3 GT12 c3 UNG DUNG HS 2022

Dạng 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các Dạng 2: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi h

Định lý: Cho hàm số liên tục, không âm trên Khi đó diện tích S của hình

Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ

Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ

định:

Ghi nhớ 

Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thuộc khoảng thì

Nếu phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng thì

Ghi nhớ ❷

Đặc biệt:

Nếu , (đồ thị nằm phía trên đồ thị ) thì ta có:

Nếu , (đồ thị nằm phía dưới đồ thị ) thì ta có:

Ghi nhớ ❸

Thể tích vật thể:

 Gọi là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông

góc với trục Ox tại các điểm a và b; là diện tích thiết

diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox

tại điểm , Giả sử là hàm số liên tục

trên đoạn

Dạng 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các

Dạng 2: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: ,

và hai đường thẳng được xác định bởi công

Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho hàm số y= f x( )liên tục trên và có đồ thị ( )C là đường cong như hình bên Diện tích hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị ( )C , trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=2(phần tô đen) là

 Xác định các yếu tố cần thiết như công thức

 Sử dụng chức năng tính tích phân có sẵn trong máy tính Casio để tính

Chú ý: Nếu đề bài chưa cho ( cận tích phân) thì ta cần giải phương trình hoành độ giao điểm để tìm cận tích phân

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm xác định

▣

①

Dựa vào hình vẽ ta nhận thấy: khi x ( )0;1 thì f x ( ) 0, khi x ( )1; 2 thì f x ( ) 0

0

e dx x

2 2

công thức nào dưới đây

Câu 1:Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=x

và y =ex, trục tung và đường thẳng x = được tính theo công thức.1

Câu 8:Cho ( )H là hình phẳng giới hạn bởi các đường y= 2x;

y= + (phần tô đậm trong hình vẽ) Diện tích của x ( )H bằng

Câu 17:Đồ thị trong hình bên là của hàm số y= f x( )

Slà diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là

Câu 19:Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm được thiết kế như

hình bên dưới Diện tích mỗi cánh hoa (phần tô đậm) bằng

y = 20x

y = 1

20x2

Câu 23:Gọi ( )H là phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ dưới đây

Câu 24:Cho ( )H là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới

Câu 26:Cho Parabol ( ) 2

Câu 27:Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= − và x 1

nào sau đây?

 . C

7,110

 . D

51 11,

giới hạn bởi parabol ( )P và đường thẳng y=a(phần tô đen); ( )S2 là

diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( )P và đường thẳng y b=

(phần gạch chéo) Với điều kiện nào sau đây của a và b thì S1 = ? S2

và trục hoành Hai đường thẳng y=mvà y=nchia ( )H thành 3 phần

có diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C và ( )P có giá trị nằm trong

khoảng nào sau đây?

Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho hình phẳng ( )D được giới hạn bởi các đường x = , 0 x = , 1 y = và 0 y= 2x+1 Thể tích V

của khối tròn xoay tạo thành khi quay ( )D xung quanh trục Ox được tính theo công thức?

Câu 2: Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x.lnx, trục hoành và hai đường thẳng x =1

; x = Thể tích vật thể tròn xoay sinh bới 2 ( )H khi nó quay quanh trục hoành có thể tích V được

xác định bởi

Cách giải:

Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền giới hạn

bởi ; và khi quay quanh trục

Phương pháp giải: áp dụng công thức:

Thể tích giới hạn bởi các đồ thị (tròn xoay) hàm xác định

Câu 3: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y =ex, trục hoành và các đường thẳng x = , 0 x = 1



2

e 12

Lời giải Chọn B

2

e 1e

x x

0 0

Câu 1:Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn

bởi các đường y= xex, y = , 0 x = , 0 x = xung quanh trục Ox là 1

A.

