sáng kiến khoảng cách

Sáng kiến về khoảng cách trong hình học không gian lớp 11, đây là bài toán khó với học sinh, nhưng tôi đã viết rất cẩn thận và rất dễ hiểu để cho học sinh và giao viên tham khảo, là tài liệu bổ ích cho giáo viên khi dạy mảng hình học không gian, và là tài liệu tham khảo cho giáo viên khi viết sáng kiến kinh nghiệm hàng năm. tài liệu được phân dạng cụ thể có ví dụ minh họa, bài tập tự luyện cho học sinh, giáo viên có thể làm tài liệu dạy phụ đạo cho học sinh rất tốt.

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi:

- Hội đồng Sáng kiến Trường …

- Hội đồng Sáng kiến huyện …

- Hội đồng Sáng kiến tỉnh …

1 Tên sáng kiến: Cách xác định và tính khoảng cách trong không gian

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục và Đào tạo

3 Họ và tên: …………

4 Ngày/ tháng /năm sinh: …………

5 Nơi công tác: Trường ……….

6 Chức danh: Giáo viên

7 Trình độ chuyên môn: Đại học

8 Ngày sáng kiến được áp dụng dùng thử: Năm học 2014-2015, năm học

2015-2016, năm học 2016-2017

I NỘI DUNG SÁNG KIẾN:

1 THỰC TRẠNG:

Trong vài năm trở lại đây việc đổi mới phương pháp dạy học theo phươngpháp mới ngày càng được áp dụng rộng rãi và sự thành công của tiết dạy là họcsinh có hiểu bài hay không? Có biết vận dụng kiến thức hay không? Muốn vậy phảiphát triển tốt khả năng tư duy, tự học tự nghiên cứu và sáng tạo, tính khoa học –hiện đại, cơ bản, tính thực tiễn và giáo dục kỹ thuật tổng hợp, tính hệ thống sưphạm trong giáo án của mỗi giáo viên

Nhiều giáo viên chưa quan tâm đúng mức tới bài giảng do gánh nặng cuộcsống mà chưa tìm hiểu kỹ hơn trong việc nêu vấn đề trong tiết học để học sinhnghiên cứu Chưa đặt ra cho mình nhiệm vụ và trách nhiệm nghiên cứu để tìm chomình những phương pháp lôi cuốn hơn hấp dẫn hơn cho môn toán.Giáo viên nên làngười hướng dẫn học sinh chủ động trong quá trình lĩnh hội tri thức và phá triển tưduy sáng tạo

Trong phạm vi đề tài tôi chỉ nêu một số ít các ví dụ mà tôi đã làm để gópthêm một phần nhỏ bé vào việc dạy môn toán nói riêng, dạy và học nói chung

3 KIẾN THỨC CƠ BẢN

a Tam giác:

 Tam giác ABC thường

ABM ACM ABC

S S  S



2 3

AG AM

(G là trọng tâm tam giác ABC)

 Độ dài đường trung tuyến:

BC ; cos µ  Kề 

Huyề n

AB B

BC ;

tan µ Đối

Kề

AC B

AB ; cot µ  Kề

Đố i

AB B

1 2

 Tam giác ABC cân tại A

 AH là đường cao và cũng là đường trung tuyến

 Tính đường cao: AH BH.tanBµ

 Tính diện tích :

1 2

ABC

S  BC AH

 Tam giác ABC đều

 Đường cao của tam giác đều cũng là đường trung tuyến:

AH AM cạnh

3 2

 Diện tích :SABC cạnh2

3 4

C

1 2

 Diện tích: S ABCD AB AD. ( Diện tích bằng dài nhân rộng)

 Đường chéo hình chữa nhật AC=BD= dài2rông2

 OA = OB = OC = ODO là trung điểm AC và BD

 Hình vuông

 Diện tích hình vuông :S ABCD  AB2

 Đường chéo hình vuông AC BD AB  2

 Tất cả các mặt đều là các tam giác đều.

