Sáng kiến các dạng toán về hình nón

Sáng kiến hình nón là sáng kiến hệ thống toàn bộ kiến thức, các dạng toán từ dễ đến khó, có ví dụ cụ thể sau mỗi dạng có bài tập vận dụng cho học sinh.đây là sáng kiến đã được công nhận, nên áp dụng rất hiệu quả cho học sinh 12 khi học phần hình nón, học sinh học dễ hiểu áp dụng làm ngày bài tập được, giáo viên có thể làm sáng kiến, hoặc làm tài liệu phụ đạo cho học sinh rất tốt.

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi:

- Hội đồng Sáng kiến Trường ………

- Hội đồng Sáng kiến huyện ………

- Hội đồng Sáng kiến tỉnh ……….

1 Tên sáng kiến: Một số dạng toán thường gặp trong hình nón

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục và Đào tạo

3 Họ và tên: ………

4 Ngày/ tháng /năm sinh: ………

5 Nơi công tác: Trường …………

6 Chức danh: Giáo viên

7 Trình độ chuyên môn: Đại học

8 Ngày sáng kiến được áp dụng dùng thử: 15/11/2017

I NỘI DUNG SÁNG KIẾN:

1 THỰC TRẠNG:

Hình học không gian là bài toán rất khó đối với học sinh, nhiều học sinh không biếtbắt đầu từ đâu, phải làm cách nào, không biết vẽ hình như thế nào và phải dùng côngthức nào để giải quyết bài toán

Trong vài năm trở lại đây việc đổi mới phương pháp, hình thức dạy học và kiểmtra, đánh giá theo định hướng phát triển năng lực học sinh đã được triển khai Hầu hếtgiáo viên hiện nay đã được trang bị lí luận về các phương pháp và kĩ thuật dạy học tíchcực trong quá trình đào tạo tại các trường đại học sư phạm cũng như quá trình bồi dưỡngtập huấn hàng năm Bộ Giáo dục và Đào tạo đã biên soạn tài liệu tập huấn về “Phươngpháp và kĩ thuật tổ chức hoạt động học theo nhóm và hướng dẫn học sinh tự học ” phươngpháp mới ngày càng được áp dụng rộng rãi và sự thành công của tiết dạy là học sinh cóhiểu bài hay không?Có biết vận dụng kiến thức hay không? Muốn vậy phải phát triển tốtkhả năng tư duy, tự học tự nghiên cứu và sáng tạo, tính khoa học – hiện đại, cơ bản, tínhthực tiễn và giáo dục kỹ thuật tổng hợp, tính hệ thống sư phạm trong giáo án của mỗi giáoviên

2 VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU:

Trong chương trình phổ thông, hình học không gian là một môn học rất khó đối vớihọc sinh, trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia theo hình thức trắc nghiệm kháchquan đều đề cập đến hình nón cụ thể là tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thểtích khối nón, diện tích thiết diện… Nhưng đa số học sinh thường bỏ hoặc làm sai bàitoán này Để giải quyết bài toán này học sinh phải đọc thật kỹ đề bài từ đó xác định giảthuyết bài toán, vẽ hình rồi tiến hành giải bài toán Chính vì thế tôi quyết định chọn đề tài

“Một số dạng toán thường gặp trong hình nón”, do tuổi nghề còn trẻ nên đề tài còn

nhiều hạn chế, hy vọng đề tài là tài liệu bổ ích cho giáo viên và học sinh tham khảo, giúpcác em học sinh có thể tự học để bồi dưỡng thêm kiến thức về hình nón tự tin bước vàocác kì thi

3 KIẾN THỨC CƠ BẢN

a Mặt nón tròn xoay

Trong mặt phẳng ( )P

, cho 2 đường thẳng d,D cắt nhau tại Ovà chúng tạo thành góc b

với 00< <b 900 Khi quay mặt phẳng ( )P

xung quanh trục D thì đường thẳng d sinh ramột mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O

+ Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón

+ Đường thẳng D gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2b gọi là gócở đỉnh

O

M

+ Đường thẳngOI gọi là trục, Olà đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinhcủa hình nón.

