HSG toan 8 dang 1 CHIA HET

Câu 46: Chứng minh tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho... Sau đó sử dụng tính chât chia hết của một tổng suy ra đpcm... Hỏi tổng bình phương của chúng có chia hết c

Trang 1

DẠNG 1: CHIA HẾT A.Bài toán

Câu 2: Chứng minh rằng: 2009 2008 + 2011 2010chia hết cho 2010

Câu 3: a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổngcác lập phương của chúng chia hết cho 9

b) Tìm các số nguyên n để n5 + 1chia hết cho n3 + 1

Câu 4: Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng

các lập phương của chúng chia hết cho 9

Câu 5: Chứng minh n3+ 17n chia hết cho 6với mọi n∈ ¢

Câu 10: Cho a b, là hai số tự nhiên Biết rằng a chia cho 5 dư 3 và b chia cho

5 dư 2 Hỏi tích a b. chia cho 5 dư bao nhiêu ?

Câu 11: Cho các số nguyên a a a1 , , , , 2 3 a n Đặt S a= 13+a23+a33+ + a n3 và

1 2 3 n

P a a= + + + +a a Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia

hết cho 6

Câu 12: a) Chứng minh rằng: 21 30 + 39 21 chia hết cho 45

b) Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n ta có: 5n+2+ 26.5n+ 82n+1M 59

Câu 13: Chứng minh:

a) A= 2 10 + 2 11 + 2 12 chia hết cho 7

b) B=(6n+ 1) (n+ − 5) (3n+ 5 2) ( n− 1) chia hết cho 2, với n Z∈ .

c) C=5n3+15n2+10n chia hết cho 30, với n Z∈

d)Nếu a x= 2−yz b; = y2−xz c z; = −2 xy thì D a= x+ +by cz chia hết cho (a b c+ + )

Trang 2

Câu 14: Chứng minh rằng: B n= +3 6n2−19n−24 chia hết cho 6 (Câu 2b đề 10)

Câu 15: Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức:

20n 16n 3n 1

chia hết cho 323

Câu 16: Chứng minh rằng M =n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 +n4 chia hết cho 16, với n Z∈

hết cho 9

b)Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên nthìA= 5n+2 + 26.5n + 82n+1M 59

Câu 18: Cho a a1 , , , 2 a2016là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3

Chứng minh rằng: A a= 13+ +a32 +a20163 chia hết cho 3.

Câu 19: Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5

dư 2 Hỏi tổng bình phương của chúng có chia hết cho 5 không ?

Câu 20: Chứng minh rằng20092008+20112010 chia hết cho 2010

Câu 21: Chứng minh rằng:

1 3 3 3 3

A= + + + + + chia hết cho 40

Câu 22: Chứng minh rằng 11 10 − 1chia hết cho 100

Câu 24: Chứng minh rằng:

a) 85+211chia hết cho 17

b) 1919+6919chia hết cho 44

Câu 25: a)Chứng minh rằng: n3 + 3n2 + 2 6nMvới mọi số nguyên n

b)Tìm số nguyên n sao cho: 2n3 + +n2 7n+ 1 2 M( n− 1)

2n = 10a b a b+ , ∈ ¥ ,0 < <b 10 thì tích abchia hết cho 6

cho 225

Câu 28: Chứng minh rằng 2 2008 + 2 2009 + 2 2010 chia hết cho 7

Câu 29: Chứng minh rằng n3 −nchia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n

Câu 30: Chứng minh rằng 321− 224 − − 68 1 chia hết cho 1930

Chứng minh rằng: A=(2n− 1 2) ( n+ 1) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n.

Câu 31: Tìm các số có 3 chữ số chia hết cho 7 và tổng các chữ số của nó cũng

+ +

= + nthì phân số2

Trang 3

Câu 33: Chứng minh rằng chia hết cho với mọi

Câu 34: Chứng minh rằng

Câu 35:

1 Đặt Chứng minh rằng chia hết cho 3 với mọi giá trị

nguyên dương của

2 Nếu chia dư và b chia dư 3 thì chia hết cho 13

3 Tìm các số nguyên thỏa mãn

Câu 37: Hãy chứng minh :

3 2 7 36

A n n= − − nchia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n

Câu 38:

1 Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9

2 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên nthì 5n 2 26.5n 82n 1 59

A= + + + + M

Chứng minh rằng: A a= 13+ +a32 +a20163 chia hết cho 3

Câu 42: Chứng minh rằng với mọi số nguyên ,x y ta có: x y xy5 − 5chia hết cho

b) Tìm số tự nhiên n để n5+1chia hết cho n3+1.

