SÁNG KIẾN hình học OXYZ lớp 12

Hình học oxyz lớp 12 là phần cũng rất quan trong, tôi đã hệ thống toàn bộ kiến thức, hệ thông các dạng toán từ dễ đến khó, có ví dụ cụ thể có bài taapj vận dụng cho từng dạng toán, là tài liệu bổ ích cho giáo viên khi dạy hình học oxyz , làm tài liệu gửi cho học sinh khi dạy phụ đạo rất tiện lợi đỡ mất thời gian soạn bài.

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Nơi công tác

Chức danh

Trình độ chuyên môn

Tỷ lệ (%)

đóng góp

viên

Đại học

sư phạmToán

100%

Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “Phương pháp giải các dạng toán về toạ độ trong không gian giúp học sinh dễ hiểu khi học trực tuyến phần hình học Oxyz”

Với những thông tin về sáng kiến cụ thể như sau:

1 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trường ….

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học.

3 Ngày sáng kiến được áp dụng dùng thử: 27/05/2021

4 Mô tả bản chất sáng kiến:

sự chuyển biến tích cực trong công tác giảng dạy đó là giáo viên viết các chuyên

đề, sáng kiến phục vụ cho việc dạy và học Từ những nhận thức đó, hàng năm tôiđều chọn một đề tài thiết thực phục vụ cho công tác giảng dạy để viết thành sángkiến nhằm nâng cao năng lực về chuyên môn, góp phần chia sẻ cùng đồng nghiệp,làm tài liệu giảng dạy cho mình, nhất là trước tình hình dịch bệnh còn diễn biếnphức tạp nên phải dạy trực tuyến, thì tài liệu rất hiệu quả khi áp dụng dạy trựctuyến giúp các em dễ hiểu, học sinh có thể vận dụng các dạng làm các bài tập tựluyện để rèn luyện kĩ năng tính toán tốt hơn

dạng toán tôi quyết định chọn đề tài “Phương pháp giải các dạng toán về toạ độ trong không gian giúp học sinh dễ hiểu khi học trực tuyến phần hình học Oxyz”

để viết trước tiên phục vụ cho việc giảng dạy của mình, do chưa có nhiều kinhnghiệm nên đề tài còn nhiều hạn chế, hy vọng đề tài là tài liệu cần thiết cho giáoviên và học sinh tham khảo, giúp các em học sinh có thể tự học để bồi dưỡng thêmkiến thức về phần hình học Oxyz, để các em học sinh tự tin bước vào các kỳ thicuối kỳ 2 lớp 12, kỳ thi học sinh giỏi 12, kỳ thi tốt nghiệp THPT.

a) Kiến thức cơ bản

I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

- Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox; Oy; Oz

điểm góc O Gọi là các vectơ đơn vị,

tương ứng trên các trục Ox; Oy; Oz Hệ ba trục như

vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong

không gian

- Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

- Các mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ

 Hai vectơ cùng phương với nhau

(Với thì cùng hướng; ngược lại thì ngược hướng)

 Tích vô hướng của 2 vectơ kí hiệu: hằng số.

 Độ dài vectơ





 Điều kiện để 3 điểm A, B, C thẳng hàng

 Góc giữa 2 vectơ và được tính theo công thức sau

 Độ dài đoạn thẳng AB bằng độ dài vectơ AB

 Trung điểm của đoạn AB là M có tọa độ là

Khi đó

 Nếu và ABC tạo thành một tam giác có trọng tâm là G thì tọa

độ điểm G được tính theo công thức

Khi đó

IV TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG

1) Công thức định thức

2) Định nghĩa tích có hướng của 2 vectơ: Cho 2 vectơ:

là một vectơ và được tính như sau

3) Tính chất

 Độ dài của vectơ tích có hướng

 Hai vectơ cùng phương

 Ba vectơ đồng phẳng khi

 Từ đó suy ra 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện khi 3

vectơ không đồng phẳng hay

• Mặt cầu tâm , bán kính r có phương trình:

cầu nếu có điều kiện

 Khi đó là tâm của mặt cầu và là bán kính của mặt cầu.