+ Hình tròn tâmI , bán kínhr =IMlà đáy của hình nón

c Công thức diện tích hình nón và thể tích của khối nón

Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy là r và đường sinh là l

 Diện tích xung quanh: Sxq   r l

 Diện tích đáy (hình tròn): Sđáy=.r2

 Diện tích toàn phần hình nón: Stp=Sxq+Sđáy

 Thể tích khối nón:

1.3

V  B h1

3Sđáy.h

21

3 r h



d Tính chất

Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua trục SO cắt mặt phẳng đáy tại

hai điểm M và N  Thiết diện là tam giác SMN cân tại S

Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau

 Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh SM và SNÞ Thiết diện là tam giác SMNcân tại S.

 Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh Trong trường hợp này,người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón

Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường

hợp sau xảy ra:

 Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục SO của hình nónÞ Giao tuyến là một đườngtròn tâm O' và bán kính r'

 Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nónÞ Giao tuyến là 2 nhánhcủa 1 hypebol

I r

h S

O

M N

 Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nónÞ Giao tuyến là 1 đườngparabol.

e Hình nón cụt

Hình nón cụt là hình nón có hai đáy là hai hình tròn không bằng nhau nằm trên hai mặtphẳng song song (hay là phần ở giữa mặt đáy và thiết diện vuông góc với trục của hìnhnón) có đường nối tâm là trục đối xứng

 Gọi r r, ' lần lượt là bán kính hai đáy của hình nón cụt

 Gọi h là đường cao của hình nón cụt

 Gọi l là đường sinh của hình nón cụt

 Thể tích khối nón cụt:

.( ' ')3

V  h r r r r

 Diện tích xung quanh hình nón cụt: S xq .(l r r ')

f Các công thức cơ bản thường gặp

Tam giác ABC thường

R: Là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

r: Là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

p: Là nửa chu vi tam giác ABC 2

a b c

p  



1 2

S S  S



2 3

AG AM

(G là trọng tâm tam giác ABC)

 Độ dài đường trung tuyến:

Tam giác ABC vuơng tại A

BC ; cos  Kề 

Huyền

AB B

BC ;

tan  Đối 

Kề

AC B

AB ; cot  Kề 

Đối

AB B

HC AC

 HA2 HB HC

Tam giác ABC cân tại A

 AH là đường cao và cũng là đường trung tuyến

 Tính đường cao: AH BH.tanB

Tam giác ABC đều

 Đường cao của tam giác đều cũng là đường trung tuyến:

AH AM cạnh

3 2

 Diện tích :SABC cạnh2.

34

2

3AH cạnh

33

Tam giác ABC vuông cân tại A

AC.BDAB.AD.sinA

 Khi ABC 600 hoặc BAD 1200 thì các tam giác ABC,

ACD là tam giác đều

Hình chữ nhật

 Diện tích: S ABCD AB AD. ( Diện tích bằng dài nhân rộng)

 Đường chéo hình chữa nhật AC=BD= AB2AD2

 OA = OB = OC = OD O là trung điểm AC và BD

Hình vuông

 Diện tích hình vuông : SABCD=AB2

 Đường chéo hình vuông AC BD AB  2

Khối tứ diện đều:

 Tất cả các cạnh đều bằng nhau

 Tất cả các mặt đều là các tam giác đều

 Chân đường cao trùng với tâm của đa giác ABC

 O là trọng tâm của tam giác đáy và AO  (BCD)

Khối chóp tứ giác đều S.ABCD

 Chân đường cao:Trùng với tâm đa giác đáy.

 Đáy: ABCD là hình vuông.

