3 GT12 c3 UNG DUNG b3 2022

Nếu , đồ thị nằm phía dưới đồ thị thì ta có: Ghi nhớ ❸ Thể tích vật thể: Dạng 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và ha

Trang 1

Giải tích ⓬

Trang 2

Ghi nhớ ❷

Trang 3

Nếu , (đồ thị nằm phía dưới đồ thị ) thì ta có:

Ghi nhớ ❸

Thể tích vật thể:

Dạng 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và hai đường thẳng , quanh trục Ox:

Trang 4

Sử dụng chức năng tính tích phân cĩ sẵn trong máy tính Casio để tính.

Chú ý: Nếu đề bài chưa cho ( cận tích phân) thì ta cần giải phương trình hồnh độ giao điểm để tìm cận tích phân.

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm xác định

▣ Dạng ①

Bài tập minh họa:

1 Cho hàm số liên tục trên và cĩ đồ thị là đường cong như hình bên

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , trục hồnh và hai đường thẳng

, (phần tơ đen) là

Trang 5

3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành được

xác định theo công thức nào dưới đây

Trang 6

C D

Lời giải Chọn C

Bài tập rèn luyện:

1 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số và , trục

tung và đường thẳng được tính theo công thức.

Lời giải Chọn B

Vì trong khoảng phương trình không có nghiệm và , nên

2 Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Lời giải

Trang 7

Vì đồ thị hàm số nằm hoàn toàn dưới trục hoành nên

Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục và hai đường thẳng

Trang 8

Diện tích hình phẳng là

6 Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường

Phương trình hoành độ giao điểm:

Từ hình vẽ ta thấy,hình phằng được gạch chéo là giới hạn bởi 2 hàm số

và nên diện tích là

Trang 9

8 Cho là hình phẳng giới hạn bởi các đường ; và trục hoành.

Trang 10

Diện tích hình phẳng là:

10 Cho là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số ,

trục hoành, trục tung và đường thẳng Biết Tính

Ta có trục tung có phương trình là:

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục

hoành, trục tung và đường thẳng là

Mặt khác

Vậy

Trang 11

11 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đồ thị hàm

Trang 12

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị , là nghiệm của phương

14 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , (phần tô đậm

trong hình vẽ) Diện tích của bằng

Trang 13

A B C D

Lời giải Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và bằng

Trang 14

Diện tích hình phẳng cần tìm là

17 Đồ thị trong hình bên là của hàm số

là diện tích hình phẳng ( phần tô đậm trong hình) là

Trang 15

18 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường được

tính bởi công thức nào dưới đây?

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là

Ta có:

Diện tích S của hình phẳng là:

19 Một viên gạch hoa hình vuông cạnh cm được thiết kế như hình bên dưới Diện

tích mỗi cánh hoa (phần tô đậm) bằng

Trang 16

A B C D

Diện tích một cánh hoa là diện tích hình phẳng được tính theo công thức sau:

20 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Xét phương trình hoành độ giao điểm

Trang 17

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi là

21 Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường

thẳng , và đồ thị hàm số là phân số tối giản Khi đó bằng

Lời giải

Chọn D

Trang 19

Ta có phương trình hoành độ giao điểm giữa và parabol là

23 Gọi là phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ dưới đây được giới hạn bởi

đồ thị của các hàm số , và trục hoành Diện tích của là bằngbao nhiêu?

Lời giải Chọn A

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

Trang 20

Diện tích hình phẳng .

24 Cho là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn bởi các

đường có phương trình , Diện tích của bằng?

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số và là Diện tích hình phẳng cần tính là

Trang 22

Lại có:

26 Cho Parabol và hai điểm , thuộc sao cho Diện tích hình

phẳng giới hạn bởi và đường thẳng đạt giá trị lớn nhất bằng

Cách 1: Gọi , với

Ta có:

Đặt Suy rA.

Ta có:

Trang 23

Suy rA.

Dấu “ ” xảy ra khi và chi khi ;

Vậy giá trị lớn nhất của bằng

Chú ý: Khi làm trắc nghiệm ta có thể dự đoán (linh cảm:D) , đối nhau, nghĩa

là: Từ đó, thay vào , tìm được , Suy rA.

