HH12 c3 b1 HE TOA DO TRONG KG OXYZ p2 2022

Trong khơng gian với hệ tọa độ , viết phương trình chính tắc của mặt cầu cĩ Lời giải Chọn B Tâm mặt cầu chính là trung điểm của , với.. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai đi

Trang 1

Cách giải:

Ứng dụng của tích vô hướng:

, Với

Ứng dụng của tích có hướng

Ba vectơ đồng phẳng Bốn điểm Ạ B, C, D tạo thành tứ diện Diện tích hình bình hành:

Tính diện tích tam giác:

1 Trong không gian , cho , Gọi là trung điểm của ,

đoạn có độ dài bằng

Lời giải

Chọn A

2 Trong không gian , tích vô hướng của hai vectơ và

bằng

Lời giải

Trang 2

Tính độ dài đường cao của hình chóp

Lời giải Chọn A

Trang 3

của hai vectơ và bằng

Trang 4

Câu 4: Trong không gian , cho và Giá trị của bằng

Lời giải Chọn C

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho vectơ và Tính tích

vô hướng của và

Lời giải Chọn D

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai véc tơ và

Với giá trị nào của sau đây thì ?

Lời giải

Chọn C

Trang 5

Câu 8: Trong không gian , cho Chu vi tam giác bằng

nên chu vi tam giác bằng

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình lập phương có

Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1) và C(2;1;1) Diện tích

của tam giác ABC là.

Trang 6

Câu 11: Trong không gian , cho tam giác với , , .

Số đo góc của tam giác là

Lời giải Chọn B

Câu 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hai điểm ,

Tính độ dài đoạn thẳng

Trang 7

C D

Ta có là hình chiếu của trên

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ , cho , Độ dài là

Trang 8

Câu 18: Trong không gian , cho hai vectơ và Gọi là tập

hợp các giá trị để hai vectơ và tạo với nhau một góc

Số phần tử của là

Trang 9

Mặt khác, hình thang vuông tại và , suy ra

Trang 10

không đổi nên lớn nhất khi đạt giá trị lớn nhất.

Câu 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm Biết rằng có hai

điểm , phân biệt thuộc trục sao cho các đường thẳng , cùng tạovới đường thẳng chứa trục một góc Tổng các hoành độ hai điểm , tìm được là

Trang 11

Do có nên cân tại

+) Nếu một trong hai vectơ và là vectơ thì ta có

Trang 12

+) Nếu cả hai vectơ và đều khác vectơ Khi đó ta có

Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba véctơ

Câu nào sau đây đúng?

Câu 24: Trong không gian , cho các điểm , , Biết đường

thẳng vuông góc với mặt phẳng và cắt đường thẳng

tại điểm thỏa mãn và tứ diện có thể tích bằng Tổng

bằng

Trang 13

Ta có:

Ta có

Loại vì không thỏa Do đó vậy

Tập hợp các giá trị của để bốn điểm , , , đồng phẳng làtập con của tập nào sau?

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ , cho , , Tính

diện tích của tam giác

Trang 14

Câu 27: Trong không gian , cho bốn điểm , , , .

Tìm tất cả giá trị thực của tham số để , , , là bốn đỉnh của một hình tứdiện

Để , , , là bốn đỉnh của một hình tứ diện khi

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm , ,

và Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó?

A 7 mặt phẳng B 4 mặt phẳng.

C Có vô số mặt phẳng D 1 mặt phẳng.

Lời giải

Chọn A

Ta có , suy ra bốn điểm , , , không đồng phẳng

Gọi là mặt phẳng cách đều bốn điểm , , ,

TH1: Có một điểm nằm khác phía với ba điểm còn lại so với Có bốn mặt phẳng thỏa mãn

TH2: Mỗi phía của mặt phẳng có hai điểm Có ba mặt phẳng thỏa mãn

Vậy có bảy mặt phẳng thỏa mãn

Trang 15

Cách giải:

Phương trình mặt cầu tâm và cĩ bán kính cĩ dạng Phương trình là phương trình của mặt cầu nếu

Khi đĩ tâm của mặt cầu là và bán kính

Xác định các yếu tố của một mặt cầu

▣

Dạng ④

Câu 1 Trong khơng gian với hệ tọa độ , viết phương trình chính tắc của mặt cầu cĩ

Tâm mặt cầu chính là trung điểm của , với

Câu 2 Trong khơng gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu

Trang 16

Câu 3 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm , .

Viết phương trình mặt cầu đường kính

Câu 4. Trong không gian , mặt phẳng cắt trục và đường

thẳng lần lượt tại , Phương trình mặt cầu đường kính là

Trang 17

Câu 5 Cho mặt cầu Khẳng định nào sau đây luôn đúng

với mọi số thực ?

