Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 chuyên đề chia hết của đa thức

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CHUYÊN ĐỀ: CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC A.. + Sử dụng các định lý: Bơzu.. Lược đồ Horner.. LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ BOWZU TÌM SỐ DƯ 1.

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CHUYÊN ĐỀ:

CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC

A LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa:

- Cho A và B là hai đa thức (B 0), Khi đó tồn tại duy nhất một cặp hai

đa thức P và R sao cho:

.

A B Q R  , Trong đó: R 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B Q là

đa thức thương, R là dư

- Nếu R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết

2 Mở rộng:

- Có thể dử dụng thêm các phương pháp:

+ Sử dụng hằng đẳng thức: a3b3:a b  a2  ab b 2

hoặc

a2  b2:a b   a b

+ Sử dụng thêm phương pháp phân tích thành nhân tử, nhẩm nghiệm + Sử dụng các định lý: Bơzu Lược đồ Horner

B LUYỆN TẬP

Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ BOWZU TÌM SỐ DƯ

1 Định nghĩa:

- Định lý Bơ-zu: ” Dư của phép chia f(x) cho nhị thức bậc nhất x - a là

1 hằng số có giá trị là f(a)”

2 Hệ quả:

- Nếu a là nghiệm của đa thức f x  thì f x  x a 

Bài 1: Không thực hiện phép chia, hãy xét xem, f x  3x3 2x2 9x2 có chia hết cho x-2 không, có chia hết cho x+2 không?

HD:

Theo định lý Bơ- zu thì dư của f x  3x3 2x2 9x2 khi chia cho nhị thức bậc nhất x - 2

có giá trị là: f  2 2.23 2.22 9.2 2 0  Vậy f x  x  2

Tương tự:

Số dư của f x 3x3 2x2 9x2 khi chia cho x + 2 có giá trị là:

 2 2 2 3 2 2 2 9 2  2 4

f         

Vậy f x   x2

Bài 2: Tìm số a để 3 2

2x  3x  x a x  2

HD:

Theo định lý Bơ- zu thì dư của f x  2x3 3x2 x a khi chia cho nhị thức bậc nhất x+2,

có giá trị là: f 22 8  3.4 2   a a 22

Để f(x) chia hết cho x+2 thì a-22=0 hay a=22

Bài 3: Tìm hế số a để: 4x2  6x a x   3

HD:

Theo định lý Bơzu thì dư của f x  4x2 6x a khi chia cho nhị thức bậc nhất x - 3,

có giá trị là: f  3 4.9 6.3   a a 18

Để f(x) chia hết cho x - 3 thì a + 18 = 0 hay a = -18

Bài 4: Tìm hế số a để: 2x2  x a x  3

HD:

Theo định lý Bơzu thì dư của f x  2x2 x a khi chia cho nhị thức bậc nhất x + 3, có giá trị là: f 3 2.9 3   a a 15

Để f(x) chia hết cho x + 3 thì a + 15 = 0 hay a = -15

Bài 5: Tìm hế số a để: 10x2  7x a x  2  3

HD:

Hạ phép chia ta có: 10x2 7x a 2x 3 5  x4  a12

Để 10x2  7x a x  2  3  a 12 0  a 12

Bài 6: Tìm hế số a để: 2x2 ax 1:x 3 dư 4

HD :

Theo định lý Bơzu ta có :

Dư của f x 2x2ax1, khi chia cho x - 3 là f  3 2.9 3 a 1 3a19

Để có số dư là 4 thì 3a 19 4   3a 15 a 5

Bài 7: Tìm hế số a để: ax5  5x4  9 x 1

HD :

Theo định lý Bơ- Zu ta có :

Dư của f x ax55x4 9, khi chia cho x - 1 là f  1   a 5 9 a 4

Để có phép chia hết thì a 4 0  a 4

Bài 8: Tìm hế số a để: 8x2  26x a x  2  3

HD :

Hạ phép chia ta có: 8x2 26x a 2x 3 4  x 7 a 21

Để 8x2  26x a x  2  3  a 21 0  a 21

Bài 9: Tìm hế số a để: x4  x3  6x2  x a x  2  x 5

HD :

Hạ phép chia hoặc đồng nhất, ta có:

4 3 6 2 2 5 2 1 5

x  x  x  x a  x  x x   a

Để phép chia là phép chia hết thì a - 5 = 0 hay a = 5

Bài 10: Tìm hế số a, b để: x3 ax b x  2  x 2

HD :