Trang 24

27 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và nửa trên của đường

do chỉ tính nửa trên của đường tròn nên ta lấy

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và nửa trên của đường tròn

là phần tô màu vàng như hình vẽ

Trang 25

Đặt , ;

28 Biết diện tích hình phẳng giới bởi các đường , , (với

là Hỏi số thuộc khoảng nào sau đây?

Diện tích hình phẳng giới bởi các đường , , với

là

Trang 26

29 Trong hệ trục tọa độ , cho parabol và hai đường thẳng ,

(hình vẽ) Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol vàđường thẳng (phần tô đen); là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

và đường thẳng (phần gạch chéo) Với điều kiện nào sau đây của và thì ?

Trang 27

.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng là

.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng (phần tô

30 Tính diện tích của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số

, các đường thẳng , và trục hoành (miền gạch chéo)cho trong hình dưới đây

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , các đường thẳng, và trục hoành được chia thành hai phần:

Miền là hình chữ nhật có hai kích thước lần lượt là và

Trang 28

31 Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành Hai

đường thẳng và chia thành phần có diện tích bằng nhau (thamkhảo hình vẽ)

Giá trị biểu thức bằng

Sử dụng công thứ C. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

và trục hoành bằng , với và

Trang 29

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành

Diện tích hình là

Từ đó, diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số và đường thẳng là

.diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số và đường thẳng là

Từ đó

có đồ thị như hình vẽ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi và

có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?

Trang 30

A B C D

Lời giải

Chọn C

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi và :

là hàm bậc bốn có hệ số bậc bốn bằng , có hai nghiệm đơn

, và một nghiệm kép x=0 (dựa vào sự tương giao của và trong hình vẽ )

33 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số và hai tiếp

tuyến của xuất phát từ là

Trang 31

Cách giải:

Thể tích giới hạn bởi các đồ thị (tròn xoay) hàm xác định

♽_Dạng ❷

Tiếp tuyến này xuất phát từ nên

Dựa vào đồ thị đã vẽ, diện tích hình phẳng cần tính là:

Bài tập minh họa:

1 Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường , , và

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay xung quanh trục đượctính theo công thức?

Trang 32

Chọn D

2 Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường

thẳng ; Thể tích vật thể tròn xoay sinh bới khi nó quay quanh trụchoành có thể tích được xác định bởi

3 Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hoành và các đường

thẳng , Khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành có thểtích bằng bao nhiêu?

Thể tích khối tròn xoay cần tính là

Trang 33

4 Goi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục và hai đường

thẳng Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay xung quanhtrục là

Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi , , , ( ) xác định bởi:

Trang 34

2 Cho miền phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , hai đường thẳng ,

và trục hoành Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanhtrục hoành

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành:

3 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ

thị hàm số và trục hoành, quanh trục hoành

A (đvtt) B (đvtt)

C (đvtt) D (đvtt)

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:

(đvtt)

4 Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh trục hoành Thể tích của

khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào?

Trang 35

A B

Do

5 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , Gọi

là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay xung quanh trục .Mệnh đề nào sau đây đúng?

Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay xung quanh trục là

6 Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường , , và

Trang 36

A B

Ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là

7 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và đường thẳng

Khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành có thể tích bằngbao nhiêu?

Lời giải

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm

Thể tích khối tròn xoay tạo thành

8 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và trục hoành Tính

thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình quay quanh trục

Lời giải

Chọn C

Trang 37

Thể tích khối tròn xoay là

9 Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục và

hai đường thẳng ; khi quay quanh trục hoành được tính bởi công thứcnào?

Thể tích khối tròn xoay giới hạn bời đồ thị hàm số , trục , và

được tính bởi công thức

10 Cho hàm số có đồ thị Gọi là hình phẳng giởi hạn bởi , trục

hoành và hai đường thẳng , Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khiquay quanh trục hoành được tính bởi công thức:

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành được tính bởi

11 Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi

parabol và đường thẳng quay xung quanh trục

Trang 38

A B

Vậy thể tích khối tròn xoay được tính:

12 Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và các đường thẳng ,

, Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành bằng

13 Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

hàm số , trục hoành và các đường thẳng , quanh trục hoành là

Lời giải

Chọn D

Trang 39

14 Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường , , ,

quay quanh trục bằng

15 Trong hệ trục tọa độ cho elip có phương trình Hình phẳng

giới hạn bởi nửa elip nằm trên trục hoành và trục hoành Quay hình xungquanh trục ta được khối tròn xoay, tính thể tích khối tròn xoay đó:

Gọi là thể tích cần tìm, ta có:

16 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , Tính

thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình quanh trục

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục :

Trang 40

Thể tích cần tìm:

Đặt:

17 Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , trục hoành và đường thẳng

Khi hình phẳng quay quanh trục hoành được vật thể tròn xoay có thểtích được tính theo công thức nào dưới đây?

