3 GT12 c3 UNG DUNG HS 2022

Nếu , đồ thị nằm phía dưới đồ thị thì ta có: Ghi nhớ ❸ Thể tích vật thể: Dạng 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và ha

Giải tích ⓬

  Ghi nhớ ❷

WORD XINH

Nếu , (đồ thị nằm phía dưới đồ thị ) thì ta có:

  Ghi nhớ ❸

Thể tích vật thể:

Dạng 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và hai đường thẳng , quanh trục Ox:

Sử dụng chức năng tính tích phân cĩ sẵn trong máy tính Casio để tính.

Chú ý: Nếu đề bài chưa cho ( cận tích phân) thì ta cần giải phương trình hồnh độ giao điểm để tìm cận tích phân.

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm xác định

▣ Dạng ①

WORD XINH

Bài tập minh họa:

1 Cho hàm số liên tục trên và cĩ đồ thị là đường cong như hình bên

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , trục hồnh và hai đường thẳng

, (phần tơ đen) là

3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành được

xác định theo công thức nào dưới đây

WORD XINH

Lời giải Chọn C

Bài tập rèn luyện:

Câu 1:Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm

số và , trục tung và đường thẳng được tính

theo công thức.

Lời giải

Câu 2:Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

, , và Mệnh đề nào sau đây đúng?

WORD XINH

Câu 8:Cho là hình phẳng giới hạn bởi các đường

; và trục hoành Tính diện tích của

Câu 10:Cho là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

của hàm số , trục hoành, trục tung và đường

, , và được tính bằng công

thức

Câu 14:Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

, (phần tô đậm trong hình vẽ) Diện tích của bằng

WORD XINH

là diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là

Câu 18:Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường

được tính bởi công thức nào dưới đây?

Câu 19:Một viên gạch hoa hình vuông cạnh cm được thiết

kế như hình bên dưới Diện tích mỗi cánh hoa (phần tô đậm)

bằng

Lời giải

Câu 21:Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ

nhất, giới hạn bởi các đường thẳng , và đồ thị hàm

số là phân số tối giản Khi đó bằng

A B C D

Lời giải

Câu 22:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

và các tiếp tuyến tại các điểm và

A. B C D

Lời giải

Câu 23:Gọi là phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ

Lời giải

WORD XINH

dưới đây được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số ,

và trục hoành Diện tích của là bằng bao nhiêu?

A B C D

Câu 24:Cho là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và

được giới hạn bởi các đường có phương trình ,

Diện tích của bằng?

A B C D

Lời giải

Câu 25:Cho hàm số

có đồ thị là Biết rằng đồ thị đi qua gốc tọa độ và đồ

thị hàm số cho bởi hình vẽ bên Tính giá trị

?

Lời giải

A. B C D

Câu 26:Cho Parabol và hai điểm , thuộc sao

cho Diện tích hình phẳng giới hạn bởi và đường

thẳng đạt giá trị lớn nhất bằng

A. B C D

Lời giải

Câu 27:Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

và nửa trên của đường tròn bằng?

Câu 29:Trong hệ trục tọa độ , cho parabol và

hai đường thẳng , (hình vẽ) Gọi là diện

tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng

Lời giải

WORD XINH

(phần tô đen); là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

parabol và đường thẳng (phần gạch chéo) Với điều

kiện nào sau đây của và thì ?

Câu 31:Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

và trục hoành Hai đường thẳng và chia

thành phần có diện tích bằng nhau (tham khảo hình

vẽ)

Lời giải

Giá trị biểu thức bằng

A. B C D

Câu 32:Cho hàm số có đồ thị

vẽ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi và có giá trị

nằm trong khoảng nào sau đây?

A B C D

Lời giải

Câu 33:Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm

số và hai tiếp tuyến của xuất phát từ

là

A B C D

Lời giải

Cách giải:

Thể tích giới hạn bởi các đồ thị (tròn xoay) hàm xác định

♽_Dạng ❷

WORD XINH

Bài tập minh họa:

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay xung quanh trục đượctính theo công thức?

Lời giải Chọn D

2 Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường

thẳng ; Thể tích vật thể tròn xoay sinh bới khi nó quay quanh trụchoành có thể tích được xác định bởi

Chọn A

Thể tích vật thể tròn xoay sinh bới khi nó quay quanh trục hoành

3 Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hoành và các đường

thẳng , Khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành có thểtích bằng bao nhiêu?

Lời giải Chọn B

4 Goi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục và hai đường

thẳng Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay xung quanhtrục là

Lời giải Chọn C

Bài tập rèn luyện:

WORD XINH

Câu 1:Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng

giới hạn bởi các đường , , , xung quanh

trục là

Lời giải

Câu 2:Cho miền phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ,

hai đường thẳng , và trục hoành Tính thể tích khối

tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành

Câu 4:Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh

trục hoành Thể tích của khối tròn xoay tạo thành được tính

theo công thức nào?

Lời giải

B

Câu 5:Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

, , , Gọi là thể tích khối tròn xoay

được tạo thành khi quay xung quanh trục Mệnh đề

nào sau đây đúng?

