Tài liệu ôn tập xác suất thống kê

1 CHƯƠNG 1,2 Nguyên lý cộng Giả sử một công việc có thể thực hiện bằng một trong � phương pháp, trong đó Phương pháp 1 có �� cách thực hiện, Phương pháp 2 có �� cách thực hiện, , Phương pháp � có �� c.

CHƯƠNG 1,2 Nguyên lý cộng

Giả sử một công việc có thể thực hiện bằng một trong phương pháp, trong đó

Với tập hợp gồm phần tử, số chỉnh hợp chập được ký hiệu là và được xác định bởi công thức

( − )!

Một tổ hợp chập là một cách lấy phần tử khác nhau (không để ý đến thứ tự, trật tự sắp xếp) từ phần tử khác nhau Số tổ hợp chập được ký hiệu là và được xác định bởi công thức

Cho và là hai biến cố của một phép thử, với ( )> 0 Đại lượng

( | ) = ( )

( )được gọi là xác suất có điều kiện của khi biết xảy ra

Công thức xác suất nhân

Với và là hai biến cố bất kì, ta có:

( ) = ( ) ( | ) = ( ) ( | )

Nếu và là hai biến cố độc lập thì ( ) = ( ) ( )

Công thức xác suất đầy đủ cho biến cố

Cho , , … , là hệ biến cố đầy đủ Khi đó, với là một biến cố bất kì của phép thử, ta có:

( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) + ⋯ + ( ) ( | )

CHƯƠNG 3 BIẾN NGẪU NHIÊN Biến ngẫu nhiên rời rạc

Bảng phân phối xác xuất (Bảng PPXS)

Cho BNN rời rạc = { ; , … , } của

Biến ngẫu nhiên liên tục

Trong trường hợp là biến ngẫu nhiên liên tục, ta dùng hàm mật độ để biểu diễn Hàm mật độ xác suất ( ) là một hàm số thỏa mãn các điều kiện sau:

⎨

⎧ ( ) = ế à ế ẫ ℎ ê ờ ạ( ) = ( ) ế à ế ẫ ℎ ê ê ụ

Phương sai của , ký hiệu là

= nếu thỏa

( < ) ≤( > ) ≤ hay

Phép thử mà ta chỉ quan tâm biến cố có xảy ra hay không, được gọi là phép thử Bernoulli

Đặt = 0 ế ế ố ℎô ả

1 ế ế ố ả ( ) = ( = 1) = , ( ̅) = = 1 −

Các đại lượng đặc trưng

Phân phối siêu bội

Cho một tập hợp có phần tử, trong đó có phần tử có tính chất A Lấy ngẫu nhiên phần tử

từ tập hợp Gọi là số phần tử có tính chất A trong phần tử lấy ra Khi đó,

= Đại lượng được gọi là hệ số hiệu chỉnh

Phân phối Poisson

Biến ngẫu nhiên được gọi là có phân phối Poisson với tham số , > 0 nếu lấy giá trị {0,1,2, … } và

 − 1 ≤ ≤ ( lấy giá trị nguyên)

Phân phối Poisson thường được dùng để xấp xỉ cho phân phối nhị thức ~ ( , ) trong trường hợp rất lớn, rất nhỏ Cụ thể, trong ứng dụng , khi ~ ( , ), trong đó > 50; <

0,01; < 5 thì

CHƯƠNG 6 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ Dạng 1: Ước lượng giá trị trung bình

Tóm tắt

Trường hợp đã biết phương sai tổng thể hay độ lệch chuẩn tổng thể

(không xét ≥ hay < )

Phân phối chuẩn

Trường hợp chưa biết phương sai tổng thể (chỉ biết phương sai mẫu

ℎ độ ệ ℎ ℎ ẩ ẫ và ≥ 30

Trường hợp chưa biết phương sai tổng thể (chỉ biết phương sai mẫu

ℎ độ ệ ℎ ℎ ẩ ẫ và < 30

Phân phối Student Ước lượng khoảng

 Khoảng ( ; )được gọi là khoảng ước lượng của θ nếu ta coi ∈ ( ; )

Bước 3: Kết luận khoảng ước lượng của là ( − ; + )

Dạng 1.2 Trường hợp chưa biết phương sai của tổng thể và ≥

Dạng 1.3 Trường hợp chưa biết phương sai của tổng thể và <

Bước 1: Xác định: , , , ,

trong đó có phân phối Student với n – 1 bậc tự do

(tra bảng phân phối Student 1 phía dòng − 1, cột )