Câu 46: Chứng minh tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho

Trang 4

Câu 47: Cho a, b, c ∈ ¢thỏa mãn a b c+ + =0.Chứng minh: (a5 + +b5 c5)M 30

Câu 48: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thìA = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 M59

Câu 49: a Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B

A = 3xn-1y6 - 5xn+1y4 và B = 2x3yn

b Xác định các giá trị của a,b và c để đa thức P(x) = x4 + ax2 + bx + c chia hếtcho (x – 3)3

Câu 50: Chứng minh rằng số có dạng A n= 4+6n3+11n2+6n chia hết cho 24

với mọi số tự nhiên n

Câu 51: Chứng minh rằng n4+7(7 2 )+ n2 chia hết cho 64 với mọi n là sốnguyên lẻ

Câu 52: Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên a thỏa mãn (20172017+1)chia hết a3+ 11a

Câu 53: Cho số tự nhiên n > 3 Chứng minh răng nếu 2n = 10a + b (a, b ∈N, 0

Câu 57: Cho n là số tự nhiên lẻ Chứng minh

Câu 58: Chứng minh n3 +17n chia hết cho 6 với mọi n∈¢

2 Tìm các số nguyên n để n5 +1chia hết cho n3 +1

Câu 62: Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì:

Trang 5

( ) ( )

5 5n n + −1 6 3n n+2n M91

Câu 63: Chứng minh 1110 −1chia hết cho 100

Câu 64: Chứng minh rằng: 20092008 +20112010chia hết cho 2010

Câu 65: Cho a a1, , ,2 a2013là các số tự nhiên có tổng cộng bằng 20132014

Chứng minh rằng: B a= + +13 a23 +a20133 chia hết cho 3.

Câu 66: Tìm ,a b sao cho f x( )=ax3 +bx2+10x−4chia hết cho đa thức

Alà tích của 7số nguyên liên tiếp ⇒ AM 7 ∀ ∈n ¢

Câu 69: Chứng minh rằng: 20092008+ 20112010chia hết cho 2010

Lời giải

Ta có: 2009 2008 + 2011 2010 =(2009 2008 + + 1) (2011 2010 − 1)

Vì 2009 2008 + = 1 (2009 1 2009 + ) ( 2007 − ) = 2010 .( ) chia hết cho 2010 (1)

Vì 2011 2010 − = 1 (2011 1 2011 − ) ( 2009 + ) = 2010 .( ) chia hết cho 2010 (2)

Trang 6

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

Câu 70: a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thìtổng các lập phương của chúng chia hết cho 9

b) Tìm các số nguyên n để n5+ 1chia hết cho n3 + 1

)n n 1 1 n n 2 0,

+ − + = − ⇔ − + = không có giá trị của n thỏa mãn

Trang 7

Vì n n( − 1) (n+ 1) là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, ( )2,3 = 1nên chia hết cho 6

18 6nM , suy ra điều phải chứng minh

a) Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên nthìA= 5n+2+ 26.5n+ 82n+1M 59

Trang 8

( ) ( ) ( )

19 + 69 = 19 69 19 + − 19 , 69 69 + + = 88 19 − 19 , 69 69 + + chia hếtcho 44

Vậy a5−aM 30

Câu 77: Cho a b, là hai số tự nhiên Biết rằng a chia cho 5 dư 3 và b chia cho

5 dư 2 Hỏi tích a b. chia cho 5 dư bao nhiêu ?

Lời giải

a chia cho 5 dư 3 nên tồn tại số tự nhiên m sao cho a= 5m+ 3 (1)

b chia cho 5 dư 2 nên tồn tại số tự nhiên n sao cho b= 5n+ 2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra a b =(5m+ 3 5) ( n+ = = 2) 5 5( mn+ 2m+ 3n+ + 1) 1

Suy ra a b. chia cho 5 dư 1

Câu 78: Cho các số nguyên a a a1 , , , , 2 3 a n Đặt S a= 13+a23+a33+ + a n3 và

Chứng minh: a3 − =a (a− 1) (a a+ 1 6)M với mọi số nguyên a

Sau đó sử dụng tính chât chia hết của một tổng suy ra đpcm

Câu 79: a) Chứng minh rằng: 2130+ 3921 chia hết cho 45

b) Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n ta có: 5n+2+26.5n+82n+1M59

Trang 9

c) C=5n3+15n2+10n chia hết cho 30, với n Z∈

d) Nếu a x= 2−yz b; = y2−xz c z; = −2 xy thì D a= x+ +by cz chia hết cho

Ta có:B=(6n+ 1) (n+ − 5) (3n+ 5 2) ( n− = = 1) 24n+ 10 2 12 = ( n+ 5 2)M

Trang 10

Vậy, B=(6n+ 1) (n+ − 5) (3n+ 5 2) ( n− 1) chia hết cho 2, với n Z∈

c) C=5n3+15n2+10n chia hết cho 30, với n Z∈ .