Hạ phép chia ta có:

x ax b  x  x x  a x b 

Để là phép chia hết thì a + 3=0 và b-2 =0 hay a=-3 và b=2

Bài 11: Tìm hế số a để: x3 ax2  4 x2  4x 4

HD :

Hạ phép chia ta có :

3 2 4 2 4 4 4 12 4 12 4

x ax   x  x x a    a x  a

Để được phép chia hết thì 12-4a=0 hay a=3

Bài 12: Tìm hế số a để: x4 ax b x  2  4

HD :

Để x4 ax b x  2  4 thì

4

4

2 2

x ax b x

x ax b x











Áp dụng định Bơzu ta có:

  4  2 16 2 0

f x x ax b  f   a b 

Và: f 2 16 2 a b 0

Giải hệ ta được a = 0 và b = -16

Bài 13: Tìm hế số a để: x4 ax3 bx 1 x2  1

HD :

Để x4 ax3 bx 1 x2  1 thì

4 3

4 3

x ax bx x

x ax bx x











Áp dụng định Bơzu ta có: f x x4ax3bx 1 f  1     1 a b 1 0

Và: f 1  1 a b  1 0, Giải hệ ta được a tùy ý và b = - a

Bài 14: Tìm hế số a để: 3 2

x ax b x   x

HD :

Hạ phép chia ta có : x3ax b x22x 2x 2  a b x b    4

Để phép chia là phép chia hết thì : a+b=0 và b-4=0=> b=4 và a=-4 Bài 15: Tìm hế số a để: x4 ax2 b x 2  x 1

HD :

Hạ phép chia ta có : x4ax2 b x2 x1 x2 x aa1x a b 

Để là phép chia hết thì a-1=0 và a-b=0=> a=b=1

Bài 16: Tìm hế số a để: ax3 bx2  5x 50 x2  3x 10

HD :

Hạ phép chia ta có :

3 2 5 50 2 3 10 3 3 5 30 10 50

ax bx  x  x  x ax a b  a b x a b

Để là phép chia hết thì a+3b+5=0 và 30a-10b+50=0

Bài 17: Tìm hế số a để: ax4bx31x12

HD :

Hạ phép chia ta có :

4 3 1 2 2 1 2 2 3 2 8 5 3 2 1

ax bx   x  x a x  a b x  a b  a b x a b

Để là phép chia hết thì : 8a + 5b = 0 và 3a + 2b - 1=0

Bài 18: Tìm hế số a để: x4  4 x2 ax b 

HD :

Tách: x4 4 x22x2 x2 2x2

Vậy b = 2 và a = 2 hoặc a = -2

Bài 19: Tìm hế số m để: x4  3x3  6x2  7x m x  2  2x 1

HD :

Ta có: x4  3x36x2 7x m x2 2x1 x2 x3m 3

Để là phép chia hết thì m – 3 = 0 => m = 3

Bài 20: Tìm hế số a để: 10x2  7x a x  2  3

HD :

Hạ phép chia ta có: 10x2 7x a 2x 3 5  x4 a 12

Để là phép chia hết thì a + 12 = 0 hay a = -12

Bài 21: Tìm hế số a để: 2x2 ax 4 x 4

HD :

Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư của f x  2x2a x.  4 khi chia cho x + 4 là:

f    a   a

Để là phép chia hết thì 28 - 4a = 0 => a = 7

Bài 22: Tìm hế số a để: x3  ax2  5x 3 x2  2x 3

HD :

Hạ phép chia ta có:

3 2 5 3 2 2 3 2 2 6 3 3

x  a x  x  x  x x a  a x a

Để là phép chia hết thì -3a - 3 = 0 => a = -1

Bài 23: Tìm hế số a để:

4

x  ax a  x a

HD :

Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư của  

4

f x x  a x a 

khi chia cho x + 2a là:

  2 2 2 1 2 1

f  a  a  a  a  a 

, Để là phép chia hết thì

0

a   a

Bài 24: Tìm số dư của x x 3 x9 x27 x81 khi chia cho x - 1

HD :

Ta có : P x   x1x31  x91  x271  x8115 nên số dư là 5 Bài 25: Tìm số dư của : x x 3 x9 x27 x81 khi chia cho x 2 1

HD :