Bước 2: Tính độ chính xác cho bởi công thức: =

Bước 3: Kết luận khoảng ước lượng của là ( − ; + )

Dạng 3 : Ước lượng phương sai

Bước 1: tính trung bình ,phương sai mẫu , xác định 1 −

Xác định , ,

Bước 2: tính = ( , ) ; =( , )

Trong đó: , : có phân phối Chi bình phương dòng n-1, cột 1 −

Trong đó: , có phân phối Chi bình phương dòng n-1, cột

Bước 3: Kết luận khoảng ước lượng: ( ; )

CHƯƠNG 7 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ Kiểm định giả thuyết về một trung bình tổng thể

Trường hợp đã biết phương sai tổng thể hay độ lệch chuẩn tổng thể

(không xét ≥ hay < )

Phân phối chuẩn

Trường hợp chưa biết phương sai tổng thể (chỉ biết phương sai mẫu

ℎ độ ệ ℎ ℎ ẩ ẫ và ≥ 30

Trường hợp chưa biết phương sai tổng thể (chỉ biết phương sai mẫu

ℎ độ ệ ℎ ℎ ẩ ẫ và < 30

Phân phối Student

Dạng 1.1 Trường hợp đã biết phương sai của tổng thể

Bài toán kiểm định : = ; : ≠

Bước 1: Ta xác định , , , , Tính = ⟹

Bước 2: Tính giá trị kiểm định = √

Bước 3: Bác bỏ nếu | |> với ≠

( > bác bỏ với > , < − (bác bỏ với < )

chấp nhận nếu | |≤

Bước 4: Kết luận cuối cùng về nội dung bài toán

Dạng 1.2.1 Trường hợp chưa biết phương sai của tổng thể Với mẫu có kích thước ≥ Bài toán kiểm định : = ; : ≠

Bước 1: Ta xác định , , , ,

trong đó có phân phối Student

Bước 2: Tính giá trị kiểm định = √

Bước 3: Bác bỏ nếu | |> ; ( > bác bỏ với > , > bác bỏ với < )

Dạng 1.3.1 Trong trường hợp đã biết phương sai tổng thể

Bước 1: Ta xác định gồm à ; à ; và (hoặc , )

Từ mức ý nghĩa , tra bảng hàm số Laplace, ta tìm được số sao cho =

Bước 2: Tính giá trị kiểm định =

Bước 3: Ra quyết định: Bác bỏ khi | |>

< − bác bỏ với < ; > : bác bỏ với >

Chấp nhận khi | |≤

Bước 4: Kết luận cho yêu cầu đề bài

Dạng 1.3.2 Trong trường hợp chưa biết phương sai tổng thể và ≥

Bước 1: Ta xác định gồm à ; à ; và (hoặc , )

Từ mức ý nghĩa , tra bảng hàm số Laplace, ta tìm được số sao cho =

Bước 2: Tính giá trị kiểm định =

Bước 3: Ra quyết định: Bác bỏ khi | |>

< − bác bỏ với < ; > : bác bỏ với >

Chấp nhận khi | |≤

Bước 4: Kết luận cho yêu cầu đề bài

Dạng 1.3.3 Trong trường hợp chưa biết phương sai tổng thể và <

Bước 1: Ta xác định gồm à ; à ; và (hoặc , )

Từ mức ý nghĩa , tra bảng phân phối Student, ta tìm được số

Bước 2: Tính giá trị kiểm định = với =( ) ( )

Bước 3: Ra quyết định: Bác bỏ khi | |>

Bước 2: Tính giá trị kiểm định: = ( )

Bước 3: Bác bỏ nếu < hoặc >

Kiểm định giả thuyết về một tỷ lệ tổng thể Dạng 2.1 Kiểm định giả thuyết về một tỷ lệ tổng thể

Phương pháp giải bài toán

Bước 4: Kết luận giả thuyết từ đề bài

Kiểm định giả thuyết về hai tỷ lệ tổng thể Dạng 2.2 Kiểm định cho hai giá trị tỷ lệ của tổng thể

Bài toán: Có hai tổng thể và Tỉ lệ phần tử có tính chất lần lượt là và Ở mức ý nghĩa , ta muốn so sánh và bằng giả thuyết:

Chọn từ 2 tổng thể 2 mẫu kích thước ≥ 30 và ≥ 30 Tính tỷ lệ mẫu và

2 Phương pháp giải bài toán

Bước 3: Ra quyết định: Bác bỏ khi | |>

< − bác bỏ với < ; > : bác bỏ với >

Chấp nhận khi | |≤

Bước 4: Kết luận cho yêu cầu đề bài

CHƯƠNG 8 HỒI QUY, TƯƠNG QUAN

Hệ số tương quan mẫu được tính theo công thức

[ ∑( ) − (∑ ) ] × [ ∑( ) − (∑ ) ]

Bài toán thiết lập mô hình hồi qui tuyến tính đơn biến

Bước 1: Kể cột và tính , , , tính tổng các cột ∑ , ∑ , ∑ , ∑Bước 2: tính

Đề trắc nghiệm ôn tập Bài tập chương 1, 2 Câu 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn ngồi vào 5 chỗ ngồi một cách có thứ tự

Câu 3: Trong một lớp học có 50 sinh viên Hỏi có bao nhiêu cách bầu ra một ban cán sự lớp

gồm 3 người: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 bí thư và không kiêm nhiệm chức vụ

A 3

B 6

C

D Đáp án khác

Câu 4: Hỏi có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên có 5 chữ số sao cho các chữ số này tăng dần từ

trái qua phải?

A 24

B 120

C 30

D 126

Câu 5: Trong một hộp có 20 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm loại A, 6 sản phẩm loại B và 10

sản phẩm loại C Từ hộp Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm Tính xác suất lấy được 2 sản phẩm loại A Kết quả tròn đến chữ số thập phân thứ 4

A 0,0316

B 0,3134

C 0,045

D Đáp án khác

Câu 6: Theo thống kê trung bình một năm (365 ngày) có 50 ngày mưa to, 40 ngày gió thật lớn

và 20 ngày có bão (vừa mưa to, vừa gió thật lớn) Tính xác suất để một ngày chọn ngẫu nhiên trong năm có thời tiết thất thường

B 15/73

C 16/73

D 14/73

Câu 7: Trong một vùng dân cư, tỷ lệ người mắc bệnh tim là 8%, mắc bệnh huyết áp là 11%,

mắc cả hai bệnh là 6% Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng tính xác suất để người đó

không mắc bệnh tim cũng không mắc bệnh huyết áp

A 13%

B 87%

C 19%

D 3%

Câu 8: Một hộp có 9 bi: 7 bi trắng và 2 bi xanh Lấy 3 bi ra xem màu Đặt

A = “biến cố lấy được 1 bi trắng”

B = “ biến cố lấy được 3 bi xanh”

C = “biến cố lấy được 3 bi”

Các phát biểu sau đây, phát biểu nào đúng

A A là biến cố chắc chắn

B B là biến cố ngẫu nhiên

C C là biến cố không thể

D B là biến cố không thể

Câu 9: Một sinh viên đi thi môn xác suất chỉ học thuộc 20 câu trong số 25 câu hỏi đã cho

Khi thi người sinh viên phải trả lời 4 câu hỏi Tính xác suất để anh ta trả lời được 4 câu hỏi

A 0,3480

B 0,4356

C 0,3830

D 0,3380

Câu 10: Tung con xúc xắc cân đối 2 lần liên tiếp Tính xác suất biến cố có tổng số chấm của

hai mặt nhỏ hơn hay bằng 4 là:

nhóm du lịch và hành trình của bạn?” Khảo sát cho thấy 23% số người được hỏi gắn bó với nhóm du lịch của họ (USD Today, ngày 21/10/2004)

Với một mẫu gồm 6 du khách quốc tế, xác suất có 2 người sẽ gắn bó với nhóm du lịch của họ là

bao nhiêu?

A 27,89% B 30% C 25% D 28,79%

Câu 2: Một cuộc khảo sát của InterContinental Hotels & Resorts hỏi người được phỏng vấn,

“Khi đi du lịch quốc tế, bạn thường du lịch một mình để trải nghiệm văn hóa, hoặc gắn bó với nhóm du lịch và hành trình của bạn?” Khảo sát cho thấy 23% số người được hỏi gắn bó với nhóm du lịch của họ (USD Today, ngày 21/10/2004)

Với một mẫu gồm 6 du khách quốc tế, xác suất để ít nhất 2 người sẽ gắn bó với với nhóm du

lịch của họ là bao nhiêu?

