Sáng kiến hình học oxy hình học 10

Sáng kiến hình học Oxy 10 là hệ thống toàn bộ kiến thức về hình học oxy và tất cả các dạng toán từ dễ đến khó, có ví dụ vụ thể và có bài tập vận dụng cho từng dạng, đây là sáng kiến được công nhận cấp sở, là tài liệu rất quan trọng cho giáo viên khi dạy phần hình học oxy 10 cho học sinh và ôn thi học sinh giỏi cho học sinh, giáo viên chỉ việc dạy không phải mất công biên soạn.

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: - Hội đồng Sáng kiến Trường THPT Lê Quý Đôn

- Hội đồng Sáng kiến ngành GD&ĐT tỉnh Bình Phước

Tôi ghi tên dưới đây:

Chức danh

Trình độ chuyên môn

Tỷ lệ (%) đóng góp

viên

Đại học 100%

Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “Một số dạng toán thường gặp

về phương trình đường thẳng trong hình học Oxy ”

1 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: ……

Trong vài năm trở lại đây việc đổi mới phương pháp, hình thức dạy học và kiểmtra, đánh giá theo định hướng phát triển năng lực học sinh đã được triển khai Hầu hếtgiáo viên hiện nay đã được trang bị lí luận về các phương pháp và kỹ thuật dạy học

tích cực trong quá trình đào tạo tại các trường đại học sư phạm cũng như quá trình bồidưỡng tập huấn hàng năm của sở giáo dục Bộ Giáo dục và Đào tạo đã biên soạn tàiliệu tập huấn về “Phương pháp và kỹ thuật tổ chức hoạt động học theo nhóm và hướngdẫn học sinh tự học ” phương pháp mới này ngày càng được áp dụng rộng rãi và sựthành công của tiết dạy là học sinh có hiểu bài hay không?Có biết vận dụng kiến thứchay không? Muốn vậy phải phát triển tốt khả năng tư duy, tự học tự nghiên cứu, tínhsáng tạo, tính khoa học – hiện đại, cơ bản, tính thực tiễn, giáo dục kỹ thuật tổng hợp,tính hệ thống trong giáo án của mỗi giáo viên.

b) Vấn đề nghiên cứu

Trong chương trình trung học phổ thông, hình học Oxy phần phương trình đườngthẳng là một phần học không mấy khó đối với học sinh, trong các kỳ thi học sinh giỏi,

kỳ thi Olympic 19/5 luôn có một bài về hình học Oxy Nhưng một số học sinh thường

bỏ hoặc làm sai bài toán này Để giải quyết bài toán này học sinh phải đọc thật kỹ đềbài từ đó xác định giả thuyết bài toán, vẽ hình rồi tiến hành giải bài toán Chính vì thế

tôi quyết định chọn đề tài “Một số dạng toán thường gặp về phương trình đường

thẳng ”, do chưa có nhiều kinh nghiệm nên đề tài còn nhiều hạn chế, hy vọng đề tài là

tài liệu bổ ích cho giáo viên và học sinh tham khảo, giúp các em học sinh có thể tự học

để bồi dưỡng thêm kiến thức về hình hình học Oxy, để các em học sinh tự tin bước vàocác kỳ thi cuối kỳ 2 lớp 10, kỳ thi học sinh giỏi 12, kỳ thi Olympic 19/5 đối với họcsinh khối 10 và khối 11

2

 Khi một mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ.

2) Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ

Đối với hệ trục (O; r i

;r j

), nếu a r

=xr i +yr j thì cặp số (x;y) là toạ độ của a r

4) Tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ được gọi là tọa độ của điểm M Như vậy, cặp số (x ; y) là tọa độ của M ⇔ =(x ; y)

Khi đó, ta viết M(x ; y) hoặc M(x ; y)

 x gọi là hoành độ điểm M, y gọi là tung độ điểm M

 M(x ; y)⇔ ⇔ =(x;y)

5) Tọa độ vectơ khi biết tọa độ hai điểm M, N

Cho M(xM ; yM) và N(xN ; yN) ta có :MN uuuur

= (xM – xN ; yM – yN)

6) Tọa độ trung điểm

Nếu P( ) là trung điểm của đoạn thẳng MN thì:

