1 hệ tọa độ trong không gian

a Xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.. b Xác định tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành, và tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành này c Xác địn

BÀI 1 – HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I – TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ TỌA ĐỘ VECTƠ

1 – Hệ tọa độ

Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz gồm:

• Ba trục x Ox y Oy z Oz ,  ,  đôi một vuông góc

• , ,i j k lần lượt là các vectơ đơn vị trên 3 trục x Ox y Oy z Oz ,  , 

Gọi đơn giản: Hệ tọa độ Oxyz

• O là gốc tọa độ

• Các mặt phẳng Oxy Oyz Ozx là các mặt phẳng tọa độ , ,

• Không gian với hệ tọa độ Oxyz là không gian Oxyz

2 – Tọa độ của một điểm

Với mỗi điểm M trong không gian Oxyz cho bộ 3 số duy nhất: , OM =xi + +yj zk Ta gọi bộ

3 số (x y z; ; ) là tọa độ điểm M với hệ tọa độ Oxyz kí hiệu , M x y z( ; ; )

3 – Tọa độ của một vectơ

Trong không gian Oxyz cho vectơ , a khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ 3 số (a a a1; 2; 3) sao cho

a=a i +a j+a k

Ta gọi bộ ba số (a a a1; 2; 3) là tọa độ vectơ a đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước, kí hiệu

( 1; 2; 3)

a= a a a hoặc a a a a( 1; 2; 3)

II – BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ , a=(a a a1; 2; 3) và b=(b b b1; ;2 3) Ta có:

• a b+ =(a1+b a1; 2+b a2; 3+b3);

• a b− =(a1−b a1; 2−b a2; 3−b3);

• ka=k a a a( 1; 2; 3) (= ka ka ka1; 2; 3)với mọi k 

Hệ quả

• a= b a1 =b a1; 2 =b a2; 3 =b3

• Vectơ 0 có tọa độ (0; 0; 0 )

• Nếu b  thì 0

a kb

a kb

=





 =



• Cho A x( A;y A;z A) (,B x B;y B;z B) thì AB=(x B−x A;y B−y A;z B−z A)

• Cho hình bình hành ABCD nếu biết tọa độ , , ,, A B C ta có thể tìm tọa độ điểm D như







III – TÍCH VÔ HƯỚNG

1 Biểu thức tọa độ tích vô hướng

 Định lý

Trong không gian Oxyz tích vô hướng của hai vectơ , a=(a a a1; 2; 3) và b=(b b b1; 2; 3) được xác định bởi công thức: a b =a b1 1+a b2 2+a b3 3

2 Ứng dụng

• Độ dài vectơ: Cho a=(a a a1; 2; 3), khi đó a = a12+a22+a32

• Khoảng cách giữa hai điểm: ( ) (2 ) (2 )2

AB= AB = x −x + y −y + z −z

• Góc giữa hai vectơ: ( ) 1 1 2 2 3 3

cos cos a b, a b a b a b

• Từ đó suy ra a⊥ b a b1 1+a b2 2+a b3 3 =0

IV – PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

 Định lý

Trong không gian Oxyz mặt cầu , ( )S có tâm I a b c( ; ; ), bán kính r có phương trình:

( ) (2 ) (2 )2 2

x a− + y b− + −z c =r

 Lưu ý:

Phương trình 2 2 2

0

x +y +z +Ax+By Cz+ + =D , với điều kiện

0 4

D

−  là

phương trình mặt cầu tâm ; ; ,

  bán kính

4

V – TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

 Định nghĩa

Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ u a b c( ; ; ) và v a b c(   , , ) là một vectơ, được kí hiệu là  u v, (hoặc uv) và có tọa độ được xác định như sau:

 u v, b c ; c a ; a b (bc b c ca; c a ab; a b)