Ta có : P x  x3  x  x9  x  x27  x  x81  1 5x => Dư 5x

Bài 26: Xác định dư của: P x   1 x x9x25 x49x81 khi chia cho 3

x  x

HD :

   9   25   49   81  5 1

P x  x  x  x  x  x  x  x  x  x

= x x 8  1x x 24  1x x 48  1x x 80  1 5x 1

, Vậy số dư là : 5x - 1 Bài 27: Tìm n nguyên để: 3n3  10n2  5 3 n 1

HD :

Hạ phép chia ta có : 3n310n2 53n1n23n1 4

Để 3n310n2  5 3n 1 4 3n 1 3n 1 U  4    1; 2; 4

Bài 28: Tìm n nguyên để 2n2  n 2 2 n 1

HD :

Hạ phép chia ta có : 2n2 n 2 2n1 n13

Để : 2n2 n2 2 n 1 3 2n 1 2n 1 U  3   1; 3

Bài 29: Tìm các số x nguyên để 4x3  6x2  8 2x x  1

HD :

Hạ phép chia ta có : 4x3  6x2  8x2x 1 2 x2  2x 3 3

Để 4x3 6x28 2x x  1 3 2 x 1 2x 1 U  3   1; 3

Bài 30: Tìm các số x nguyên để: 4x3  3x2  2x 83 x 3

HD :

Theo định Bơ zụ thì dư của f x  4x3 3x22x 83, khi chia cho x-3 là :

   

3 2

4x  3x  2x 83 x 3  x 3 U 4     1; 2; 4

Bài 31: Tìm các số x nguyên để: 4n3  4n2  n 4 2 n 1

HD :

Hạ phép chia ta có : 4n3 4n2 n 4 2n1 2 n2 3n13

Để 4n3 4n2 n4 2n 1 3 2n 1 2n 1 U  3   1; 3

Bài 32: Tìm các số x nguyên để: 8n2  4n 1 2  n 1

HD :

Hạ phép chia ta có : 8n2 4n 1 2n1 4  n 45

Để 8n2 4n1 2 n 1 5 2n 1 2n 1 U  5   1; 5

Bài 33: Tìm các số x nguyên để: 3n3  8n2  15n 6 3 n 1

HD :

Hạ phép chia ta có : 3n3  8n2  15n  6 3n 1n2  3n 4 2

Để 3n38n215n6 3n 1 2 3n 1 3n 1 U  2   1; 2

Bài 34: Tìm các số x nguyên để: 4n3  2n2  6n 5 2 n 1

HD :

Hạ phép chia ta có : 4n3  2n2  6n  5 2n 1 2 n2  3 2

Để 4n3 2n2  6n5 2 n12 2n 1 2n 1 U  2   1; 2

3 Bài tập chưa làm :

Bài 1: Tìm phần dư của phép chia f x x2012x20111 cho đa thức :

a, x 2 1

b, x2  x 1

HD:

Bài 2: Cho đa thức: P x( )x4x36x2 40x m 1979

a, Tìm m sao cho P(x) chia hết cho x-2

b, Với m tìm được, hãy giải thích phương trình P(x)=0

HD:

Bài 3: Tìm số nguyên n sao cho: 3n310n2 5 chia hết cho 3 1n 

HD:

Dạng 2: TÌM ĐA THỨC

Bài 1: Tìm a, b sao cho f x x3ax b , chia cho x + 1 dư 7, chia cho x - 3

dư -5

HD :

Theo bài ra ta có:

     

     

f x x A x

f x x B x

   , Cho x = -1, x = 3=>

8

a b

a b





 



Bài 2: Tìm hằng số a, b, c sao cho: ax3 bx2 cchia hết cho x + 2, chia cho

2 1

x  dư 5

HD :

Theo bài ra ta có: x2 1 x1 x1

Khi dó ta có : f x  a x. 3bx2 c x2  A x => f x   x1 x1  B x 5 Cho x = - 2 khi đó ta có : - 8a + 4b + c = 0

Cho x = 1=> a + b + c = 5

Cho x = -1 => - a + b + c = 5

Khi đó ta có hệ:

5 5

a b c

a b c

a b c





  



   



Bài 3: Xác định a, b biết: 3

2x ax b chia cho x + 1 dư -6, chia cho x - 2 dư 21

HD :