7) Tọa độ trọng tâm tan giác ABC

Nếu A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC) Khi đó tọa độ trọng tâm G(xG;yG) được tính theo

công thức:

B Tích vô hướng của hai vectơ

1) Định nghĩa: Tích vô hướng của hai véctơ a và b là một số, kí hiệu là a.b, được

xác định bởi: a =.b a bcos(a,b)

 Bình phương vô hướng

4

4) Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

Cho →a = (x, y) , →b= (x', y') ; M(xM, yM), N(xN, yN) ta có

y x y x

yy xx

1) Định lý cosin trong tam giác

Với mọi tam giác ABC với AB=c, BC=a, AC=b Khi đó ta có :

(1) a2 = b2+ c2 - 2bcCosA

(2) b2 = a2 + c2 - 2acCosB

(3) c2 = a2 + b2 - 2abCosC

2) Định lý sin trong tam giác

Trong tam giác ABC với AB=c, AC=b, AB=a, R là bán kính đường trong ngoại

tiếp tam giác ABC ta có:

hay (1) a=2RsinA (2) b= 2RsinB (3) c= 2RsinC

(4) = pr (Với là nửa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)

D Phương trình đường thẳng

1) Véctơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu và giá củasong song hoặc trùng với d

2) Phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm M0(x0;y0) và có véctơ chỉ

phương =(u1;u2) là: ( t là tham số)

3) Hệ số góc của đường thẳng

Đường thẳng d có véctơ chỉ phương =(u1;u2), u1≠0 Khi đó hệ số góc k của

đường thẳng d là k =

 Phương trình đường thẳng d qua M0(x0;y0) và có hệ số góc k là y−y0 = k(x− x 0 )

Chú ý: Nếu d có hệ số góc k thì d có một véctơ chỉ phương là =(1;k)

4) Véctơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d nếu và giá củanằm trên đường vuông góc với d ( ⊥d)

5) Phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương trình tổng quát của dường thẳng d có dạng: ax+by+c=0 (a2+b2≠0)

Dó đó đường thẳng d có véctơ pháp tuyến là =(a;b)

 Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua M0(x0,y0) có vectơ pháp tuyến

=(a;b) là: a(x−x 0 )+b(y−y 0 )= 0

 Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A(x A ;y A ), B(x B ;y B ) là:

8

điểm A và có vectơ pháp tuyến

 Cách chuyển từ phương trình tổng quát sang phương trình tham số:

Đặt x= t, từ phương trình tổng quát ⇒ y theo t

 Cách chuyển từ phương trình tham số sang phương trình tổng quát

Từ phương trình của x⇒ t= , thế t vào y ⇒ Phương trình tổng quát

Các dạng đặc biệt:

 Đường thẳng by+c=0 song song hoặc trùng trục Ox.

 Đường thẳng ax+c=0 song song hoặc trùng trục Oy.

 Đường thẳng ax+by=0 di qua góc tọa độ.

 Đường thẳng đi qua A(a;0), B(0;b) có phương trình (a≠0, b≠0) gọi

là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.

6) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng ∆1 , ∆2 có phương trình tổng quát và

 Số điểm chung của hai đường thẳng chính là số nghiệm của hệ

 Nếu a 2≠0,b2≠0, c2≠0 thì

(1) ∆1 cắt ∆2 ⇔

(2) ∆1 // ∆2 ⇔

(3) ∆1 ≡∆2 ⇔

7) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ có pt tổng quát là ax+by+c= 0 và một điểm M0(x0;y0) Khi

đó khoảng cách từ M0 đến ∆ được xác định:

 Nếu M 0 thuộc ∆ thì d(M 0 ,∆ )=0

8) Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng ∆1 , ∆2 có phương trình tổng quát

 Khi đó, góc ϕ giữa hai đường thẳng (00 ≤ ϕ ≤ 900) được tính theo công thức

Chú ý:

 Khi hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau ta quy ước góc giữa chúng là

0 0

 ∆1 ⊥ ∆2⇔k1.k2= -1 (⇔ ⇔a1.a2+b1.b2= 0)

9) Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng ∆1 , ∆2 có phương trình tổng quát