 Đường cao: SO

 Cạnh bên: SA=SB=SC=SD

 Mặt bên: các mặt bên là những tam giác

cân tại S và bằng nhau

 Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau

 Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau

Khối chóp tam giác đều S.ABC

 Đáy: Tam giác ABC đều

Khối chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông với đáy (ABC)

 Đáy: Tam giác ABC

 Đường cao: SA

 Cạnh bên: SA, SB, SC

 Mặt bên: (SAB), (SBC), (SCA).

 SAB và SAC là các tam giác vuông tại A

O C D

B A

S

O A

B

C S

A

B

C S

O

B

C

D A

M

Khối chóp S.ABCD có mặt bên (SAB) vuông với đáy(Đáy có thể là tam giác,

tứ giác, hình vuông, hình chữ nhật,… )

 Vẽ SH AB tại H

 Vì (SAB) ( ABCD) SH (ABCD) nên SH là đường cao của khối chóp

Chú ý: Tùy vào đặc điểm của tam giác SAB để xác định đúng vị trí của điểm H trên

 Là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy

 Độ dài cạnh bên là đường cao

 Các mặt bên là các hình chữ nhật

Hình lăng trụ đều

 Là hình lăng trụ đứng, có đáy là đa giác đều

 Độ dài cạnh bên là đường cao

H

Bước 2: Lấy điểm A d (Lấy điểm A khác điểm I)

Bước 3: Tìm AA ' ( ) P (tức A' là hình chiếu của

A'

Bước 1: Tìm ( ) ( )P  Q 

Bước 2: + Tìm trong mặt phẳng (P) đường thẳng a và a  

+ Tìm trong mặt phẳng (Q) đường thẳng b và b  

 Phương pháp xác định khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P)

Bước 1: Xác định mặt phẳng (Q) chứa A và vuông góc với (P)

H

 Xác định công thức tính diện tích xung quanh của hình nón.

 Xác định góc 600 giữa đường sinh SM với mặt đáy.

 Tính độ dài đường sinh l của hình nón.

 Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Lời giải:

 SO là đường cao của hình nón

SO

 vuông góc với mặt đáy

 SM đáy M mà hình chiếu vuông góc

 của S xuống mặt đáy là O

- Đối với ví dụ này một số học sinh thường gặp khó khăn khi xác định góc giữa đường sinh với mặt phẳng đáy của hình nón.

 Xác định công thức tính diện tích xung quanh của hình nón.

 Xác định đường sinh của hình nón.

 Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Câu 1 Cho hình nón có đường sinh l, góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là 300.Diện tích xung quanh của hình nón này bằng

A.

23.2

l



B.

23.4

l



C.

23.6

l



D.

23.8

Dạng 2: Tính diện tích toàn phần của hình nón

Diện tích xung quanh: S xq  .r l

Diện tích đáy: Sđáyr2

 Xác định công thức tính diện tích toàn phần của hình nón.

 Tính độ dài đường sinh l của hình nón.

 Tính diện tích xung quanh của hình nón.

 Tính diện tích đáy của hình nón.

 Tính diện tích toàn phần của hình nón.

Ví dụ 1: Trong không gian cho hình nón có bán kính đáy bằng a và đường

cao bằng a 3 Tính diện tích toàn phần của hình nón.

Lời giải:

 Diện tích toàn phần của hình nón Stp=Sxq+Sđáy

 Xét SOBvuông tại O SB SO2OB2  (a 3)2a2 2a

 Độ dài đường sinh l=SB=2a

 Diện tích xung quanh S xq .r l .2a a2a2

 Diện tích đáy Sđáy.r2.a2

 Diện tích toàn phần S tp S xqS day 2a2a2 3a2

 Vì tam giác ABC đều mà AH là đường cao nên khi quay tam giác ABC quanh AH

 Điểm A là đỉnh của hình nón và AH là trục của hình nón.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC đều cạnh a với AH là đường cao Quay tam giác

ABC quanh AH, tính diện tích toàn phần của hình nón tạo thành.

C

Câu 1. Một hình nón có chiều cao 6 và bán kính đường tròn đáy là 8 Diện tích toànphần của hình nón bằng

A. 144  B.188  C.96  D.112 

Câu 2 Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 60, đường sinh bằng 2a, diện tích xung quanh của hình nón là

A S xq 4a2. B S xq 2a2. C S xq a2. D S xq 3a2.

