Tài liệu xác suất thống kê

ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN  Tổng thể ( hay đám đông) là tập hợp tất cả các phần tử mà ta muốn khảo sát( xem xét, điều tra) Ví dụ Để nghiên cứu “sự hài lòng của sinh viên Việt Nam.

Trang 1

ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ

THI KẾT THÚC HỌC PHẦN

Trang 2

 Tổng thể ( hay đám đông) là tập hợp tất cả các phần tử mà ta muốn khảo sát( xem xét, điều tra).

Ví dụ: Để nghiên cứu “sự hài lòng của sinh viên

Việt Nam về phong trào Đoàn TNCS Hồ Chí Minh

” ta chọn tổng thể (đám đông) là tập hợp tất cả sinh viên Việt Nam có tham gia sinh hoạt Đoàn

 Ngoại trừ một vài trường hợp cần có sự chính xác tuyệt đối phải điều tra toàn bộ tổng thể (chẳng hạn như điều tra dân số), còn lại vì nhiều lí do (thời gian và kinh phí không cho phép, có thể làm hỏng tổng thể hay không xác định được chính xác tổng thể, )

Trang 3

 Tập con của tổng thể được gọi là mẫu Số phần tử của

mẫu được gọi là cỡ mẫu hay kích thước mẫu, thường kí hiệu là n Phương pháp nghiên cứu trên các phần tử đại

diện thay vì nghiên cứu toàn bộ gọi là phương pháp mẫu

 Mẫu muốn đại diện được cho tổng thể phải được chọn một cách khách quan, không cố ý, không thiên vị Cách tốt nhất để chọn được mẫu đại diện là chọn mẫu ngẫu nhiên (hay chọn mẫu xác suất), đây là phương pháp mà các phần

tử của tổng thể được lấy làm mẫu với xác suất như nhau

Ta xét một số phương pháp chọn mẫu ngẫu nhiên thường dùng:

+ Chọn mẫu đơn giản

+ Chọn mẫu theo nhóm

+ Chọn mẫu chùm

Trang 4

 Nếu mẫu được chọn một cách ngẫu nhiên và xử

lý tốt bằng các phương pháp xác suất thì có thể đưa

ra các kết luận: nhanh chóng, ít chi phí và đảm bảo được độ chính xác cần thiết

 Sắp xếp và trình bày số liệu:

+ Bảng biểu diễn mẫu có lặp (bảng thống kê, bảng phân phối thực nghiệm) dùng khi mẫu có nhiều giá trị trùng nhau

+ Bảng ghép lớp (bảng dạng khoảng) dùng khi mẫu gồm nhiều giá trị khác nhau nhưng khá gần nhau người ta gom các giá trị mẫu thành các lớp, những giá trị gần nhau được xếp vào một lớp

Trang 5

 Thống kê mô tả: Thu thập và kiểm tra số liệu, mô

tả và trình bày số liệu, tính các tham số mẫu đặc trưng cho số liệu mẫu.

 Trung bình mẫu đặc trưng về giá trị trung bình

 Trung bình mẫu:

 Phương sai mẫu đặc trưng về sự phân tán

 Trung bình mẫu là trung bình số học các giá trị của mẫu

 Phương sai mẫu hiệu chỉnh:

1

1 k

i i i

Trang 6

 Tỉ lệ mẫu (còn ký hiệu ), trong đó m là số phần tử

 Các tiêu chuẩn đánh giá ước lượng điểm:

+ Ước lượng không chệch

+ Ước lượng hiệu quả

+ Ước lượng vững

Trang 7

 Ước lượng không chệch: là ước lượng không chệch là ước lượng điểm có kỳ vọng của sai số bằng 0.

 Ước lượng hiệu quả: là ước lượng không chệch

và có phương sai nhỏ nhất trong các ước lượng không chệch.

 Trung bình mẫu (), phương sai mẫu hiệu chỉnh (),

tỷ lệ mẫu () lần lượt là các ước lượng không chệch cho trung bình tổng thể (), phương sai tổng thể (),

tỷ lệ tổng thể (p)

Ưu điểm của ước lượng khoảng là có thể dùng cho mẫu kích thước nhỏ, đặc biệt ước lượng khoảng còn cho phép đánh giá độ tin cậy.

