2 GT12 c3 TÍCH PHÂN HS 2022

• Cho hàm số liên tục trên và là hai số bất kì thuộc • Nếu là một nguyên hàm của trên thì hiệu số được gọi là tích phân của từ đến • Kí hiệu là : Trong trường hợp ta gọi là tích phân c

• Cho hàm số liên tục trên và là hai số bất kì thuộc

• Nếu là một nguyên hàm của trên thì hiệu số được gọi là tích phân của

từ đến

• Kí hiệu là :

Trong trường hợp ta gọi là tích phân của trên đoạn

• Người ta còn dùng kí hiệu để chỉ hiệu số

Phương pháp đổi biến số:

phép đổi biến như sau:

Bước 1 Đặt

Bước 2 Đổi cận:

Bước 3 Thay vào, ta có

Dấu hiệu nhận biết và cách đổi biến

• Tích phân của hàm số từ a đến b có thể kí hiệu bởi hay

• Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số

Chú ý: Học thuộc bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản thường gặp

Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho hàm số y= f x( ), y=g x( ) liên tục trên  a b; và số thực k tùy ý Trong các khẳng định

sau, khẳng định nào sai?

Dựa vào tính chất của tích phân, A, C, D đúng nên B sai

Câu 2: Tính

1 3

0.d

−

e2

I = + D 3

e 1

I = −

Lời giải Chọn B

Câu 4:Cho hai số thực a , b tùy ý, F x( ) là một nguyên hàm của hàm

số f x( ) trên tập Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Câu 6:Cho hàm số f t( ) liên tục trên K và a b, K, F t( ) là một nguyên

hàm của f t( ) trên K Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.

f t t =F t

b b

x I

x

=+

d9

x I

Câu 13:Cho

3

2 2

8

d ln 2 ln 52

+ + = ++

 với a, b là các số nguyên Tính 2

Câu 28:Biết

4

2 1

Câu 30:Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc

biến thiên theo thời gian bởi quy luật ( ) 1 2 11 ( )

180 18

= + m s

v t t t , trong đó t là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, một

chất điểm cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A

nhưng chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng a(m s2) (a là hằng số)

Sau khi B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp A Vận tốc của B tại thời

k k

k k

k k

Câu 34:Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc

biến thiên theo thời gian bởi quy luật ( ) 1 2 13 ( )

m/s

100 30

v t = t + t , trong đó t là

khoảng thời gian từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, một chất

điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng

chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc a ( 2)

m/s (a là hằng số) Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A

A. 31 B 29 C 33 D 27

2

0min x ,3x−2 dx

_Bài tập minh họa:

Nhận xét: Tích phân của hàm số từ a đến b có thể kí hiệu bởi hay

Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số

 Chú ý: Học thuộc bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản thường gặp

Phương pháp tích phân bằng cách đổi biến số

▣

②

t t t

−

=+

 với a b, là các số nguyên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 5:Tích phân

4

0

1d

n x

Câu 19:Cho 4 ( )

0sin 2 ln tanx x 1 dx

a b

=+

a b

=+

Câu 23:Cho tích phân

4

0

ln3

Câu 26:Giá trị 3 ( ) ( )3

3

9 4

cos

1 6

  Tính tích phân 2 ( )

x I

f x

=+

0

e d

x t

Câu 33:Cho f x( ) là hàm liên tục trên đoạn  0; a thỏa mãn

_Bài tập minh họa:

.Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần

Đặt u theo thứ tự ưu tiên:

a b c

0.e dx

e dx

x x

e4

Câu 10: Biết

3

2 1

d

41

x x

=+

 với a, b, c là các số nguyên dương Giá trị của biểu thức P= + +a b c bằng?

I = −

. C

2

e 14

I = +

. D

2

e 14

I = −

.

Câu 18: Tích phân

100 2

0.e dx

=+

1

b b

a a

Câu 21: Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G

trên đoạn  1; 2 Biết rằng F( )1 =1, F( )2 =4, ( ) 3

12

2 6

d1

Câu 27: Biết

1

lnd

e x

 

 

10;

lim n

n

n

I I

2 0

I = f x x

Câu 34: Cho 4 ( )

0sin 2 ln tanx x 1 dx

lim n

n

n

I I

+

=

++

9

1

tan1

r

r

x C r

+

=

++

. D .

_Bài tập minh họa:

Ta có

5 2

3

1d1

x x

+ ++

3

1d1

3

ln 12

d = ln 3+ ln 2++

deln

x x

++

A. 11. B 8. C 9. D 10.

2 0

1

d ln1

2 1

d

41

x x

=+

 với a, b, c là các số nguyên dương Giá trị của biểu thức P= + +a b c bằng?

d ln 2 ln 52

=+

 với a , b là các số nguyên dương và phân

Câu 26:Cho tích phân 1( ) ( )

Câu 27:Biết

3

2 2

 , với a, b là các số nguyên thuộc khoảng

(−7;3) thì a và b là nghiệm của phương trình nào sau đây?

e

x x

ae b

++

2

P= +a b c−

f x dx =

2

0(3 )

f x dx

Lời giải Chọn A

A 2c b a− − B 2a b c− −

Lời giải Chọn A

Đặt t=sinx =dt cos dx x Đổi cận x=  = , 0 t 0 1

G = , G( )2 =2và 2 ( ) ( )

1

67d12

Câu 1:Biết f x( )là hàm liên tục trên và 9 ( )

  , 9 ( )

3d

f x x=k

3 2

1 2

1d

+ . D

Câu 27:Cho f x( ) là hàm số liên tục trên và 1 ( )

Câu 34:Cho hàm số f x( ) liên tục trên và f ( )2 =16,2 ( )

= − + +

4 3

f = , ( ) 1

72

Câu 40:Cho hàm số f x( )thỏa mãn f( )x 0,  x  1; 2 và

375

f x

x x

f = , tính 2 ( )

1d

4d

f x

x x

Câu 46:Cho hàm số f x( )có đạo hàm liên tục trên −1;1và thỏa f ( )1 =0,

f x x

bằng