Tài liệu môn học xác suất thống kê

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VĂN LANG KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN TÀI LIỆU XÁC SUẤT THỐNG KÊ Ngày 28 tháng 8 năm 2019 Mục lục 1 GIẢI TÍCH TỔ HỢP 6 1 1 Nguyên lý cộng 6 1 2 Nguyên lý nhân 6 1 3 Chỉnh hợp 7 1.Có 10 cái áo thun ngắn tay và 5 cái áo thun dài tay. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một cái áo thun ? Hướng dẫn. Ta thấy có 2 phương án chọn áo thun. Phương án 1: chọn áo thun ngắn tay; phương án này có 10 cách chọn. Phương án 2: chọn áo thun dài tay; phương án này có 5 cách chọn. Vậy, theo nguyên lý cộng, ta có tất cả 10 + 5 = 15 cách chọn 1 cái thun.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VĂN LANG KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - BỘ MÔN TOÁN

*

TÀI LIỆU XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Ngày 28 tháng 8 năm 2019

1 GIẢI TÍCH TỔ HỢP 6

1.1 Nguyên lý cộng 6

1.2 Nguyên lý nhân 6

1.3 Chỉnh hợp 7

1.4 Hoán vị 8

1.5 Tổ hợp 8

2 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 10 2.1 Một số khái niệm cơ bản 10

2.1.1 Đối tượng nghiên cứu 10

2.1.2 Phép thử, không gian mẫu và biến cố 10

2.1.3 Mối quan hệ giữa các biến cố 11

2.1.4 Các tính chất 12

2.2 Định nghĩa xác suất 12

2.2.1 Định nghĩa xác suất theo cổ điển 12

2.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê 13

2.2.3 Định nghĩa xác suất theo tiên đề Komogorov 14

2.3 Các công thức xác suất 15

2.3.1 Công thức cộng 15

2.3.2 Công thức xác suất có điều kiện 17

2.3.3 Công thức xác suất nhân 18

2.3.4 Công thức xác suất đầy đủ 20

2.3.5 Công thức xác suất Bayes 22

2.3.6 Công thức Bernoulli 22

3 BIẾN NGẪU NHIÊN 24 3.1 Định nghĩa 24

K24 Học kỳ 1/2019-2020 3

3.2 Biểu diễn biến ngẫu nhiên 25

3.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc 25

3.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục 28

3.3 Hàm phân phối 29

3.3.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc 29

3.3.2 Biến ngẫu nhiên liên tục 30

3.4 Hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập 31

3.5 Hàm của biến ngẫu nhiên 32

3.6 Các đặc trưng số 33

3.6.1 Kỳ vọng 33

3.6.2 Giá trị tin chắc nhất 36

3.6.3 Trung vị (Median) 36

3.6.4 Phương sai 37

3.6.5 Độ lệch chuẩn 39

3.7 Vectơ ngẫu nhiên 39

3.7.1 Vectơ ngẫu nhiên rời rạc 39

3.7.2 Vectơ ngẫu nhiên liên tục 42

3.8 Hiệp phương sai 43

3.9 Hệ số tương quan 43

3.10 Hàm tuyến tính của biến ngẫu nhiên 43

3.11 Tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên 44

4 CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 45 4.1 Quy luật phân phối siêu bội 45

4.2 Quy luật phân phối nhị thức 46

4.3 Quy luật phân phối Poisson 49

4.4 Phân phối chuẩn tắc 52

4.5 Quy luật phân phối chuẩn 53

4.6 Các công thức xấp xỉ 56

4.6.1 Xấp xỉ phân phối siêu bội 56

4.6.2 Xấp xỉ phân phối nhị thức 56

4.7 Phân phối Chi bình phương 59

4.8 Phân phối Student 60

5.1 Thống kê là gì? 62

5.2 Các khái niệm cơ bản 62

5.2.1 Tổng thể 62

5.2.2 Mẫu 62

5.2.3 Cách mô tả một mẫu cụ thể 63

5.3 Các đặc trưng cơ bản của tổng thể 65

5.4 Các đặc trưng cơ bản của mẫu 66

5.5 Phân phối mẫu 67

5.5.1 Phân phối của trung bình mẫu 67

5.5.2 Phân phối của tỷ lệ mẫu 68

5.5.3 Phân phối của phương sai mẫu 68

6 ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ 69 6.1 Ước lượng điểm 69

6.2 Ước lượng khoảng (trường hợp một mẫu) 71

6.2.1 Ước lượng trung bình tổng thể 73

6.2.2 Ước lượng tỷ lệ tổng thể 76

6.2.3 Các chỉ tiêu chính của bài toán ước lượng 78

6.2.4 Ước lượng phương sai tổng thể 79

7 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ 82 7.1 Khái niệm 82

7.2 Giả thuyết H0 và đối thuyết H1 82

7.2.1 Giả thuyết H0 82

7.2.2 Đối thuyết H1 82

7.2.3 Sai lầm loại I và sai lầm loại II 83

7.3 Kiểm định giả thuyết về kỳ vọng tổng thể (µ) 84

7.3.1 So sánh kỳ vọng với một số (khi biết phương sai) 84

7.3.2 So sánh kỳ vọng với một số (khi chưa biết phương sai) 86

7.4 Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ tổng thể 93

7.5 Kiểm định giả thuyết về phương sai tổng thể 94

7.6 So sánh hai kỳ vọng của hai tổng thể 96

7.7 So sánh hai tỷ lệ của hai tổng thể 100

7.8 Kiểm định phi tham số (So sánh các bộ số liệu) 103

7.8.1 Kiểm định giả thuyết về luật phân phối 103

K24 Học kỳ 1/2019-2020 5

7.8.2 Kiểm định giả thuyết về sự độc lập 104

8 MÔ HÌNH HỒI QUY HAI BIẾN 109 8.1 Những khái niệm cơ bản 109

8.2 Hệ số tương quan mẫu 109

8.3 Mô hình hồi quy hai biến 110

8.3.1 Hàm hồi quy tổng thể 110

8.3.2 Hàm hồi quy mẫu 112

8.3.3 Phương pháp bình phương bé nhất (OLS - Ordinary Least Square)113 9 BÀI TẬP 116 9.1 Bài tập chương 1 116

9.2 Bài tập chương 2 117

9.3 Bài tập chương 3 127

9.4 Bài tập chương 4 132

9.5 Bài tập tổng hợp 138

9.6 Bài tập chương 5 141

9.7 Bài tập chương 6 141

9.8 Bài tập chương 7 144

9.9 Bài tập chương 8 149

9.10 Bài tập tổng hợp 150

9.11 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO ĐỂ TÌM CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU 155