10

 Phương trình đường phân giác góc nhọn, góc tùĐặt và

 Hai đường thẳng vuông góc thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là

vectơ chỉ phương của đường thẳng kia và ngược lại

E Phương trình đường tròn

1) Phương trình đường tròn (C) có tâm và bán kính cho trước:

Đường tròn tâm I(a,b) và bán kính R có dạng: (x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2

 Đặc biệt : Nếu tròn tâm O(0;0) , bán kính R có dạng: x 2 + y 2 = R 2

Nhận xét:

 Phương trình đường tròn còn viết được dưới dạng: x 2 +y 2−2ax−2by+c=0

với c=a 2 +b 2 -R 2

 Ngược lại, phương trình x 2 +y 2−2ax−2by+c=0 được gọi là phương trình

đtròn (C) khi và chỉ khi a 2 +b 2−c>0 Khi đó (C) có tâm I(a;b) và bán

kính R=

2) Điều kiện để đường thẳng ∆ : ax+by+c=0 tiến xúc với đường tròn (C) là

3) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho M(x 0 ; y 0 ) thuộc đường tròn (C) tâm I(a;b) Phương trình tiếp tuyến của

Bước 1: Xác định tâm I ⇒ vecto pháp tuyến

Bước 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua M và có vtpt

 Cách 2:

 Nếu (C): (x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2 thì phương trình tiếp tuyến có dạng:

(x 0−a)(x−x0 ) + (y 0−b)(y−y0 ) = R 2

 Nếu (C): x 2 +y 2−2ax−2by+c=0 thì phương trình tiếp tuyến có dạng:

x 0 x+y 0 y−a(x 0 +x)−b(y 0 +y) + c= 0

d) Các dạng toán thường gặp về phương trình đường thẳng trong hình học Oxy

Dạng 1: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng

 Định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu và giá của song song hoặc trùng với

12

A B

phương của đường thẳng

Trường hợp 2: Nếu đường thẳng có vectơ pháp tuyến

u n

Trường hợp 3: Nếu đường thẳng có hệ số góc là k thì đường thẳng có vectơ chỉ

Trường hợp 4: Nếu đường thẳng song song với đường thẳng d

Trường hợp 6: Nếu đường thẳng có phương trình tham số là

thì xác định được ngày vectơ chỉ phương

14

a) Đường thẳng đi qua hai điểm A(3;-5) và B(-2;4)

b) Đường thẳng có vectơ pháp tuyến

c) Đường thẳng có hệ số góc

d) Đường thẳng song song với đường thẳng

e) Đường thẳng vuông với đường thẳng

f) Đường thẳng có phương trình tham số

 Phân tích

 Học sinh áp dụng các trường hợp trên để vận dụng đi tìm vectơ chỉ phương.

Lời giải:

a) Vì đường thẳng đi qua hai điểm A và B nên nhận làm vectơ chỉ phương

b) Vì đường thẳng có vectơ pháp tuyến hoặc

Nhận xét

- Câu a ta có thể chọn vectơ chỉ phương

- Một đường thẳng luôn có vô số vectơ chỉ phương do đó câu c ta có thể chọn vectơ chỉ phương khác sao cho thỏa điều kiện

 Bài tập tự luyện

Câu 1 Đường thẳng đi qua hai điểm M(1;-3) và N(4;2) Vectơ chỉ phương của

đường thẳng là vectơ nào sau?

Dạng 2: Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng

 Định nghĩa vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu và vuông góc với vectơ chỉ phương của

Trường hợp 1: Nếu đường thẳng có vectơ chỉ phương

u n

Trường hợp 2: Nếu đường thẳng có hệ số góc là k thì sao cho

Trường hợp 3: Nếu đường thẳng đi qua hai điểm A và B

phương

Vì

Trường hợp 6: Nếu đường thẳng có phương trình tổng quát :

thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng là

18

a) Đường thẳng đi qua hai điểm A(2;-5) và B(1;4)

b) Đường thẳng có vectơ chỉ phương

c) Đường thẳng có hệ số góc

d) Đường thẳng song song với đường thẳng

e) Đường thẳng vuông với đường thẳng

f) Đường thẳng có phương trình tổng quát:

Bài tập tự luyện

Câu 1 Đường thẳng đi qua hai điểm M(1;-3) và N(4;2) Vectơ pháp tuyến của

đường thẳng là vectơ nào sau?