1 2

Câu 2:Cho miền phẳng ( )D giới hạn bởi đồ thị hàm số y= x, hai

đường thẳng x = , 1 x = và trục hoành Tính thể tích khối tròn xoay tạo 2

thành khi quay ( )D quanh trục hoành

Câu 3:Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình

Câu 4:Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh trục

hoành Thể tích của khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức

x = , x = Gọi V là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay 2

( )H xung quanh trục Ox Mệnh đề nào sau đây đúng?

y = và y= −sinx Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay

( )D xung quanh trục Ox được tính theo công thức

Câu 7:Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y= x−1, trục

hoành và đường thẳng x = Khối tròn xoay tạo thành khi quay 4 ( )H

quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

V = D 7π

6

Câu 8:Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y= x, x = , 0 x =1

và trục hoành Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh bởi hình ( )H

quay quanh trục Ox

A π B π

3 C π

2 D π

Câu 9:Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường

y= x , trục Ox và hai đường thẳng x = ; 1 x = khi quay quanh trục 4

hoành được tính bởi công thức nào?

bởi ( )C , trục hoành và hai đường thẳng x = , 2 x = Thể tích của khối 3

tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính bởi công

thức:

A

3 3

3

d

x

V =  x

Câu 11:Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình

 x − x x

Câu 12:Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số y= 6x và các

đường thẳng y = , 0 x = , 1 x = Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi 2

Câu 13:Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới

hạn bởi đồ thị hàm số y= tanx , trục hoành và các đường thẳng x =0,

và trục hoành Quay hình ( )H xung quanh trục Ox ta được khối tròn

xoay, tính thể tích khối tròn xoay đó:

 −

.

Câu 17:Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị y=(2x−1) lnx, trục

hoành và đường thẳng x =e Khi hình phẳng D quay quanh trục hoành

được vật thể tròn xoay có thể tích V được tính theo công thức nào dưới

V = x− x x.

Câu 18:Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay, biết đáy bình và miệng

bình có đường kính lần lượt là 2dm và 4dm Mặt xung quanh của bình

là một phần của mặt tròn xoay có đường sinh là đồ thị hàm số

3 dm

. D 15 3

2 dm



Câu 19:Cho ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

4

x

y= − +e x, trục hoành và hai đường thẳng x= 1,x= 2; V là thể tích

của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( )H quanh trục hoành

Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 20:Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox

Câu 22:Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2

y= và đường x

thẳng y=2x Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình

( )H xung quanh trục hoành

Câu 23:Thể tích của vật tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới

hạn bởi đồ thị hàm y=tanx , trục Ox , đường thẳng x = , đường thẳng 0

Câu 24:Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

Câu 25:Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= − +e x 4x

, trục hoành và hai đường thẳng x = ; 1 x = Gọi V là thể tích của 2

khối tròn xoay thu được khi quay hình ( )H xung quanh trục hoành

trục hoành và hai đường thẳng x =0,x =1 Khối tròn xoay tạo thành

Câu 27:Cho hình ( )H giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một Parabol

và một đường thẳng tiếp xúc với Parabol đó tại điểm A( )2; 4 , như hình

vẽ bên Thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi hình ( )H quay quanh

Câu 28:Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình

hoành là

A. 62 B 3

6 C 2

3 D 6

Câu 29:Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y=ln ,x trục hoành

và đường thẳng x =e. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi

quay D quanh trục hoành

Câu 31:Hình phẳng ( )H giới hạn bởi đường elip có phương trình

x  ), đường thẳng y= − + và trục hoành Thể tích của khối tròn x 3

xoay tạo bởi hình ( )H khi quay quanh trục Ox bằng

Cho ( )H1 và ( )H2 quay quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích

lần lượt là V1, V2 Đẳng thức nào sau đây đúng?