9.11.1 Máy tính Casio fx-570ES 155

9.11.2 Máy tính Casio fx-570ES LPUS 155

9.12 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO ĐỂ TÌM HỆ SỐ TƯƠNG QUAN VÀ ĐƯỜNG HỒI QUY TUYẾN TÍNH ĐƠN 157

9.12.1 Máy tính Casio fx-570ES 157

9.12.2 Máy tính Casio fx-570ES PLUS 157

9.13 Các bảng tra 158

và hai phương pháp khác nhau không có cách thực hiện chung.

Khi đó, ta có n1+ n2+ · · · + nk cách thực hiện công việc

Ví dụ 1 Có 10 cái áo thun ngắn tay và 5 cái áo thun dài tay Hỏi có bao nhiêu cáchchọn một cái áo thun ?

Hướng dẫn Ta thấy có 2 phương án chọn áo thun

Phương án 1: chọn áo thun ngắn tay; phương án này có 10 cách chọn

Phương án 2: chọn áo thun dài tay; phương án này có 5 cách chọn

Vậy, theo nguyên lý cộng, ta có tất cả 10 + 5 = 15 cách chọn 1 cái thun

* Giai đoạn 1: chọn áo, có 12 cách chọn

* Giai đoạn 2: chọn quần, có 5 cách chọn

Ứng với mỗi cách chọn áo ở giai đoạn 1, ta có 5 cách chọn quần ở giai đoạn 2 để lập

ra một bộ quần áo Vậy ta có tất cả 12 × 5 = 60 cách chọn

Hướng dẫn Công việc treo tranh có 5 giai đoạn sau:

+ Giai đoạn 1: Treo bức tranh thứ nhất Ta chọn ra một móc treo từ 7 cái móctreo, có 7 cách chọn (còn lại 6 móc treo)

+ Giai đoạn 2: Treo bức tranh thứ hai, có 6 cách chọn (còn lại 5 móc treo)

+ Giai đoạn 3: Treo bức tranh thứ ba, có 5 cách chọn (còn lại 4 móc treo)

+ Giai đoạn 4: Treo bức tranh thứ tư, có 4 cách chọn (còn lại 3 móc treo)

+ Giai đoạn 5: Treo bức tranh thứ tư, có 3 cách chọn

Vậy, theo nguyên lý nhân, ta có: 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2520 cách treo

Định nghĩa 1.3.1 Một chỉnh hợp n chập k là một cách lấy k phần tử khác nhau(có để ý đến thứ tự, trật tự sắp xếp) từ n phần tử khác nhau

Với tập hợp A gồm n phần tử, số chỉnh hợp n chậpk được ký hiệu Akn và xác địnhbởi công thức

Akn = n!

(n − k)!

trong đó n! = 1.2 n, với quy ước: 0! = 1.

Ví dụ 4 Theo ví dụ trên, ta có: Một cách treo 5 bức tranh là một cách chọn ra 5

móc treo khác nhau từ 7 móc treo (có để ý đến vị trí của chúng) → Mỗi cách treo làmột chỉnh hợp 7 chập 5 Vậy có

Nhận xét 1 Mỗi cách treo 5 bức tranh là một cách lấy 5 cái móc treo từ 7 cái móctreo Đây là cách lấy có thứ tự, bởi vì trật tự lấy các móc khác nhau sẽ cho ta cáccách treo khác nhau Vậy số cách lấy có thứ tự 5 phần tử từ 7 phần tử được tính nhưthế nào?

+ Mỗi phần tử lấy ra từn phần tử tạo thành một nhóm

Mỗi cách xếp 4 người này là một hoán vị của 4 người này Vậy có 4! cách

2 Ngồi thành một vòng tròn Chọn ra 1người làm mốc, ta thấy vị trí ban đầu củangười này không quan trọng (chẳng hạn: A làm mốc, A ở vị trí 1 cũng như vị trí2) ⇒ Chỉ xếp 3 người còn lại: có 3! cách

3 Ngồi thành một vòng tròn có đánh số: 4! cách

1.5 Tổ hợp

Định nghĩa 1.5.1 Một tổ hợp n chậpk là một cách lấy k phần tử khác nhau (không

để ý đến thứ tự sắp xếp) từ n phần tử khác nhau Số tổ hợp n chập k được ký hiệu

là Cnk và được tính theo công thức:

Cnk = n!

k! (n − k)!.

Ví dụ 6 Một phòng làm việc của một công ty có 30 nhân viên

K24 Học kỳ 1/2019-2020 9

1 Có bao nhiêu cách Giám đốc chọn ra một Ban lãnh đạo phòng gồm 3 người?

2 Ban lãnh đạo phòng gồm: Trưởng phòng, Phó phòng, Thư ký Hỏi có bao nhiêucách chọn ra Ban lãnh đạo phòng?

Cách 2: Công việc chọn ra Ban lãnh đạo phòng có 3 giai đoạn:

+ Giai đoạn 1: Chọn Trưởng phòng, có 30 cách

+ Giai đoạn 2: Chọn Phó phòng, có 29 cách

+ Giai đoạn 3: Chọn Thư ký, có 28 cách

Vậy, ta có: 30.29.28 cách chọn

Cách 3: Công việc chọn ra Ban lãnh đạo phòng có 2 giai đoạn:

+ Giai đoạn 1: Chọn 3 người tùy ý trong 30 người, có C303 cách

+ Giai đoạn 2: Ứng với 3 người được chọn, chỉ định 1 người làm Trưởng phòng,

1 người làm Phó phòng, 1 người làm Thư ký có 3! cách

Vậy, ta có: C303 .3!cách chọn

Nhận xét 2

Akn = Cnk × k!.

