HSG toan 8 dang 6 BAT DANG THUC

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?... Chứng minh: c Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.. Cộng từng vế ta có điều phải chứng minhBài 25 : Cho là các số dương... Dấu xảy ra khi Bài 3

x x A





  

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x 2006  x 2007 2006

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2

2010 2680

1

x A

thuvienhoclieu com Bài 14: Cho hai số ,x y thỏa mãn điều kiện  2 22 2 2 2 2

x y  x y x  y  Tìm giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2  y2

Bài 15 : Cho các số , ,a b c thỏa mãn 1 , ,a b c0

a b c b c a c a b 

Bài 20 :Cho ,x y thỏa mãn 0 x y  Chứng minh rằng : 2

2 2

Bài 27 : So sánh hai số sau: C  2 1 2  2 1 2 4 1 2 8 1 2 16 1 và D232

Bài 28 : Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất

Bài 40 : Cho a b c   Chứng minh rằng: 3. a4     b4 c4 a3 b3 c3

Bài 41 : Chứng minh rằng : x1  x3  x4 x    với mọi x6 10 0

thuvienhoclieu com

Chứng minh rằng

72

a b c  b c a  c a b 

Bài 51 : Cho biểu thức  2 2 22 2 2

A  b   c a  4b c

a) Phân tích biểu thức Athành nhân tử

b) Chứng minh rằng: Nếu a,b,clà độ dài các cạnh của một tam giác thì A 0

Bài 52 : Cho 3 số dương a,b,ccó tổng bằng 1 Chứng minh rằng:

Bài 75: Cho a3 b3 2.Chứng minh rằng a b  2

Bài 76: Cho a b c, , là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

Bài 80: Cho biểu thức A 2a b2 2 2b c2 2 2a c2 2  a4 b4 c4.Chứng minh rằng nếu a b c, ,

là 3 cạnh của một tam giác thì A 0

Bài 81: Cho bốn số dương a b c d, , , Chứng minh rằng:

Bài 82: a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau:

x2 y2   z2 t2 x y z t    Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

b c c a a b  

Bài 91 : Cho a b c   0, chứng minh: P a    3 b3 c3 3abc 0.

Bài 92 : Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a b c   ab bc ca  thì tam giác đó là tam giác đều.

Bài 94 : Cho x y 2 Chứng minh rằng: x2017 y2017 x2018 y2018.

b) Cho a, b là các số tùy ý Chứng minh:

c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Chứng minh:

Bài 100: Cho thỏa mãn Chứng minh

Bài 101: Cho các số thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 102: Cho a3 b3 2.Chứng minh rằng a b 2  

Bài 103: Cho là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

Bài 104: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 105: Cho thỏa mãn Chứng minh

Bài 106: CMR với là các số dương, ta có:

là 3 cạnh của một tam giác thì

Bài 108: CMR với a b c, , là các số dương, ta có: a b c 1 1 1 9

Bài 111: Chứng minh a 2   b2 c2 2ab bc ca   với mọi số thực a, b, c.

Bài 112: Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 113: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c abc   Chứng minh rằng

1 1 1 3

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 115: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác Chứng

Bài 121: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 122: Cho các số thực dương thỏa mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng:

Bài 123: Cho ba số dương x y z, , thỏa mãn x y z  6 Chứng minh rằng

4 9

x y xyz 

Bài 124: Cho a b c, , 0 Chứng minh rằng

1 1 1 1

với mọi số dương a b c, ,

Bài 131: Cho a b c, , là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 4 : Cho , ,a b c là ba số dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng:1

.2

x x A

thuvienhoclieu com

3x 3x 3 x  x 1

 2 2

2x 4x 2 0 2 x 1 0

       (luôn đúng)

Suy ra:

2 2

x

 Đẳng thức xảy ra  x 0Vậy MaxB  3 x 0

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x 2006  x 2007 2006

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 335 khi x 3

Bài 9 : Cho 3 số dương , ,a b c có tổng bằng 1 Chứng minh rằng:

1 1

Bài 16 : Cho ba số dương , ,a b c có tổng bằng 1 Chứng minh rằng:

1 1

a b c  b c a  c a b 

Bài 20 : Cho ,x y thỏa mãn 0 x y  Chứng minh rằng : 2

2 2

thuvienhoclieu com

Từ (2) và (3) suy ra :

2 2

a b a b ab ab

02

Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh

Bài 25 : Cho là các số dương Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

04

Dấu xảy ra khi suy ra a673,b672,c671

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 6 khi a673,b672,c 671

Bài 29 : Cho là ba cạnh của tam giác

Vì là 3 cạnh của tam giác nên a b c      0; a b c 0;a b c  0

Dấu xảy ra khi

Bài 31 : CMR với là các số dương, ta có: a b c 1 1 1 9

thuvienhoclieu com Bài 32 : Cho , ,x y z là các số lớn hơn hoặc bằng 1 Chứng minh rằng:

BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng Dấu xảy ra khi

Bài 33 : Cho các số thực Chứng minh rằng

Từ (1) và (2) suy ra đpcm Dấu " " xảy ra khi a b c 

Bài 36. Cho , ,a b c là ba số dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng:1

.2

1 1 1 12

Cộng lại ta có điều phải chứng minh

Bài 39 Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh:

Ta chứng minh (a b c)  2 ≥ 3(ab + bc + ca)

a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ≥ 3ab + 3bc + 3ca

Dấu “=” xảy ra 

1, , 0

Mặt khác:

Dấu bằng xảy ra khi x y z  1

Bài 44 : a Chứng minh x2  x 1 0(với mọi x)

b Chứng minh:

2 2

Suy ra BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng, dấu " " xảy ra  x y

Bài 46: CMR với a,b,clà các số dương, ta có: a b c 1 1 1 9

(BĐT Cô si) Do đó: A 3 2 2 2 9     Vậy A 9 

Bài 47 : Cho x,y,zdương và x y z 1.   Chứng minh rằng :

thuvienhoclieu com Bài 48: Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 50 : Cho a,b,clà ba số dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng:

a) Phân tích biểu thức Athành nhân tử

b) Chứng minh rằng: Nếu a,b,clà độ dài các cạnh của một tam giác thì A 0 

ab ac bc ab ac bc 

Vậy 2.VT  4a b c    4 VT  2 Dấu “=” xảy ra    a b c 13

Bài 67: Cho x y z, , là các số lớn hơn hoặc bằng 1 Chứng minh rằng:

BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng Dấu “=” xảy ra khi x y

Bài 68: Cho 3 số dương a b c, , có tổng bằng 1 Chứng minh rằng:

1 1

Hay

1 1 1 1 2

Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh

Bài 79: Biết a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

Bài 80 : Cho biểu thức A 2a b2 2 2b c2 2 2a c2 2  a4 b4 c4.Chứng minh rằng nếu a b c, ,

là 3 cạnh của một tam giác thì A 0

Lời giải

Do a b c, , là 3 cạnh của một tam giác nên

Bài 81: Cho bốn số dương a b c d, , , Chứng minh rằng:

Lấy (1), (2), (3) và (4) cộng vế theo vế, thu gọn ta được điều phải chứng minh

( Chú ý : Dạng tương tự : Cho bốn số dương a b c d, , ,

Chứng minh rằng:

a b c b c d c d a d a b

        có giá trị không nguyên )

Bài 82 : a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau:

x2 y2   z2 t2 x y z t    Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

* Cách 1: Dùng biến đổi tương đương.

  với a và b cùng dấu Dấu “=”   a b 0

Bài 90 : Cho ba số dương a b c, ,

Dấu “ =” a b c   0.

KL:

3 2

Vậy, P a   3 b3 c3 3abc0 với a b c   0 Dấu “=”    a b c 0.

Bài 92 : Chứng minh các bất đẳng thức sau :

Dấu “=”    a b c tam giác đó là tam giác đều.

+ Theo BĐT tam giác ta có:

a b c   ab bc ca  thì tam giác đó là tam giác đều.

Bài 94:Cho x y 2 Chứng minh rằng: x2017 y2017 x2018 y2018

bc a

Dấu “=”

Bài 99:

a) Cho Chứng minh rằng:

b) Cho a, b là các số tùy ý Chứng minh:

c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Với dương , chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi

Cho là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

Lời giải

Từ đó suy ra :

Thay vào ta được:

Từ đó suy ra Dấu “= “ xảy ra

Bài 105: Cho thỏa mãn Chứng minh

thuvienhoclieu com

Mà (BĐT Cô si)

là 3 cạnh của một tam giác thì

Lời giải

Do là 3 cạnh của một tam giác nên

Bài 108: CMR với a b c, , là các số dương, ta có: a b c 1 1 1 9

(Theo BĐT Cauchy) nên BĐT (*) đúng do đó bđt được CM.

Đẳng thức xảy ra khi

1 2

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c hay tam giác đã cho là đều

Bài 116: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh bất đẳng thức:

= (2 a2 + 2 ab + 2ac + bc)2  0 với mọi a,b,c (đpcm)

Bài 119: Cho 3 số dương a b c, , có tổng bằng 1.Chứng minh rằng

1 1 1

9

a b c  

Lời giải

thuvienhoclieu com

Từ

1 1 1

1 1

b  c  a   

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c   1.

Bài 121: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

x y xyz 

BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh.

Bài 131: Cho a b c, , là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :

0 3 abc  a b c 1 và 3       3

0 3  a b b c c a   8 a b c  (2)Nhân tương ứng hai vế các BĐT (1) và (2) được:

thuvienhoclieu com

Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức:

32

12

a b

Đặt b c a x   0; c a b y   0; a b c z   0

Từ đó suy ra 2 ; 2 ; 2

a  b  c Thay vào ta được:

11

Hay

1 1 1 12

BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng Dấu “=” xảy ra khi x y

Bài 144: a) Cho , ,a b c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi

thuvienhoclieu com

0 4