CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 16 doc

Trong bài này, ta sẽ thấy mối lien hệ của spin và moment toàn phần Trong bài này, ta sẽ thấy mối lien hệ của spin và moment toàn phần tức là tổng của moment quỹ đạo với moment spin Vớ

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Nguyễn Văn Khiêm

Bài 16 SPIN, MOMENT TOÀN PHẦN VÀ PHÉP QUAY

Trong bài này, ta sẽ thấy mối lien hệ của spin và moment toàn phần Trong bài này, ta sẽ thấy mối lien hệ của spin và moment toàn phần

tức là tổng của moment quỹ đạo với moment spin

Với quy luật biến đổi của hàm trạng thái theo các phép quay không gian hay các phép quay hệ trục toạ độ Với quy luật biến đổi của hàm trạng thái theo các phép quay không gian hay các phép quay hệ trục toạ độ

1.Hàm trạng thái với spin ½ trong phép quay hữu hạn.

Vì spin là đại lượng vector nên giá trị trung bình của nó cũng phải là

đại lượng vector

Vì vậy, nếu chọn các toán tử S ˆx; S ˆy ; S ˆz

dưới dạng các ma trận định thì hàm trạng thái lại phải thay

đổi theo một quy luật nhất định trong phép quay không gian

Với Sˆx;Sˆy;Sˆz

đã chọn như trong bài 15 thì, nếu tạm thời bỏ qua các toạ độ không gian , giá trị trung bình của chúng sẽ được tính như sau:

( ) ( ) ( 1 )

* 2 2

* 1 2

1

* 2

* 1 2

1

* 2

* 1

2

; 2

0 1

1

0

; 2

ψ

ψψ

ψψ

ψψ

* 1 1

2

* 2

* 1 2

1

* 2

* 1

2

; 2

0

0

; 2

ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ  −   = −  = − −

= Ψ Ψ

i

i i

i S

S y y

(16.2)

* 2 1

* 1 2

1

* 2

* 1 2

1

* 2

* 1

2

; 2

1 0

0

1

; 2

ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

Như vậy, bộ ba số

* 2 2

Để đỡ phức tạp, ta hãy xét phép quay hệ trục toạ độ Oxyz

quanh trục Oz một góc ϕ, để nhận được trục mớI Ox’y’z’

Khi đó, nếu ký hiệu (x,y,z) và (x’,y’,z’)lần lượt là các toạ độ của một

điểm M trong các hệ toạ độ “cũ” và “mới”, thì:

y x

y

y x

x

' '

'

cos sin

sin

cos

ϕϕ

ψ ψ

trong hệ O’x’y’z’ và hàm trạng thái Ψ =  2 

1

'

ψ ψ

trong Oxyz (mô tả cùng một trạng thái của hạt) sẽ là:

2

* 2 1

* 1

' 2

* ' 2

' 1

* 1 1

* 2 2

* 1

' 1

* ' 2

' 2

* 1 1

* 2 2

* 1

' 1

* ' 2

' 2

*

'

1

cossin

sincos

ψ ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ

ϕ ψ

ψ ψ

ψ ϕ

ψ ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ

ϕ ψ

ψ ψ

ψ ϕ

ψ ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ

i i

nên có thể đoán rằng, để chúng biến đổi giống như ba toạ độ của

một điểm khi bị quay một góc -ϕ (ứng với việc quay hệ toạ độ

một góc bằng ϕ) thì

2

1 , ψ ψ

phải biến đổi như kiểu bị quay một góc -ϕ/2

Và quả vậy, nếu

* ' 2

2 1

* ' 1

ϕ

ϕ

ψψ

ψ

ψ

i i

e e

ψ ψ ϕ

ϕ ψ

ψ

ψ ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

sin cos

sin cos

sin cos

1

* 2 2

* 1 1

* 2 2

* 1

2

* 1 2

* 1

1

* 2 2

* 1

' 1

* ' 2

' 2

=

= +

−

−

=

= +

=

i

i i

e

(16.6)

tức là hệ thức thứ nhất trong (16.5) thoã mãn Các hệ thức còn lại cũng được chứng minh theo cách đơn giản như vậy.

Ta hãy lưu ý đến một trường hợp đặc biệt, khi ϕ=2π Khi đó, tất cả các điểm trong không gian đều nhận lại các toạ độ cũ như trước khi

quay,

và ta cũng có thể coi rằng chưa hề có việc thực hiện phép quay nào

Tuy nhiên, vì e±iπ = −1 nên (16.6) lúc đó trở thành:

1

' 1

ψ ψ

ψ ψ

(16.7)

Hàm trạng thái chỉ trở lại hoàn toàn như cũ khi góc quay bằng 4π, tức

là quay lại hai vòng!

