Chứng minh rằng 4p+1là hợp số.. Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết thập phân của số pn có đúng 20 chữ số.. Chứng minh rằng trong 20 chữ số này có ít nhất 3 chữ số giống n
Trang 1DẠNG 2: SỐ NGUYÊN TỐ A.Bài toán
Câu 1: Chứng minh thì là hợp số
Câu 2: Tìm số tự nhiên để: là số nguyên tố
Câu 3: Cho và 2p+1là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng 4p+1là hợp số
Câu 4: Số tự nhiên là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích
Câu 5: Cho a b c, , là các số nguyên khác 0, sao cho
2 2
+
Chứng minh rằng
2 2 2
a + +b c
không phải là số nguyên tố
Câu 6: Cho
4 4.
P n= +
Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố.
Câu 7: Tìm số nguyên a sao cho
4 4
a +
là số nguyên tố
Câu 8: Tìm số tự nhiên nđể n+18và n−41là m≠5 hai số chính phương
4 4
m a= +
Câu 9: Chứng minh rằng nếu m≠5
thì
4 4
m a= + a
không là số nguyên tố
Câu 10: Cho số nguyên tố p > 3 Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết
thập phân của số pn có đúng 20 chữ số Chứng minh rằng trong 20 chữ số này
có ít nhất 3 chữ số giống nhau
Câu 11: Tìm các số nguyên dương n để n1988 +n1987 + 1 là số nguyên tố
Câu 12: Chứng minh: 9n+ 2 và 12n+ 3(n N∈ ) là hai số nguyên tố cùng nhau
Tìm các số nguyên tố p sao cho 7p + 1 bằng lập phương một số tự nhiên
Câu 13: Cho Tìm tất cả các số tự nhiên để là số nguyên tố
Câu 14:
Số tự nhiên là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích
Câu 15: Tìm tất cả các số nguyên dương để là số nguyên tố
Câu 16: Tìm số tự nhiên để là số nguyên tố biết:
p n= − + −n n
Câu 17: Tìm số nguyên sao cho là số nguyên tố
Câu 18: Cho nlà số tự nhiên lẻ Chứng minh
3
n −n
chia hết cho 24
*
n
p
2012
3
1 2
A= +
a c≠
4
2012
3
A 1 2 = +
Trang 2Câu 19: Cho
4
A p= trong đó p là số nguyên tố Tìm các giá trị của p để tổng các ước dương của A là số chính phương.
Câu 20: Tìm các số nguyên tố xvà ysao cho
2 2 2 1
Câu 21: Tìm các số tự nhiên nđể ( 2 )2
8 36
là số nguyên tố
Câu 22: Chứng minh rằng: Nếu a∈N, a > 1 thì A = (a2 + a +1)(a2 + a + 2) – 12 là hợp số
Câu 23: Tìm tất cả các số nguyên dương là số nguyên tố
Câu 24: Cho
4 4.
P n= +
Tìm tất cả các số tự nhiên n để là số nguyên tố
Câu 25: Tìm số tự nhiên nđể plà số nguyên tố biết:
p n= − + −n n
Câu 26: Tìm số tự nhiên nđể plà số nguyên tố biết:
p n= − + −n n
Câu 27: Tìm số nguyên asao cho
4 4
a +
là số nguyên tố
B HƯỚNG DẪN
1 Chứng minh thì là hợp số
Lời giải
Ta có:
Câu 28: Tìm số tự nhiên để: là số nguyên tố
Lời giải
A n= − + − =n n n + n−
Để A là nguyên tố thì n− = ⇔ =1 1 n 2
Khi đó
Câu 29: Cho và 2p+1 là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng 4p+1là hợp số
*
n
*
n N
5
A=
p
Trang 3Lời giải
Do là số nguyên tố lớn hơn nên có dạng
p= k+ p= k−
với
+ Nếu
p= k+
thì 2p+ = 1 6k+ = 3 3 2( k+ 1)
Suy ra
2p+ 1
là hợp số (vô lý)
+Nếu p=3k−1,k >1thì 4p+ = 1 12k− = 3 3 4( k− 1)
Do nên 4k− >1 3.
