của

x +y + +z mx+ my− mz+ m − = là phương trình của mặt cầu?

A. ( )S luôn tiếp xúc với trục Ox

B ( )S luôn đi qua gốc tọa độ O

C. ( )S luôn tiếp xúc với trục Oz

D ( )S luôn tiếp xúc với trục Oy

Câu 18:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt cầu

Câu 21:Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( )S tâm I đi qua hai điểm

Ovà A −( 4; 0; 4)sao cho tam giác OIAcó diện tích bằng 2 2 Khi đó

Câu 27:Trong không gian Oxyz , mặt cầu ( )S có tâm (2;1; 2)I − và đi

qua điểm (1;2;3)A Phương trình của mặt cầu là

Câu 28:Trong không gian Oxyz , cho hai điểm I(1; 2; 3− ), M(0;1; 5)

Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua M là

Câu 30:Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 2;3 − ) Gọi ( )S là

mặt cầu chứa A có tâm I thuộc tia Ox và bán kính bằng 7 Phương

Câu 31:Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A −( 3; 2;1)và B(1; 4; 1− )

Phương trình mặt cầu đường kính AB là

Câu 33:Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A −( 1; 2;1),

Câu 36:Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I(4;9;16)tiếp xúc

với mặt phẳng (Oyz) có phương trình là

Câu 40:Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;3), B(1; 2;5)−

Phương trình của mặt cầu đi qua 2 điểm A , B và có tâm thuộc trục

Câu 41:Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1;0; 1− , mặt phẳng )

( )P x: + − − = Mặt cầu y z 3 0 ( )S có tâm I nằm trên mặt phẳng ( )P , đi

qua điểm A và gốc tọa độ O sao cho chu vi tam giác OIAbằng 6+ 2

Phương trình mặt cầu ( )S là

x+ + y− + z+ = và ( ) (2 ) (2 )2

x− + y− + z− =

Câu 42:Trong không gian Oxyz , cho điểm H(1; 2; 2− Mặt phẳng ) ( )

đi qua H và cắt các trục Ox , Oy , Oz tại A , B , C sao cho H là trực tâm

tam giác ABC Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt

dương Biết mặt cầu ( )S cắt 3 mặt phẳng tọa độ (Oxy),(Oxz),(Oyz)

theo các giao tuyến là các đường tròn có bán kính cùng bằng 13và

mặt cầu ( )S đi qua M(2; 0;1) Tính a+ +b c

Câu 44:Trong không gian Oxyz , cho các điểm

( ;0;0 ;) (0; ;0 ;) (0;0; ) (; 2;5;5)

A a B b C c M ( , ,a b c đều dương) Gọi H K,

theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ Otrên các cạnh AC

và BC Mặt cầu đi qua các điểm , , , ,O A B H K có tâm I(1;2;0) Khi đó

mặt cầu đi qua 5 điểm , , , ,O A B C M có phương trình là

khi thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng

và cùng đi qua Tìm tổng bán kính của hai mặt cầu đó

Câu 48:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu

S x+ + y− + +z = cắt nhau theo giao tuyến là đường

tròn ( )C Tìm tọa độ tâm J của đường tròn ( )C

C Gọi ( )S là mặt cầu có đường tròn lớn cũng là đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC Mệnh đề nào sau đây đúng?

S x +y +z = Từ điểm Skẻ ba dây cung SA SB SC, , với mặt

cầu ( )S có độ dài bằng nhau và đôi một tạo với nhau góc 60 Dây cung

M trong không gian thỏa mãn đẳng thức MA MB =MC MD =1 Biết

rằng ( )L là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính rbằng bao