Ví dụ 7 Có 10 người định cư vào 3 nước: Anh, Pháp, Mỹ

Nước Anh nhận 3 người

Nước Pháp nhận 3 người

Nước Mỹ nhận 4 người

Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?

Hướng dẫn Dùng nguyên lý nhân

Ta không chú ý đến thứ tự sắp xếp vào 3 nước:

Nước Anh: C103

Nước Pháp: C73

Nước Mỹ: C44

Vậy, ta có: C103 .C73.C44 cách

BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

2.1 Một số khái niệm cơ bản

2.1.1 Đối tượng nghiên cứu

Trong cuộc sống, ta gặp rất nhiều hiện tượng mà kết quả của nó ta không biếtchắc chắn được Chẳng hạn, khi gieo đồng xu, có thể xuất hiện mặt số cũng có thểxuất hiện mặt hình Khi gieo một con xúc xắc, có thể xuất hiện mặt 6 chấm nhưng

có thể xuất hiện mặt 2chấm Các hiện tượng như thế được gọi là hiện tượng ngẫunhiên

Hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng mà dù thực hiện trong cùng một điều kiệnnhưng vẫn cho các kết quả khác nhau Hiện tượng ngẫu nhiên là đối tượng nghiêncứu của lý thuyết xác suất Lý thuyết xác suất nghiên cứu tính quy luật của hiệntượng ngẫu nhiên

2.1.2 Phép thử, không gian mẫu và biến cố

Phép thử là một khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất nhưng không có địnhnghĩa chính xác, tương tự khái niệm điểm, đường thẳng trong hình học phổ thông

Ta có thể hiểu phép thử là một thí nghiệm hay một quan sát được thực hiện trongmột điều kiện xác định Chẳng hạn như

- Tung một con xúc xắc, coi như là ta đã thực hiện một phép thử

- Kiểm tra bài một học sinh, coi như là ta đã thực hiện một phép thử

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫucủa phép thử đó, ký hiệu là Ω Mỗi kết quả của phép thử được gọi là một biến cố sơcấp, ký hiệu là ω Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là biến cố

Một biến cố A được gọi là xảy ra nếu có ít nhất một kết quả trong nó xảy ra.Một biến cố được gọi là biến cố ngẫu nhiên nếu nó có thể xảy hoặc không xảy rasau khi thực hiện phép thử Ta thường dùng các chữ in hoa, chẳng hạn A, B, C ,

A1, A2, A3 ., B1, B2, B3, để ký hiệu biến cố ngẫu nhiên

Ngoài các biến cố ngẫu nhiên, ta còn có hai loại biến cố đặc biệt:

Ví dụ 8 Tung một con xúc xắc cân đối đồng chất

+ Biến cố “xuất hiện mặt có 7 chấm” là biến cố không thể

+ Biến cố “xuất hiện mặt có 6 chấm” là biến cố ngẫu nhiên

+ Biến cố “xuất hiện mặt có số nút bé hơn hay bằng 6” là biến cố chắc chắn

Ví dụ 9 Xét một gia đình có 3 con Đặt

A = “gia đình có 2 con”,

B = “gia đình có 3 con”,

C = “gia đình có 2 con gái”

D = “gia đình có 1 trai, 1 gái”

Biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố không thể, biến cố ngẫu nhiên?

Ví dụ 10 Hộp có 8 bi gồm: 6 bi trắng, 2 bi xanh Lấy ra 3 bi xem màu Đặt

A = “lấy được 1 bi trắng”,

B = “lấy được 3 bi xanh”,

C = “lấy được 3 bi”,

Biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố không thể, biến cố ngẫu nhiên?

2.1.3 Mối quan hệ giữa các biến cố

Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B xảy

ra Ký hiệu: A ⊂ B.

Biến cố A và B được gọi là hai biến cố tương đương nếu biến cố A xảy ra thì biến

cố B xảy ra và ngược lại Ký hiệu: A = B.

Hợp của hai biến cố A và B là biến cố C mà biến cố này xảy ra khi ít nhất mộttrong hai biến cố A và B xảy ra Kí hiệu: C = A ∪ B hoặc C = A + B Nói cách khác,nếu C = A ∪ B thì C xảy ra trong các trường hợp sau: A xảy ra, B không xảy ra; B

xảy ra, A không xảy ra; cả A và B cùng xảy ra

Ta có thể mở rộng khái niệm trên như sau: Hợp của n biến cố A1, A2, , An làmột biến cố A mà biến cố này xảy ra khi ít nhất một trong các biến cố A1, A2, , An

xảy ra Lúc này, ta ký hiệu: A = A1∪ A2∪ ∪ An hoặc A = A1+ A2+ + An

Giao của hai biến cố A và B là một biến cố C mà biến cố này xảy ra khi A và B

đồng thời xảy ra khi thực hiện phép thử Lúc này, ta viết C = A ∩ B hoặc C = A.B

hoặc C = AB

Ta có thể mở rộng khái niệm cho biến cố giao như sau: Giao của n biến cố A1, A2, , An là một biến cố A mà biến cố này xảy ra khi tất cả các biến cố A1, A2, , An

cùng xảy ra khi thực hiện phép thử Lúc này, ta ký hiệu: A = A 1 ∩ A 2 ∩ ∩ A n hoặc

- Biến cố không bao hàm biến cố nào là biến cố rỗng

Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu AB = ∅ Nói khác đi, A và B xungkhắc khi A, B không đồng thời xảy ra trong một phép thử

Các biến cố A 1 , A 2 , , A n được gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kỳ hai trong n

biến cố này xung khắc với nhau

Biến cố đối lập của A, ký hiệu là A hoặc Ac hoặc A0, là một biến cố mà biến cốnày xảy ra khi và chỉ khi biến cố A không xảy ra trong cùng một phép thử

2.2.1 Định nghĩa xác suất theo cổ điển

Trong một phép thử, giả sử có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy

ra, trong đó có mA biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A Khi đó, tỷ số mA

n được gọi

là xác suất của biến cố A, ký hiệu là P (A).