A luôn tiếp xúc với trục B luôn tiếp xúc với trục

C luôn tiếp xúc với trục D luôn đi qua gốc tọa độ

Lời giải

Chọn C

Mặt cầu có tâm , bán kính Gọi là hình chiếu của trên thì , mặt cầu tiếp xúc với

Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ , cho , , Bán kính

mặt cầu nội tiếp tứ diện bằng

Dễ thấy là hình chóp đều, đều cạnh

 _Bài tập rèn luyện

• Dạng 1: Xác định tâm, bán kính, diện tích, thể tích của cầu

1 Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu có phương trình

Tìm bán kính của mặt cầu

Trang 18

Ta có:

Vậy mặt cầu có tâm và bán kính

2 Trong không gian , tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu

Mặt cầu có tâm

Trang 19

4 Trong không gian , cho mặt cầu Tọa độ tâm

của mặt cầu là Tính

Trang 20

Tâm của có tọa độ là

Từ phương trình mặt cầu suy ra, tọa độ tâm mặt cầu là

10 Cho mặt cầu có bán kính Thể tích của mặt cầu đã cho bằng

Thể tích của mặt cầu đã cho bằng

của mặt cầu bằng

Lời giải

Chọn B

Trang 21

Ta có: , nên bán kính mặt cầu bằng 3.

cầu bằng

cầu ngoại tiếp hình chóp là

Trang 22

14 Trong không gian , có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của để phương

Ta có:

Phương trình đã cho là phương trình của mặt cầu khi và chỉ khi thỏa

15 Trong không gian với hệ tọa độ , tính bán kính của mặt cầu :

Trang 23

Chọn D

với mọi số thực ?

A luôn tiếp xúc với trục B luôn đi qua gốc tọa độ

C luôn tiếp xúc với trục D luôn tiếp xúc với trục

Mặt cầu có tâm , bán kính Gọi là hình chiếu của trên thì , mặt cầu tiếp xúc với

bán kính là

.Vậy bán kính mặt cầu là

của mặt cầu

Trang 24

+ Ta có:

Vậy bán kính của mặt cầu đã cho

21 Trong không gian , cho mặt cầu tâm đi qua hai điểm và sao

cho tam giác có diện tích bằng Khi đó diện tích mặt cầu bằng

Gọi bán kính của mặt cầu của là Ta có

.Vậy diện tích mặt cầu là Chọn C

Trang 25

22 Trong không gian với hệ tọa độ , cho , , Bán kính

mặt cầu nội tiếp tứ diện bằng

Dễ thấy là hình chóp đều, đều cạnh

23 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm ,

Biết rằng tập hợp các điểm trong không gian thỏa mãn đẳng thức

là một mặt cầu Tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu là

Trang 26

là phương trình của mặt cầu , có tâm

và bán kính

• Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu

24 Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình mặt

cầu?

Trang 27

27 Trong không gian , mặt cầu có tâm và đi qua điểm .

Phương trình của mặt cầu là

Ta có mặt cầu có tâm và đi qua điểm

Phương trình của mặt cầu là:

28 Trong không gian , cho hai điểm , Phương trình mặt cầu

có tâm và đi qua là

Trang 28

Mặt cầu có tâm và đi qua có bán kính là

Tâm

Bán kính

30 Trong không gian tọa độ , cho điểm Gọi là mặt cầu chứa có

tâm thuộc tia và bán kính bằng Phương trình mặt cầu là

31 Trong không gian , cho hai điểm và Phương trình mặt cầu

đường kính là

Trang 29

A B

Tâm của mặt cầu là trung điểm của

Bán kính

32 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm , Viết

phương trình mặt cầu đường kính

Tâm của mặt cầu là trung điểm của Bán kính

33 Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , Viết phương

trình mặt cầu có đường kính

Trang 30

C D .

Gọi là trung điểm của thì

Lời giải

Chọn C

35 Trong không gian với hệ toạ độ , cho hai điểm , Mặt cầu

đường kính có phương trình là

Trang 31

Tâm là trung điểm và bán kính

Phương trình mặt phẳng là

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng có bán kính

37 Trong không gian với hệ tọa độ , mặt cầu có tâm , tiếp xúc với

mặt phẳng tọa độ Phương trình của mặt cầu là

Trang 32

39 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm , Mặt cầu

có tâm thuộc trục và đi qua hai điểm có phương trình là

Do đi qua hai điểm nên

40 Trong không gian , cho hai điểm , Phương trình của mặt cầu

đi qua 2 điểm , và có tâm thuộc trục là

Trang 33

A B

Vì mặt cầu có tâm thuộc trục nên gọi tâm mặt cầu là với

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

có tâm nằm trên mặt phẳng , đi qua điểm và gốc tọa độ sao cho chu

vi tam giác bằng Phương trình mặt cầu là

Trang 34

Chọn D

Cộng vế theo vế và ta suy ra Từ đó, suy ra

Chu vi tam giác bằng nên

42 Trong không gian , cho điểm Mặt phẳng đi qua và cắt các

trục , , tại , , sao cho là trực tâm tam giác Viết phươngtrình mặt cầu tâm và tiếp xúc với mặt phẳng