Điều này rõ ràng không thể chấp nhận được theo quan điểm cổ điển

Tuy nhiên, kêt quả kỳ lạ này không hề phi lý về mặt logic vì các lý do sau

(i) thứ nhất, hàm trạng thái ở đây không đơn giản phụ thuọc vào

điểm trong không gian mà còn phụ thuộc cả biến số spin nên không thể nói rằng sau khi quay một vòng thì dứt khoát hàm trạng thái

phải nhận lại giá trị cũ

(ii) thứ hai, bản than hàm trạng thái không phải là đại lượng đo được

mà chỉ có các biểu thức bậc hai của chúng

2

* 2 1

số dạng

α

i

e (với α là số thực)

Do đó,việc Ψ không đổi dấu khi quay đủ một vòng không có gì là phi lý

Như vậy, có thể nói tồn tại của moment riêng (spin) biểu hiện ở sự

thay đổi giá trị của hàm trạng thái khi quay hệ trục toạ độ, kể cả khi

hàm trạng thái không phụ thuộc toạ độ

Chú ý: Với quy luật biến đổi cho bởi (16.6) người ta nói hàm

trạng thái với spin ½ là spinor

2 1

* ' 1

ϕ

ϕ

ψψ

ψ

ψ

i i

e

e

(16.6)

Trước hết, ta vẫn xét phép quay hệ trục toạ độ quanh trục Oz, nhưng

lần này, thay cho góc quay là ϕ, ta sẽ xét một góc quay vô cùng bé δϕ

2 1

2

' 2

1

' 1

δϕ ψ

ψ

δϕ ψ

0

0

1 2

1 2

1 2 1

ψ

(trong đó k là vector đơn vị của trục Oz, trong trường hợp này là trục quay),

=

 ˆ

11

'

(16.9)

Trong trường hợp tổng quát, khi trục quay không trùng với Oz, vector

k cần được thay bởi vector đơn vị n 

của trục quay tương ứng, tức là thay cho (16.9), ta có:

=

Ψ Sn δϕ

1 1

'

(16.10)Bây giờ ta xét tác động của phép quay lên hàm trạng thái như hàm

của ba toạ độ không gian (và tạm bỏ qua biến số spin)

Vẫn xét phép quay quanh trục Oz một góc δϕ

Khi đó, các toạ độ (x, y, z) và (x’, y’, z’) của cùng một điểm trong hệ

toạ độ cũ và mới sẽ liên hệ với nhau như sau

(nếu lấy cosδϕ ≈ 1, sinδϕ ≈ δϕ)

y x

y

y x

x

' '

Trong trường hợp trục quay tuỳ ý với vector đơn vị n , ta có:

Giả sử hàm trạng thái chỉ phụ thuộc vào điểm trong không gian

Khi đó quy luật phụ thuộc của hàm này vào các toạ độ của điểm buộc

phải thay đổi khi quay hệ toạ độ

Ký hiệu ψ và ψ '

là biểu thức tương ứng của hàm này trong các hệ toạ độ cũ và mới

Khi đó phải có: ψ '( )r' =ψ ( )r

hay: ψ ' ( r  + δ 'r  ) = ψ ( ) r 

tức là:

( ) r  ψ ( r  δ r  )

ψ ' ' = (16.13)−Mặt khác:

ψψ

δψ

δψ

ψδ

ψ ' = +   ˆ  

ψ ' = 1+  ˆ   (16.15)

trong đó Mˆ là toán tử moment quỹ đạo

Bây giờ ta kết hợp (16.10) với (16.15): đối với hàm vừa phụ thuộc x,

y, z, vừa phụ thuộc biến số spin, trong phép quay hệ trục toạ độ nó

phải chịu tác động của cả hai toán tử:

Tác động liên tiếp của hai toán tử này ứng với tích của hai toán tử,

Nếu bỏ qua vô cùng bé bậc cao thì toán tử tích sẽ là:

( ) ( )δϕ 2 δϕ = 1+  ˆ .δϕ

 (16.16)trong đó Jˆ = Mˆ + Sˆ

là toán tử moment toàn phần của hạt Như vậy, qua phép quay vô cùng bé, hàm

=

Ψ' 1 i J  ˆ n  δϕ

 (16.17)

Tất cả những điều nói về spin ½ có thể tổng quát hoá cho trường hợp

spin tuỳ ý Trong trường hợp tổng quát, ta xét hàm trạng thái k thành

phần, vớI k = 2l + 1, trong đó l là số nguyên hoặc bán nguyên (dương)

Toán tử spin Sˆ cũng gồm ba thành phần Sˆx;Sˆy;Sˆz

thoả mãn các hệ thức giao hoán như trong trường hợp spin ½

Khi đó, mỗi thành phần đều có thể nhận 2l + 1 giá trị Nếu

S M

là moment toàn phần thì ta vẫn có quy tắc biến đổi hàm trạng thái như (16.17)

Tuy nhiên, nói chung thì hàm trạng thái không có tính chất spinor

nghĩa là nếu bỏ qua sự phụ thuộc vào toạ độ thì quy tắc biến đổi

vẫn không phải là quy tắc (16.16)

Trường hợp spin bằng 1 (tức là l = 1), hàm trạng thái gồm ba thành

phần và biến đổi giống như vector