Câu 34:Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi phép quay xung quanh

trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y = , 0 y= x, y= − x 2

Câu 35:Gọi ( )H là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm

Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay ( )H quanh trục

(x+2) +y  Khi quay 4 (H1);(H2) quanh Ox ta được các khối tròn

xoay có thể tích lần lượt là V V1, 2.Khi đó, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. V2 =2V1 B V1= V2

C V1+V2 =48 D V2 =4V1

Bài tập minh họa:

Câu 1: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x =1 và x =3, biết rằng khi

cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1 x 3) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 2

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = và 0 x = 3

Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành

Gọi là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông

góc với trục Ox tại các điểm a và b; là diện tích thiết

diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox

tại điểm , Giả sử là hàm số liên tục

trên đoạn

Thể tích vật thể và một số dạng toán ứng dụng thường gặp

Câu 1:Cắt một vật thể  bới hai mặt phẳng ( )P và ( )Q vuông góc với

trục Ox lần lượt tại x=a và x b= (ab) Một mặt phẳng tùy ý vuông

góc với Ox tại điểm x (a x b) cắt  theo thiết diện có diện tích là

Câu 2:Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = −1và x =1

, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với

trục Oxtại điểm có hoành độ x(−  1 x 1)là một tam giác vuông cân có

Câu 3:Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = , 0 x=

Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại

điểm có hoành độ x (0 x )là một tam giác vuông cân có cạnh huyền

 +

C 7 26

 +

D 9 2

8

 +

Câu 4:Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = và 1 x = , 2

biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục

Ox tại điểm có hoành độ x, (1  là một hình chữ nhật có độ dài x 2)

Câu 5:Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (hình

vẽ) Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Oxtại điểm có

hoành độ x (−  1 x 1)thì được thiết diện là một tam giác đều Tính thể

tích V của vật thể đó

x = , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục

Ox tại điểm có hoành độ x (1  thì được thiết diện là hình chữ x 3)

Câu 7:Cho phần vật thể ( ) giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương

trình x = và 0 x = Cắt phần vật thể 2 ( ) bởi mặt phẳng vuông góc với

trục Ox tại điểm có hoành độ x(0 x 2), ta được thiết diện là một

tam giác đều có độ dài cạnh bằng x 2− Tính thể tích V của phần vật x

Câu 8:Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = và 0

x= , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc

với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 x ) là một tam giác đều

B bởi mặt phẳng vuông góc với trục

Ox tại điểm có hoành độ x 0

3

   

giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 2x và cos x Thể

tích vật thể B bằng

trục Ox là một hình vuông (tham khảo hình vẽ bên)

Câu 11:Bạn An có một cốc thủy tinh hình trụ, đường kính trong lòng

đáy cốc là 6cm, chiều cao trong lòng cốc là 10cmđang đựng một lượng

nước Bạn An nghiêng cốc, vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì mặt

phẳng chứa mặt nước đi qua một đường kính của đáy cốc Tính thể tích

lượng nước trong cốc

Câu 12:Cho hai đường tròn (O1;5)và (O2;3)cắt nhau tại hai điểm A,

Bsao cho ABlà một đường kính của đường tròn (O2;3) Gọi ( )D là hình

phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần

được gạch chéo như hình vẽ) Quay ( )D quanh trục O O1 2ta được một

khối tròn xoay Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành?

Câu 13:Cho hàm số y= f x( )có đồ thị như hình vẽ bên Gọi S là diện

tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f x( ), trục Ox và hai đường

1 2

Câu 14:Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol,

chiều rộng 8 m , chiều cao 12,5m Diện tích của cổng là:

Câu 15:Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí

chiều cao BC=6m, chiều dài CD=12m (hình vẽ bên) Cho biết hình

cung parabol có đỉnh I là trung điểm cạnh ABvà đi qua 2 điểm C D,

Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/ m2 Hỏi công ty X cần bao

nhiêu tiền để làm bức tranh đó

A 20.800.000đồng B 21.200.000đồng.