 Lưu ý: i j,  = k;j k, =i;k i, = j

 Tính chất

•  u v, = 0 u// ;v

•  u v u, = u v v, =0

•  u v, = u v .sin( )u v,

 Ứng dụng

• Cho hình bình hành ABCD Ta có: S ABCD = AB AD, 

• Thể tích khối hộp: Khối hộp ABCD A B C D     có thể tích: V = AB AD AA,  

 Tính đồng phẳng của ba vectơ

• u v cùng phương khi và chỉ khi ,  u v =, 0

• u v w đồng phẳng khi và chỉ khi , ,  u v w =, 0

V – BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1 Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ a=2i +3j−5 ;k b= − +3j 4 ;k c= − −i 2 j

a) Xác định tọa độ các vectơ a b c x, , , =3a+2b và tính x

b) Tìm giá trị của x để vectơ y=(2x− −1; x;3x+ vuông góc với vectơ 22) b− c

c) Chứng minh rằng ba vectơ a b c, , không đồng phẳng, và phân tích vectơ u =(3; 7; 14− ) qua ba vectơ a b c, ,

2 Cho hai vectơ a b, thỏa mãn ( )a b, =120 , a =2, b =3

a) Tính a−2 b

b) Tính góc giữa hai vectơ a và x=3a+2 b

3 Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ a=(1;0; 2 ,− ) b = −( 2;1;3 ,) c= −( 4;3;5 )

a) Tìm tọa độ vectơ 3a−4b+2 c

b) Tìm hai số thực m n, sao cho ma+nb= c

4 Trong không gian Oxyz, cho ABC với A(2; 3;1 ,− ) (B 1; 1; 4− ) và C −( 2;1; 6 )

a) Xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

b) Xác định tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành, và tìm tọa độ giao

điểm hai đường chéo của hình bình hành này

c) Xác định tọa độ điểm M sao cho MA= −2MB

5 Cho tam giác ABC có A(1; 0; 2 ,− ) (B −1;1; 0 ,) (C −2; 4; 2 − )

a) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC b) Tìm tọa độ giao điểm của phân giác trong, phân giác ngoài góc A với đường thẳng BC

6 Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D     có tọa độ các điểm

( 1; 2;3 ,) (1; 4;5)

A − C , B −( 3;3; 2− và ) D(5;3; 2 ) Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp

7 Cho ba điểm A(2;5;3 ,) (B 3; 7; 4 ,) (C x y; ; 6 ) Tìm x y để , ,, A B C thẳng hàng

8 Cho hai điểm A(−1; 6; 6 ,) (B 3; 6; 2 − − ) Tìm Mmp(Oxy) sao cho MA MB+ nhỏ nhất

9 Tìm trên trục Oy điểm cách đều hai điểm A(3;1; 0 ,) (B −2; 4;1 )

10 Tìm trên mặt phẳng (Oxz) điểm cách đều ba điểm A(1;1;1 ,) (B −1;1; 0 ,) (C 3;1; 1 − )

11 Cho hai điểm A(2; 1; 7 ,− ) (B 4;5; 2 − ) Đường thẳng AB cắt mp Oyz( ) tại điểm M Điểm

M chia đoạn AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ điểm M

12 Cho u(2; 1;1 ,− ) (v m;3; 1 ,− ) (w 1; 2;1 ) Tìm m để ba vectơ đồng phẳng

13 Cho u(1; 2;3 ,) (v 2;1;m) (,w 2;m;1 ) Tìm m để ba vectơ không đồng phẳng

14 Cho u(1;1; 2 ,) (v −1;3;1 ) Tìm vectơ đơn vị đồng phẳng với , ,u v đồng thời tạo với u góc

45 

15 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(0; 2; 0 ,) (B −1; 0; 3 ,− ) (C 0; 2; 0 ,− ) (D 3; 2;1 ) a) Chứng minh rằng bốn điểm A B C D, , , không đồng phẳng

b) Tính diện tích tam giác BCD và đường cao BH của tam giác BCD

c) Tính thể tích tứ diện ABCD và đường cao của tứ diện hạ từ A

d) Tìm tọa độ E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành

e) Tính cô-sin của góc giữa hai đường thẳng AC và BD

f) Tìm điểm MOy sao cho BMC cân tại M

g) Tìm tọa độ điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD và chứng minh A G A, , thẳng hàng,

với A là trọng tâm của tam giác BCD

16 Cho hai vectơ a b, có a =2 3; b =3;g a b( ), = 30 Tính

a) Độ dài các vectơ a b+ ; 5a+2 ; 3b a−2 b

b) Độ dài các vectơ a b,   , a b, 3   , 5 ; 2a b

17 Tìm điều kiện của tham số m sao cho

a) Ba vectơ u=(2;1;−m),v=(m+ −1; 2; 0 ,) w=(1; 1; 2− ) đồng phẳng

b) Bốn điểm A(1; 1;− m) (,B m;3; 2m−1 ,) (C 4;3;1 ,) (D m+ −3; m; 2−m) cùng thuộc một mặt phẳng