Theo bài ra ta có : f x  2x3a x b.  x1  A x  6

và f x 2.x3a x b.  x 2  B x 21

Cho x    1 2 a b  6

Cho x  2 16 2  a b  21

Khi đó ta có hệ :

a b

a b







Bài 4: Tìm hệ số a, b sao cho: x4  x3  3x2 ax b chia cho x2  x 2 được dư là 2x - 3

HD :

Theo bài ra ta có : x2 x 2x 2 x1

Nên ta có : f x  x4 x3 3x2a x b.  x 2 x12x 3

Cho x  2 16 8 12 2    a b  1

Cho x    1 1 1 3  a b  6

Khi đó ta có hệ

5

a b

a b

 







Bài 5: Cho P x( )x4x3 x2ax b Q x ,  x2 x 2, Xác định a, b để P x Q x   

HD :

Đặt phép chia ta có :

  4 3 2  2 2    1 2

P x x x  x a x b  x  x A x  a x b 

Để    

P x Q x



Bài 6: Xác định các số hữu tỉ a, b, c sao cho: 2x4 ax2 bx c chia hết cho x -

2,

chia cho x 2 1 dư 2x

HD :

Theo bài ra ta có : f x  2x4a x. 2bx c x 2  A x

Và f x 2x4a x. 2bx c x1 x1   B x 2x

Cho x  2 32 4  a 2b c  0

Cho x      1 2 a b c 2

Cho x    1 2 a b c  2 Khi đó ta có hệ :

0 4

a b c

a b c

a b c





  



   



Bài 7: Xác định a, b sao cho: P x ax4bx31Q x   x12

HD :

Đặt phép chia: P x  a x. 4bx3 1 x1 2 A x   4a3b x  1 3a 2b

Để    

a b

P x Q x

a b



 





Bài 8: Xác định a, b sao cho: 6x4  7x3 ax2  3x 2 x2  x b

HD :

Đặt phép chia

6x  7x a x  3x  2 x  x b A x  a 5b 2 x 6b  ab b  2

Để là phép chia hết thì 2

a b

b ab b







Bài 10: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x + 4 dư là 9, còn f(x) chia cho x

- 3 dư là 2, và f x x : 2 x 12 có thương là x 2 3 và còn dư

HD :

   2 12  2 3  3  4 2 3

f x  x  x x  ax b  x x x  ax b

Cho

 

 

f x a b

f x a b



 Khi đó ta có hệ :

a b

a b





 



Bài 11: Xác định đa thức A x  ax3bx2c, biết: A(x) chia hết cho x - 2 và

 : 2 2

A x x  x

dư là 3x + 2

HD :

Ta có : x2 x 2x1 x2

Khi đó ta có : A x  a x. 3bx2 c x 2  B x

Và A x  a x. 3bx2 c x1 x2  C x 3x2

Cho x  2 8a 4b c  0, Cho x     1 a b c 5, Cho

Khi đó ta có hệ :

5

a b c

a b c

a b c







   



Bài 12: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x - 3 dư 2, f(x) chia cho x + 4 dư

9, và f x x : 2 x 12 được

thương là x 2 3 và còn dư

HD :

Do f(x) chia cho x2 x 12x 3 x4 được thương là x 2 3 còn dư nên ta có :

   4  3 2 3 .

f x  x x x  a x b

Cho x4 f x 4a b 9

Cho x 3 f x  3a b 2

Khi đó ta có hệ:

a b

a b





 



Bài 13: Tìm 1 đa thức bậc 3 P(x) biết, P(x) chia cho các đa thức (x - 1), (x - 2), (x - 3) đều được dư là 6,

và P(-1) = - 18

HD :

Ta có: f x   6 chia hết cho x1,x 2,x 3

Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên f(x) có dạng f x   6m x  1 x 2 x 3 ,

m là hằng số

Lại có : f 1 18 18 6 m     2 3 4 m1

Vậy f x  6x 2 x 3 x 4  f x  x3 6x211x

Bài 14: Tìm đa thức bậc 4 biết: P( 1) 0,  P x  P x 1 x x 1 2  x1

HD :

Cho x = 0=> P 0  P10 mà P(-1) = 0 => P(0) = 0

Lần lượt cho x = -2, 1, 2 ta có: P(-2) = 0, P(1) = 6, P(2) = 36

Đặt P x  e d x 2c x 2 x1b x 2 x1x a x  2 x1 x x 1 Chọn x = -2 => e = 0

Chọn x = -1 => d = 0

Chọn x = 0 => c = 0

Chọn x = 1 => b = 1

Chọn x = 2 => a = 1/2

Vậy đa thức cần tìm là:            