P (A) = mA

n =

Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A

Tổng số biến cố sơ cấp có thể xảy ra =

|A|

|Ω|. (2.1)

Ví dụ 11 Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất Tính xác suất xuất hiện mặtlẻ

Hướng dẫn Phép thử này có 6 biến cố sơ cấp có khả năng xảy ra là A1, A2, , A6

với Ai là biến cố “xuất hiện mặt có i chấm”, i = 1, , 6

sản phẩm tốt.

Hướng dẫn Gọi A là biến cố lấy được 2 sản phẩm tốt Mỗi kết quả của phépthử tương ứng với việc chọn 3 sản phẩm từ tập hợp 8 sản phẩm, tức là một tổ hợpchập 3 của8 sản phẩm Do đó, số kết quả của phép thử làC83

Biến cố Axảy ra khi trong3sản phẩm được chọn có 2chính phẩm và1phế phẩm

Do đó, số trường hợp thuận lợi cho A là C52.C31 Vậy xác suất lấy được 3 sản phẩmtốt là:

P (A) = C

2

5 C31

C83 .

Nhận xét 4 Công thức xác suất cổ điển có những ưu điểm và nhược điểm sau:

* Ưu điểm: Tính được chính xác các giá trị xác suất của biến cố mà không cầnphải tiến hành phép thử

* Nhược điểm:

+ Chỉ áp dụng được với phép thử có hữu hạn các biến cố sơ cấp

+ Không phải lúc nào tất cả các biến cố sơ cấp cũng xảy ra đồng khả năng.+ Trong một số trường hợp thực tế, ta không tính được số phần tử của A

Ví dụ 13 Một lô hàng có N sản phẩm Lấy ngẫu nhiên n (n < N ) sản phẩm của lôhàng Tính xác suất lấy được m sản phẩm xấu trong n sản phẩm lấy ra

Hướng dẫn Đặt A là biến cố có m phế phẩm trong n sản phẩm lấy ra (m ≤ n).Muốn tính P (A), ta phải biết số sản phẩm xấu của lô hàng là bao nhiêu Giả sửrằng, ta biết được số sản phẩm xấu của lô hàng là M thì xác suất

2.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê

Định nghĩa 2.2.1 Giả sử khi tiến hành n phép thử độc lập trong những điều kiệnnhư nhau, biến cố A xuất hiện mA lần Khi đó, tỷ số mA

n được gọi là tần suất xuất

hiện của biến cố A Thực nghiệm thống kê chứng minh rằng, khi số phép thử n khálớn, tần suất của biến cố A luôn dao động quanh một giá trị không đổi p, (0 ≤ p ≤ 1).Giá trị p đó được gọi là xác suất của biến cố A.

Bằng thực nghiệm, một số nhà khoa học đã thảy đồng tiền xu nhiều lần và nhậnđược các kết quả sau:

Người thực hiện Số lần thảy Số lần mặt hình Tần suất

và khi đó, ta nói xác suất nhận được mặt hình gần bằng 0, 5

Ví dụ 16 Khi một xạ thủ nào đó bắn 1000 viên đạn thì có khoảng 800 viên trúngbia, khi đó ta nói xác suất để xạ thủ bắn trúng bia là 80%.

Nhận xét 5 + Chỉ có thể áp dụng cho các phép thử ngẫu nhiên có thể lặp lại nhiềulần một cách độc lập trong các điều kiện giống hệt nhau

+ Để cho kết quả chính xác thì số lần thực hiện phép thử n phải đủ lớn Điều nàythực tế không phải lúc nào cũng làm được

2.2.3 Định nghĩa xác suất theo tiên đề Komogorov

Xét phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu là Ω Gọi P(Ω) là tập hợp tất cảcác tập con của Ω Theo tiên đề Komogorov, xác suất là một ánh xạ nhận các giá trịthực và xác định trên P(Ω),

đi xác suất của tích hai biến cố đó.

Ví dụ 17 Lớp có 50 sinh viên, trong đó có 20 sinhviên giỏi tiếng Anh, 15 sinh viên giỏi tiếng Pháp, 7

sinh viên giỏi cả hai ngoại ngữ Chọn ngẫu nhiên 1

sinh viên trong lớp Tính xác suất:

1 Chọn được 1 sinh viên giỏi ít nhất 1 ngoại ngữ

2 Chọn được1 sinh viên không giỏi ngoại ngữ nàohết

Hướng dẫn Đặt các biến cố

1 A = “Sinh viên này giỏi tiếng Anh”

B = “Sinh viên này giỏi tiếng Pháp”

C = “Sinh viên này giỏi ít nhất một ngoại ngữ”

Khi đó, C = A + B Hơn nữa, ta thấy A và B là hai biến cố không xung khắc vì

có sinh viên giỏi cả hai ngoại ngữ Do vậy

P (C) = P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) = 20/50 + 15/50 − 7/50 = 28/50.

2 D = “Sinh viên này không giỏi ngoại ngữ nào hết”

P (D) = P A + B
= P (AB) = P (C) = 1 − P (C) = 1 − 28/50 = 22/50.

Với trường hợp ba biến cố A, B, C bất kỳ, ta có kết quả:

P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (AB) − P (BC) − P (AC) + P (ABC). (2.4)Nhớ lại rằng, hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không đồngthời xảy ra trong một phép thử, hay AB = ∅ Ta có kết quả

Hệ quả 2.3.1 Cho hai biến cố A, B xung khắc Khi đó,

P (A + B) = P (A) + P (B) (2.5)Tức là, nếu hai biến cố xung khắc thì xác suất của tổng hai biến cố bằng tổng haixác suất của từng biến cố

Ví dụ 18 Một hộp đựng 5 bi màu đỏ, 10 bi màu xanh, 15 bi màu trắng giống hệtnhau Lấy ngẫu nhiên 1 bi và không nhìn vào hộp Hãy tìm xác suất để lấy được bi

đỏ hoặc bi xanh

Hướng dẫn

Đặt A = “lấy được bi màu đỏ”,

B = “lấy được bi màu xanh”.