Câu 4: Một trường đại học nhận thấy rằng có 20% sinh viên của mình bỏ không hoàn thành

khóa học thống kê cơ bản Giả sử có 20 sinh viên đăng ký khóa học này

Tính xác suất có đúng 4 sinh viên bỏ học

A 0,181 B 0,199 C 0,281 D 0,218

Câu 5: Một trường đại học nhận thấy rằng có 20% sinh viên của mình bỏ không hoàn thành

khóa học thống kê cơ bản Giả sử có 20 sinh viên đăng ký khóa học này

Tính xác suất có đúng 10 sinh viên hoàn thành khóa học này

A 0,02 B 0,002 C 0,003 D 0,004

Câu 6: Một bộ bài tây có 52 lá, tính xác suất rút đươc lá 3 bích, biết rằng lá đang cầm trên tay là

Câu 7: Một hộp đựng 15 bi màu đỏ, 10 bi xanh, 25 bi màu trắng giống hệt nhau Lấy ngẫu nhiên

1 bi và không nhìn vào hộp Hãy tìm xác suất để lấy được bi đỏ hoặc bi xanh

A 1/2

B 1/3

C 1/4

D 1/5

Câu 8: Cho một hộp bi đựng 5 bi trắng, 6 bi đen Rút ngẫu nhiên không hoàn lại lần lượt 2 bi

Hãy tìm xác suất để rút được bi trắng trước, bi đen sau

A 2/11

B 3/11

C 4/11

D 5/11

Câu 9: Cho một hộp bi đựng 5 bi trắng, 6 bi đen Rút ngẫu nhiên lần lượt từng bi ra 2 bi (rút có

hoàn lại) Hãy tìm xác suất để rút được bi trắng trước, bi đen sau:

A 31/121

B 29/121

C 30/121

D 28/121

Câu 10: Tỷ lệ hồ sơ đăng kí thi vào khối thi đại học A,B,C,D lần lượt là 30%, 35%, 25%, 10%

Nếu tỷ lệ đậu đại học khối A,B,C,D tương ứng của một học sinh là 10%, 15%, 20% và 5% thì xác suất học sinh đó đậu đại học là bao nhiêu?

A Liên lạc với 5 khách hàng X là số lượng khách hàng đặt hàng

B Xây một thư viện X là phần trăm hoàn thành kế hoạch xây dựng sau 6 tháng

C Quan sát một quá trình hóa học mới X là nhiệt độ để phản ứng mong muốn xảy ra (nhỏ nhất

là 150 độ F, lớn nhất là 212 độ F)

D Rót nước vào một cái can dung tích 1,2 lít X là số lít nước rót vào

Câu 2: Xét các phép thử và biến ngẫu nhiên, hãy cho biết đâu là biến ngẫu nhiên liên tục

A Kiểm tra chất lương của 50 chiếc radio X là số lượng radio kém chất lượng

B Mở cửa một nhà hàng trong một ngày X là số lượng khách hàng

C Bán một chiếc ô tô X là giới tính của khách hàng (0 là nam, 1 là nữ)

D Quan sát một ngân hàng X là thời gian cách nhau giữa hai khách hàng

Câu 3: Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với bảng phân phối xác suất

Câu 5: Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với bảng phân phối xác suất

Độ lệch chuẩn là:

A 3,81 B 5,50 C 1,95 D 1,30

Câu 6: Một thùng có 20 sản phẩm (gồm 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu) Từ thùng lấy ngẫu

nhiên 3 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm tốt lấy được trong 3 sản phẩm lấy ra.Tìm kì vọng E(X)

A 2,52

B 2,51

C 2,25

D 5,22

Câu 7: Hộp có 7 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 2 sản

phẩm từ hộp để mua Giá mỗi sản phẩm loại A là 10 (nghìn đồng), giá mỗi sản phẩm loại B là 8 (nghìn đồng) Gọi X là tổng số tiền người khách phải trả Giá trị trung bình của X là

8 , ∈ [0,2]

0, > 2Tính thời gian trung bình một người học rành nghề sửa xe máy (tính kỳ vọng E(X))

8 , ∈ [0,2]

0, > 2 P(1<X<1,5) là giá trị

Câu 2: Xác suất một hộp sữa trong kho bị hỏng là 10% Chọn ngẫu nhiên 20 hộp Trung bình số

hộp sữa bị hỏng là

Câu 3: Cho 12 viên bi trong đó có 5 viên bi đỏ, lấy ngẫu nhiên 4 viên bi Tính xác suất lấy được

