CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 24 ppt

Trong chương này, ta sẽ xây dựng Cơ học lượng tử sao cho nó phù hợp với những yêu cầu của lý thuyết tương đối Special Relativity Theory Một lý thuyết như vậy, muốn được xây dựng một các

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Nguyễn Văn Khiêm

Bài 24 ĐỐI XỨNG HOÁ TƯƠNG ĐỐI TÍNH PHƯƠNG TRÌNH KLEIN-GORDON

Trong chương này, ta sẽ xây dựng Cơ học lượng tử sao cho nó phù hợp với những yêu cầu của lý thuyết tương đối (Special Relativity Theory)

Một lý thuyết như vậy, muốn được xây dựng một cách hoàn chỉnh phải dựa vào phép tính tensor

Tuy nhiên, vì ở đây ta chỉ làm quen với những ý tưởng ban đầu của Cơ học lượng tử

tương đối tính nên chúng tôi sẽ chỉ trình bày các vấn đề được quan tâm ở dạng sơ khai gần giống như trong các công trình ban đầu của P Dirac.

1 Nguyên lý tương đối và các hệ quả quan trọng

Như đã biết, A Einstein đã xây dựng lý thuyết tương đối, xuất phát từ hai tiên đề sau đây

Tiên đề 1: Mọi định luật của Vật lý học đều như nhau trong mọihệ qui chiếu quán tính

Tiên đề 2: Vận tốc ánh sang trong chân không là như nhau đối với mọi hệ quy chiếu

quán tính

Nói chính xác hơn, nếu phương trình mô tả mối liên hệ của một số đại lượng vật lý ở trong hệ quy chiếu quán tính này có dạng như thế nào thì khi chuyển sang hệ quy

chiếu quán tính khác nó cũng phải như vậy

Sau đây là những hệ quả quan trọng mà ta sẽ dùng đến.

Hệ quả 1: Giữa năng lượng E, xung lượng P và khối lượng m của một hạt có mối liên hệ sau:

(Chú ý rằng ở đây khi nói “khối lượng” ta luôn hiểu đó là “khối lượng nghỉ”, và sẽ không nói đến “khôí lượng động”).

Khi hạt có vận tốc bằng 0 (đối với hệ quy chiếu quán tính S) thì ta có

E=mc 2 ; đay làcông thức vĩ đại của A Einstein

Hệ quả 2: Trong mỗi phương trình vật lý mô tả một định luật cơ bản, các biến số

không gian x, y, z và biến số thời gian t đều phải tham gia cùng với một bậc; ví dụ,

trong phương trình sóng điện từ:

2 2 2 2 2 0

∂ + ∂ + ∂ − ∂ =

các biến số x, y, z, t đều có mặt như những biến số của đạo hàm bậc 2.

Chú ý rằng ta chỉ yêu cầu tính chất cùng bậc đối với x, y, z, t trong những

phương trình mô tả một chuyển động cụ thể, ví dụ, chuyển động nhanh dần

đều

2 Phương trình Klein-Gordon

Phương trình Schrodinger cho hạt tự do là:

ψ

ψ

m

p t

i

2

ˆ2

=

∂

∂

 (24.1) h

ay









∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

=

∂

∂

2

2 2

2 2

2 2

t

Phương trình này không bình đẳng về bậc đối với các biến số không gian và thời gian, và điều này dẫn đến tính không bất biến của nó khi chuyển hệ quy chiếu

Vì vậy, không thể dùng nó trong một lý thuyết tương đối tính.

Để “đối xứng hoá tương đối tính” có hai cách

Cách thứ nhất là thay haminltonian   ∂  

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

= 2 22 22 22

2

ˆ

z y

x m

bởi một toán tử chứa , ,

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

một cách tuyến tính, nghĩa là toán tử có dạng α ∂ x + β ∂ y + γ ∂ z

trong đó α, β, γ có thể là các toán tử không lien quan đến các biến số x, y, z (nhưng

không thể là các số)

Cách này đã được thực hiện bởi P A M Dirac và nó dẫn đến phương trình mô

tả hạt có spin bán nguyên Ta sẽ xét cách này sau.

Cách thứ hai là thay vế trái của (24.2) bởi biểu thứ chứa

2 2

t

ψ

∂

∂

sao cho phương trình phù hợp với các quan điểm của lý thuyết tương đối

Ta sẽ thực hiện cách này ngay bây giờ và xem phương trình nhận được mô tả những hạt

tự do nào.