Câu 3 Cho tam giác ABC vuông tại B có AC 2 ;a BC a; khi quay tam giác ABC

quanh cạnh góc vuông AB thì đường gấp khúc ABC tạo thành một hình nón tròn xoay códiện tích xung quanh bằng

 Xác định công thức tính thể tích của khối nón.

 Tính đường cao của hình nón.

Ví dụ 1: Một hình nón tròn xoay có đường sinh bằng 30cm và đường kính

đáy bằng 50cm Tính thể tích khối nón tạo bởi hình nón đó.

r

S

V  B h 1

3

.Sđáy h

Bước 1: Thiết diện đi qua trục SO của hình nón cắt đỉnh của hình nón tại S cắt mặt đáy

của hình nón tại hai điểm A và B  SAB là thiết diện đi qua trục SO của hình nón

Bước 2: Vẽ hình nón( Hình 3).

Bước 3: Dựa vào giả thiết đề bài tìm yêu cầu của bài toán.

Hình 3

Nhận xét.Thiết diện qua trục của hình nón luôn luôn là tam giác cân

1 BÀI TẬP HỌC SINH TỰ LUYỆN

Giải

 Phân tích:

 Hướng dẫn học sinh vẽ hình.

 Xác định thiết diện đi qua trục của hình nón.

 Tính bán kính đáy và chiều cao của hình nón.

O

B

A

Lời giải:

 Gọi S là đỉnh hình nón và O là tâm của đường tròn đáy SO là trục của hình nón

 Thiết diện đi qua trục SO của hình nón cắt mặt đáy tại hai điểm A và B

 Thiết diện là tam giác SAB vuông cân tại S

 Phân tích:

 Hướng dẫn học sinh vẽ hình.

 Xác định thiết diện đi qua trục của hình nón.

 Xác định công thức diện tích toàn phần và thể tích của khối nón.

 Diện tích xung quanh S xqrl .2a a2a2

 Diện tích đáy Sđáyr2 a2

 Diện tích toàn phần Stp=Sxq+Sđáy2a2a2 3a2

Ví dụ 2: Cho hình nón có thiết diện đi qua trục là một tam giác đều có cạnh

bằng 2a Tính diện tích toàn phần của hình nón và thể tích khối nón.

A

Câu 1. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có diện tích bằng

4 Diện tích xung quanh của hình nón bằng

a



B.

2 2.3

a



2 2.4

Bước 1: Gọi S là đỉnh của hình nón và O là tâm của mặt đáy Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh S

của hình nón cắt khối nón theo hai đường sinh bằng nhau SM=SN=l nên ta có thiết diện

là tam giác SMN cân tại S

Bước 2: Vẽ hình nón(Hình 4).

Bước 3: Dựa vào giả thiết đề bài tìm yêu cầu của bài toán.

I r

h S

O

M N

Hình 4

Giải

 Phân tích:

 Hướng dẫn học sinh vẽ hình.

 Xác định thiết diện đi qua đỉnh của hình nón.

 Tính diện tích của thiết diện.

Lời giải:

I r=25

 Gọi S là đỉnh của hình nón và O là tâm đường tròn đáy

 Mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón cắt khối nón theo hai đường sinh bằng nhau SM=SN=l nên ta có thiết diện là tam giác SMN cân tại S

Ví dụ 1: Một hình nón tròn xoay có đường cao h20cm, bán kính r25cm Một thiết diện đi qua đỉnh có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm Tính diện tích thiết diện đó.

 Gọi I là trung điểm MN 2

- Đối với ví dụ này học sinh thường vẽ hình sai

- Học sinh không xác định được khoảng cách từ tâm của mặt đáy đến mặt phẳng thiết diện dẫn đến tính diện tích thiết diện sai

Ví dụ 2: Thiết diện đi qua trục SO của hình nón là một tam giác vuông cân có

cạnh góc vuông bằng a Tính diện tích thiết diện đi qua đỉnh S của hình nón biết thiết diện đi qua đỉnh S tạo với mặt phẳng chứa đáy góc 600.