Lời giải

Câu 6:Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường ,

, và Thể tích của khối tròn xoay tạo

thành khi quay xung quanh trục được tính theo công

thức

Lời giải

Câu 7:Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường ,

trục hoành và đường thẳng Khối tròn xoay tạo thành

khi quay quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu?

Lời giải

WORD XINH

A B C D

Câu 8:Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường ,

, và trục hoành Tính thể tích của khối tròn xoay

sinh bởi hình quay quanh trục

A B C D

Lời giải

Câu 9:Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các

đường , trục và hai đường thẳng ; khi quay

quanh trục hoành được tính bởi công thức nào?

Lời giải

Câu 10:Cho hàm số có đồ thị Gọi là hình phẳng

giởi hạn bởi , trục hoành và hai đường thẳng ,

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục

hoành được tính bởi công thức:

Lời giải

Câu 11:Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi

cho hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường

thẳng quay xung quanh trục

Lời giải

C D

Câu 12:Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

và các đường thẳng , , Thể tích khối tròn xoay

tạo thành khi quay quanh trục hoành bằng

A. B C D

Lời giải

Câu 13:Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và các

đường thẳng , quanh trục hoành là

A. B C D

Lời giải

Câu 14:Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi

các đường , , , quay quanh trục bằng

A. B C D

Lời giải

Câu 15:Trong hệ trục tọa độ cho elip có phương

trình Hình phẳng giới hạn bởi nửa elip nằm

trên trục hoành và trục hoành Quay hình xung quanh

trục ta được khối tròn xoay, tính thể tích khối tròn xoay

WORD XINH

, , , Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình quanh trục

trục hoành và đường thẳng Khi hình phẳng quay

quanh trục hoành được vật thể tròn xoay có thể tích được

tính theo công thức nào dưới đây?

Lời giải

Câu 18:Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay, biết đáy bình

và miệng bình có đường kính lần lượt là và Mặt

xung quanh của bình là một phần của mặt tròn xoay có

đường sinh là đồ thị hàm số Tính thể tích bình cắm

hoa đó

A B C D

Lời giải

Câu 19:Cho là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

, trục hoành và hai đường thẳng ; là

thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình quanh

trục hoành Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải

C. D

Câu 20:Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh

A. B C D

Lời giải

Câu 21:Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi

A. B C D

Lời giải

Câu 22:Gọi là hình phẳng giới hạn bởi parabol và

đường thẳng Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành

khi quay hình xung quanh trục hoành

A B C D

Lời giải

Câu 23:Thể tích của vật tròn xoay có được khi quay hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm , trục , đường thẳng

, đường thẳng quanh trục là

Lời giải

Câu 24:Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị hai hàm số , khi nó quanh quanh

trục hoành là

Lời giải

WORD XINH

Câu 25:Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

, trục hoành và hai đường thẳng ; Gọi

là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình

xung quanh trục hoành Chọn khẳng định đúng trong các

khẳng định sau

Lời giải

Câu 26:Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong

, trục hoành và hai đường thẳng , Khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành có

Câu 27:Cho hình giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một

Parabol và một đường thẳng tiếp xúc với Parabol đó tại điểm

, như hình vẽ bên Thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi

khi hình quay quanh trục bằng

Lời giải

A. B C D

Câu 28:Thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi quay

hình phẳng giới hạn bởi đường tròn xung

quanh trục hoành là

A. B C D

Lời giải

Câu 29:Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong

trục hoành và đường thẳng Tính thể tích của khối

tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành

Lời giải

Câu 30:Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng được giới hạn

bởi các đường và quay quanh trục bằng bao

nhiêu?

A B C D

Lời giải

Câu 31:Hình phẳng giới hạn bởi đường elip có phương

trình Quay quanh trục hoành, tính thể tích

khối tròn xoay thu đượ

A. B C D

Lời giải

WORD XINH

Câu 32:Gọi là hình được giới hạn bởi nhánh parabol

(với ), đường thẳng và trục hoành Thể

tích của khối tròn xoay tạo bởi hình khi quay quanh trục

bằng

A. B C D

Lời giải

Câu 33:Trong mặt phẳng tọa độ , gọi là hình phẳng

giới hạn bởi các đường , , , và hình

là hình gồm các điểm thỏa: ,

Cho và quay quanh trục ta được các vật thể có

thể tích lần lượt là , Đẳng thức nào sau đây đúng?

A B C D

Lời giải

Câu 34:Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi phép quay

xung quanh trục hình phẳng giới hạn bởi các đường ,

A B C D

Lời giải

Câu 35:Gọi là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị

Câu 37:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình

hợp tất cả các điểm thỏa mãn các điều kiện

quanh ta được các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là

.Khi đó, mệnh đề nào sau đây là đúng?