Ví dụ 19 Trong bình để 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 3 viên

bi Tính xác suất để có 1 hoặc 2 viên bi đỏ

Hướng dẫn

Đặt A1 là biến cố 3 viên bi lấy ra có đúng 1 viên bi đỏ,

A2 là biến cố 3 viên bi lấy ra có đúng 2 viên bi đỏ

Gọi A là biến cố có 1 hoặc 2 viên bi đỏ Ta sẽ tính P (A)

Ta thấy A1, A2 là hai biến cố xung khắc vì đã có 1 viên bi đỏ thì không thể có 2

viên bi đỏ và ngược lại Do đó

Ví dụ 20 Trong một vùng dân cư tỷ lệ người mắc bệnh tim là 9%, mắc bệnh huyết

áp là 12% và mắc cả hai bệnh là7% Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng đó Tínhxác suất để người đó không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp

2.3.2 Công thức xác suất có điều kiện

Trong nhiều trường hợp, một vấn đề được đặt ra là: ta có thể nói gì về xác suấtcủa biến cố A nếu có thông tin biến cố B nào đó (liên quan tới A) đã xảy ra? Trongnhững trường hợp đơn giản nhất, câu trả lời khá dễ dàng Chẳng hạn, nếu A và B

xung khắc thì A không thể xảy ra, vì vậy xác suất để A xảy ra bằng 0 Trường hợpkhác, nếu B ⊂ A thì A chắc chắn xảy ra nên xác suất đểA xảy ra bằng 1 Vấn đề cònlại, nếu B đã xảy ra chỉ cho ta một phần thông tin về phép thử (tức cho A) thì khi

đó P (A) được xác định thế nào Khái niệm xác suất điều kiện sẽ được sử dụng chotrường hợp này

Chẳng hạn, với phép thử rút ngẫu nhiên một lá bài từ một bộ bài 52 lá, ta cầnxác định xem xác suất rút được lá ách cơ là bao nhiêu nếu biết rằng lá bài lấy ra là

lá đỏ Trong tình huống này, đặt A = “Rút được lá ách cơ”, B = “Rút được lá đỏ”

Ta cần tính xác suất để A xảy ra khi biết B đã xảy ra Một lập luận tự nhiên nhưsau: Khi biết B đã xảy ra, nghĩa là ta đã biết lá bài lấy ra là lá đỏ, thì ta chỉ tậptrung vào các lá bài đỏ trong bộ bài Vì bộ bài có 26lá đỏ và có duy nhất một lá ách

cơ nên xác suất để rút ra lá ách cơ là 1/26

Sau đây là định nghĩa của xác suất có điều kiện:

Định nghĩa 2.3.1 Cho A và B là hai biến cố của một phép thử, với P (B) > 0.Đại lượng

P (A|B) = P (AB)

được gọi là xác suất có điều kiện của A khi biết B đã xảy ra

Áp dụng công thức (2.8), ta có thể giải lại ví dụ trênnhư sau: Ta có

P (B) = C

1 26

26.

Ví dụ 21 Hộp có 5 bi đỏ, 7bi trắng Lấy lần lượt không hoàn lại 2 bi Biết rằng lầnmột lấy được bi T, tính xác suất lần 2 lấy được bi T?

Giải Đặt A = “lấy được bi T lần 1”, B = “lấy được bi T lần 2” Ta có

= 6

11.

Định nghĩa 2.3.2 Nếu P (A|B) = P (A), nghĩa là sự xuất hiện của biến cố B khôngảnh hưởng đến xác suất của biến cố A, thì ta nói A độc lập với B.

2.3.3 Công thức xác suất nhân

Với A và B là hai biến cố bất kì, ta có:

P (AB) = P (A).P (B|A) = P (B).P (A|B). (2.9)

Ví dụ 22 Cho một hộp bi đựng 5 bi trắng, 4 bi đen Rút ngẫu nhiên không hoànlại lần lượt 2 bi Hãy tìm xác suất để rút được bi trắng trước bi đen sau

Giải A = “Rút được bi trắng”, B = “Rút được bi đen” Khi đó, AB = “Rút được

bi trắng trước và bi đen sau” Áp dụng công thức xác suất nhân,

P (AB) = P (A).P (B|A).

P (ABCD) = P (A).P (B|A).P (C|AB).P (D|ABC), (2.11)

P (A1A2 An) = P (A1).P (A2|A1).P (A3|A1A2) P (An|A1 An−1).(2.12)

Hệ quả 2.3.3 Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì

K24 Học kỳ 1/2019-2020 19

Chú ý 2.3.1 Nếu hai biến cố A và B là độc lập, thì A cũng độc lập với B.

Chứng minh Giả sử A, B là độc lập Vì A = AB + AB, và AB và AB xung khắc,nên ta có

P (A) = P (AB) + P (AB)

Ví dụ 23 Cho một hộp bi đựng 5 bi trắng, 4 bi đen Rút ngẫu nhiên lần lượt từng

bi ra 2 bi (rút có hoàn lại) Hãy tìm xác suất để rút được bi trắng trước bi đen sau.Giải A = “Rút được bi trắng”, B = “Rút được bi đen”, suy ra AB = “Rút được

bi trắng trước và bi đen sau”

Do rút có hoàn lại nên hai biến cố A, B độc lập nhau Vì vậy

2.3.4 Công thức xác suất đầy đủ

Cho một họ các biến cốA1, A2, , An trong một phép thử ngẫu nhiên HọA1, A2, , An

được gọi là đầy đủ nếu có duy nhất một biến cố trong họ xảy ra khi thực hiện phépthử

Nói khác đi, họ A1, A2, , An đầy đủ nếu

Ví dụ 26 Quan sát bài thi của một sinh viên Gọi A0, A1, , A10 tương ứng là biến

cố bài thi được 0, 1, , 10 điểm, thì các biến cố A0, A1, , A10 tạo thành hệ đầy đủ.Theo định nghĩa trên dễ thấy: A, A là một hệ biến cố đầy đủ

K24 Học kỳ 1/2019-2020 21

* Với A, A là hệ biến cố đầy đủ, ta có

Công thức xác suất đầy đủ cho hai biến cố Cho

A, A là hệ biến cố đầy đủ Khi đó, với B là một biến

25%, 35%, 40% Nếu tỷ lệ trứng hỏngcủa ba cơ sở là 5%, 4%, 2% thì xácsuất để 1quả trứng mua tại cửa hàng

bị hỏng là bao nhiêu?