 Chân đường cao trùng với tâm của đa giác ABC

 là trọng tâm của tam giác đáy và AO  (BCD)

 Khối chóp tứ giác đều S.ABCD

 Chân đường cao:Trùng với tâm đa giác đáy.

 Đáy: ABCD là hình vuông.

 Đường cao: SO

 Cạnh bên: SA=SB=SC=SD

 Mặt bên: các mặt bên là những tam giác

cân tại S và bằng nhau

 Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau

 Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau

 Khối chóp tam giác đều S.ABC

Đáy: Tam giác ABC đều

Đường cao: SO

Cạnh bên: SA=SB=SC

O C D

B A

S

A

S

O B

C

D A

M

Cạnh đáy: AB=BC=CA

Mặt bên: Các mặt bên là các tam giác cân

tại S và bằng nhau

 Khối chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông với đáy (ABC)

 Đáy: Tam giác ABC

 Đường cao: SA

 Cạnh bên: SA, SB, SC

 Mặt bên: (SAB), (SBC), (SCA).

 SAB và SAC là các tam giác vuông tại A.

 Khối chóp S.ABCD có mặt bên (SAB) vuông với đáy(Đáy có thể là tam giác, tứ giác, hình vuông, hình chữ nhật,…)

 Vì (SAB) ( ABCD)SH (ABCD) nên SH là đường cao của khối chóp.

Chú ý: Tùy vào đặc điểm của tam giác SAB để xác định đúng vị trí của điểm H

 Hai đáy là hai đa bằng nhau.

 Là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy

 Độ dài cạnh bên là đường cao

 Các mặt bên là các hình chữ nhật

 Hình lăng trụ đều

 Là hình lăng trụ đứng, có đáy là đa giác đều

 Độ dài cạnh bên là đường cao

 Là hình hộp chữ nhật có hai đáy và bốn mặt bên đều là hình vuông

d Quan hệ song song

 Đường thẳng song song với đường thẳng

Nếu

d (P)d/ /a d/ /(P)

 d

P

A'

Bước 1: Tìm I d ( )P

Bước 2: Lấy điểm A d A I (  )

Bước 3: Tìm AA ' ( ) P (tức A' là hình chiếu của A lên (P))

'

IA

 là hình chiếu của d lên (P)

· ( ,( )) (d P AI IA, ') AIA' 

 Nhận xét:Khoảng từ A đến đường thẳng  là nhỏ nhất so với khoảng cách

từ A đến mọi điểm của đường thẳng 

a OH

6 ( , )

a 3 3

O A

B

C S

H

 Nhận xét:

 Đối với bài toán này học sinh gặp khó khăn khi tính độ dài AI, AO.

 Không xác định được khoảng cách từ O đến SA.

Dạng 2: Khoảng cách từ một điểm A đến mặt phẳng (P)

 Định nghĩa:

 Cho A( )P nếu AH  ( )(P H ( ))P

 ( ,( ))d A P AH

 Nhận xét:Khoảng từ A đến mặt phẳng (P) là nhỏ nhất so với khoảng cách từ

A đến mọi điểm của mặt phẳng (P)

 Phương pháp xác định khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P)

Bước 1: Xác định mặt phẳng (Q) chứa A và vuông góc với (P)

H

mà BC(SBC)(SAK) ( SBC)theo giao tuyến SK (1)

 Gọi H là hình chiếu của A lên SK  AH SK (2)

A

B

C S

K H

3 13 ( ,( ))

 Không tính được độ dài AK.

 Phương pháp xác định khoảng cách từ chân đường cao tới một mặt phẳng bất kì chứa đỉnh của hình chóp.