Do đó là hợp số
Câu 30: Số tự nhiên là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích
Lời giải
2012
3 M 3
nên có thể viết 3 2012 =3n(∈ ¥)
là hợp số
Câu 31: Cho a b c, , là các số nguyên khác 0, sao cho
2 2
+
Chứng minh rằng
2 2 2
a + +b c
không phải là số nguyên tố
Lời giải
Ta có:
2 2
+
2
a + + =b c a +ac c+ =a + ac c+ −b = a c+ − =b a c b a c b+ + + −
Ta thấy
2 2 2 3
a + +b c >
do đó nếu
2 2 2
a + +b c
là các số nguyên tố thì xảy ra các trường hợp sau:
1
k >
1
2012
3
1 2
A= +
a c≠
Trang 4( ) ( )
Câu 32: Cho
4 4.
P n= +
Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố.
Lời giải
4 4 4 4 2 4 4 2 2 2 2
Vì n là số tự nhiên nên ( )2
n+ + ≥
Như vậy muốn P là số nguyên tố thì ta phải có
n− + = ⇔ n− = ⇒ =n
Khi đó P=5
là số nguyên tố
Câu 33: Tìm số nguyên a sao cho
4 4
a +
là số nguyên tố
Lời giải
Ta có: a4 + = 4 (a2 − 2a+ 2 ) (a2 + 2a+ 2)
Vì
2 2 2 ; 2 2 2
a∈ ⇒ ¢ a − a+ ∈ ¢ a + a+ ∈ ¢
Có: 2 ( )2
a + a+ = a+ + ≥ ∀a
và 2 ( )2
a − a+ = a− + ≥ ∀a
Vậy
4
4
a +
là số nguyên tố thì
2 2
1( )
⇔
− + = = −
Câu 34: Tìm số tự nhiên nđể n+18và n−41là hai số chính phương
Lời giải
Để n+18
và n−41
là hai số chính phương 2
18
⇔ + =
và n− 41 =q p q2( , ∈ ¥)
Nhưng 59 là số nguyên tố, nên:
Trang 5Từ
2 2
Thay vào n−41,ta được
2 2
882 41 841 29 − = = =q
Vậy với n=882
thì n+18
và n−41
là hai số chính phương
Câu 35: Chứng minh rằng nếu m≠5thì
4 4
m a= +
không là số nguyên tố Lời giải
2
= + + + − + + = + + − +
Vì ( )2 ( )2
a+ ≥ ∀a a− ≥ ∀a
nên giá trị nhỏ nhất của thừa số thứ nhất là 1 khi a= −1 Giá trị nhỏ nhất của thừa số thứ hai là 1nếu a=1
Còn các trường hợp khác là tích >1
Vậy ngoài
1 1
a a
=
= −
khi đó m=5
thì có thể phân tích thành tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên mkhông thể là số nguyên tố
Câu 36: Cho số nguyên tố p > 3 Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết
thập phân của số pn có đúng 20 chữ số Chứng minh rằng trong 20 chữ số này
có ít nhất 3 chữ số giống nhau
Lời giải
Do p là số nguyên tố và p > 3 nên p không chia hết cho 3 (*)
pn có 20 chữ số Các chữ số chỉ có thể là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gồm 10 chữ số đôi một khác nhau
Nếu không có quá nhiều hơn 2 chữ số giống nhau thì mỗi chữ số phải có mặt đúng 2 lần trong cách viết số pn Như vậy tổng các chữ số của số pn là: 2(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 90M3 nên pn M.3
Điều này mâu thuẫn (*)
Vậy trong số pn phải có ít nhất 3 chữ số giống nhau
Câu 37: Tìm các số nguyên dương n để n1988 +n1987 + 1 là số nguyên tố
Lời giải:
+ Với n= 1 ta có n1988 +n1987 + = + + = 1 1 1 1 3 là số nguyên tố.
+ Với n≥2,n Z∈ ta có n1988 +n1987 + > 1 n2 + +n 1
Mặt khác, ta có 1988 2 2( 1986 ) 2 ( ) ( ) (3 662 3 662 3 3)
* Chú ý : a n−b a b nM −
Mà n3 − = − 1 3 (n 1) (n2 + +n 1) (Mn2 + +n 1)
Suy ra (n1988 −n2) (Mn2 + +n 1)
Trang 6Tương tự, n1987 − =n n n( 1986 − 1) (Mn2 + +n 1)
Khi đó, n1988 +n1987 + = 1 (n1988 −n2) (+ n1987 − +n) (n2 + +n 1) (Mn2 + +n 1)
Suy ra với n≥2,n Z∈ thì n1988 +n1987 + 1 là hợp số.
Vậy, n= 1 thì n1988 +n1987 + 1 là số nguyên tố.