Giải.A1, A2, A3tương ứng là biến

cố trứng mua là của cơ sở 1, 2, 3 Gọi

B là biến cố trứng mua bị hỏng.Các biến cố A 1 , A 2 , A 3 tạo thành một hệ đầy đủ Áp dụng công thức xác suất đầy

2.3.5 Công thức xác suất Bayes

Cho A1, A2, , An là hệ biến cố đầy đủ Khi đó, với B là một biến cố bất kì củaphép thử, ta có

Giải Vì A đã xảy ra nên áp dụng công thức Bayes, ta có

Xác suất quả trứng hỏng là của cơ sở 1:

Giả sử tiến hành một phép thử, ta quan tâm biến cố A hoặc xảy ra với xác suất

p không đổi, hoặc không xảy ra với xác suất q = 1 − p, được gọi là một phép thửBernoulli Tiến hành n phép thử Bernoulli độc lập trong những điều kiện như nhau

Ta quan tâm đến số lần biến cố A xảy ra trong n phép thử đó Khi đó, với 0 ≤ k ≤ n,

ta có công thức Bernoulli dùng để tính xác suất để trong n phép thử biến cố A xảy

ra đúng k lần là

P n (k) = Cnkpkqn−k. (2.17)

Ví dụ 29 Một lô hàng có tỷ lệ phế phẩm là 3% Lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoànlại từ lô hàng đó ra 5 sản phẩm để kiểm tra Tìm xác suất để có 2 phế phẩm trong

5 sản phẩm lấy ra để kiểm tra

Giải Kiểm tra 5 sản phẩm coi như ta thực hiện 5 phép thử Gọi A là biến cố “sảnphẩm lấy ra kiểm tra là phế phẩm”

K24 Học kỳ 1/2019-2020 23

Ta thấy trong mỗi phép thử chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp: hoặc sảnphẩm kiểm tra là phế phẩm (tức A xảy ra) hoặc sản phẩm kiểm tra là chính phẩm(tức A không xảy ra) Xác suất để A xảy ra trong mỗi phép thử đều bằng 0, 03.Vậy các điều kiện để áp dụng công thức Bernoulli đều thỏa mãn Thành thử, xácsuất để có 2 phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra kiểm tra là:

C52(0, 03)2(1 − 0, 03)5−2= 8, 2.10−3.

Ví dụ 30 Xác suất chữa bệnh A của một phương pháp điều trị là 95% Với 10 người

bị bệnh A được điều trị bằng phương pháp này, tính xác suất để

a có 8 người khỏi bệnh

b có nhiều nhất 9 người khỏi bệnh

Hướng dẫn Do việc khỏi bệnh của người này và người khác là độc lập nhau, vàxác suất khỏi bệnh của mỗi người đều bằng 0,95 Nên theo công thức Bernoulli, với

Chú ý 2.3.2 Trong dãy gồm n phép thử Bernoulli, ta thấy:

+ Xác suất để trong n phép thử biến cố A không xảy ra lần nào là qn

+ Xác suất để trong n phép thử biến cố A xảy ra n lần là pn

BIẾN NGẪU NHIÊN

3.1 Định nghĩa

Xét phép thử T với không gian mẫu Ω Giả sử, ứng với mỗi biến cố sơ cấp ω ∈ Ω,

ta liên kết với duy nhất một số thực X(ω) ∈R, thì X được gọi là biến ngẫu nhiên

Ví dụ 31 Với trò chơi tung đồng xu, giả sử nếu xuất hiện mặt số, ta được 1 đồng;nếu xuất hiện mặt hình, ta mất 1 đồng Khi đó, ta có

Phép thử T: “tung đồng xu”,

Không gian mẫu Ω = {S, H},

Biến ngẫu nhiên X với X(S) = 1 và X(H) = −1.

Tổng quát, biến ngẫu nhiên X của một phép thử T với không gian mẫu Ω là mộtánh xạ

X : Ω →R

ω 7→ X (ω)

Biến ngẫu nhiên thường ký hiệu là: X, Y, Z,

Biến ngẫu nghiên được chia làm hai loại biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫunhiên liên tục

* Biến ngẫu nhiên rời rạc lấy các giá trị hữu hạn hoặc vô hạn đếm được

* Biến ngẫu nhiên liên tục lấy bất kỳ giá trị trên một khoảng của trục số thựchoặc cả trục số thực

Ví dụ 32 Đo chiều cao của một người

Gọi X = chiều cao của người đó X là biến ngẫu nhiên?

Ví dụ 33 Nghiên cứu bão ở Việt Nam trong năm

Gọi X = Số cơn bão đổ bộ vào Việt Nam trong năm X là biến ngẫu nhiên?

Ví dụ 34 Khảo sát tiền lương của một nhân viên nhà nước trong năm

Gọi X = Tiền lương của người này trong tháng X là biến ngẫu nhiên?

Ví dụ 35 Xét một người xem người này có tính tốt hay xấu

Gọi X = là tính tình của người này X là biến ngẫu nhiên?

K24 Học kỳ 1/2019-2020 25

Ví dụ 36 Hộp có 10 bi, trong đó có 6 bi T Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp

Gọi X = số bi T lấy được X là biến ngẫu nhiên?