Yếu tố thứ hai: Một vectơ chỉ phương

 Sau khi có đủ hai yếu tố là điểm đi qua và vectơ chỉ phương học sinh thay vào

phương trình tham số: thì ta được phương trình tham số của đườngt hẳng d.

Lời giải:

hợp sau:

a) d đi qua điểm M(2;1) và có vectơ chỉ phương

b) d đi qua điểm M(-2;3) và có vectơ pháp tuyến

c) d đi qua điểm M(4;1) và có hệ số góc bằng 5

d) d đi qua điểm M(1;3) và song song với đường thẳng

e) d đi qua điểm M(-2;4) và vuông góc với đường thẳng

a) d đi qua điểm M(2;1) và có vectơ chỉ phương

Phương trình tham số của đường thẳng d:

b) d đi qua điểm M(-2;3) và có vectơ pháp tuyến

Phương trình tham số của đường thẳng d:

c) d đi qua điểm M(4;1) và có hệ số góc bằng 5

Phương trình tham số của đường thẳng d:

d) d đi qua điểm M(1;3) và song song với đường thẳng

Ta có

Phương trình tham số của đường thẳng d:

22

Câu 3 Đường thẳng đi qua điểm N(-1;2) và có hệ số góc bằng 2 Phương trình

tham số của đường thẳng là

Câu 4 Đường thẳng đi qua điểm N(-5;2) và song song với đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng là

Câu 5 Đường thẳng đi qua điểm N(1;2) và vuông góc với đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng là

Yếu tố thứ hai: Một vectơ pháp tuyến

(Trong đó a, b là tọa độ của vectơ pháp tuyến còn , là tọa độ điểm đi qua M)

a) d đi qua điểm M(2;1) và có vectơ chỉ phương

b) d đi qua điểm M(-2;3) và có vectơ pháp tuyến

c) d đi qua điểm M(4;1) và có hệ số góc bằng 5

d) d đi qua điểm M(1;3) và song song với đường thẳng

e) d đi qua điểm M(-2;4) và vuông góc với đường thẳng

Lời giải:

a) d đi qua điểm M(2;1) và có vectơ chỉ phương

Phương trình tổng quát của đường thẳng d:

b) d đi qua điểm M(-2;3) và có vectơ pháp tuyến

Phương trình tổng quát của đường thẳng d:

c) d đi qua điểm M(4;1) và có hệ số góc bằng 5

Phương trình tổng quát của đường thẳng d:

d) d đi qua điểm M(1;3) và song song với đường thẳng

Ta có

Phương trình tổng quát của đường thẳng d:

e) d đi qua điểm M(-2;4) và vuông góc với đường thẳng

Ta có

26

Câu 3 Đường thẳng đi qua điểm N(-1;2) và có hệ số góc bằng 2 Phương trình

tổng quát của đường thẳng là

Câu 4 Đường thẳng đi qua điểm N(-5;2) và song song với đường thẳng

Phương trình tổng quát của đường thẳng là

Câu 5 Đường thẳng đi qua điểm N(1;2) và vuông góc với đường thẳng

Phương trình tổng quát của đường thẳng là

Dạng 5: Vị trí tương đối của hai đường thẳng

 Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình

Ta có các trường hợp sau

Vì

Bài tập tự luyện

Câu 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng và

Khi đó vị trí tương đối của và là

Câu 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng và

Khi đó vị trí tương đối của và là

Câu 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng và

Khi đó vị trí tương đối của và là

Câu 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng và

Khi đó vị trí tương đối của và là

Dạng 6: Góc giữa hai đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng

có vectơ pháp tuyến

có vectơ pháp tuyến

 Phân tích

 Để tìm số đo góc giữa hai đường thẳng và ta xác định vectơ pháp tuyến

của hai đường thẳng và

 Xác định công thức tính số đo góc giữa hai đường thẳng.

 Thay vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng và vào công thức tính số đo góc giữa hai đường thẳng từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng và

Bài tập tự luyện

Câu 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng và

Câu 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng và

Câu 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng và

Dạng 7: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

 Phân tích

 Xác định công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

 Kiểm tra câu nào đề cho phương trình ở dạng phương trình tham số thì chuyển phương trình đó về phương trình tổng quát.