Giả sử xác định khoảng cách từ chân đường cao H tới mặt phẳng (SMN)

Bước 1: Từ chân đường cao H kẻ đường HK vuông góc tới cạnh MN nằm trong mặt đáy của hình chóp(luôn luôn kẻ tới cạnh mằm trong mặt đáy của mặt phẳng (SMN))

Bước 2: Nối S với K lại, từ H kẻ HE SK

Bước 3: Chứng minh MN (SAK), HE (SMN)

Trước khi xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta

phải xét xem điểm đó có phải chân đường cao chưa nếu chưa ta

phải rời điểm đó về chân đường cao

 Kĩ thuật rời một điểm về chân đường cao

 Rời điểm song song:

- Giả sử đề bài yêu cầu tính d M P( ,( )) ? mà d A P( ,( )) lại dễ tính thì khi

đó ta nối M với A lại

- Nếu MA//(P)d M P( ,( ))d A P( ,( ))

A M

P

 Rời điểm cắt nhau:

 Giả sử đề bài yêu cầu tính d M P( ,( )) ? mà d A P( ,( )) lại dễ tính thì khi

đó ta nối M với A lại

 Xác định chân đường cao của hình chóp chính là A

 Tính (A,(SCD)) chính là tính khoảng cách từ chân đường cao đến (SCD) nên bài này ta không cân rời điểm về chân đường cao.

 Tính d(B,(SCD)).

Lời giải:

a/ Tính d(A,(SCD))

 SA(ABCD)A là chân đường cao, từ A kẻ đường vuông góc với cạnh

nằm trong mặt đáy của (SCD) là ADCD

 Gọi H là hình chiếu của A lên SD  AH SD

B

A

C

D H

 Không tính được độ dài AH.

 Học sinh thường lúng túng không lý luận được vì B không phải chân đường cao nên khi nối B với A thì

 Xác định chân đường cao của hình chóp.

 Tính (A,(SBC)) mà A không phải chân đường cao nên ta phải rời điểm A

về chân đường cao.

 Gọi H là trung điểm AC mà SACcân tại S SH  AC

Mà (SAC) ( ABC) theo giao tuyến ACSH  (ABC)

H là chân đường cao

(Vì AM là đường cao trong tam ABC đều cạnh a)

 Gọi k là hình chiếu của H lên SE HK SE

35 ( ,( ))

 Học sinh gặp khó khăn khi xác định khoảng cách từ A đến (SBC).

 Không tính được độ dài HK.

Dạng 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Đoạn vuông góc chung:

Cho a, b là hai đường thẳng chéo nhau nếu ,

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Bằng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

 Phương pháp xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Giả sử cần xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b chéo nhau

Bước 1: Xác định mặt phẳng (P) chứa b và song song với a

(Nên chọn mặt phẳng chứa đường thẳng không nằm trong mặt đáy)

Bước 2: Lấy M a d a b( , ) d a P( ,( )) d M P( ,( ))

P

b

a M

 Thông thường ta nên chọn mặt phẳng chứa đường thẳng không nằm trong mặt đáy và song song với đường thẳng chứa trong mặt đáy.

 Nếu không tìm được mặt phẳng nào chứa đường này và song song với đường kia thì ta chọn đường thẳng không nằm trong mặt đáy

và trên đường thẳng đó lấy điểm thuộc mặt đáy qua đó kẻ đường thẳng song song với đường thẳng còn lại.

 Gọi H là hình chiếu của A lên SBAH SB

 SA(ABCD)A là chân đường cao của hình chóp(Từ A kẻ đường vuông góc

với cạnh BC nằm trong mặt đáy của (SBC) chính là AB)

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông với đáy, SA a 2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD

a 2

a

a D

A

B

C S

H

6 ( ,( ))

 Xác định góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD).

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ·ABC 600, SA

vuông góc với đáy, SC tạo với đáy góc 60 0 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD, AB.

 Xác định mặt phẳng chứa đường thẳng SD và song song với đường thẳng AB.

 Xác định khoảng cách từ SD đến AB.