Ta có: C= 5n3 + 15n2 + 10n= = 5n n( + 1) (n+ 2)

Vì 5 5 M và n n( + 1) (n+ 2 6)M mà ( )5,6 = 1 nên 5n n( + 1) (n+ 2 30)M

Vậy, C=5n3+15n2+10n chia hết cho 30, với n Z∈ .

d) Nếu a x= 2−yz b; = y2−xz c z; = −2 xy thì D a= x+ +by cz chia hết cho

(a b c+ + ).

Ta có: D a= x + + =by cz (x2 −yz x) ( + y2 −xz y) ( + z2 −xy z).

= = + + − x3 y3 z3 3xyz= = + + (x y z x) ( 2 +y2 + − − −z2 xy yz zx)

Vậy, D a= x+ +by cz chia hết cho (a b c+ + )

e) E x= −4 4x3− 2x2+ 12x+ 9 là bình phương của một số nguyên, với x Z∈ .

Trang 11

Vậy, G x= 8n+x4n+1 chia hết cho x2n+ +x n 1, với n N∈ .

Câu 81: Chứng minh rằng: B n= +3 6n2− 19n− 24 chia hết cho 6

Trang 12

Lời giải: Dễ thấy a3 − =a a a( − 1) (a+ 1)là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia

Các hiệu trên chia hết cho 3 , do vậy A chia hết cho 3

Lời giải

Trang 13

Vì số thứ nhất chia cho 5 dư 1 nên có dạng 5a+ 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2 nên códạng 5b+2(a b, ∈ ¢ )

Ta có tổng bình phương hai số đó là:

5a+ 1 + 5b+ 1 = 25a + 10a+ + 1 25b + 10b+ = 4 5 5a + 5b + 2a+ 2b+ 1 5 M

Vậy tổng bình phương của hai số chia hết cho 5

Câu 87: Chứng minh rằng20092008+ 20112010chia hết cho 2010

Nên (11 9 + 11 8 + + + 11 1) chia hết cho 10

Vậy 11 10 − 1chia hết cho

Trang 14

Vì là số nguyên nên: n n; +1;n+2 là ba số nguyên liên tiếp

Do đó có ít nhất một số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 3

( 1) ( 2 6)

⇒ + + Mhay n3+ 3n2+ 2 6nMvới mọi số nguyên

b)Tìm số nguyên n sao cho: 2n3 + +n2 7n+ 1 2 M( n− 1)

Trang 15

Câu 95: Chứng minh rằng 2 2008 + 2 2009 + 2 2010 chia hết cho 7

Lời giải

2 2008 + 2 2009 + 2 2010 = 2 2008 1 2 4( + + =) 7.2 2008 M 7

Trang 16

Câu 96: Chứng minh rằng n3−nchia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n

Lời giải

Ta có: n3 − = −n (n 1 ) (n n+ 1) chia hết cho 3 vì tích của 3 số nguyên liên tiếp

Ta cũng có (n− 1) (n n+ 1)chia hết cho 2 vì trong 3 số liên tiếp có 1 số chẵn

Mà ( )2,3 = 1 Vậy n3 −nchia hết cho 6

Câu 97: Chứng minh rằng 321− 224− − 68 1 chia hết cho 1930

Chứng minh rằng: chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên

Theo giả thiết là một số tự nhiên nên là ba số tự nhiên liên tiếp

Vì tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 nên

Vậy, chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên

Câu 98: Tìm các số có 3 chữ số chia hết cho 7 và tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 7

Trang 17

Mặt khác, vì ết hợp với (3) suy ra

Do đó chỉ có thể nhận các giá trị

Với Đổi vai trò và của trường hợp trên ta được các cặp số

thỏa mãn Câu toán

Do nên chỉ có thể nhận các giá trị

Từ đó ta chọn được 12 số thỏa mãn là

Vậy có 18 số thỏa mãn Câu toán:

2 2

Vậy phân số trên tối giản

Trang 18

là tích 4 số nguyên liên tiếp trong đó phải có 1 số chia hết cho 2,

một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 4

Nên

Vậy

Câu 101: Chứng minh rằng

Lời giải

Do tích của số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5 và trong 5 số nguyên liên tiếp luôn

có ba số nguyên liên tiếp mà tích của chúng chia hết cho 6 và

Vậy

giá trị nguyên dương của

b)Nếu chia dư và b chia dư 3 thì chia hết cho 13

+ +

= +

Trang 19

là tích của số nguyên liên tiếp

Câu 104: Hãy chứng minh :

Trang 20

Các hiệu trên chia hết cho 3 , do vậy A chia hết cho 3

Lời giải

Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2 Hỏi tổngbình phương của chúng có chia hết cho 5 không ?