Tương ứng với hệ thức năng lượng: E2 − c p2 2 = m c2 4

ta sẽ yêu cầu hàm trạng thái ψ thoả mãn phương trình:

( H ˆ 2 − c p2 ˆ2 ) ψ = m c2 4ψ (24.3)

trong đó H ˆ là toán tử năng lượng

Vì cp x , cp y , cp z , và E là các thành phần của vector bốn chiều

nên tốt nhất ta sẽ coi rằng

Ta sẽ chọn

do sự tương tự với phương trình Schrodinger

nên theo một nghĩa nào đó có thể coi

mà

x

c i

cpx

∂

∂

−

y

c i

cpy

∂

∂

−

z

c i

cpz

∂

∂

−

( ) ct i t

c i

H

∂

∂

±

=

∂

∂

±

ˆ

chú ý rằng

t

i

∂

∂



trong lý thuyết phi tương đối tính không được coi là toán tử năng lượng!

t

i

H

∂

∂

=  ˆ

vì trong phương trình này ta có ψ H ψ

t

i = ˆ

∂

∂



t

i

∂

∂

 như toán tử năng lượng Như vậy, (23.3) trở thành:

Phương trình này gọi là phương trình Klein-Gordon

Cũng có thể gọi nó là phương trình Fock-Gordon-Klein-Schrodinger, do bồn người này tìm ra độc lập với nhau

Với m=0 (ví dụ với photon), phương trình (24.4) trở thành phương trình truyền song

điện từ trong chân không

Điều này rõ rang làm tăng độ tin cậy của việc ta làm

( H ˆ 2 − c p2 ˆ2 ) ψ = m c2 4ψ (24.3)

ψ ψ

ψ ψ

2

2 2

2 2

2 2 2 2

2

z y

x

c









∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

Nếu chọn hệ đơn vị sao cho

1

c

ℑ = =

phương trình (24.4) có thể viết lại như sau:

Ký hiệu

Chú ý: Một vài tác giả cho rằng phương trình Kein-Gordon chỉ dùng cho hạt không

có spin

Trên thực tế, trong những luận ứ ta dung để xác lập phương triònh không hề có sự ưu tiên nào cho hạt không có spin

Vì vậy, nó phải được dung cho bất kỳ hạt tự do nào

Đối với các loại hạt có spin, việc mô tả sẽ được thực hiện chính xác hơn bằng các

phương trình khác nữa,nhưng từ những phương trình đó vẫn suy ra được phương

trình Klein-Gordon

2

=









∂

∂

−

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

2

2 2

2 2

2 2

2

t z

y

x □ (toán tử d’ Alembert), ta được

( □ − m2) ψ = 0 (24.5)

Đối với hạt không có spion, hàm ψ được chọn là hàm vô hướng bốn chiều, nghĩa là bất biến đối với biến đổi Lorentz

Đối với các loại hạt khác ψ chứa vài thành phần và biến đổi theo hệ quy chiếu theo

một số kiểu khác nhau (vector hoặc spin) tuỳ theo đặc trưng spin của hạt.

3 Trường hợp hạt có xung lượng xác định

Xét hạt vô hướng (không có spin) với xung lượng

và tương tự cho các toạ độ y và z.

( px py pz )

p  = , , Khi đó ta có:

ψ

p  ˆ =  (24.6)

x

i =

∂

∂

Suy ra: i pxdx



=

∂

ψ ψ

do đó = i pxx + C



ψ

i

x

e

C  1

=

ψ

Do x, y, z là bình đẳng nên ta có: ( ) i p r

e t





 0

ψ

ψ =

với r  = ( x , y , z )

.

Mặt khác, từ (24.6) ta có ˆp2 = p2ψ

Thế ( ) i p r

e t





 0

ψ

ψ = vào (24.3) ( H ˆ 2 − c p2 ˆ2 ) ψ = m c2 4ψ

và chú ý rằng 2

2 2 2

ˆ

t

H

∂

∂

−

ψ  , sau đó chia hai vế cho p r

i

e





 , ta được:

0

4 2 0

2 2 2

0

2

∂

∂

− 

4 2 2

2 2

0

2

=

+ +

∂



c m p

c

t (24.8)

Hai nghiệm cơ bản của (24.8) có dạng

t c m p c

i

01

4 2 2

2 +

= 

i

02

4 2 2

2 +

−

= 

ψ

.

Nghiệm tổng quát là tổ hợp tuyến tính của chúng

Xét trường hợp ψ0 = ψ01

khi

đó:







−







4 2 2 2

.

1

với p đủ nhỏ (tức là vận tốc nhỏ),ta có:

2 2

p

m

Do đó:

















−

−

= m t p r

p i

e C





2

2

.

ψ (24.10)

Như vậy, khi hạt chuyển động đủ chậm,ta cóthể thay phương trình Klein-Gordon bởi phương trình Schrodinger vì (24.10) chính là nghiệm của phương trình

Schrodinger ứng với trạng thái dừng.

Bài 24 ĐỐI XỨNG HOÁ TƯƠNG ĐỐI TÍNH PHƯƠNG TRÌNH KLEIN-GORDON

Bài 24 ĐỐI XỨNG HOÁ TƯƠNG ĐỐI TÍNH PHƯƠNG TRÌNH KLEIN-GORDON

Bài 24 ĐỐI XỨNG HOÁ TƯƠNG ĐỐI TÍNH PHƯƠNG TRÌNH KLEIN-GORDON

Bài 24 ĐỐI XỨNG HOÁ TƯƠNG ĐỐI TÍNH PHƯƠNG TRÌNH KLEIN-GORDON