 Tính d(SD,AB).

Lời giải:

a 60

 Ta có SC(ABCD)C mà hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là A

(SC ABCD, ( )) (SC CA, ) SCA 60

 Vì AB//CD(SCD)AB/ /(SCD)d AB SD( , ) d AB SCD( ,( )) d A SCD( , ( ))

 Gọi K là hình chiếu của A lên CD  AKCD

 Gọi H là hình chiếu của A lên SK  AH SK

 Không tính được độ dài AC, SA, AK, AH.

Ví dụ 3(Đề thi THPT Quốc Gia 2015) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SC với mặt

 Phân tích:

 Hướng dẫn học sinh vẽ hình.

 Xác định góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD).

 Do không có mặt phẳng nào chứa SB và song song với AC do đó ta chọn đường thẳng không nằm trong mặt đáy (ABCD) và trên đường thẳng đó ta chọn điểm nằm trong mặt đáy kẻ đường thẳng qua điểm đó song song với AC.

 Xác định khoảng cách từ SB đến AC.

 Tính d(SB,AC).

Lời giải:

a 45

· 0

(SC ABCD, ( )) (SC CA, ) SCA 45

 Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC

 Gọi K là hình chiếu của A lên d AK  d AK BK

 Gọi H là hình chiếu của A lên SKAH SK

D y

a 2a

S

M E

K

 Qua A kẻ đường thẳng Ax//BC

 Qua C kẻ đường thẳng Cy// AB

 Gọi D=Ax Cy D  ABCD là hình chữ nhật

 Vì BC//AD(SAD)BC/ /(SAD)d SA BC( , ) d BC SAD( ,( )) d C SAD( , ( ))

 Vì M là hình chiếu của đỉnh S lên (ABC) nên M là chân đường cao của hình chóp S.ABC

 d(C,(SAD)) vì C không phải chân đường cao nên ta di chuyển C về chân đường cao M

 Gọi E là hình chiếu của M lên AD ME AD

 Gọi K là hình chiếu của M lên SE MK SE

 Vì SM (ABCD)SM ME SME vuông tại A

 Xét tam giác ABC vuông tại B AB AC2BC2  4a2a2 a 3

 Vì ABCD là hình chữ nhật mà E là trung điểm AD, M là trung điểm AC

2 15 ( , ) 2 ( ,( )) 2

 Đối với bài toán này học sinh gặp khó khăn không biết qua A kẻ

đường thẳng song song với BC.

 Học sinh lúng túng khi lý luận khoảng cách giữa SA và BC là khoảng cách từ M đến (SAD).

 Không tính được độ dài ME, SM , MK.

5 BÀI TẬP HỌC SINH TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O với AB=

2a 3,BC 2a Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với

trung điểm H của đoạn OD Góc hợp bởi đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD)bằng 600 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC

Bài 2: Cho hình S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt phẳng (SAB)

vuông góc với đáy, tam giác SAB cân tại S và SC tạo với đáy một góc 600 Tínhkhoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SA

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB

đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng(SCD)

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB=AC=a, I là trung

điểm SC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của

BC, mặt phẳng (SAB) tạo với đáy một góc bằng 600 Tính khoảng cách từ I đến mặtphẳng (SAB)

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có SC(ABCD), đáy ABCD là hình thoi có cạnh

bằng a 3 và ·ABC 1200 Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)

bằng 450 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BD

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, cạnh

bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 600.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SB Tính khoảng cách từ S đếnmặt phẳng (DMN)

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a,

SA ABCD SA a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBM).

