BÀI TOÁN PHẲNG của lý THUYẾT đàn hồi TRONG hệ tọa độ cực

BÀI TOÁN PHẲNG của lý THUYẾT đàn hồi TRONG hệ tọa độ cực BÀI TOÁN PHẲNG của lý THUYẾT đàn hồi TRONG hệ tọa độ cực BÀI TOÁN PHẲNG của lý THUYẾT đàn hồi TRONG hệ tọa độ cực BÀI TOÁN PHẲNG của lý THUYẾT đàn hồi TRONG hệ tọa độ cực BÀI TOÁN PHẲNG của lý THUYẾT đàn hồi TRONG hệ tọa độ cực BÀI TOÁN PHẲNG của lý THUYẾT đàn hồi TRONG hệ tọa độ cực BÀI TOÁN PHẲNG của lý THUYẾT đàn hồi TRONG hệ tọa độ cực BÀI TOÁN PHẲNG của lý THUYẾT đàn hồi TRONG hệ tọa độ cực BÀI TOÁN PHẲNG của lý THUYẾT đàn hồi TRONG hệ tọa độ cực BÀI TOÁN PHẲNG của lý THUYẾT đàn hồi TRONG hệ tọa độ cực BÀI TOÁN PHẲNG của lý THUYẾT đàn hồi TRONG hệ tọa độ cực

National University of Civil Engineering

Faculty of Civil and Industrial Construction www: xaydung.edu.vn

CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

Giảng viên: Trần Hữu Quốc

VÀ LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

NỘI DUNG

8.1 • Các phương trình cơ bản

8.2 • Hàm ứng suất

8.3 • Giải theo ứng suất – Bài toán chêm chịu lực tập trung

8.4 • Bài toán đối xứng trục

8.5 • Bài toán phẳng chịu lực tập trung trên biên (Bài toán Flamant)

8.6 • Bài toán Boussinesq

8.1 Các phương trình cơ bản

Trong nhiều trường hợp giải bài toán phẳng, sử dụng toạ độ độc cựcthuận lợi hơn hệ toạ độ vuông góc Chẳng hạn khi nghiên cứu trạng

thái ứng suất và biến dạng trong các ống dày, các đĩa quay, …

Động cơ máy bay và hệ thống rôtor

y x

x r

x

r x

sin cos

y r

y

r y

cos sin

r r r r

x

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

2

11

cossin

21

1sin

r r r r

y

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

2

11

cossin

21

1cos

r r r r

y

x

2 2

2 2

2

2 2 2

2 2

11

sincos

11

cossin



r

X Y

8.1 Các phương trình cơ bản

8.1.2 Phân tố trong hệ toạ độ cực

Phân tố vật chất vô cùng bé lấy tại K(r,) là

hình phẳng giới hạn bởi tia  và +d và các

bán kính r và r+dr

- r : trục theo hướng bán kính

-  : trục đi qua K và vuông góc với r

- u : chuyển vị theo phương r

- v : chuyển vị theo phương 

sr – thành phần ứng suất pháp theo phương bán kính

tr – thành phần ứng suất tiếp trên m ặt có pháp tuyến theo phương bán kính

tr – thành phần ứng suất tiếp trên m ặt có pháp tuyến theo phương tiếp tuyến (phương vòng)

8.1 Các phương trình cơ bản

8.1.6 Quan hệ giữa các thành phần ứng suất viết trong hai hệ trục

• Để có các quan hệ giữa các thành phần ứng suất viết trong hai hệtrục ta có thể dùng ma trận biến đổi hệ trục toạ độ hoặc có thể xét cânbằng các phân tố tam giác chứa điểm K, với hai mặt có pháp tuyến trùngvới trục r, trục  và một mặt có pháp tuyến trùng với phương trục x (nếutính sxx ) , hoặc trùng với trục y (nếu tính syy )

8.1 Các phương trình cơ bản

To ạ độ cực  To ạ độ vuông góc

To ạ độ vuông góc  To ạ độ cực

 t



s s

 t



s s

 t



s s

y x

 t



s s

y



 t



s s

tr  x  y sin 2  xy cos 2

8.2 Hàm ứng suất



r

X Y

2 2

2 2

y x

2 2

2 2

r r

Toán tử bi-điều hoà



8.3 Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung

- Xét đoạn nêm phẳng có chiều dày 1 đ.v, góc chắn đỉnh 2 (sơ đồ đậpchắn, chi tiết hình nêm, thanh có tiết diện thay đổi theo qui luật bậcnhất, )