Trang 21

Vì ( )3,7 =1, theo bài toán ta có 43abM21

Vì 4300 chia 21 dư 16 nên ab≡ −16(mod 21)hay abchia 21 dư 5

b) Tìm số tự nhiên n để n5+1chia hết cho n3+1

Lời giải

a) Rút gọn

12

A

a

=

−

Trang 22

Để A nguyên

12

a

=



⇔ M − ⇒  =b)

Lại cĩ (a− 1 ) (a a+ 1)chia hết cho 6 nên 5(a− 1) (a a+ 1) chia hết cho 30.

Từ đĩ suy ra a5−achia hết cho 30

Tương tự b5−bchia hết cho 30 và c5 −cchia hết cho 30

Từ đĩ suy ra (a5 + +b5 c5)− + + =(a b c) (a5 − +a) (b5 − +b) (c5 −c)chia hết cho 30

Mà a b c+ + = 0nên a5 + +b5 c5chia hết cho 30

Câu 115: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thìA = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 M59

Lời giải

5n+2 + 26.5n + 82n+1 = 25.5n + 26.5n + 8.82n = 5n(59 – 8) + 8.64n = 59.5n + 8(64n – 5n) 59.5n M 59 và 8(64n – 5n) M(64 – 5) = 59

Trang 23

R(x) = (a + 54)x2 + (b-216)x + 243 + c

P(x) ÷(x - 3)3 ⇒ R (x) ≡ 0 cho ta

a + 54 = 0 ⇒ a = -54; b – 216 = 0 ⇒ b = 216; c + 243 = 0 ⇒ c = -243

Câu 117: Chứng minh rằng số có dạng A n= 4+6n3+11n2+6n chia hết cho 24

với mọi số tự nhiên n

Vì ƯCLN(3;8) =1 nên A n= 4+ 6n3+ 11n2+ 6n chia hết cho 24.

Câu 118: Chứng minh rằng n4+7(7 2 )+ n2 chia hết cho 64 với mọi n là sốnguyên lẻ

Trang 24

Vì 12a chia hết cho 3 nên AM 3 (1)

Mặt khác 20172017+ =1 (2016 1)+ 2017+1 chia cho 3 dư 2 (2)

Từ (1) và (2) dẫn đến điều giả sử trên là sai, tức là không có số nguyên nào thỏa mãnđiều kiện bài toán đã cho

Câu 120: Cho số tự nhiên n > 3 Chứng minh rằng nếu 2n = 10a + b (a, b ∈N,

Trang 25

Câu 122: : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên x thì biểu thức A x= −5 x

luôn chia hết cho 30

+)Nếu :5x dư 2 hoặc 3 thì x2:5dư 4⇒( x2 +1 5)M⇒ AM5

Vậy AM5với mọi x và ( )5,6 =1 (2)

Trang 26

Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với (1); (2) suy ra

Câu 125: n3+17n n= 3− +n 18n n n= ( −1) (n+ +1) 18n

Vì n n( −1) (n+1) là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, ( )2,3 =1nênchia hết cho 6

18 6nM , suy ra điều phải chứng minh

Câu 126: Học sinh biến đổi được

MM

Trang 27

Nên(119 +118 + 11 1+ + ) chia hết cho 10

Vậy1110 −1chia hết cho 10

Câu 130:

1 Ta có: 20092008 +20112010 =(20092008 + +1) (20112010−1)

Vì 20092008 + =1 (2009 1 2009+ ) ( 2007 − ) =2010 .( ) chia hết cho 2010 (1)

Vì 20112010 − =1 (2011 1 2011− ) ( 2009 + ) =2010 .( ) chia hết cho 2010 (2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

Câu 131: Dễ thấy a3− =a a a( +1)(a−1)là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên

Do vậy B chia hết cho 3.

Câu 132: Tìm ,a b sao cho f x( )=ax3+bx2 +10x−4chia hết cho đa thức

Trang 28

Câu 133: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì a3 +5achia hết cho 6

Lời giải

a + a a= − +a a a a= − + a a a= − a+ + a

Vì (a a−1)(a+1)là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2, một số chia

hết cho 3 mà ( )2,3 =1nên a a( −1) (a+1) chia hết cho 6

6a chia hết cho 6 Nên a3 +5achia hết cho 6

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	0,92 MB