 Áp dụng công thức thay vào tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Câu 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng và điểm

Khi đó khoảng cách từ A đến đường thẳng là

Câu 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng và điểm

Khi đó khoảng cách từ A đến đường thẳng là

Dạng 8: Lập phương trình các cạnh, phương trình đường cao, phương trình đường trung tuyến, phương trình đường trung trực trong tam giác.

1 Viết phương trình tổng quát các cạnh của tam giác ABC

 Viết phương trình tổng quát cạnh AB

Phương trình tổng quát cạnh AB:

 Viết phương trình tổng quát cạnh AC

Phương trình tổng quát cạnh AC:

vectơ pháp tuyến.

 Sau khi tìm đủ một điểm đi qua và vectơ pháp tuyến ta đem thay vào phương trình tổng quát có dạng: thì ta được phương trình tổng quát cạnh AB của tam giác ABC( với a, b là tọa độ của vectơ pháp tuyến còn

là tọa độ của điểm đi qua).

 Phương trình tổng quát các cạnh còn lại làm tương tự.

Lời giải:

• Phương trình tổng quát cạnh AB của tam giác ABC

Phương trình tổng quát cạnh AB:

• Phương trình tổng quát cạnh AC của tam giác ABC

Phương trình tổng quát cạnh AC:

với cạnh đối diện.

H

B

A

C M

N P

• Giao điểm của ba đường cao cắt nhau tại điểm H thì H được gọi là trực tâm của tam giác ABC

 Viết phương trình tổng quát đường cao AM kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC

Phương trình tổng quát đường cao AM:

 Viết phương trình tổng quát đường cao BN kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC

36

 Viết phương trình tổng quát đường cao CP kẻ từ đỉnh C của tam giác ABC

Phương trình tổng quát đường cao CP:

Chú ý:

• Tính chất đường cao trong tam giác cân:

cũng là đường phân giác của góc A và cũng là đường trung trực của cạnh BC

đường trung tuyến hoặc phân giác thì tam giác đó chính là tam giác cân

• Tính chất đường cao trong tam giác vuông:

vuông chính là cạnh góc vuông còn lại Như vậy đỉnh góc vuông chính là chân đường cao hạ từ hai đỉnh còn lại xuống hai cạnh gócvuông của tam giác

• Tính chất đường cao trong tam giác đều:

cạnh đối diện thành hai phần bằng nhau Một đường cao trong tam giác đều chia tam giác đều thành hai tam giác vuông bằng nhau

Giải

 Phân tích

với A(-1;3), B(2;-3) và C(4;-5)

 Để lập phương trình tổng quát ta cần tìm đủ hai yếu tố là một điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến.

 Phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với cạnh BC nên nhận làm vectơ pháp tuyến và chọn điểm A làm điểm

đi qua.

 Sau khi tìm đủ một điểm đi qua và vectơ pháp tuyến ta đem thay vào phương trình tổng quát có dạng: thì ta được phương trình tổng quát đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC( với a, b là tọa độ của vectơ

pháp tuyến còn là tọa độ của điểm đi qua A).

 Phương trình tổng quát các đường cao kẻ từ các đỉnh còn lại làm tương tự.

Lời giải:

B

A

C Q

H

P

• Phương trình tổng quát đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC

Phương trình tổng quát đường cao AH:

• Phương trình tổng quát đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC

Phương trình tổng quát đường cao BP:

38

• Phương trình tổng quát đường cao kẻ từ đỉnh C của tam giác ABC

Phương trình tổng quát đường cao CQ:

3 Viết phương trình tổng quát các đường trung tuyến của tam giác ABC

điểm cạnh đối diện và một tam giác có ba đường trung tuyến

B

A

C M

N P

• Giao điểm của ba đường trung tuyến cắt nhau tại G thì G được gọi là trọng tâm của tam giác ABC

 Viết phương trình tổng quát đường trung tuyến AM kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC

Phương trình tổng quát đường trung tuyến AM:

 Viết phương trình tổng quát đường trung tuyến BN kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC

40