Câu 38:
Chứng minh: 9n+ 2 và 12n+ 3(n N∈ ) là hai số nguyên tố cùng nhau
Lời giải
Chứng minh: 9n+2
và 12n+ 3(n N∈ )
là hai số nguyên tố cùng nhau
Gọi d UCLN n= (9 + 2,12n+ 3)
, d N∈ * Khi đó,
Vậy, và 12n+ 3(n N∈ )
là hai số nguyên tố cùng nhau
Câu 39: Tìm các số nguyên tố p sao cho 7p + 1 bằng lập phương một số tự nhiên
Lời giải
Tìm các số nguyên tố p sao cho 7p + 1 bằng lập phương một số tự nhiên.
Giả sử 7p+ = 1 m m3( ∈ ¥)
, mà p≥ ⇒ ≥2 m 3 Khi đó 7p m= 3 − = 1 (m− 1) (m2 + +m 1)
(*)
Vì 7, p là các số nguyên tố,
2
m− > m + + >m
nên từ (*) suy ra m− =1 7
hoặc
m + + =m
3
a m− = ⇔ = ⇒ =m p m = = +
, đúng
b)m + + = ⇔m 1 7 m + − =m 6 0
Giải ra ta được m = 2 hoặc m = -3 đều không thỏa mãn điều kiện m≥3
Vậy chỉ có số nguyên tố p = 73 là số cần tìm.
Câu 40:
Cho Tìm tất cả các số tự nhiên để là số nguyên tố
Lời giải
4
( )2 ( )2
P n = + = 4 n + 4n + − 4 4n = n + 2 − 2n
( 2 ) ( 2 ) ( )2 ( )2
= − + + + = − + − +
Trang 7Vì là số tự nhiên nên Như vậy muốn là số nguyên tố thì ta phải có
Khi đó là số nguyên tố
Câu 41: Số tự nhiên là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích
Lời giải
nên có thể viết
là hợp số
Câu 42: Tìm tất cả các số nguyên dương
để (1 n+ 2017 +n2018)
là số nguyên tố
Lời giải
Đặt:
2017 2018 1
A= +n +n n
1
n=
Với thì A=3
là số nguyên tố Với n>1,ta có:
2017 2018 2018 2 2017 2
Ta lại có: 2016 ( )3 672 ( 3 ) ( ) ( )3 671 3 670 3 ( 3 )
n − = n − = n − n + n + + +n n −
(n2016 1) (n2 n 1)
Suy ra A nM( 2 + +n 1 ,)
mà
2
1 <n + + <n 1 A
nên A là hợp số
Vậy n=1
là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn điều kiện
Câu 43: Tìm số tự nhiên nđể plà số nguyên tố biết:
p n= − + −n n
Lời giải
Biến đổi được p=(n2 + 1) (n− 1)
Nếu n=0;1 không thỏa mãn đề Câu
Nếu n=2
thỏa mãn đề Câu vì p=(2 2 + 1 2 1) ( − =) 5
n 1 − + = ⇔ 1 0 n 1 − = ⇒ = 0 n 1
P 5 =
2012
3
A 1 2 = +
2012
3 M 3 3 2012 = 3n( )∈ ¥
( ) ( ) ( )
Trang 8Nếu n>3
không thỏa mãn đề Câu vì khi đó pcó từ 3 ước trở lên là 1;n− >1 1 và
2 1 1 1
n + > − >n
Vậy n=2
thì
p n= − + −n n
là số nguyên tố
Câu 44: Tìm số nguyên asao cho
4 4
a +
là số nguyên tố
Lời giải
Ta có:
4 4 2 2 2 2 2 2
a + = a − a+ a + a+
Vì
2 2 2 ; 2 2 2
a∈ ⇒ ¢ a − a+ ∈ ¢ a + a+ ∈ ¢
Có: 2 ( )2
a + a+ = a+ + ≥ ∀a
và 2 ( )2
a − a+ = a− + ≥ ∀a
Vậy
4 4
a +
là số nguyên tố thì
2 2
1( )
+ + = ⇔ =
− + = = −
Câu 45: Cho nlà số tự nhiên lẻ Chứng minh
3
n −n
chia hết cho 24
Lời giải
Ta có: n3 − =n n n( − 1) (n+ 1)
Vì n−1; ;n n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một trong ba số đó chia hết cho 3
Do đó (n3 −n)M 8 (2)
Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với ( ) ( )1 ; 2
suy ra
(n3 −n)M 24 (dpcm)
Câu 46: Cho
4
A p= trong đó p là số nguyên tố Tìm các giá trị của p để tổng các ước dương của A là số chính phương.