Trang 8

 Đặt ; ta gọi ε độ chính xác hay còn gọi là sai số của ước lượng; thì khoảng tin cậy của 

có dạng ; đây là một khoảng đối xứng có tâm là

 Đại lượng là độ dài khoảng tin cậy đối xứng của .

 Ước lượng khoảng tin cậy cho trung bình tổng

thể 

 Trường hợp đã biết 

1 2

Trang 9

 Trường hợp không biết  và kích thước mẫu

s z

Trang 10

 Ước lượng khoảng cho tỷ lệ tổng thể p

Độ chính xác:

1 2

Trang 11

BÀI TẬP

Bài 1 Tính trung bình, phương sai hiệu chỉnh và độ

lệch chuẩn hiệu chỉnh của mẫu gồm các giá trị 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8, 9 và 10?

Bài 2 Sau 4 năm học Đại học, điểm của Kiều My

như sau: 8 môn điểm 4, 9 môn điểm 5, 8 môn điểm

6, 3 môn điểm 7, 10 môn điểm 8, 2 môn điểm 9 và

5 môn điểm 10 Tính tỷ lệ số môn có điểm lớn hơn điểm trung bình tích lũy của Kiều My ?

Trang 12

Trọng lượng (kg) 40 45 50 55 60 65

Bài 3 Kiểm tra thể lực của một nhóm sinh viên ở

trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm có kết quả

về cân nặng như sau:

Tìm cân nặng trung bình và phương sai mẫu hiệu chỉnh của mẫu?

x

Trang 13

Bài 4 Kiểm tra thể lực của một nhóm sinh viên ở

trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm ta có kết quả về cân nặng như sau:

Trọng lượng (kg) 40 45 50 55 60 65

Tìm ước lượng không chệch cho trung bình tổng thể và phương sai của tổng thể ?

Trang 14

Bài 5 Biết độ tin cậy 95%; n = 200; tỷ lệ mẫu là

0,4 Tìm khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng thể?

Bài 6 Tìm kích thước mẫu tối thiểu trong ước lượng

khoảng tin cậy cho trung bình để đảm bảo độ chính xác bằng 0,1 và độ tin cậy 95%, biết rằng

:

khoảng tin cậy cho tỷ lệ để đảm bảo độ chính xác bằng 3% và độ tin cậy 98%, biết tỷ lệ mẫu là 10%:

khoảng tin cậy cho trung bình để đảm bảo độ chính xác bằng 0,15 và độ tin cậy 98%, biết rằng 2

Trang 15

Bài 9 Biết độ tin cậy 96%; n = 300; tỷ lệ mẫu là

6% Tìm khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng thể?

Bài 10 Tìm kích thước mẫu tối thiểu trong ước

lượng khoảng tin cậy cho tỷ lệ để đảm bảo độ chính xác bằng 0,01 và độ tin cậy 95%, biết tỷ lệ mẫu sơ

bộ là 5%?

Bài 11 Biết độ tin cậy 95%; n = 49; Tìm khoảng tin

cậy cho trung bình tổng thể?

Bài 12 Biết độ tin cậy 98%; n = 40; Tìm độ chính

xác của ước lượng khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể?

Trang 16

Bài 14 Biết độ tin cậy 95%; n = 100; Tìm khoảng

tin cậy cho trung bình tổng thể?

Trang 17

Bài 18 Biết độ tin cậy 96%; n = 500; Tìm khoảng

tin cậy cho trung bình tổng thể?