1

2

P x  x x x x  x x

Bài 15: Tìm đa thức P(x) thỏa mãn: P(x) chia cho x + 3 dư 1, P(x) chia cho x

- 4 dư 8,

chia cho (x + 3)(x - 4) được thương là 3x, còn dư

HD :

Vì P(x) chia cho (x + 3)(x - 4) được thương là 3x còn dư nên ta có:

   3  4 3

P x  x x x ax b  Và P x   x3  A x 1 Và P x   x 4  B x 8 Cho x 3 P x   1 3a b

Cho x 4 P x  8 8a b

Khi đó ta có hệ:

a b

a b





 



Bài 16: Tìm đa thức bậc hai P(x) biết: P(0) = 19, P(1) = 5, P(2) = 1995

HD :

Đặt: P x   c b x  0a x  0 x1

Cho x = 0 => c = 19

Cho x = 1 => b = -14

Cho x = 2 => a = 1002

Vậy đa thức cần tìm là: P x  1002x x 1 14 x19

Bài 17: Tìm đa thức bậc ba P(x) biết: P(0) = 10, P(1) = 12, P(2) = 4, P(3) = 1

HD :

Đặt P x  d cx bx x  1ax x 1 x 2

Cho x 0 P 0 10d

Cho x 1 P 1 12 c d  c 2

Cho x 2 P 2   4 d 2c2b b 5

5

2

Vậy đa thức cần tìm là:        

5

2

P x  x x x  x x  x

Bài 18: Tìm đa thức bậc hai biết: P(0) = 19, P(1) = 85, P(2) = 1985

HD :

Đặt P x a x x.  1bx c

Cho x 0 P 0 19  c c 19

Cho x 1 P 1 85   b c b 66

Cho x 2 P 2 1985 2 a2b c a917

Vậy đa thức bậc hai cần tìm là: P x  917x x 166x19

Bài 19: Cho đa thức: P x x4ax21 và Q x x3ax1, xác định a để P(x)

và Q(x) có nghiệm chung

HD :

Giả sử nghiệm chung là c => P x  xQ x    x 1 P c  cQ c  c 1

vì x = c là nghiệm , NênP c  Q c       0 c 1 0 c 1,

Khi c = 1 => P(1) = Q(1) = a + 2 = 0 = > a = - 2

Vậy a = - 2 thì P(x) và Q(x) có nghiệm chung

1 Bài tập chưa làm:

Bài 1: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia x-2 dư 3, chia cho x-5 dư 6 và chia cho

2 7 10

x  x được thương là x 2 4 và còn dư

Bài 2: Xác định các số hữ tỉ a, b sao cho 3

x ax b chia hết cho x2  2x 3

Bài 3: Cho đa thức bậc hai : P x  ax2bx c biết P(x) thỏa mãn cả hai điều kiện sau : P(0)=-2, 4.P(x)-P(2x-1)=6x-6 CMR :a+b+c=0 và xác định đa thức P(x)

Bài 4: Cho đa thức: f x  ax2bx c , Xác định a,b,c biết f(0)=2, f(1)=7,f(-2)=-14

Bài 5: Cho đa thức bậc nhất f(x)=ax+b, Hãy tìm điều kiện của b để thỏa mãn

hệ thức: f x 1 x2 f x 1 f x 2 với mọi x

Bài 6: Cho đa thức: f x  ax2bx c , Xác định các hệ số f  0 2,

 1 7,  2 14

f  f  

Bài 7: Cho đa thức:  f x x8 x5x2  x1, CMR  f x luôn dương với mọi giá trị của x

Bài 8: Cho a và b là hai số tự nhiên Số a chia 5 dư 1, số b chia 5 dư 2, CMR:

ab chia 5 dư 2

Bài 9: Cho đa thức: f x  x32ax24x 3b Tìm các hệ số a, b biết khi chia

đa thức cho x-3 ta được đa thức dư là -5 và khi chia đa thức cho x+1 thì được

dư là -1

Bài 10: Xác định các hệ số của a, b để x a x b4 2  chia hết cho x2 x 1

Bài 11: Cho đa thức: A x 4 2x3 2x m  1 và đa thức: B x 2  2 1x , Tìm m

để đa thức A chia cho đa thức B có dư là giá trị của ẩn làm cho đa thức B bằng 0