1 GT12 c3 b1 NGUYEN HAM HS 2022

Định lí:Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên thì với mỗi hằng số , hàm số cũng là một nguyên hàm của trên.. Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên thì mọi nguyên hàm của trên đều có dạ

Định lí:

Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên thì với mỗi hằng số , hàm số

cũng là một nguyên hàm của trên Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên thì mọi nguyên hàm của trên đều có dạng , với là một hằng số

Do đó là họ tất cả các nguyên hàm của trên

Sự tồn tại của nguyên hàm

Ghi nhớ ❷

Nguyên hàm của hàm số đơn giản Nguyên hàm của hàm số hợp

Định lý: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và hàm số liên tục sao cho

xác định trên Khi đó nếu là một nguyên hàm của tức là thì

_Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên Tìm I =2f x( )−1 d  x

Lời giải

Chọn B

Ta có kf x( )dx=k f x ( )dx với k  sai vì tính chất đúng khi k  \ 0 

Phân dạng toán cơ bản:

Câu 3: Mệnh đề nào sau đây sai?

Câu 1:Cho f x( ), g x( ) là các hàm số xác định và liên tục trên Trong

các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. f x( )−g x( )dx= f x( )dx−g x( )dx.

B 2f x( )dx=2 f x( )dx

C. f x( )+g x( )dx= f x( )dx+g x( )dx.

D f x g x( ) ( )dx= f x( )d x g x ( )dx

Câu 2:Xét f x g x( ), ( ) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên Phát biểu nào

sau đây sai?

Câu 3:Cho các hàm số y= f x( ) và y=g x( ) liên tục trên Mệnh đề nào sau

Câu 4:Cho hai hàm số f x( ), g x( ) là hàm số liên tục, có F x( ), G x( ) lần

lượt là nguyên hàm của f x( ), g x( ) Xét các mệnh đề sau:

( )I F x( )+G x( ) là một nguyên hàm của f x( ) ( )+g x

( )II k F x ( ) là một nguyên hàm của k f x ( ) với k 

( )III F x G x( ) ( ) là một nguyên hàm của f x g x( ) ( )

 với  −1.

Câu 7:Cho hàm số F x( ) là một nguyên hàm của hàm f x( ) trên khoảng K nếu

A. F x( )= f( )x . B F x( )= f x( ).

C F x( )= f( )x . D F( )x = f x( ).

Câu 8:Cho hai hàm số f x( ), g x( )là hàm số liên tục, có F x( ), G x( )lần lượt

là nguyên hàm của f x( ), g x( ) Xét các mệnh đề sau:

( )I F x( )+G x( )là một nguyên hàm của f x( ) ( )+g x

( )II k F x ( )là một nguyên hàm của k f x ( )với k 

( )III F x G x( ) ( ) là một nguyên hàm của f x g x( ) ( )

Câu 14:Cho hàm số f x( )xác định trên Kvà F x( )là một nguyên hàm của

( )

f x trên K Khẳng định nào dưới đây đúng?

A F x( )= f( )x , x K  B f( )x =F x( ), x K 

C. F x( )= f x( ), x K  D F x( )= f x( ), x K 

Câu 15: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Nếu F x( ) và G x( ) đều là nguyên hàm của hàm số f x( ) thì

Câu 16:Cho hàm số f x( ) xác định trên K Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu f x( ) liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K

B. Hàm số F x( ) được gọi là một nguyên hàm của f x( ) trên K nếu

( ) ( )

F x = f x với mọi xK

C. Nếu hàm số F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên K thì hàm số

( )

F −x là một nguyên hàm của f x( ) trên K

D. Nếu hàm số F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên K thì với mỗi

hằng số C, hàm số G x( )=F x( )+C cũng là một nguyên hàm của f x( ) trên K

Câu 17:Cho F x( )là một nguyên hàm của hàm số 2

y=x Giá trị của biểu thức F ( )4 là

Câu 20:Cho hàm số f x( )xác định trên Kvà F x( )là một nguyên hàm của hàm

số f x( )trên K Khẳng định nào dưới đây đúng?

Câu 22:Mệnh đề nào sau đây sai?

A. kf x( )dx=k f x ( )dxvới mọi hằng số kvà với mọi hàm số f x( )

Câu 24: Mệnh đề nào sau đây sai?

A kf x dx( ) =k f x dx ( ) với mọi hằng số k và với mọi hàm số

( )

f x liên tục trên

B.  f( )x dx= f x( )+C với mọi hàm số f x( ) có đạo hàm trên

F x là một nguyên hàm của f x( )khi và chỉ khi

 +

  Tính T a b c= + +

_Bài tập minh họa:

Câu 1: Nguyên hàm của hàm số f x( )=2x(2−x+5) là

Câu 2:Khẳng định nào đây đúng?

A. sin dx x= −sinx C+ B sin dx x= −cosx C+ .

A. ( ) 1

3 23

Câu 11:Họ nguyên hàm của hàm số f x( )=e x+cosx là

A.

1

sin1

x

e

x C x

x

e

x C x

Câu 18:Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2

x x

C x

x x

C x

F x = x− x +C.