Trong thực nghiệm, các biến ngẫu nhiên thường là rời rạc Tuy nhiên, khi biến ngẫunhiên khảo sát lấy giá trị tùy ý trên một khoảng của R (hay cả R), ta coi nó nhưmột biến ngẫu nhiên liên tục Chẳng hạn, lấy ngẫu nhiên một sinh viên trong trường

và đo chiều cao (phép thử T: “lấy một sinh viên trong trường”, không gian mẫu Ω

là tập hợp tất cả các sinh viên và với sinh viên ω ∈ Ω thì X(ω) là chiều cao của ω),

ta được một biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị đủ nhiều trên R nên ta coi nó làbiến ngẫu nhiên liên tục Thực chất, các biến ngẫu nhiên liên tục được dùng làm xấp

xỉ cho các biến ngẫu nhiên rời rạc khi tập các giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc đủ

“dày đặc”

3.2 Biểu diễn biến ngẫu nhiên

3.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc

Để xác định một biến ngẫu nhiên rời rạc, ta cần xác định các giá trị xi, i = 1, 2,

có thể nhận được bởi biến này và đồng thời cũng cần xác định xác suất tương ứng

để X nhận các giá trị này là bao nhiêu

Xét biến ngẫu nhiên rời rạcX nhận các giá trịx 1 , x 2 , , x n Giả sửx 1 < x 2 < < x n,

ta có bảng phân phối xác suất cho X:

+ Tính các xác suất pi tương ứng với các giá trị xi

Từ bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc, ta định nghĩa

4 khi x = 1 1

A = biến cố lấy được 0 bi T (2 bi Đ)

B = biến cố lấy được 1 bi T

C = biến cố lấy được 2 bi T

Ta tính các xác suất như sau:

P (X = 0) = P (A) = C

2 2

Chú ý 3.2.1 Khi lập bảng phân phối xác suất thì ta cần lưu ý:

- Ta phải kiểm tra xem tổng các xác suất có bằng 1 hay không

- Không được tính ra số thập phân nếu phép chia không hết, nếu có giản ước phân

Ví dụ 40 Có 3 hộp trong đó có 2 hộp loại I và 1 hộp loại II Hộp loại I có 3 bi T, 2

bi V Hộp loại II có 3 bi T, 3 bi V Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫunhiên ra 2 bi Gọi X là số bi T lấy được Lập bảng phân phối xác suất cho X?Hướng dẫn Đặt Hi là biến cố lấy được hộp loại i, (i = 1, 2) Ta có

Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp I bỏ sang hộp II, rồi lấy ngẫu nhiên từ hộp II ra2 bi Gọi

X là số bi T lấy được (trong 2 bi lấy ra từ hộp 2) Lập bảng phân phối xác suất cho

3.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục

Trong trường hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục, ta dùng hàm mật độ để biểudiễn Hàm mật độ xác suất f (x) là một hàm số thỏa mãn các điều kiện sau:

là hàm mật độ của phân phối chuẩn tắc N (0, 1)

Tính chất 3.2.4 Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f (x)

3.3.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc

Với X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất dạng

Hướng dẫn Hàm phân phối xác suất của X là

3.3.2 Biến ngẫu nhiên liên tục

Với X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f (x), x ∈ (−∞, ∞), hàm phânphối xác suất F (x) sẽ có dạng

Lập hàm phân phối xác suất cho biến ngẫu nhiên X

Hướng dẫn Ta xét các trường hợp sau:

3.4 Hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập

Nhớ lại rằng, hai biến cố độc lập A, B là độc lập nếu và chỉ nếu

Giải Gọi Ai là biến cố xuất hiện mặt có số nút là i ở lần tung 1, (i = 1, 6) Gọi

Bi là biến cố xuất hiện mặt có số nút là i ở lần tung 2, (i = 1, 6) Ta có

P (X = 1, Y = 2) = 1/36 = 1/6.1/6 = P (X = 1) P (Y = 2)

Tương tự,

P (X = xi, Y = yj) = P (X = xi) P (Y = yj) , ∀i, j.

Vậy X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập

Chú ý 3.4.2 Trong thực hành, ta thấy kết quả ở lần tung thứ nhất không ảnhhưởng đến lần tung thứ hai và ngược lại nên X, Y độc lập

Ví dụ 50 Tung một đồng xu 2 lần Gọi X là số lần được mặt số, Y là số lần đượcmặt hình Hỏi X, Y có độc lập hay không?

3.5 Hàm của biến ngẫu nhiên

Cho X là biến ngẫu nhiên và f (x) là hàm số một biến Ta gọi f (X) là hàm theobiến ngẫu nhiên X Đương nhiên f (X) cũng là một biến ngẫu nhiên

Ví dụ 51 X2, |X| là các hàm theo biến ngẫu nhiên X

Với X, Y là biến ngẫu nhiên cùng xác định trên một không gian mẫu và f (x, y) làhàm số hai biến thì f (X, Y ) cũng là một biến ngẫu nhiên

Ví dụ 52 X + Y, X.Y là các biến ngẫu nhiên

Ví dụ 53 Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau:

xf (x) dx nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục.

Ví dụ 56 Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm mật độ xác suất được cho bởi



= 12

Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm mật độ xác suất được cho bởi

p(0) = P (X = 0) = 1

3, p(1) = P (X = 1) =

2 3

thì

E(X) = 0

1 3



+ 1

2 3



= 23

Ví dụ 57 Nếu I là biến ngẫu nhiên đồng nhất của biến cố A, tức là

E(I) = 1P (A) + 0P (A) = P (A)

Do đó, kỳ vọng của biến ngẫu nhiên đồng nhất của biến cố A chỉ là xác suất để A

xảy ra

Ví dụ 58 Giả sử rằng bạn đang mong đợi một tin nhắn sau 5 giờ chiều Từ kinhnghiệm của bạn cho biết rằng X, số giờ sau 5 giờ chiều cho đến khi tin nhắn đến, làbiến ngẫu nhiên với hàm mật độ xác suất như sau:

Ví dụ 59 Lớp học có 100 sinh viên Điểm số môn Toán của lớp như sau:

1 Tính điểm trung bình môn Toán của lớp?

2 Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp ra xem điểm thi Gọi X là điểm số củasinh viên này Lập bảng phân phối xác suất của X và tính kỳ vọng EX?