Trang 35

Ta có là trực tâm tam giác

Khi đó mặt cầu tâm tiếp xúc mặt phẳng có bán kính

Vậy mặt cầu tâm và tiếp xúc với mặt phẳng là

đều là các số thực dương Biết mặt cầu cắt 3 mặt phẳng tọa độ , ,theo các giao tuyến là các đường tròn có bán kính cùng bằng và mặt

Vì mặt cầu cắt 3 mặt phẳng tọa độ theo giao tuyến là các đường tròn có bán kính cùng bằng , ta có:

Trang 36

Mặt khác: với là bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng (2)

đều dương) Gọi theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ trêncác cạnh và Mặt cầu đi qua các điểm có tâm Khi đómặt cầu đi qua 5 điểm có phương trình là

Trang 37

Gọi là trung điểm của và là điểm đối xứng với điểm qua

Từ suy ra là tâm mặt cầu đi qua 5 điểm Do đó

Mà là trung điểm của nên ta có

Dựng đường thẳng qua vuông góc với và dựng đường thẳng trongmặt phẳng là đường trung trực của đoạn thẳng Khi đó giao điểm của

và là tâm của mặt cầu đi qua 4 điểm

Trang 38

Suy ra , bán kính mặt cầu là

Do đó , bán kính mặt cầu là

• Dạng 3: Vị trí tương đối của hai mặt cầu, điểm với mặt cầu

các điểm cho dưới đây, điểm nào nằm ngoài mặt cầu ?

Mặt cầu có tâm , bán kính

Khoảng cách từ các điểm đã cho tới tâm mặt cầu:

đây thuộc mặt cầu ?

+ Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt cầu ta có

vô lí Loại phương án

Trang 39

+ Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt cầu ta có vô

lí Loại phương án

+ Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt cầu ta có

thỏa mãn Vậy điểm thuộc mặt cầu + Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt cầu ta có

vô lí Loại phương án

47 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyzxét mặt phẳng (P)có phương trình

2mx+(m2+1)y+(m2−1)z−10=0 và điểm A(2;11;−5) Biết khi mthay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng (P)và cùng đi qua A Tìm tổng bán kính

của hai mặt cầu đó

Trang 40

và có tâm và bán kính lần lượt là , và , Gọi là tâm của đường tròn giao tuyến và là một điểm thuộc

Ta có

Trang 41

cầu có đường tròn lớn cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác Mệnh đề nàosau đây đúng?

A Điểm nằm trong B Điểm nằm ngoài

C Điểm là tâm của D Điểm nằm trên

Lời giải

Chọn A

Ta có đều nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là

Khi đó : ; Vì nên điểm nằm bên trong mặt cầu

Từ điểm kẻ ba dây cung với mặt cầu có độ dài bằng nhau và đôimột tạo với nhau góc Dây cung có độ dài bằng

Trang 42

Theo đề bài ta có:

Vậy tứ diện là tứ diện đều nội tiếp mặt cầu

Đặt

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp

Trong , dựng đường trung trực của tại và cắt tại là tâm mặt cầu

Chứng minh được

Trang 43

51 Trong mặt phẳng tọa độ , cho bốn điểm , , ,

Gọi là tập hợp tất cả các điểm trong không gian thỏa mãn đẳngthức Biết rằng là một đường tròn, đường tròn đó có bánkính bằng bao nhiêu?

Trang 44

52 Trong không gian tọa độ cho , , Gọi , ,

là mặt cầu tâm lần lượt là , , và có cùng bán kính là Xác định sốtiếp diện chung của ba mặt cầu trên

Ta có nhận xét: Trong không gian, cho điểm và đường thẳng , khi đó có

đúng hai mặt phẳng chứa và cách một khoảng là nếu vàkhông có mặt phẳng nào chứa và cách một khoảng là nếu

Xét mặt phẳng đi qua các điểm , , Ta có ; ; Gọi ,, lần lượt là trung điểm của , ,

Mặt phẳng xác định như sau:

Đi qua , : Ta có nên có 2 mặt phẳng tiếp xúc với cả

3 mặt cầu như nhận xét trên

Trang 45

Đi qua , : Ta có có 2 mặt phẳng tiếp xúc với cả 3mặt cầu như nhận xét trên.

tiếp xúc với cả 3 mặt cầu như nhận xét trên

Hơn nữa , , có cùng bán kính nên có mặt phẳng tiếp xúc với chúng

và song song với mặt phẳng

Vậy có tất cả tiếp diện chung của ba mặt cầu

Định dạng
Số trang	45
Dung lượng	3,12 MB