Chiều dài nêm là lớn, nêm chịu lực tập trung ở đỉnh

Phương pháp gi ải : Phương pháp nửa ngược- cho tr ước dạng

hà m và là m chính xác hà m khi cho t hỏa mãn đầy đủ các đi ều

ki ện của bài toán

8.3 Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung

Nhận xét: Ứng suất tại đi ểm K phụ t huộc vào các trị số P, r, ,

, b Ứng suất này càng nhỏ khi r càng lớn do đó có thể gi ảthi ết dạng của hàm ứng suất:

 

rr

P

k f r

8.3 Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung

8.3 Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung

 s

 s

 s

8.3 Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung

 s

Ứng suất trên mặt cắt ngang vuông

góc với trục x theo công thức (8.4):

 s

8.4 Bài toán đối xứng trục

Bài toán đối xứng trục: Các đại lượng là hằng số đối với biến số góc 

8.4 Bài toán đối xứng trục

r



01

2

2 2

2

2 2

r r

Đối xứng trục

2 2

Phương trình và nghiệm bài toán theo chuyển vị

Khi thay giá trị của ứng suất trong phương trình vật lý vào phương trìnhcân bằng ta nhận được phương trình:

Giải phương trình trên, nghiệm tổng quát có dạng:

0

1

2 2

du r dr

u d

Thay chuyển vị vào phương trình định luật Hooke:

2 1

theo điềukiện biên tuỳtừng bài

toán cụ thể

8.4 Bài toán đối xứng trục

Ví dụ1: Ống dày có bán kính trong a, bán kính ngoài b, chịu áp lực trong

Điều kiện biên:

8.4 Bài toán đối xứng trục

8.4 Bài toán đối xứng trục

Thay công thức (*) vào điều kiện biên với C2=0 được:

Chú ý: Trong các công thức trên cần phân biệt rõ bài toán ứng suấtphẳng hay biến dạng phẳng Chẳng hạn nếu ống dày chịu áp lực vuônggóc thành ống, khi hai đầu chiều dài ống để tự do thì đây là bài toán ứngsuất phẳng; khi hai đầu chiều dài ống bị ngàm chặt hoặc ống có chiềudài lớn thì đây là bài tóan biến dạng phẳng.

8.4 Bài toán đối xứng trục

8.5 Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant)

Nửa mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng, gọi là biên, chịu lực tập trung Pvuông góc với đường biên

1 Ứng suất tại điểm K(r, ) sẽ là

=> những điểm nằm trên cùng đường tròn, có giá trị ứng suất srr như nhau

=> Những đường tròn đồng ứng suất, d càng bé thì ứng suất càng lớn

Tuy nhiên chỉ có thể cho nghiệm chính xác khi d đủ lớn (xa miền đặt lực– nguyên lý Saint-Venant)

s sr  0

cos

r  d 

8.5 Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant)

Thí nghiệm quang đàn hồi - những đường vân đẳng ứng suất chính

8.5 Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant)

3 2

• Dùng công thức chuyển hệ trục toạ độ Ứng suất trong hệ toạ độvuông góc xy

• Trị số của các thành phần ứng suất theo phương thẳng đứng sxx vàứng suất trượt sxy ở khoảng cách x = H kể từ biên của bán phẳng:

8.5 Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant)

Biểu đồ áp lực theo phương thẳng đứng, phương nằm ngang và áp lực trượt

P h



8

P L



h

8.5 Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant)

2 Chuyển vị tại các điểm trong bán phẳng

- u - chuyển vị theo phương bán kính r

- v - chuyển vị theo phương vòng q

Các hằng số B, C, D xác định từ điều kiện biên

8.5 Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant)

3 Chuyển vị tại các điểm trên biên

Các chuyển vị tại các điểm trên biên suy ra từ công thức trên

8.6 Bài toán Boussinesq

Vật thể đàn hồi chiếm phần

không gian z>=0 chịu lực tập

trung P vuông góc với mặt giới

Thank you for your attention

Trần Hữu Quốc

National University of Civil Engineering

E-mail: quocth@nuce.edu.vn

CƠ HỌC MTLT & LTĐH