c) Góc giữa hai vectơ a=(2;m; 2m−1 ,) b=(m; 2; 1− ) là 60 

18 Cho hình chóp S ABCD với A(4; 1; 2 ,− ) (B −1; 0; 1 ,− ) (C 0; 0; 2 ,− ) (D 10; 2; 4 − ) Gọi M

là trung điểm của CD Biết SM ⊥(ABCD) và V S ABCD. =66(đvtt) Tìm tọa độ đỉnh S

19 Trong không gian Oxyz, cho ABC có tọa độ các điểm

(2; 1;3 ,) (3; 0; 2 ,) (5; 1; 6 )

a) Xác định cos BAC, từ đó suy ra số đo góc BAC

b) Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của A trên BC và tọa độ điểm A đối xứng với A qua đường thẳng BC

20 Cho ABC có B(−1;1; 1 ,− ) (C 2;3;5 ) Điểm A có tung độ là 1,

3 hình chiếu của điểm A

trên BC là 1; ;37

3

  và diện tích tam giác ABC là

49 3

S =

a) Tìm tọa độ đỉnh A biết A có hoành độ dương

b) Tìm tọa độ chân đường vuông góc hạ từ B đến AC

c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I và trực tâm H của ABC

21 Cho ABC có A(2;3;1 ,) (B −1; 2; 0 ,) (C 1;1; 2 − )

a) Tìm tọa độ chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC

b) Tìm tọa độ H là trực tâm của ABC

c) Tìm tọa độ I là tâm đường tròn ngoại tiếp của ABC

22 Trong không gian Oxyz, cho tam giác đều ABC với A(5;3; 1 ,− ) (B 2;3; 4− và điểm C ) nằm trong mặt phẳng (Oxy có tung độ nhỏ hơn 3 )

a) Tìm tọa độ điểm D biết ABCD là tứ diện đều

b) Tìm tọa độ điểm S biết SA SB SC, , đôi một vuông góc

23 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 2; 4 − )

a) Tìm tọa độ các hình chiếu của A lên các trục tọa độ và các mặt phẳng tọa độ

b) Tìm MOx N, Oy sao cho AMN vuông cân tại A

c) Tìm tọa độ điểm E(Oyz) sao cho AEB cân tại E, và có diện tích bằng 3 29 với ( 1; 4; 4 )

24 Trong không gian Oxyz, cho A(4; 0; 0 ,) (B x y0; 0; 0) với x0,y 0 0 thỏa mãn AB =2 10

và AOB =45 

a) Tìm C trên tia Oz sao cho thể tích tứ diện OABC bằng 8

b) Gọi G là trọng tâm ABO và M trên cạnh AC sao cho AM = Tìm x để x OM ⊥GM

25 Lập phương trình mặt cầu ( )S , biết ( )S đi qua C(2; 4;3− ) và các hình chiếu của C lên

ba trục tọa độ

x +y +z − mx+ y+ mz+m + m= Xác định m để nó là

phương trình của một mặt cầu Khi đó tìm m để bán kính của nó là nhỏ nhất

x +y +z + x − y − z− +  = Xác định  để

nó là phương trình của 1 mặt cầu Khi đó tìm  để bán kính của nó là nhỏ nhất, lớn nhất

VI – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

28 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có ba đỉnh A a( ; 0; 0 ,) (B 0; ; 0 ,b ) (C 0; 0;c )

Tọa độ trọng tâm của ABC là

A (a b c; ; ) B (− − −a; b; c) C ; ;

3 3 3

a b c

− − −

29 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;3; 1 ,− ) (B 3; 1;5 − ) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn

3

MA= MB

A 5 13; ;1

3 3

7 1

; ; 3

3 3

7 1

; ;3

3 3

  D M(4; 3;8 − )

30 Trong không gian Oxyz, cho các vectơ u=2i −2j+k, v=(m; 2;m+ với 1) m  Có bao nhiêu số thực m để u = v ?

A 0 B 1 C 2 D 3

31 Trong không gian Oxyz, cho vectơ a =(1; 2;3 − ) Tìm tọa độ vectơ b biết rằng vectơ b ngược hướng với vectơ a và b =2a

A b =(2; 2;3 − ) B b =(2; 4;6 − ) C b = −( 2; 4; 6 − ) D b = − −( 2; 2;3 )