2 bi đỏ và trung bình số bi đỏ lấy được

A 14/33 và 5/3

B 5/33 và 14/3

C 14/5 và 33/3

D 14/33 và 3/5

Câu 4: Tại một siêu thị, trung bình số người đến siêu thị trong 1 giờ là 2 người Giả sử số người

đến siêu thị là biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson Tính xác suất có ít nhất 2 người đến siêu thị trong 2 giờ

Câu 5: Cho biết chỉ số thông minh là biến ngẫu nhiên liên tục có có phân phối chuẩn:

~ (100,256) Hội Mensa (siêu thông minh) gồm thành viên có chỉ số > 132 Tổ chức này chiếm bao nhiêu phần trăm dân số thế giới?

Câu 6: Trọng lượng X (gam) một loại trái cây có phân phối chuẩn ( ; ) với = 500 (gam)

và = 16 ( ) Trái cây thu hoạch được phân theo trọng lượng như sau:

Loại 1: trên 505 gam,

Loại 2: từ 495 đến 505 gam,

Loại 3: dưới 495 gam

Tính tỷ lệ trái cây loại 2

Câu 7: Trọng lượng X (gam) một loại trái cây có phân phối chuẩn ( ; ) với = 500 (gam)

và = 16 ( ) Trái cây thu hoạch được phân theo trọng lượng như sau:

Loại 1: trên 505 gam,

Loại 2: từ 495 đến 505 gam,

Loại 3: dưới 495 gam

Tính tỷ lệ trái cây loại 3

Câu 8: Thời gian sử dụng Internet của một người dân Việt Nam (X, đơn vị giờ) là biến ngẫu

nhiên có phân phối chuẩn, với Biết xác suất một người Việt Nam có thời gian sử dụng Internet trong ngày hơn 6 tiếng là 0,1587 và xác suất đối với thời gian sử dụng Internet trong ngày hơn 6,5 tiếng là 0,0228 Tìm kỳ vọng và độ lệch tiêu chuẩn

A = 7,5; = 1,5

B = 5,5; = 0,5

C = 6,5; = 0,5

D = 5,5; = 1,5

Câu 9: Chiều cao của một người trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình là 175 cm và

độ lệch chuẩn 4 cm Tính tỷ lệ người trưởng thành có chiều cao từ 166 cm đến 177 cm

Câu 10: Thời gian sử dụng Internet trong ngày của một người dân Việt Nam ( , đơn vị giờ) là

biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, với ~ (5,25; ) Biết xác suất một người Việt Nam có thời gian sử dụng Internet trong ngày trong khoảng từ 4,5 đến 6 giờ là 0,6826 Tính độ lệch chuẩn về thời gian sử dụng Internet trong ngày của một người Việt Nam

ta thu được trung bình mẫu là 220, độ lệch chuẩn hiệu chỉnh là 12,64 Với độ tin cậy 97%, hãy ước lượng khoảng cho trọng lượng trung bình của sản phẩm này Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 4

A từ 217,2571 gam đến 222,7429 gam

B từ 215,2571 gam đến 212,7429 gam

C từ 217,2581 gam đến 222,7439 gam

D từ 216,2571 gam đến 224,7429 gam

Câu 2: Trong một đợt kiểm tra về trọng lượng (gam) của một loại sản phẩm với 100 mẫu, người

ta thu được trung bình mẫu là 220, độ lệch chuẩn hiệu chỉnh là 12,64 Muốn ước lượng trọng lượng trung bình của sản phẩm với độ tin cậy là 97% và sai số (độ chính xác) không quá 2.5 gam thì cần phải khảo sát thêm bao nhiêu sản phẩm nữa?

A 20 B 21 C 22 D 23

Câu 3: Trong một đợt kiểm tra về trọng lượng (gam) của một loại sản phẩm với 100 mẫu, người

ta thu được trung bình mẫu là 220, độ lệch chuẩn hiệu chỉnh là 12,64 Muốn ước lượng trung bình với độ tin cậy là 95% thì đảm bảo độ chính xác là bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 4

Câu 4: Khảo sát về số giờ đọc sách của sinh viên trong một học kì của trường đại học X, người ta

thu được bảng số liệu dưới đây:

Số giờ đọc sách 1 2 3 4 5

Số sinh viên 25 20 30 18 7 Với độ tin cậy 95%, ước lượng trung bình số giờ đọc sách của sinh viên của trường đại học X Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 4