Bài 8: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a, H

là chân đường cao của hình chóp

a) Tính khoảng cách từ S đến (ABC)

b) Tính khoảng cách từ H đến SA

Bài 9: Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy là một tam giác đều cạnh bằng 2a Hìnhchiếu vuông góc của B lên mặt phẳng ( ' ' ')A B C là trung điểm H của cạnh B C' ', góc

giữa A B' với mặt phẳng ( ' ' ')A B C bằng 600 Tính khoảng cách giữa hai đườngthẳng CC' và A B'

II KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA SÁNG KIẾN:

“Cách xác định và tính khoảng cách trong không gian” đã được áp dụng

giảng dạy phụ đạo cho học sinh khối 11 và khối 12 của trường THPT Lê Quý Đôn

Đề tài được áp dụng vào giảng dạy đa số học sinh đều cảm thấy dễ hiểu có thể vận dụng làm bài tập tương tự được, nó tạo cảm hứng yêu thích môn hình học không gian hơn, không còn lúng túng, chán nản khi học hình học nữa Đa số các

em học sinh đều làm được bài toán tính khoảng cách trong không gian có trong đề thì học kì I đối với học sinh khối 12 và đề thi học kì II đối với học sinh khối 11

III NHỮNG THÔNG TIN CẦN BẢO MẬT: Không có

IV CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN:

Đề tài “Cách xác định và tính khoảng cách trong không gian” muốn thực hiện

được cần có các điều kiện sau:

Giáo viên cần hệ thống một cách tóm tắt nội dung của kiến thức cũ có liên quan

để từ đó học sinh dễ hiểu bài hơn Sau đó hệ thống các dạng và mỗi dạng cho ví dụ minh họa cụ thể

Tìm cách đưa nội dung của kiến thức mới cần trang bị cho học sinh một cáchthích hợp để học sinh có thể dùng hết khả năng của mình để thỏa mãn nhu cầu nhậnthức và hứng thú của các em trong quá trình học tập trên cơ sở có sự định hướngcủa giáo viên

V ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC:

Kết quả khảo sát bài kiểm tra khi chưa áp dụng đề tài tài “Cách xác định và tính khoảng cách trong không gian” vào giảng dạy cho học sinh các lớp 12A8,

12A4, 11B3, 11B6, 11B7 thu được số liệu cụ thể như sau:

Sau khi đề tài “Cách xác định và tính khoảng cách trong không gian” được áp

dụng vào giảng dạy các lớp 12A8, 12A4, 11B3, 11B6, 11B7 của trường THPT Lê Quý Đôn

 Số liệu thống kê theo bài thi học kì I của các em học sinh lớp 12A8, 12A4

cụ thể như sau:

Kết quả SL

 5.0

<5.0

%

 Số liệu thống kê theo bài thi học kì II của các em học sinh lớp 11B3, 11B6, 11B7, 11B4, 11B5 cụ thể như sau:

Kết quả SL

 5.0

<5.0

%

2014-2015

2015- 2016

Như vậy qua kết qủa trên cho thấy việc áp dụng sáng kiến vào giảng dạy thì kết quả đạt được là khả quan hơn nhiều

Bên cạnh đó vẫn còn một vài trường hợp không đạt yêu cầu nhưng vì lý do các

em mất kiến thức cơ bản không còn khả năng tiếp thu được

 Đánh giá của tổ toán trường THPT Lê Quý Đôn

XÁC NHẬN CỦA TỔ TRƯỞNG

 Đánh giá của Trường THPT Lê Quý Đôn

XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG HIỆU TRƯỞNG

Danh sách những giáo viên đã tham gia áp dụng thử đề tài sáng kiến: Số

T

T

tháng năm sinh

Nơi công tác Chức

danh

Trình độ chuyên môn

1 Nguyễn Huy Thuận 06/01/1986 Trường THPT

Lê Quý Đôn

Giáo viên

Đại học

Lê Quý Đôn

Giáo viên

Đại học

3 Nguyễn Ngọc Bay 15/08/1984 Trường THPT

Lê Quý Đôn

Giáo viên

Đại học

4 Trần Thị Thu Hương 02/08/1989 Trường THPT

Lê Quý Đôn

Giáo viên

Nguyễn Thị Nghị