 Nếu , phương trình (*) xác định một điểm duy nhất là

 Nếu , không có điểm nào thỏa mãn phương trình (*)

VI PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1) Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

• Vectơ là VTPT của (α) nếu giá của vuông góc với (α)

• Hai vectơ không cùng phương là cặp VTCP của (α) nếu các giá của

chúng song song hoặc nằm trên (α)

• Chú ý:

 Nếu là một VTPT của (α) thì (k ≠ 0) cũng là VTPT của (α).

 Nếu là một cặp VTCP của (α) thì là một VTPT của (α).

2) Phương trình tổng quát của mặt phẳng

với

(α)

• Phương trình mặt phẳng đi qua và có một VTPT là

• Chú ý:

 Nếu trong phương trình của (α) không chứa ẩn nào thì (α) song song hoặc chứa trục tương ứng.

 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

(α) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)

4) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình là (α): và

(β):

• (α), (β) cắt nhau ⇔

• (α) // (β) ⇔

• (α) ≡ (β) ⇔

• (α) ⊥ (β) ⇔

5) Khoảng cách từ điểm M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0

được tính theo công thức sau

VII PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1) Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của song song hoặc trùng với d.

• Chú ý:

 Nếu là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì cũng là

một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

2) Phương trình tham số của đường thẳng

• Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm và có VTCP

• Nếu thì được gọi là phương trình chính tắc của d.

3) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d, d′ có phương trình tham số lần lượt là

và

• d // d′ ⇔

• d ≡ d′ ⇔

5) Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu

Cho đường thẳng d: (1) và mặt cầu (S):

(2)

Để xét vị trí tương đối của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*).

• d và (S) không có điểm chung ⇔ (*) vô nghiệm ⇔ d(I, d) > R

• d tiếp xúc với (S) ⇔ (*) có đúng một nghiệm ⇔ d(I, d) = R

• d cắt (S) tại hai điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt⇔ d(I, d) < R

6) Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (α) song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng (α).

7) Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP

 Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa và được tính theo công thức

8) Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

 Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d′ của nó trên (α).

b) Các dạng toán thường gặp trong tọa độ không gian

1 Tọa độ của điểm, vectơ

 Hướng dẫn học sinh thay tọa độ các vectơ vào vectơ .

 Hướng dẫn học sinh cách tính tổng, hiệu, tích vectơ với một số.

Lời giải:

Ta có

•

•

 Bài tập tự luyện của học sinh

Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 vectơ

 Cho 2 vectơ và khi đó tích vô hướng của hai vectơ

được tính theo công thức sau hằng số

 Thay tọa độ các vectơ đề bài cho vào để tính ra kết quả

Giải

 Phân tích:

 Yêu cầu học sinh nhắc lại công thức tính tích vô hướng của hai vectơ.

 Hướng dẫn học sinh thay tọa độ các vectơ vào công thức tích vô hướng

của hai vectơ.

 Hướng dẫn học sinh cách tính ra kết quả.

 Bài tập tự luyện của học sinh

Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 vectơ

Tính các tích vô hướng sau

Dạng 3: Tính độ dài của một vectơ

Cách giải

Ví dụ: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 vectơ

 Cho vectơ khi đó độ dài của vectơ được tính theo công thức

 Thay tọa độ vectơ đề bài cho vào công thức để tính ra kết quả

Giải

 Phân tích:

 Yêu cầu học sinh nhắc lại công thức tính độ dài của một vectơ.

 Hướng dẫn học sinh thay tọa độ vectơ vào công thức.

 Hướng dẫn học sinh cách tính ra kết quả.

 Bài tập tự luyện của học sinh

Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 vectơ

Tính độ dài của ba vectơ .

Dạng 4: Tính góc giữa hai vectơ

Cách giải

Ví dụ: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 vectơ

 Cho 2 vectơ và khi đó góc giữa hai vectơ được

tính theo công thức sau

 Yêu cầu học sinh nhắc lại công thức tính góc giữa hai vectơ.

 Hướng dẫn học sinh thay tọa độ các vectơ vào công thức tính góc giữa hai

b) Tính góc giữa và

Ta có

 Bài tập tự luyện của học sinh

Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 vectơ

 Yêu cầu học sinh nhắc lại công thức tính tọa độ vectơ

Ví dụ: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm .

 Hướng dẫn học sinh thay tọa độ các điểm vào vectơ

 Hướng dẫn học sinh cách tính ra kết quả.