Lời giải

Cách giải:

Thể tích vật thể và một số dạng toán ứng dụng thường gặp

♽_Dạng ❸

WORD XINH

Bài tập minh họa:

Câu 1: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và ,

biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm cóhoành độ ( ) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài haicạnh là và

Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ

Lời giải Chọn C

 Diện tích thiết diện là:

 Ta nhập biểu thức

như sau : y3Q(s3Q(dp2R1E3=

 Màn hình hiển thị :

Chọn C

và Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông gócvới trục tại điểm có hoành độ là một hình vuông cạnh là

Câu 1:Cắt một vật thể bới hai mặt phẳng và

vuông góc với trục lần lượt tại và Một

mặt phẳng tùy ý vuông góc với tại điểm cắt

theo thiết diện có diện tích là Giả sử liên tục

trên đoạn Khi đó phần vật thể giới hạn bởi hai mặt

Lời giải

WORD XINH

phẳng và có thể tích bằng

Câu 2:Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng

và , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt

phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ

là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng

A. B C D

Lời giải

Câu 3:Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng ,

Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng

vuông góc với tại điểm có hoành độ là một tam

giác vuông cân có cạnh huyền bằng

A. B C D

Lời giải

Câu 4:Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng

và , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng

vuông góc với trục tại điểm có hoành độ , là

một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là và

A. B C D

Lời giải

Câu 5:Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng

1 (hình vẽ) Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục

Lời giải

tại điểm có hoành độ thì được thiết diện là một

tam giác đều Tính thể tích của vật thể đó

A B C D

Câu 6:Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng

và , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý

vuông góc với trục tại điểm có hoành độ thì

được thiết diện là hình chữ nhật có hai cạnh là và

phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ

, ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng

WORD XINH

phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ

là một tam giác đều cạnh

Câu 9:Cho phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng có

phương trình và Cắt phần vật thể bởi mặt

phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ

ta được thiết diện là một tam giác vuông có độ dàihai cạnh góc vuông lần lượt là và Thể tích vật thể

bằng

A B C D

Lời giải

Câu 10:Tính thể tích vật thể có đáy là một hình tròn giới hạn

bởi đường tròn có phương trình và mỗi thiết diện

vuông góc với trục là một hình vuông (tham khảo hình vẽ

bên)

A B C D

Lời giải

Câu 11:Bạn An có một cốc thủy tinh hình trụ, đường kính

trong lòng đáy cốc là , chiều cao trong lòng cốc là

đang đựng một lượng nước Bạn An nghiêng cốc, vừa lúc khi

nước chạm miệng cốc thì mặt phẳng chứa mặt nước đi qua

Lời giải

một đường kính của đáy cốc Tính thể tích lượng nước trong

cốc

A B C D

Câu 12:Cho hai đường tròn và cắt nhau tại hai

điểm , sao cho là một đường kính của đường tròn

Gọi là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn

(ở ngoài đường tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ)

Quay quanh trục ta được một khối tròn xoay Tính thể

tích của khối tròn xoay được tạo thành?

A B C D

Lời giải

Câu 13:Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên Gọi

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục

và hai đường thẳng , Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

Lời giải

Câu 14:Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng

Parabol, chiều rộng , chiều cao Diện tích của cổng

là:

A B C D

Lời giải

Câu 15:Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh

trang trí hình ở chính giữa của một bức tường hình

chữ nhật có chiều cao , chiều dài

(hình vẽ bên) Cho biết hình chữ nhật có ,

cung có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh

Lời giải

bức tranh là đồng/ m2 Hỏi công ty X cần bao nhiêu

tiền để làm bức tranh đó

Câu 16:Một khu vườn dạng hình tròn có hai đường kính

vuông góc với nhau, Người ta làm một hồ cá

có dạng elip với bốn đỉnh như hình vẽ Biết

Diện tích phần trồng cỏ (phần gạch sọc) bằng:

A B C D

Lời giải

Câu 17:Ba Tí muốn làm cửa sắt được thiết kế như hình bên

Vòm cổng có hình dạng là một parabol Giá cửa sắt là

đồng Cửa sắt có giá (nghìn đồng) là

A. B C D

Lời giải

WORD XINH

Câu 18:Ông An muốn làm một cánh cửa bằng sắt có hình

dạng và kích thước như hình vẽ Biết rằng đường cong phía

trên là một parabol, tứ giác là một hình chữ nhật Giá

cánh cửa sau khi hoàn thành là đồng/ Số tiền ông

An phải trả để làm cánh cửa đó bằng

A. 9 600 000 đồng B 15 600 000 đồng

C 8 160 000 đồng D 8 400 000 đồng

Lời giải

Câu 19:Một khu vườn có dạng hợp của hai hình tròn giao

nhau Bán kính của hai đường tròn là và , khoảng

cách giữa hai tâm của hai hình tròn là Phần giao của hai

hình tròn được trồng hoa với chi phí đồng/ Phần còn

lại được trồng cỏ với chi phí đồng/ Hỏi chi phí để

trồng hoa và cỏ của khu vườn gần nhất với số tiền nào dưới

đây?

A. triệu đồng B triệu đồng

C. triệu đồng D triệu đồng

Lời giải

Câu 20:Cắt khối nón có bán kính đáy bằng và chiều cao

bằng bởi một mặt phẳng song song và cách trục một

Lời giải