2 GT12 c3 b2 TÍCH PHÂN 2022

FB: Duong HungCho hàm số liên tục trên và là hai số bất kì thuộc Nếu là một nguyên hàm của trên thì hiệu số được gọi là tích phân của từ đến Kí hiệu là : Trong trường hợp ta gọi là tích

FB: Duong Hung

Cho hàm số liên tục trên và là hai số bất kì thuộc

Nếu là một nguyên hàm của trên thì hiệu số được gọi là tích phân của từ đến

Kí hiệu là :

Trong trường hợp ta gọi là tích phân của trên đoạn

Người ta còn dùng kí hiệu để chỉ hiệu số

FB: Duong Hung

WORD XINH

mức 7+

Phương pháp đổi biến số:

Dấu hiệu nhận biết và cách đổi biến

FB: Duong Hung

Tích phân của hàm số từ a đến b có thể kí hiệu bởi hay

Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến

FB: Duong Hung

WORD XINH

mức 7+

Câu 1: Cho hàm số yf x , y g x   liên tục trên a b và số thực k tùy ý Trong các; 

khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Dựa vào tính chất của tích phân, A, C, D đúng nên B sai

1 3 0



e2

I  

Lời giải Chọn B

2 1

1d

I 

FB: Duong Hung

WORD XINH

mức 7+

Lời giải Chọn D

Ta có

2 1

1d

3 3

FB: Duong Hung



Lời giải Chọn C



12



Lời giải

Chọn B

FB: Duong Hung

WORD XINH

mức 7+

3

3 0

Ta có

2 0

2 2

1 1

x I

I 

21100

I 

45815000

I 

5log2

I 

Lời giải Chọn A

Ta có:

3

0

d2

x I

FB: Duong Hung

d9

x I

d9

x I

a b

1

0

1d2x 5 x



Lời giải Chọn B

FB: Duong Hung

2 2

1 1

Ta có

2 0

P 

152

P 

Lời giải Chọn A

FB: Duong Hung

a 

,

52

b 

,

152

I

21192

a b

 

1 1

d

f x x 



1 2 1

FB: Duong Hung

x x x

FB: Duong Hung

2 2 0

1 2 0

1 3

2 0

3

x mx

FB: Duong Hung

Ta có

2 2

d

x x

de

12 12

12 12

FB: Duong Hung

WORD XINH

mức 7+

so với A và có gia tốc bằng am s2

giây thì đuổi kịp A Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng

Lời giải Chọn C

bị chất điểm B bắt kịp thì A đi được 15 giây, B đi được 10 giây

+) Biểu thức vận tốc của chất điểm B có dạng v t B a t at Cd   , lại có v B 0  0nên v t B  at

thì quãng đường hai chất điểm đi được là bằng nhau Do đó

Ta có

3 2

FB: Duong Hung

k k

k k

k k

k k

k k

, trong đó t là khoảng thời gian từ

có gia tốc a m/s2

(a là hằng số) Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A

.Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng

FB: Duong Hung

B xuất phát từ trạng thái nghỉ nên v 0  0 C 0

Quãng đường B đi từ lúc xuất phát đến khi gặp nhau:

15 2 0

2

1d1

d1





1986

a b c

FB: Duong Hung

f  

  và f  e2 3

ee

Ta có

2 2

x

x x

d

x x

de

FB: Duong Hung

Ta có

 

1

1 2

d

f x x 



1 2 1 2

Nhận xét: Tích phân của hàm số từ a đến b có thể kí hiệu bởi hay

Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi

biến số.

Chú ý: Học thuộc bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản thường gặp.