D Cả A, C và D đều đúng.

Câu 24:Gọi F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( )=e−x+cosx Tìm

Hàm số nào có nguyên hàm là hàm số g x( )=tanx?

A. Chỉ (II), (III). B (I), (II), (III).

e3

ln 3.e

x

F x = +C .

Câu 35: (cos 4 cosx x−sin 4 sinx x)dxbằng

Câu 41:Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) sin 5

lnln12 1 8

x x

_Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho F x( )là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2

Tìm nguyên hàm thỏa mãn ĐK cho trước

▣

③

A F −( )1 = −2 ln 2 B F( )2 = −2 2 ln 2. C F( )3 = +1 ln 2 D F −( )3 = 2

Lời giải Chọn B

TXĐ: D = \ 1 

Ta có: ( ) 1

d ln 11

Câu 1:Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1

Câu 4:Cho hàm số y= f x( ) xác định và liên tục trên , thỏa mãn đồng thời

các điều kiện sau ( ) ( ) 2( )

f x   x f x = −e f x  x và ( ) 1

0 2

f = Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x =0 ln 2 là

Câu 6:Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f( )x = −3 5cosx và f ( )0 = Mệnh 5

đề nào dưới đây đúng?

Câu 13:Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) x 21

Câu 19:Cho hai hàm số ( ) ( 2 )

e x

F x = x +ax b+ − và ( ) ( 2 )

2 1 e x

f x = −x − x+ − Tìm a và b để F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x ( )

Câu 25:Cho hàm số f x( )xác định trên \ −1;1 và thỏa mãn ( ) 21

f = Giá trị của biểu thức f ( )− +4 f ( )− −1 f ( )4

Câu 31:Gọi F x( )là một nguyên hàm của hàm số 2 ln

I = u u C 1 5

d16

I = u u D 1 5

d12

Suy ra: rồi đưa về việc tính nguyên hàm

đơn giản hơn

Lấy vi phân trực tiếp:

Phương pháp đổi biến số t = u(x) hàm xác định

▣

④

Lời giải Chọn D

Câu 3:Họ các nguyên hàm của hàm số ( ) 2

y x

11

x x

−+ .

C x

A −ln 3sinx−2 cosx +C. B ln 3cosx+2sinx +C.

C. −ln 3cosx+2sinx +C. D ln 3sinx−2 cosx +C.

Câu 16:Họ nguyên hàm F x( )của hàm số ( ) cos 2

C x

x

C x

Câu 28:Họ nguyên hàm của hàm số ( ) (2 lnx 3)3

x x

e

C e

_Bài tập minh họa:

Câu 1: Nguyên hàm của hàm số ( ) 2

2

x x

A F x( )= −xcosx+sinx C+ B F x( )=xcosx+sinx C+

C F x( )= −xcosx−sinx C+ D F x( )=xcosx−sinx C+

I =x +C.

C. I =xsinx+cosx C+ D I =xsinx−cosx C+

Câu 18:Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( )=x.lnx thỏa mãn

Câu 26:Phát biểu nào sau đây là đúng?

A e sin dx x x=e cosx x−e cos d x x x .

B e sin dx x x= −e cosx x+e cos d x x x .

C e sin dx x x=e cosx x+e cos d x x x .

D e sin dx x x= −e cosx x−e cos d x x x

Câu 27:Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2

F a

Câu 30:Tính ( )

( )2

ln 1

d1

x x

x x

++

++

−. C 2

9 e− . D

2

9 e2

−.

_Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho hàm số y= f(x)thỏa mãn ' 2

2 e x

f x + x f x = −Nhân hai vế cho ex2ta được

( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2

Sử dụng phối hợp các tính chất và phương pháp tìm nguyên hàm

Nguyên hàm liên quan đến hàm ẩn (*)

▣

⑥

ln 1' ln d

Câu 3:Cho hàm số y= f x( )xác định và liên tục trên thỏa mãn đồng

thời các điều kiện sau:

Câu 4:Cho hàm số f x có đạo hàm trên ( ) thỏa mãn điều kiện

Câu 9:Cho hàm số f x( ) liên tục trên mỗi khoảng (−; 0 ; 0;) ( +) Biết

Câu 15:Giả sử hàm số y= f x( )liên tục, nhận giá trị dương trên (0; +)và

thỏa mãn f ( )1 = , 1 f x( )= f( )x 3x+ , với mọi 1 x  Mệnh đề nào sau 0

Câu 17:Cho hàm số f x( ) liên tục trên Biết 3

sin x là một nguyên hàm của hàm số f x( )cosx, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f( )x sinx là

2

2 3

Câu 20:Cho hàm số f x( ) đồng biến, có đạo hàm đến cấp hai trên  0; 2 và thỏa

mãn điều kiện sau ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2

f = Gọi M m,

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  1; 2 Tính

Câu 22:Cho hàm số y= f x( ) đồng biến trên (0; +); y= f x( ) liên tục, nhận

giá trị dương trên (0; +) và thỏa mãn ( ) 2

33