32 Trong không gian Oxyz góc giữa hai vectơ i và , u = −( 3 ; 0;1) là

33 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(− −1; 2;3 ,) (B 0;3;1 ,) (C 4; 2; 2 ) Côsin của góc

BAC bằng

A 9

2 35

35

−

34 Trong không gian Oxyz, cho vectơ u =(1;1; 2 ,) v=(2; 0;m) Tìm giá trị của m biết

30

u v =

A m =1 B 1

11

m m

=



 = −

35 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(1;1;1 ,) N(2;3; 4 ,) P(7 ; 7 ;5 ) Để

tứ giác MNPQ là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là

A (− − −6; 5; 2 ) B (6; 5; 2 − ) C (6;5; 2 ) D (−6;5; 2 )

36 Trong không gian Oxyz, cho OA=2i +2j+2 ,k B(−2; 2; 0 ,) (C 4;1; 1 − ) Trên mặt phẳng (Oxz), điểm nào dưới đây cách đều ba điểm A B C, ,

A 3; 0;1

; 0;

; 0;

; 0;

37 Trong không gian Oxyz, cho các vectơ a=(2;m−1;3 ,) b =(1;3; 2− n) Tìm m n, để các vectơ a b, cùng hướng

A 7; 3

4

m= n= − B m=4;n= −3 C m=1;n=0 D 7; 4

3

m= n= −

38 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(−1; 2; 3 ,− ) (B 1; 0; 2 ,) (C x y; ; 2 − ) Biết A B C, ,

thẳng hàng, khi đó x+ bằng y

A 1 B 17 C 11

5

5

39 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 2;1 ,− ) (B 0;1; 2 ) Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy sao cho ba điểm ) A B M, , thẳng hàng là

A M(4; 5;0 − ) B M(2; 3;0 − ) C M(0; 0;1 ) D M(4;5; 0 )

40 Trong không gian Oxyz, cho A −( 3;1; 2 ,) tọa độ điểm A đối xứng với điểm A qua trục

Oy là

A (3; 1; 2 − − ) B (3; 1; 2 − ) C (3;1; 2 − ) D (− −3; 1; 2 )

41 Trong không gian Oxyz, gọi a b c, , lần lượt là khoảng cách từ M(1;3; 2) đến ba mặt phẳng tọa độ (Oxy) (, Oyz) (, Oxz Tính ) 2 3

P= +a b +c

A P =32 B P =18 C P =30 D P =12

42 Trong không gian Oxyz, cho A(3;1; 0 ,) (B 0; 1; 0− ), C(0; 0; 6 − ) Nếu A B C    có các đỉnh thỏa mãn hệ thức A A B B C C +  +  = thì tam giác A B C0    có tọa độ trọng tâm là

A (3; 2; 0 − ) B (2; 3; 0 − ) C (1; 0; 2 − ) D (3; 2;1 − )

43 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;3; 2 ,) (B −2; 1; 4 − ) Tìm tọa độ điểm E thuộc

trục Oz sao cho E cách đều hai điểm A và B

A 0; 0;1

2

1 0; 0; 3

  C (0; 0; 1 − ) D (0; 0;1 )

44 Trong không gian Oxyz, cho vectơ u=(1;1; 2 ,− ) v =(1; 0;m) Tìm m để góc giữa hai

vectơ u và v bằng 45 

A m =2+ 6 B m =2− 6 C m =2 6 D m =2

45 Trong không gian Oxyz, biết u =2, v = và 1 ( ) 2

3

g u v = 

Tìm k để vectơ p=ku+v

vuông góc với vectơ q= −u v

A 2

5

2

5

k = −

46 Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(5;1;5 ,) (B 4;3; 2 ,) (C −3; 2;1 − ) Điểm

( ; ; )

I a b c là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính a+2b c+ ?