Bài 20 Tìm kích thước mẫu tối thiểu trong ước

lượng khoảng tin cậy cho trung bình để đảm bảo độ chính xác bằng 0,05 và độ tin cậy 96%, biết rằng

Trang 18

Bài 21 Độ dài một loại sản phẩm là đại lượng ngẫu

nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là = 8

mm và trung bình quy định là 22 mm Nghi ngờ độ dài của sản phẩm đã bị thay đổi, lấy ngẫu nhiên một mẫu gồm 81 sản phẩm để kiểm tra thấy độ dài trung bình là 21 mm Với mức ý nghĩa Hãy cho biết điều nghi ngờ trên là đúng hay sai ?

Bài 22 Báo cáo của phòng y tế trường Đại học

CNTP cho rằng, trọng lượng trung bình của một sinh viên là 46 (kg) Khảo sát 36 sinh viên thấy trọng lượng trung bình là 48,2 (kg), độ lệch mẫu hiệu chỉnh là 3,2 (kg) Với mức ý nghĩa 5%, báo cáo trên

có tin cậy được không?

Trang 19

Bài 23 Với giả thuyết đối thuyết và Khảo sát cỡ

mẫu 100, ta có Với , hãy cho biết chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết

Bài 25 Với giả thuyết , đối thuyết Điều tra cỡ mẫu

36 thấy tỷ lệ mẫu Với , hãy cho biết chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết ?

Trang 20

Bài 26 Với giả thuyết đối thuyết 40 và Khảo sát

cỡ mẫu 81, ta có Với , hãy cho biết chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết

81 thấy tỷ lệ mẫu Với , hãy cho biết chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết ?.

Trang 21

49 thấy tỷ lệ mẫu Với , hãy cho biết chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết ?

Bài 31 Với giả thuyết đối thuyết và s 23 Khảo sát

cỡ mẫu 36, ta có Với , hãy cho biết chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết

Trang 22

Bài 32 Một báo cáo cho rằng chiều cao của sinh

viên ở trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm là

163 (cm) Tiến hành đo 49 sinh viên thấy chiều cao trung bình là 161 (cm) và độ lệch mẫu (hiệu chỉnh)

là 7,2 (cm) Với mức ý nghĩa 5%, báo cáo trên có phù hợp với thực tế hay không?

300 thấy tỷ lệ mẫu 6 Với , hãy cho biết chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết ?

Trang 23

Bài 34 Với giả thuyết 50%, đối thuyết 50% Điều

tra cỡ mẫu 587 thấy tỷ lệ mẫu 4 Với , hãy cho biết chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết ?

Bài 35 Với giả thuyết %, đối thuyết 32% Điều tra

cỡ mẫu 256 thấy tỷ lệ mẫu 3 Với , hãy cho biết chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết ?

Trang 24

Bài 37 Năm học 2016 – 2017, tỷ lệ sinh viên dưới

điểm 5 môn Xác suất thống kê là 9% Năm học

2017 – 2018 có sự cải tiến, khảo sát 587 bài thi có

35 bài dưới điểm 5 Với mức ý nghĩa 5%, hãy đánh giá về sự cải tiến này ?

Bài 38 Biết X nhận các giá trị 3,4,5,6,7,8 và Y

nhận các giá trị tương ứng 9,10,11,12,13,14 Tìm

phương trình hồi qui tuyến tính của Y theo X ?

Bài 39 Giả sử phương trình hồi qui tuyến tính của

Y theo X là Hãy dự đoán giá trị trung bình của Y

với ?

Trang 25

Bài 40 Biết X nhận các giá trị - 3, - 2, 1, 2, 3 và Y

nhận các giá trị tương ứng 2, 5, 4, 2 , 3 Tìm

phương trình hồi qui tuyến tính của Y theo X ?

Y theo X là Hãy dự đoán giá trị trung bình của Y

Trang 26

Bài 44 Biết X nhận các giá trị - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2,

3 và Y nhận các giá trị tương ứng 2, 3, 5, 4, 2 , 3, 1 Tìm phương trình hồi qui tuyến tính của Y theo

X ?

Y theo X là 5 Hãy dự đoán giá trị trung bình của

Trang 27

Bài 48 Biết

Tìm phương trình hồi qui tuyến tính của Y theo X ?

