Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 chuyên đề chia hết

Bài 3: Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, CMR:... HD: Giả sử A chưa tối giản.

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CHUYÊN ĐỀ:

- Nếu tích a.b chia hết cho c, trong đó (b; c) = 1 thì a chia hết cho c

- Với p là số nguyên tố Nếu a.b chia hết cho p thì hoặc a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p

- Khi chia n + 1 số nguyên dương liên tiếp cho n (n≥ 1)

luôn nhận được hai số dư bằng nhau

HD:

Ta có: A n n= ( + 1) ( n− + + 1) (n 2) (= n− 1) (n n+ + 1) (n n+ 1) (n+ 2 6)M

Bài 4: Chứng minh rằng:

Nên chia hết cho cả 3 và 8

Bài 6: Chứng minh rằng: B n= 5 − 5n3 + 4 120,nM (∀ ∈n N)

HD:

Ta có: B n n= ( 4 − 5n2 + 4) (=n n2 − 1) (n2 − 4) =n n( + 1) (n− 1) (n+ 2) (n− 2 120)M

Bài 7: Cho n là số nguyên, Chứng minh

là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên AM5 Bài 11: Chứng minh rằng:

Bài 14: Chứng minh rằng:

HD:

Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là: n− 1; ;n n+ ∀ ∈ 1,( n Z)

Vậy AM9 Bài 16: Cho a, b, c là các số nguyên Chứng minh rằng :

3 3 3 6

a + +b c M

khi và chỉkhi a b c+ + M6

A= k k+  k + k+ n +

Bài 18: Tìm số tự nhiên n sao cho: (n+ 5) (n+ 6 6)Mn

M

(1) (2)

Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là: n n, +1,n+2, ,n+1989 (1)

Trong 1000 số tự nhiên liên tiếp: n n, +1,n+2, ,n+999 phải có 1 số chia hết cho 1000,

giả sử là n0 , Khi đó n0 có tận cùng là 3 chữ số 0

Giả sử tổng các chữ số của n0 là s khi đó 27 số n n0, 0+9,n0+19, ,n0+899

Có tổng các chữ số lần lượt là: s s, +1,s+2, ,s+26 , sẽ có 1 số chia hết cho27

Bài 3: Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, CMR:

Dạng 2: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có : A n n= (2 + 7 7) ( n+ 7 6)M

HD :

Ta có : n hoặc 7n+7 là số chẵn với mọi số tự nhiên n nên AM2

Lấy n chia cho 3 ta được : n= 3k r k N+ ( ∈ ,0 ≤ ≤r 2)

Với r= => =0 n 3k=>AM3

Bài 4: Chứng minh rằng có vô số tự nhiên n sao cho

2

4n + 1 5 M

và chia hết cho 13

HD:

Đặt n= 65k r k N+ ,( ∈ ,0 ≤ ≤r 64)

Chọn r sao cho

2

4r + = 1 65 <=> = ±r 4

, Vậy với mọi số n=65k±4 đều thỏamãn

Bài 5: Chứng minh rằng nếu n/M3 thì

3k− = 1 3 k− = 1 3 1 − M = 26 13MM

và 3 3k− = 1 (3 1 3 − ) N= 26 13NM

Với

Với

Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2 1 7

Với r= => = 1 n 3k+ => 1 2 1 2n− = 8 1k+ − = 1 2.2 3k− = 1 2 2( 3k− + 1 1)

thì 2 1 7

n− M

Bài 7: Chứng minh rằng: A n n= ( 2 + 1) (n2 + 4 5,)M(∀ ∈n Z)

HD:

Lấy n chia cho 5 ta được: n= 5q r q r Z+ , ,( ∈ ,0 ≤ ≤r 4)

Với r = =>0 nM5=> AM5

2

r = =>n + M =>AM

Bài 8: Cho A a a= + + +1 2 a n và

Ta có: ( 5 ) ( 5 )

1 1 n n

B A− = a −a + + a −a

Xét 5 ( 4 ) ( ) ( ) ( 2 )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 30

Bài 9: Chứng minh rằng nếu ( )n;6 = 1

2

r = ± =>n − M

Bài 10: Tìm số tự nhiên n để:

2

2n+ 2n+ 1 7 M

Bài 11: Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn:

24m + = 1 n

, Chứng minh rằng:5

Nếu x≠ => + ≥ 8 x 8 x2 + => ∈ ± ± => ∈ 1 x {0 1; 2} x { }0;2

Bài 13: Cho hai số tự nhiên a, b, Chứng minh rằng:

Bài 15: Cho a, b là các số nguyên dương sao cho

2 2

a +b

chia hết cho tích a.b

Tính giá trị của biểu thức:

2 2

a b A

Vì (a b1 ; 1) = => 1 a b1 M 1

và b a1M1=> = =a b1 1 1Vậy

n= a b+ => n

có chữ số tận cùng là b Đặt n= 4k r k r N+ , ,( ∈ ,0 ≤ ≤r 3) => 2n= 16 2k r

Nếu 0 2 16

n k

r= => =

có tận cùng là 6=> = =>b 6 abM6

pB q

Thì trong đó các số bằng 1 và -1 là bằng nhau Giả sử có m số 1 và m số -1

Từ đó ta được m là số chẵn => n chia hết cho 4

Bài 21: Tìm hai số nguyên dương a, b sao cho: ab a b( + )M / 7

2 4 5

n A n

+

= +

Hỏi có bao nhiêu phân số tự nhiên n trong khoảng từ 1 đến 2002 sao cho

phân số A chưa tối giản

HD:

Giả sử A chưa tối giản Đặt d=(n2 + 4;n+ => > 5) d 1

Ta có: ( )2 ( 2 ) ( )

n+ − n + Md=> n+ Md=> n+ − Md=> Md=> =d

Ngược lại:

Nếu n+ 5 29 M => + =n 5 29 ,k k N( ∈ *) =>n2 + = 4 29 29( m2 − 5k+ 1 29)M => A

chứ tối giản

nhưng không chia hết cho 9Nếu (n− 1 3)M =>(n+ 2) (n− 1 3)M

nhưng không chia hết cho 9Bài 8: Chứng minh rằng:

Bài 9: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( )a b;

thay vào đẳng thức ta được :

và a=2, Thay k=1,a=2 vào đẳng thức ta được:

(m− 1) (b− = 1) (a+ 1) (k ka− + 1)

ta được: (m− 1) (b− = => = = 1) 0 m b 1

Nếu m=1 thì từ a k mb+ = => =b 3

Vậy các cặp số ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b; = 1;2 , 1;3 , 2;1 , 2;3

Khi đó AM167 Bài 2: Cho n N∈ , CMR : A= 5 5 1 6 3n( n+ −) (n n+ 2 91n)M

Bài 3: Cho n N∈ , Chứng minh rằng:

8 6

2 5n n− 1980n− 441 1 1979,n+ M ∀ ∈n N

HD:

, và 16 1 16 1 n− =( + ) N= 17 17NM

Khi đó: AM17

Mặt khác: A=(20 1n− +) (16n− 3n)

,

Mà 20 1n− =(20 1 − ) P= 19 19PM

và 16n− 3n=(16 3 + ) Q= 19 19QM =>AM19Bài 10: Chứng minh rằng: 2 ( )2

n≥ => M

và 63 9M=> AM9 Bài 14: Tìm giá trị của n để: 20 16 3 1 323

(a− 1) (b− = 1 16) k k( + 1) (k− 1 64)M

và M3 Bài 17: Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn:

2 2 2

a =b +c

, Chứng minh rằng: abcM60

=> ĐPCM