Trang 41

kính lần lượt là và Mặt xung quanh của bình là một phần của mặt trònxoay có đường sinh là đồ thị hàm số Tính thể tích bình cắm hoa đó.

Vì đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là và nên đáy và miệng có

bán kính đáy lần lượt là và

Vậy thể tích bình hoa là:

19 Cho là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai

đường thẳng ; là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hìnhquanh trục hoành Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải

Trang 42

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình quanh trục hoành là:

Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục hình phẳng giới hạn bởihai đồ thị là

Hình phẳng đã cho được chia làm phần sau:

Phần : Hình phẳng giới hạn bởi các đường ; ; ;

Khi quay trục phần ta được khối tròn xoay có thể tích Phần : Hình phẳng giới hạn bởi các đường ; ; ;

Trang 43

Khi quay trục phần ta được khối tròn xoay có thể tích

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là

22 Gọi là hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng Tính thể

tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình xung quanh trục hoành

Gọi là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình xung quanh trụchoành thì

23 Thể tích của vật tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

, trục , đường thẳng , đường thẳng quanh trục là

Lời giải

Chọn A

Thể tích của vật tròn xoay là

Trang 44

24 Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

, khi nó quanh quanh trục hoành là

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

Do khi quay quanh trục hoành thì khối sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, sẽ nằm trong khối sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, Vậy thể tích cần tính

25 Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai

đường thẳng ; Gọi là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quayhình xung quanh trục hoành Chọn khẳng định đúng trong các khẳng địnhsau

Trang 45

26 Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hoành và hai

đường thẳng , Khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành

có thể tích , trong đó , là các số hữu tỷ Mệnh đề nào dướiđây đúng?

Thể tích của hình phẳng là

Trang 46

Đặt Đổi cận:

Từ đó ta suy ra được

27 Cho hình giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một Parabol và một đường

thẳng tiếp xúc với Parabol đó tại điểm , như hình vẽ bên Thể tích vật thểtròn xoay tạo bởi khi hình quay quanh trục bằng

Parabol có đỉnh là gốc tọa độ như hình vẽ và đi qua nên có phương trình

Tiếp tuyến của Parabol đó tại có phương trình là

Suy ra thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là

Trang 47

;

28 Thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi

đường tròn xung quanh trục hoành là

Trang 48

A B C D

Hình phẳng giới hạn bởi các đường: và

30 Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng được giới hạn bởi các đường và

quay quanh trục bằng bao nhiêu?

Tọa độ giao điểm của 2 đường cong và là nghiệm của hệ phương trình:

Trang 49

31 Hình phẳng giới hạn bởi đường elip có phương trình Quay

quanh trục hoành, tính thể tích khối tròn xoay thu đượ

Trang 50

Vậy thể tích khối tròn xoay là

32 Gọi là hình được giới hạn bởi nhánh parabol (với ), đường thẳng

và trục hoành Thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình khi quayquanh trục bằng

Lời giải

Chọn A

Thể tích khối tròn xoay tạo bởi :

Trang 51

33 Trong mặt phẳng tọa độ , gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường

• Thể tích khối trụ bán kính , chiều cao là:

• Thể tích giới hạn bởi Parabol , trục tung, đường thẳng quay quanh là:

• Thể tích khối cầu bán kính :

Trang 52

• Thể tích khối cầu bán kính :

Vậy :

34 Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi phép quay xung quanh trục hình phẳng

giới hạn bởi các đường , ,

35 Gọi là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số

(phần tô đậm màu đen ở hình vẽ bên)

Trang 53

Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành bằng

Trang 55

37 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình giới hạn bởi các đường

; hình là tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn các

được các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là Khi đó, mệnh đề nào sau đây

là đúng?

Ta thấy đồ thị của 2 hàm số và đối xứng nhau qua trục hoànhnên khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng quanh trục cũng là khối

tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường quanhtrục

Định dạng
Số trang	99
Dung lượng	6,11 MB