Bài 49 Biết X nhận các giá trị - 3, - 1, 0, 1, 2 và Y

Trang 29

§4 MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT

1 Công thức cộng

 Với hai biến cố bất kỳ A và B thì

 Nếu biến cố A là B xung khắc thì

Trang 30

Ví dụ 1 Ở một địa phương tỷ lệ người mắc bệnh tim là

10%, mắc bệnh huyết áp là 11%, mắc cả hai bệnh là 8% Khám ngẫu nhiên 1 người, tính xác suất người này

a) Mắc ít nhất một trong hai loại bệnh trên

b) Không mắc bệnh nào

Giải.

a) Gọi A, B lần lượt là các biến cố người được chọn bị

mắc bệnh tim, huyết áp thì A + B chính là biến cố

người đó mắc ít nhất một trong hai loại Ta có:

b) HD: Dùng biến cố đối

( ) ( ) ( ) ( ) 10% 11% 8% 13%.

Trang 31

Ví dụ 2 Trong bình có 6 viên bi đỏ, 4 viên bi trắng Lấy

ngẫu nhiên 2 viên Tính xác xuất lấy được ít nhất 1 bi đỏ

Giải Ở câu c, ví dụ 4, §3 ta đã dùng định nghĩa cổ điển tính trực tiếp được xác suất lấy được ít nhất 1 bi đỏ là Bây giờ ta sẽ dùng công thức cộng hai biến cố xung khắc để giải quyết:

Gọi A = lấy được 1 đỏ + 1 trắng, B = lấy được 2 đỏ, C = lấy được ít nhất 1 đỏ Thế thì C = A + B và do A, B xung khắc nên ta có:

Ngoài ra, xác suất cần tìm có thể được tính nhanh chóng thông qua biến cố đối như sau:

13 15

Trang 32

Ví dụ 3.

a) Cho P(A) = 0,5; P(B) = 0,4; AB = Tính P(A + B).

b) Phát biểu “ P(A + B) = P(A) + P(B) với mọi biến cố A

và B “ đúng hay sai ?

c) Cho P(A) = 0,5; P(B) = 0,4; P(AB) = 0,3

Tính P(A+B); P( (HD: dùng định luật De Morgan)

d) Cho P(A) = 0,5; P(B) = 0,4; P(A) = 0,3 Tính P(A+).

e) Cho P(A) = 0,6; P(A) = 0,4 Tính P(AB)

HD: P(A) = P(A) = P(A(B + ))= P(AB) + P(A)

Trang 33

Ví dụ 4 Một trường điểm có 100 học sinh (hs) trong đó

có 60 hs giỏi Toán, 55 hs giỏi Văn và 30 hs giỏi cả hai môn Toán và Văn Chọn ngẫu nhiên 1 hs của trường Tính xác suất chọn được hs:

a) Giỏi ít nhất 1 trong 2 môn (giỏi toán hoặc giỏi văn)

b) Chỉ giỏi Toán

c) Chỉ giỏi Văn

d) Không giỏi Toán, cũng không giỏi Văn

e) Giỏi cả 2 môn

Trang 34

2 Công thức nhân xác suất

2.1 Xác suất có điều kiện

2.1.1 Định nghĩa.

Xác suất của biến cố B xét trong điều kiện biến cố A đã

xảy ra gọi là xác suất của biến cố B với điều kiện biến cố

A và ký hiệu là

Ví dụ 5 Một hộp có 6 viên bi đỏ, 4 viên bi xanh Lấy

lần lượt không hoàn lại 2 viên Tính xác suất để lần thứ hai lấy được bi đỏ biết lần thứ nhất lấy được bi đỏ

( / )

P B A

Trang 35

Giải. Gọi A là biến cố lần thứ nhất lấy được bi đỏ, B là

biến cố lần thứ hai lấy được bi đỏ Nếu lần thứ nhất lấy được bi đỏ, tức A xảy ra thì sau lần lấy thứ nhất trong bình còn lại 5 viên đỏ và 4 viên xanh Khi đó, xác suất để lần 2 lấy được bi đỏ là

Trong ví dụ trên, tính xác suất lần 2 lấy được bi đỏ biết lần

1 lấy được bi xanh?