C 20.400.000đồng D 20.600.000đồng

Câu 16:Một khu vườn dạng hình tròn có hai đường kính AB CD vuông ,

góc với nhau, AB=12m Người ta làm một hồ cá có dạng elip với bốn

Câu 18:Ông An muốn làm một cánh cửa bằng sắt có hình dạng và kích

thước như hình vẽ Biết rằng đường cong phía trên là một parabol, tứ

giác ABCD là một hình chữ nhật Giá cánh cửa sau khi hoàn thành là

900000 đồng/m2 Số tiền ông An phải trả để làm cánh cửa đó bằng

C 8 160 000 đồng D 8 400 000 đồng

Câu 19:Một khu vườn có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau Bán

kính của hai đường tròn là 20m và 15m , khoảng cách giữa hai tâm của

hai hình tròn là 30m Phần giao của hai hình tròn được trồng hoa với

chi phí 300000đồng/m Phần còn lại được trồng cỏ với chi phí 1000002

m Hỏi chi phí để trồng hoa và cỏ của khu vườn gần nhất với số

tiền nào dưới đây?

Câu 20:Cắt khối nón có bán kính đáy bằng 2và chiều cao bằng 3 bởi

một mặt phẳng song song và cách trục một khoảng bằng 1 Diện tích

thiết diện là

A 2 3 B 2 2 C 3 2 D 3

Câu 21:Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao 18 m , chiều rộng

chân đế 12 m Người ta căng hai sợi dây trang trí AB , CD nằm ngang

đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có

Câu 22:Người ta trồng hoa vào phần đất được tô màu đen Được giới

nhật ABCD và một đường cong hình sin (như hình vẽ) Biết

( )

2

AB=  m , AD=2( )m Tính diện tích phần còn lại

A 4− 3 B 4 − 1 C 4( − 1) D 4− 2

Câu 23:Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa hình vuông

cạnh 20 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau đều có hình dạng

một nửa elip như hình vẽ Biết một nửa trục lớn là AB =6cm, trục bé

Câu 24:Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người ta thiết kế

phần trồng hoa hồng có dạng một hình Parabol có đỉnh trùng với tâm

hình tròn và trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa đường

tròn, hai đầu mút của Parabol nằm trên đường tròn và cách nhau một

khoảng 4 mét (phần tô đậm) Phần còn lại của khuôn viên (phần không

tô đậm) dùng để trồng hoa cúc Biết các kích thước cho như hình vẽ

Chi phí trồng hoa hồng và hoa cúc lần lượt là 120.000đồng 2

m và

80.000đồng/ 2

m Hỏi chi phí trồng hoa khuôn viên đó gần nhất với số

nào sau đây (làm tròn đến ngàn đồng)

A. 6.847.000đồng B 6.865.000đồng

C 5.710.000đồng D 5.701.000đồng

Câu 25:Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình

vuông cạnh bằng 10cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình

dạng parabol như hình bên Biết AB = cm, 5 OH = cm Tính diện tích 4

Câu 26:Một khuôn viên có dạng là một nửa hình tròn đường kính là

4 5m Trên đó người ta thiết kế một phần để trồng hoa có dạng của một

cánh hoa hình parabol có đỉnh là tâm đường tròn, hai đầu mút của

parabol nằm trên đường tròn và cách nhau 4 m Phần còn lại của khuôn

viên (không tô đậm) để trồng cỏ.Biết các kích thước cho như hình vẽ và

/m Số tiền để trồng cỏ là

A 1.948.000 B 2.388.000

C 3.895.000 D 1.194.000

Câu 27:Vườn hoa của một trường học có hình dạng được giới hạn bởi

một đường elip có bốn đỉnh A, B , C , Dvà hai đường parabol có các

đỉnh lần lượt là E,F (phần tô đậm của hình vẽ bên) Hai đường

parabol có cùng trục đối xứng AB , đối xứng nhau qua trục CD , hai

parabol cắt elip tại các điểm M , N , P , Q Biết AB=8m, CD=6m,