 Bài tập tự luyện của học sinh

Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm Tìm tọa độ các vectơ

Dạng 6: Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

Cách giải

 Cho 2 điểm ; khi đó tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB và tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC được tính theo công thức sau

 M là trung điểm AB

 G là trọng tâm tam giác ABC

 Thay tọa độ các điểm đề bài cho vào để tính ra kết quả tọa độ điểm M và điểm G.

Giải

 Phân tích:

 Yêu cầu học sinh nhắc lại công thức tính tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác.

 Hướng dẫn học sinh thay tọa độ các điểm vào công thức

 Hướng dẫn học sinh cách tính ra kết quả và cách ghi tọa độ trung điểm M

và trọng tâm G.

Lời giải:

a) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB

M là trung điểm AB

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

G là trọng tâm tam giác ABC

 Bài tập tự luyện của học sinh

Ví dụ: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm

a) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm

a) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AC và trung điểm N của cạnh BC.b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

2 Tích có hướng và ứng dụng

Dạng 1: Tính tích có hướng của hai vectơ

Cách giải

 Cho 2 vectơ: Khi đó tích có hướng của 2 vectơ

và kí hiệu: hoặc là một vectơ và được tính theo công thức sau

 Thay tọa độ các vectơ đề bài cho vào để tính ra kết quả

• Chú ý: Cách bấm máy tính casio tính tích có hướng của hai vectơ theo các

Nếu nhấn số 1 là chọn tính toán vectơ trong không gian 3 chiều Oxyz

Nếu nhấn số 2 là chọn tính toán vectơ trong không gian 2 chiều Oxy

Bước 3: Nhấn số 1 màn hình hiện lên

A

Bước 4: Nhập số cho hoành độ x, rồi nhấn dấu =, nhập số cho tung độ y, rồi nhấn dấu =, nhập số cho cao độ z, nhấn AC

Bước 5: Nhấn Shift, nhấn 5, nhấn 1 Màn hình hiện lên

3: VctC

Nhấn số 2, nhấn số 1 rồi nhập dữ liệu cho vectơ B, nhập hoành độ x, rồi nhấn dấu

=, nhập số cho tung độ y, rồi nhấn dấu =, nhập số cho cao độ z, nhấn AC

Bước 6: Shift, nhấn 5, nhấn 3 để chọn vectơ A

Tiếp tục nhấn Shift 5, nhấn 4 để chọn vectơ B

Màn hình sẽ hiện ra kết quả của tích có hướng theo tọa độ [x, y, z]

Giải

 Phân tích:

 Yêu cầu học sinh nhắc lại công thức tính tích có hướng của hai vectơ.

 Hướng dẫn học sinh thay tọa độ các vectơ vào công thức.

 Hướng dẫn học sinh cách tính ra kết quả.

 Bài tập tự luyện của học sinh

Bài 1: Tính tích có hướng của các cặp vectơ sau

Ví dụ: Tính tích có hướng của các cặp vectơ sau

Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt.

 Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đồng

 Yêu cầu học sinh nhắc lại điều kiện để ba vectơ đồng phẳng.

 Hướng dẫn học sinh thay tọa độ các vectơ vào công thức.

 Hướng dẫn học sinh kết luận.

Lời giải:

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, xét sự đồng phẳng của các vectơ sau

a)

b)

a) Ta có:

nên vectơ không đồng phẳng

b) Ta có:

nên vectơ đồng phẳng

 Bài tập tự luyện của học sinh

Bài 1: Trong không gian Oxyz, xét sự đồng phẳng của các điểm sau đây

phẳng

 Phân tích:

 Yêu cầu học sinh nhắc lại điều kiện để ba vectơ đồng phẳng.

 Hướng dẫn học sinh tìm tham số m.

 Hướng dẫn học sinh cách tính ra kết quả của m.

Vậy thì ba vectơ không đồng phẳng

 Bài tập tự luyện của học sinh

Bài 1:

a) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng

b) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

 Nêu cách chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

 Nêu công thức tính thể tích khối tứ diện ABCD.

a) Chứng minh ba điểm A, B, C là ba đỉnh của tam giác ABC.

b) Tính diện tích tam giác ABC

 Phân tích:

 Nêu cách chứng minh ba điểm A, B, C là ba đỉnh của tam giác ABC.

 Nêu công thức tính diện tích tam giác ABC.