A 1 B 3 C 6 D −9

47 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 2 ,− ) (B −5; 6; 4) và C(0;1; 2 − ) Độ dài đường phân giác trong góc A của ABC là

A 3 74

3

48 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 1 ,− ) (B 2; 1;3 ,− ) (C −4; 7;5 ) Tọa độ chân đường phân giác trong của góc B của ABC là

A 2 11; ;1

3 3

11

; 2;1 3

2 11 1

3 3 3

  D (−2;11;1 )

49 Trong không gian Oxyz, cho điểm H(2;1;1 ) Gọi các điểm A B C, , lần lượt ở trên các trục tọa độ Ox Oy Oz, , sao cho H là trực tâm của ABC Khi đó hoành độ điểm A là

A −3 B −5 C 3 D 5

50 Trong không gian Oxyz, cho A(1; 2; 1 ,− ) (B 2;1;1) và C(0;1; 2 ) Gọi H x y z là trực ( ; ; ) tâm của ABC Giá trị của S= + +x y z bằng

A 7 B 6 C 5 D 4

51 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; 2; 2 ,− ) (B 2; 2; 4 − ) Giả sử I a b c là tâm ( ; ; ) đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Tính 2 2 2

T =a +b +c

52 Trong không gian Oxyz, cho hình thang ABCD vuông đỉnh A và B Ba đỉnh

(1; 2;1 ,) (2; 0; 1 ,)

A B − C(6;1; 0 ) Biết diện tích hình thang là 6 2 Giả sử D a b c ( ; ; ) Tìm mệnh đề đúng

A a b c+ + =6 B a b c+ + =5 C a b c+ + =8 D a b c+ + =7

53 Trong không gian Oxyz, cho vectơ a=(1; 2; 4 ,− ) b=(x y z0; 0; 0) cùng phương với a Biết

b tạo với tia Oy một góc nhọn và b = 21 Tổng x0+y0+z0 bằng

A −3 B 6 C −6 D 3

54 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(1; 2;1) và cắt tia

Ox Oy Oz lần lượt tại A B C, , sao cho độ dài OA OB OC, , theo thứ tự lập thành cấp số

nhân có công bội bằng 2 Khoảng cách từ O đến mp( ) bằng

A 4

55 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−2; 2; 2 ;− ) (B 3; 3;3 − ) Điểm M trong không

gian sao cho 2

3

MA

MB = Độ dài OM lớn nhất bằng

56 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; 6 ) Biết rằng có hai điểm M N, phân biệt thuộc

trục Ox sao cho các đường thẳng AM AN, cùng tạo với đường thẳng chứa trục Ox một

góc 45  Tổng các hoành độ hai điểm M N, tìm được là

A 4 B 2 C 1 D 5

57 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0; 0; 1 ,− ) (B −1;1; 0 ,) (C 1; 0;1 ) Tìm tọa độ điểm

M sao cho 3MA2+2MB2−MC2 nhỏ nhất

A 3 1; ; 1

4 2

3 1

; ; 2

4 2

3 3

; ; 1

4 2

3 1

; ; 1

4 2

58 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−2;3; 4 ,) (B 8; 5; 6 − ) Hình chiếu vuông góc của

trung điểm I của đoạn AB trên mặt phẳng (Oxz là điểm nào sau đây: )

A N(3; 1;5 − ) B Q(3; 0;5 ) C P(3; 0; 0 ) D M(0; 1;5 − )

59 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 2; 0 ,− ) (B 3;3; 2 ,) (C −1; 2; 2) và D(3;3;1 ) Độ

dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng (ABC bằng )

A 9

2

60 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1;1; 4 ,) (B 5; 1;3 ,− ) (C 2; 2;m) (,D 3;1;5 ) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để A B C D, , , là bốn đỉnh của một hình tứ diện

A m 6 B m 6 C m 6 D m =6

61 Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ ( ) ( 2 )

a= b= m m Có bao nhiêu giá trị của tham số m để a b =0?

62 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0 ,) (B 0; 4; 0 ,) (C 0; 0; 6 − ) Tâm của mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện OABC có tọa độ là

A (− −2; 4; 6 ) B (2; 4; 6 − ) C (− −1; 2;3 ) D (1; 2; 3 − )

63 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A a( ; 0; 0 ,) (B 1; ; 0 ,b ) (C 1; 0;c với ) a b c, , là các số thực thay đổi thỏa mãn H(3; 2;1) là trực tâm của ABC Tính S = + + a b c

A S =2 B S =19 C S =11 D S =9

- Hết -