 Phân tích:

 Hướng dẫn học sinh vẽ hình.

 Xác định thiết diện đi qua trục của hình nón.

 Xác định thiết diện đi qua đỉnh của hình nón.

 Xác định góc giữa thiết diện với mặt phẳng chứa đáy.

 Tính diện tích của thiết diện.

Lời giải:

 Gọi mặt phẳng đi qua trục SO của hình nón cắt mặt đáy của hình nón tại hai điểm

A và B Thiết diện là tam giác SAB vuông cân tại S

 Mặt phẳng đi qua đỉnh S của hình nón cắt khối nón theo hai đường sinh bằng nhau SM=SN=l nên ta có thiết diện là tam giác SMN cân tại S

 Gọi I là trung điểm MN

r h S

N

M

  ((SMN);mặt phẳng chứa đáy)=( ; )OI SI  SIO 600

 Diện tích thiết diện

 SAB vuông cân tại S có cạnh góc vuông bằng a SA SB a 

 Xét SAB vuông cân tại S AB2SA2SB2a2a2 2a2 AB a 2

 Đường kính

22

Câu 1. Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, bán kính r 5 Mộtthiết diện qua đỉnh S tạo thành tam giác SAB sao cho tam giác SAB đều, cạnh bằng 8.Khoảng cách từ O đến thiết diện (SAB) là

d 

133

 Diện tích xung quanh hình nón cụt: S xq  .(l r r ').NN r r'.(  ')

 Diện tích đường tròn thiết diện: S Thiết diện = 'r 2

 Thể tích khối nón đỉnh S đáy là đường tròn O' và bán kính r':

 Mặt phẳng ( ) chia hình nón thành hai phần xác định thể tích hai phần đó.

 Lập tỷ số thể tích của hai phần trên.

Lời giải:

 Chiều cao SO=3r

 Gọi V2 là thể tích khối nón đỉnh S và đáy là đường tròn tâm O' bán kính r'(Phần

tô màu xanh)

2 2

a



Tính thể tích khối nón cụt

 Gọi khối nón (N) có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O và bán kính bằng r

 Gọi thiết diện song song với đáy cắt khối nón theo giao tuyến là đường tròn tâm'

O có bán kính bằng r'

 Khối nón (N) có chiều cao 3a SO3a

 Thiết diện song song và cách mặt đáy một khoảng bằng a  OO' a

Câu 1. Cho hình nón  N có bán kính đáy bằng 10, mặt

phẳng vuông góc với trục của hình nón cắt hình nón theo một

x

10 5 6

15 9

C.

00.9

Trong trường hợp này đỉnh của hình chóp chính là đỉnh của hình nón

Bước 2: Đường tròn đáy của hình nón nội tiếp đa giác đáy của hình chóp.

 Tâm đường tròn nội tiếp hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành là giao điểm của hai đường chéo.

 Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong( Đường phân giác trong của một góc là đường thẳng chia góc đó thành hai góc bằng nhau).

O

Giải

 Phân tích:

 Chọn đỉnh A của tứ diện làm đỉnh của hình nón.

 Tâm đường tròn đáy của hình nón sẽ nội tiếp tam giác BCD

 Chọn A là đỉnh của hình nón  Tâm O đường tròn đáy của hình nón sẽ nội tiếp BCD mà BCD đều nên tâm đường tròn trùng với trọng tâm của tam giác BCD.

 Gọi M là trung điểm BC

 BM là đường cao trong tam giác đều BCD BMcạnh

- Đối với ví dụ này học sinh lúng túng không vẽ được hình

- Học sinh thường không biết tâm đường tròn đáy của hình nón là trùng với trọng tâm của tam giác BCD dẫn đến tính r và l sai

B

C S

M