Lời giải
Các ước dương củaA là
2 3 4
1; ;p p p p; ;
Tổng các ước là 1 p p+ + 2 +p3 +p4 =n n2( ∈ ¥)
4 4p 4p 4p 4p 4n
Ta có:
Do đó :
Trang 94 3 2 4 3 2
1 2
2
1( )
3( )
= −
⇔ − − = ⇔ =
Vậy p=3
Câu 47: Tìm các số nguyên tố xvà ysao cho
2 2 2 1
Lời giải
Ta có: x2 − 2y2 = ⇔ 1 2y2 =x2 − 1 2 M ⇒ −(x 1) (x+ 1 2)M
Xét trường hợp : x+ 1 2 M ⇒ + =x 1 2k k( ∈ ¥)⇒ =x 2k− 1
Khi đó ta có
2y M 4 ⇒y M 2 ⇒ =y 2
(do ynguyên tố) Từ đó suy ra x=3 Xét trường hợp x− 1 2 M ⇒ + =x 1 2t t( ∈ ¥) ⇒ = +x 2 1t
Khi đó ta có:
2y M 4 ⇒y M 2 ⇒ =y 2
(do y nguyên tố) suy ra x=3
Câu 48: Ta có:
2
2
20 100 36
Với n∈ ¥
thì
0 <n − 6n+ ≤ 10 n + 6n+ 10 Nên để B là số nguyên tố thì trước hết
2 6 10 1
n − n+ =
Hay ( )2
n− = ⇔ =n
Thử lại , với n=3
thì ( 2 )2
37 là số nguyên tố nên n=3
là giá tị cần tìm
Câu 49: Đặt a2+ a + 1 = x (1)
A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12= x2 – 3x + 4x – 12
= (x2 – 3x) + (4x – 12) = x(x - 3) + 4(x - 3)
= (x - 3)(x + 4)
Thay (1) vào biểu thức A, ta có
A = (a2 + a - 2)(a2 + a + 5)
= (a2 + 2a – a - 2)(a2 + a + 5)
= (a - )( a + 2)(a2 + a + 5)
Ta thấy
2
A aM − A aM + A aM + +a
Vậy A là hợp số
Trang 10Câu 50:
Lời giải
Đặt:
Với thì là số nguyên tố
Với ta có:
Ta lại có:
Suy ra nên A là hợp số
Vậy n =1 là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn điều kiện
Câu 51: Cho
4 4.
P n= +
Tìm tất cả các số tự nhiên nđể P là số nguyên tố
Lời giải
2
Vì n là số tự nhiên nên ( )2
n+ + ≥
Như vậy muốn Plà số nguyên tố thì phải có ( )2
n− + =
hay ( )2
n− = ⇒ =n
Khi đó P=5
là số nguyên tố
Câu 52: Tìm số tự nhiên nđể plà số nguyên tố biết:
p n= − + −n n
Lời giải
Biến đổi được p=(n2 + 1) (n− 1)
Nếu n=0;1 không thỏa mãn đề bài
Nếu n=2
thỏa mãn đề bài vì p=(2 2 + 1 2 1) ( − =) 5
Nếu n>3
không thỏa mãn đề bài vì khi đó pcó từ 3 ước trở lên là 1;n− >1 1 và
2 1 1 1
n + > − >n
Vậy n=2
thì
p n= − + −n n
là số nguyên tố
Câu 53: Tìm số tự nhiên nđể plà số nguyên tố biết:
p n= − + −n n
Lời giải
1) Biến đổi được p=(n2 + 1) (n− 1)
Nếu n=0;1 không thỏa mãn đề bài
Trang 11Nếu n=2
thỏa mãn đề bài vì p=(2 2 + 1 2 1) ( − =) 5
Nếu n>3
không thỏa mãn đề bài vì khi đó pcó từ 3 ước trở lên là 1;n− >1 1 và
2 1 1 1
n + > − >n
Vậy n=2
thì
p n= − + −n n
là số nguyên tố
Câu 54: Tìm số nguyên asao cho
4 4
a +
là số nguyên tố
Lời giải
Ta có: a4 + = 4 (a2 − 2a+ 2 ) (a2 + 2a+ 2)
Vì
2 2 2 ; 2 2 2
a∈ ⇒ ¢ a − a+ ∈ ¢ a + a+ ∈ ¢
Có: 2 ( )2
a + a+ = a+ + ≥ ∀a
và 2 ( )2
a − a+ = a− + ≥ ∀a
Vậy
4 4
a +
là số nguyên tố thì
2 2
1( )
⇔
− + = = −