Nếu X là trọng lượng thì EX là trọng lượng trung bình

Nếu X là chiều cao thì EX là chiều cao trung bình

Nếu X là năng suất thì EX là năng suất trung bình

Ví dụ 60 Theo thống kê việc một thanh niên 26 tuổi sẽ sống thêm trên một năm

có xác suất là 0, 995; xác suất để người đó chết trong vòng một năm tới là 0, 005 Mộtchương trình bảo hiểm kinh doanh bảo hiểm sinh mạng trong 1 năm cho thanh niên

độ tuổi 26 với số tiền chi trả 2000 đô la, tiền mua bảo hiểm là100 đô la Hỏi lợi nhuậntrung bình của công ty bảo hiểm nhận được trên mỗi khách hàng là bao nhiêu?Hướng dẫn Ta thấy, lợi nhuận là biến ngẫu nhiên X nhận hai giá trị là +20 đô

la (nếu người mua bảo hiểm không chết) và −1900 đô la (nếu người mua bảo hiểmchết) Bảng phân phối xác suất

Ví dụ 61 Hãy tính kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ

1

0

= 1

2.3.6.2 Giá trị tin chắc nhất

Giá trị tin chắc nhất của X, ký hiệu là mod(X):

- biến ngẫu nhiên rời rạc: là giá trị x0 của X mà P (X = x0) là lớn nhất

- biến ngẫu nhiên liên tục: là giá trị x0 của X sao cho fX(x0) là lớn nhất, với

fX(x0) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục X

Ví dụ 62 Tìm mod(X) cho biến ngẫu nhiên X có bảng giá trị như sau:

Tỷ lệ SV 0, 01 0, 03 0, 05 0, 08 0, 23 0, 25 0, 15 0, 07 0, 08 0, 03 0, 02

Ta thấy p6 = 0, 25 là lớn nhất nên mod(X) = 5

Chú ý 3.6.1 Lưu ý rằng, giá trị mod(X) có thể không duy nhất

3.6.3 Trung vị (Median)

Trung vị của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là M ed(X).

M ed(X) = x i nếu thỏa

K24 Học kỳ 1/2019-2020 37

Suy ra M ed(X) = 1.

Ý nghĩa hình học của trung vị

Trung vị là hoành độ của điểm mà tại đó diện tích giới hạn bởi đường cong mật

độ được chia làm hai phần có diện tích bằng nhau Trường hợp biến ngẫu nhiên cóphân phối đối xứng và có mốt thì ba số: trung vị, mốt và trung bình trùng nhau

Năng suất lao động trung bình của mỗi tổ đều là 300kg Tuy nhiên, ta thấy sự phân

bố các giá trị năng suất lao động ở tổ 1 xa trung tâm hơn so với sự phân bố các giátrị năng suất lao động của tổ 2 Nói cách khác, các giá trị năng suất lao động ở tổ 1phân tán hơn các giá trị năng suất lao động ở tổ 2 so với trung bình

Để đặc trưng cho độ phân tán của các giá trị biến ngẫu nhiên so với trung tâmcủa nó, ta đưa vào khái niệm phương sai của biến ngẫu nhiên Cụ thể,

Với X là một biến ngẫu nhiên, phương sai của X, ký hiệu bởi var(X), là đại lượngxác định bởi công thức

Bằng cách áp dụng các tính chất của kỳ vọng, ta nhận được

var (X) = E X2
− (EX)2. (3.9)Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc:

5 var (X ± Y ) = var (X) + var (Y )

Ý nghĩa Phương sai là trung bình của bình phương độ lệch giữa các giá trị củabiến ngẫu nhiên so với trung bình của nó Phương sai càng nhỏ thì độ tập trung củacác giá trị biến ngẫu nhiên quanh trung bình là càng cao và ngược lại Nói cách khác,

nó đặc trưng cho độ phân tán của biến ngẫu nhiên Trong kinh tế, phương sai đặctrưng cho độ rủi ro của mô hình; trong kỹ thuật, phương sai đặc trưng cho sai số củathiết bị

Ví dụ 65 Muốn hiểu lớp học có đồng đều hay không, người ta thu thập điểm họccủa lớp Giả sử có 10 người, trong đó có 5 người điểm 1, 5 người điểm 9 Ta tính ratrung bình sẽ là 5, ta kết luận lớp này sức học trung bình thì dễ mắc sai lệch mà chỉkhi ta tính được phương sai ta mới thấy được học sinh trong lớp khá “chêch lệch” vềsức (Giả sử sức học phản ánh điểm số và mọi người có trình độ như nhau cũng nhưvào học thầy dạy đồng đều như nhau)

Ví dụ 66 Tính phương sai cho biến ngẫu nhiên có bảng giá trị như sau:

Tỷ lệ SV 0, 01 0, 03 0, 05 0, 08 0, 23 0, 25 0, 15 0, 07 0, 08 0, 03 0, 02

Ta có

E X2
=Xx2ip i = 29, 26, var (X) = E (X)2− (EX)2 = 29, 26 − (5, 01)2 = 3, 8684.

K24 Học kỳ 1/2019-2020 39

Chú ý 3.6.2 Đơn vị đo của phương sai là đơn vị đo của X bình phương

Ví dụ 67 Hãy tìm phương sai cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ nhưsau:

1

0

= 1

3.var (X) = E (X)2− (EX)2 = 1/3 − (1/2)2= 1/12.

(xi− x) luôn luôn bằng 0.Ngoài việc sử dụng độ lệch chuẩn để so sánh độ phân tán của hai biến ngẫu nhiên,

ta còn có thể dùng quy tắc Tchebyshev để biết sự phân bố của các giá trị trong mộttập dữ liệu

3.7 Vectơ ngẫu nhiên

Trong phần này ta chỉ xét vectơ ngẫu nhiên có hai thành phần, các thành phầncủa vectơ ngẫu nhiên này phải cùng loại, cùng là biến ngẫu nhiên rời rạc hay liên tục

3.7.1 Vectơ ngẫu nhiên rời rạc

Xét vectơ ngẫu nhiên V = (X, Y ) Giả sử X, Y lần lượt lấy các giá trị

X = x 1 , x 2 , x 3 ,

Y = y1, y2, y3,

Đặt p ij = P (V = (x i , y j )) ≡ P (X = x i , Y = y j )

Bảng phân phối xác suất đồng thời

H H H H H HX