Ví dụ 6 Gieo một con xúc xắc 2 lần, tìm xác suất để tổng

số chấm bằng 7 biết rằng số chấm lần thứ nhất là số chia hết cho 3

( B/ A) 5/ 9.

Trang 36

Ví dụ 7 Xét nghiệm một nhóm gồm 40 nữ và 60 nam thấy

10 nữ và 15 nam có nhóm máu O Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm, tính các xác suất:

Giải. a) Gọi A = chọn được nữ,

b) Gọi B = chọn được người có nhóm máu O,

c) Gọi C = chọn được nữ có nhóm máu O,

40 ( )

100

P A 

25 (B)

100

P 

10 (C)

100

P 

Trang 37

Chú ý: Cần phân biệt xác suất của biến cố tích và xác

suất có điều kiện Ta có thể thấy ở ví dụ 4 trên đây, biến

cố C chính là tích của 2 biến cố A và B,

(B/ A)

P

10 (B/ A)

40

10 (A/ B)

25

10 (AB)

100

Trang 38

2.1.2 Công thức xác suất có điều kiện

Trong các ví dụ trên ta thấy có thể dùng định nghĩa xác suất cổ điển để tính xác suất có điều kiện với lưu ý rằng tập hợp các kết cục đồng khả năng có thể xảy ra

bị thu hẹp lại khi “điều kiện” đã xảy ra Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp không thể tính trực tiếp xác suất có điều kiện từ định nghĩa, khi đó ta có thể dùng công thức sau:

(với )

( ) ( / )

Trang 39

Ví dụ 8 Một bệnh nhân trải qua 2 xét nghiệm y khoa

liên tiếp Biết xác suất người này có kết quả âm tính ở xét nghiệm thứ nhất là 0,8; âm tính ở cả hai xét nghiệm

là 0,6 Tính xác suất người này có kết quả âm tính ở xét nghiệm thứ hai biết xét nghiệm thứ nhất cho kết quả âm tính

Giải Gọi A là biến cố xét nghiệm 1 âm tính, B là biến cố xét nghiệm 2 âm tính Theo đề bài ta có

và ta cần tính Áp dụng công thức xác suất có điều kiện ta có ngay

( ) 0,8

P AB P

P A

Trang 40

Ví dụ 9 Cho Tính

2.2 Công thức nhân xác suất

2.2.1 Công thức nhân tổng quát

Từ công thức xác suất có điều kiện ta dễ dàng suy ra công thức sau đây được gọi là công thức nhân

Tổng quát, xác suất của tích n biến cố

được tính bởi công thức:

Trang 41

Ví dụ 10 Một hộp có 6 viên bi đỏ, 4 viên xanh Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai lần, mỗi lần 1 bi, không hoàn lại Tính xác suất :

a) Lần 1 lấy được bi đỏ và lần 2 lấy được bi xanh

b) Lần 1 lấy được bi xanh và lần 2 lấy được bi đỏ

c) Lấy được 1 bi đỏ và 1 bi xanh

d) Cả 2 lần đều lấy được bi đỏ

e) Tính các xác suất ở câu c và d trong trường hợp lấy đồng thời 2 bi, so sánh kết quả trong 2 trường hợp lấy đồng thời và lấy lần lượt không hoàn lại?

Trang 42

Giải Gọi là biến cố lần thứ i lấy được bi đỏ.

10 9 3

Trang 43

Ví dụ 11* Một hộp có 10 sản phẩm (sp) trong đó có 2

phế phẩm Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng sp kiểm tra để loại bỏ hết 2 phế phẩm thì dừng Tính xác suất của các biến cố:

a) A = Lần 1 được phế phẩm, lần 2 chính phẩm, lần 3 phế phẩm

b) B = Lần 1 được chính phẩm, lần 2 phế phẩm, lần 3 phế phẩm

Định dạng
Số trang	245
Dung lượng	1,55 MB