Lời giải:

a) Chứng minh ba điểm A, B, C là ba đỉnh của tam giác ABC.

• Ta có

Vì không cùng phương nên 3 điểm A, B, C là 3 đỉnh của

tam giác ABC

b) Tính diện tích tam giác ABC

• Diện tích tam giác là

• Ta có

• Ta có

 Bài tập tự luyện của học sinh

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba véc tơ

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Bài 2:Cho 4 điểm

a) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng

b) Tính thể tích khối tứ diện ABCD

c) Tính diện tích tam giác BCD

a) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng

b) Tính thể tích khối tứ diện ABCD

c) Tính diện tích tam giác ABC

 Để viết phương trình mặt cầu cần những yếu tố nào?

 Bài tập tự luyện của học sinh

Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:

a) Có tâm và bán kính r = 5

b) Có tâm và bán kính

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm

Cách giải

 Để viết phương trình mặt cầu ta cần tìm hai yếu tố

là tâm I và bán kính r

 Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm

 Thay tọa độ tâm I và bán kính r vào (*) thì ta được phương trình mặt cầu

Giải

 Phân tích:

 Để viết phương trình mặt cầu cần những yếu tố nào?

 Phương trình mặt cầu có dạng là gì?

 Mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A thì bán kính là gì?

 Hướng dẫn học sinh cách tìm bán kính mặt cầu.

Lời giải:

a) Có tâm và đi qua điểm

Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:

a) Có tâm và đi qua điểm

b) Có tâm và đi qua điểm

 Bài tập tự luyện của học sinh

Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:

Dạng 3: Viết phương trình mặt cầu (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính

 Tâm I của mặt cầu là trung điểm đoạn AB

 Mặt cầu nhận đoạn AB làm đường kính ta tìm được những yếu tố nào?

 Hướng dẫn học sinh cách tìm tâm và bán kính r của mặt cầu.

Lời giải:

a) Có đường kính là AB trong đó và

• Tâm I của mặt cầu là trung điểm đoạn AB

Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:

a) Có đường kính là AB trong đó và

b) Có đường kính là MN trong đó và

• Bán kính

b) Có đường kính là MN trong đó và

• Tâm I của mặt cầu là trung điểm đoạn MN

• Bán kính

 Bài tập tự luyện của học sinh

Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:

a) Có đường kính là AB trong đó và

b) Có đường kính là MN trong đó và

Dạng 4: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD)

Cách giải

)

 Mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D Khi đó

tọa độ bốn điểm A, B, C, D sẽ thỏa mãn phương trình mặt cầu

 Kiểm tra điều kiện (thỏa) thì thay lại mặt cầu (S) ta được phương trình mặt cầu

 Kiểm tra điều kiện (không thỏa) không có mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D

được bốn phương trình theo ẩn a, b, c và d, giải hệ bốn phương trình ta tìm được a, b, c, d thử điều kiện thỏa từ đó kết luận phương trình mặt cầu Lời giải:

• Mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D Khi đó tọa độ bốn điểm A, B, C, D

sẽ thỏa mãn phương trình mặt cầu

Mà (thỏa)

 Bài tập tự luyện của học sinh

Bài 1: Lập phương trình mặt cầu biết Đi qua 4 điểm

Bài 2: Lập phương trình mặt cầu biết

Bài 3: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,

phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm

C D .

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là

 Phân tích:

 Nêu cách xác định tâm bà bán kính mặt cầu?

 Yêu cầu học sinh xác định tâm và bán kính của các mặt cầu Lời giải:

Bài 1: Xác định tâm và bán kính của các mặt cầu (S) sau

 Tâm I thuộc đường thẳng d ta tìm tọa độ điểm I theo tham số

 Mặt cầu (S) đi qua A, B nên Giải tìm tham số, từ đó tìm tâm I, tìm bán kính r mặt cầu, từ đó suy ra phương trình mặt cầu

Giải

 Phân tích:

 Để lập phương trình mặt cầu ta cần tìm những yếu tố nào?

 Phương trình mặt cầu có dạng là gì?

 Tâm I thuộc trục Oy ta suy ra tọa độ điểm I có dạng gì?

 Mặt cầu đi qua hai điểm A và B ta có được điều gì?

Lời giải:

Ví dụ: Lập phương trình của mặt cầu biết