Phương pháp tích phân bằng cách đổi biến số

Phương pháp tích phân bằng cách đổi biến số

FB: Duong Hung

2 d

2 2 1

2 2 1

1

2 d1

t

t t t

FB: Duong Hung

4x 1 dx

2 3 2 0





2 2 3

2 3 3

d4



Lời giải Chọn A

FB: Duong Hung

x x

2e e

FB: Duong Hung

d93

FB: Duong Hung

.Đổi cận: khi x  thì 1 t  ; khi 2 x e thì t  3

Khi đó

3 2 2

2d

2 3

3213

a b

a b c

e 3

Khi đó,

3 2

2dt

t I t

FB: Duong Hung

d93

FB: Duong Hung

x

t t t

2 1

2d

Cách khác: Sử dụng công thức

dx 2

ax b C a



thì

1 1

0 0

1 0

3d

FB: Duong Hung

Ta có

4 0

x x x

FB: Duong Hung

WORD XINH

mức 7+

4 0



Lời giải Cách 1: Ta có

2

2 1

1 1

2 2 1

t t

x x

.Khi x  thì 1 t 2 2; khi x  thì 2 t  35

Khi đó

2 2 1

b 

,

3527

b 

,

3527

FB: Duong Hung

d1

f x x

b a



Lời giải Chọn C

2 2

1d

a b b a

Đặt t 2x1 t2 2x1 dx t td

Đổi cận: x 0 t1

FB: Duong Hung

t t t

FB: Duong Hung

cos

1 6

x 

thì

32

u 

94

x 

thì

22

u 

Ta có

2 2

3 2

1

e d3

2 2

1

e d3

u u



3 2 2 2

1e3

111

5

1d3

FB: Duong Hung

I 

72

I 

12

I 

Lời giải Chọn B

Đặt

1

t x

12

2 2

1 1d

932

x I

FB: Duong Hung

x I

0

e d

x t

Tính F  2

A F  2 e4 B F  2 4e4 C F  2 8e16 D F  2 4e16

Lời giải Chọn D

Lời giải Chọn C

u x

WORD XINH

FB: Duong Hung

c là phân số tối giản Khi

WORD XINH

FB: Duong Hung

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

_Bài tập minh họaBài tập minh họa:

e 1

.Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần

Chú ý: Nên chọn là phần của mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn là phần

của là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

e 1

14

a b c

f x x

e 1

WORD XINH

FB: Duong Hung

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

Vậy 2a b 10

2 1

ab 

14

ab 

18

ab 

18

ab 

Lời giải Chọn C

Đặt

2 2

4

e4

I 

4

1 3e4

4

3e 14

Lời giải Chọn A

WORD XINH

FB: Duong Hung

1910ln 2

4

15

WORD XINH

FB: Duong Hung

d

41

x x

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

Câu 13: Cho ( )F x là một nguyên hàm của hàm số f x   5x1 e x và F 0  Tính3 F 1

A F 1 11e 3 B F 1   e 3 C F 1   e 7 D F 1   e 2

Lời giải Chọn C

1 1

e e 2

1 1

e e 2

1 1

Lời giải Chọn B

WORD XINH

FB: Duong Hung

Đặt

2

dd

2

x u

2

2018 2

d2019

1

1.log

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

e 1

ln d

A

12

I 

2

e 22

2

e 14

2

e 14

Lời giải Chọn C

Đặt

2 2

1e

2

x x

WORD XINH

FB: Duong Hung

b

a

I x





, G 2  và 2    

2 1

67d12



1112



d

2 1

3 674.2 1

2 12

12



WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

2 6

2 6

d1

cos

d1

cos

d1

cos

d1

cos

d1

cosd1

cosd1

cos

d1

cos

d1

36 3

  

  Khi đó a  ; 2 b 36; c  3

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

A

133

225

76

23

liên tục trên đoạn ;1



76

Đặt t x  2 dtdx, đổi cận x 0 t , 2 x 1 t 3

2 0

ed2

WORD XINH

FB: Duong Hung

4

e dt t t





3 2 2

4.et

t





3 2 2 2

4

e dt t t

a b c

WORD XINH

FB: Duong Hung

Đặt

dln

dd

0 0

4



.Suy ra a  , 4 b  4

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

Vậy a b

2 0

nào trong các khoảng dưới đây?

A

61;

 

 

  D

10;

d1

x I

WORD XINH

FB: Duong Hung

a b a b

a b

I I

WORD XINH

FB: Duong Hung

4 4

  

nên

14

a 

, b 1,

34

c 

.Vậy a b c 

4 0

Ta có

   

1

2 0

d1



4 0

Ta có

4 0

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

4 0

x x x

I I

I I

tan1

r

r

x C r

tan1

r

r

x C r

r

x C

r

x C



WORD XINH

FB: Duong Hung

tan1

tanr r

x C r

WORD XINH

FB: Duong Hung

1d2



Lời giải Chọn B

WORD XINH

FB: Duong Hung

_Bài tập minh họaBài tập minh họa:

Câu 1: Biết sin 2x cos 2x2dx x acos 4x C

b

số tối giản và C   Giá trị của a b bằng

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

Lời giải Chọn B

Ta có  sin 2x cos 2x2dx 1 2sin 2 cos 2 d x x x  1 sin 4 d x x

1cos 44

a b

Ta có

3

1d1

x x

 

.Suy ra a  , 8 b  , 3 S    32 8 1

_Bài tập minh họaBài tập rèn luyện:

WORD XINH

FB: Duong Hung

2dt

t I t

e 1

14

a b c



S

23



S

76



S

23

WORD XINH

FB: Duong Hung



x x x

3

2 2

d1

0 0

4



.Suy ra a  , 4 b  4

WORD XINH

FB: Duong Hung

0 0

0

2

x x

a b

deln

x x

WORD XINH

FB: Duong Hung

6 0

1sin 2

1 2 0

1

d ln1

1 2 0

1d1

2

1

x x x

Vậy a b c   2

2 2 1

WORD XINH

FB: Duong Hung

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

2 1

d

41

x x

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

Lời giải ChọnC

d3

t t t







3 1

Ta có

2 2 1

1dln

x x x





.Khi x 1 t ; 1 x 2 t 2 ln 2

Khi đó

2 ln 2 1

a b

18

4

a

a b b

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

3 2 2

a b

2 2

0 0

WORD XINH

FB: Duong Hung

2

16162

x

x x v

111

5

1d3

WORD XINH

FB: Duong Hung

x x

2e e

x x

WORD XINH

FB: Duong Hung

a b

a b

a b

WORD XINH

FB: Duong Hung

e

x x

WORD XINH

FB: Duong Hung

T 

32

T 

Lời giải Chọn C

WORD XINH

FB: Duong Hung

0

e

d e ln ee

x x

x x

1 e e

d

x x x

x x

Khi đó:

e 1 1

1d

WORD XINH

FB: Duong Hung

x

x x

 

0

d1

x a

t a

a

t

f t t

WORD XINH

FB: Duong Hung

242

u x x v

a b c

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

Câu 2 Cho hàm số f x  thỏa mãn f x f x       1, x Biết  

2 1

, G 2  và 2    

2 1

67d12



WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

Lời giải Chọn C

d

2 1

3 674.2 1

2 12

12



_Bài tập minh họaBài tập rèn luyện:

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

5 0

1 0

WORD XINH

FB: Duong Hung

4 2

WORD XINH

FB: Duong Hung

I 

52

I 

Lời giải Chọn C

2 1

1 d2



5 1

Đặt u x  1 dudx; dvf x x d

chọn vf x 

WORD XINH

FB: Duong Hung

2 1

d

2 1

WORD XINH

FB: Duong Hung

Ta có:

2

0

d2

WORD XINH

FB: Duong Hung





715



2315





2315



Lời giải

WORD XINH

FB: Duong Hung

WORD XINH

FB: Duong Hung

1 2

1d

k

459

k

459

k

45 29

k

Lời giải Chọn A

3

32

d2

WORD XINH

FB: Duong Hung

12

1

d5

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

 

12 2

2

1

d5

WORD XINH

FB: Duong Hung

0 2





Lời giải Chọn C

Ta có f x( ) 2 f   x  x1 sin , x x   Thay x bằng   x, ta được:

WORD XINH

FB: Duong Hung

1

d2

WORD XINH

FB: Duong Hung

I 

52

I 

72

I 

92

I 

Lời giải Chọn B

WORD XINH

FB: Duong Hung

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

4

0

d2

d2

d2

Câu 31: Cho hàm số yf x  liên tục trên \1;0 thỏa mãn f  1 2ln 2 1 ,

T 

2116

T 

32

Đổi cận: x 0 t ; 4 x 4 t 0

WORD XINH

FB: Duong Hung

x x

163

Không giảm tính tổng quát chọn f x  ax b khi đó:

WORD XINH

FB: Duong Hung

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

Ta có    

2

2 1

3

2 0

WORD XINH

FB: Duong Hung

1d45

I 

115

I 

112

I 

112

I 

Lời giải Chọn D

WORD XINH

FB: Duong Hung

4 3

WORD XINH

FB: Duong Hung

7d375

f x

x x

15

2 1

P 

3730

P 

7160

P 

65

P 

Lời giải Chọn C

WORD XINH

FB: Duong Hung

134

WORD XINH

FB: Duong Hung

WORD XINH

FB: Duong Hung

Ta được f x  cosx  f 2018 cos 2018   1

2

2

1 4

4d

x x



32

I 

52

I 

Lời giải Chọn D

Đặt

2

2 1

1

d2

f t t t

1 4

1 8

41

d 4

x x

1 4

1 8

41

d2

x x

1 1

4

2 f t dt t

1 1

1 1

WORD XINH

FB: Duong Hung

liên tục trên đoạn 0;1 thỏa  f  1  ,0

 

2 0

dx8

Lời giải Chọn A

Đặt

2sin

22

x x

WORD XINH

FB: Duong Hung



53

a b c

a b c