BÀI TẬP LÝ THUYẾT XÁC SUẤT CHƯƠNG 3

BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN CHƯƠNG 3 1 Áp dụng các phân phối rời rạc 1 Tìm xác suất rút được 4 lá bích khi rút 8 lá bài một cách ngẫu nhiên và có hoàn lại từ bộ bài 52 lá Giải Ta nhận thấy rằng khi rút ngẫu nhiên 1 lá bài có hoàn lại từ bộ bài 52 lá thì xác suất rút được lá bích luôn là Gọi là số lá bích trong 8 lá bài được rút ra Khi đó có phân phối nhị thức với và Vì vậy 2 Tại một khách sạn, trung bình có 48 cuộc gọi đến mỗi giờ để đặt phòng a Tính xác suất nhận được 3 cuộc gọi trong khoảng thời gian.

BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN CHƯƠNG 3

1 Áp dụng các phân phối rời rạc

1 Tìm xác suất rút được 4 lá bích khi rút 8 lá bài một cách ngẫu nhiên và có hoàn lại từ bộ

bài 52 lá

Giải

Ta nhận thấy rằng khi rút ngẫu nhiên 1 lá bài có hoàn lại từ bộ bài 52 lá thì xác suất rút được lá bích luôn là:

Gọi là số lá bích trong 8 lá bài được rút ra Khi đó có phân phối nhị thức với

và Vì vậy

2 Tại một khách sạn, trung bình có 48 cuộc gọi đến mỗi giờ để đặt phòng

a Tính xác suất nhận được 3 cuộc gọi trong khoảng thời gian 5 phút

b Tính xác suất nhận được đúng 10 cuộc gọi trong 15 phút

c Giả sử hiện tại không có cuộc gọi nào đang chờ Nếu nhân viên trực máy mất 5 phút để hoàn thành cuộc gọi hiện tại thì trung bình có bao nhiêu khách hàng gọi tới và phải chờ trong thời gian đó? Xác suất không có khách hàng nào phải chờ máy là bao nhiêu?

d Nếu hiện tại không có cuộc gọi nào thì xác suất nhân viên trực máy được nghỉ 3 phút là bao nhiêu?

Giải

Gọi là số cuộc gọi đến trong thời gian t phút Khi đó

a Trong thời gian 5 phút thì Do đó,

13 1

52= 4

8

4

p =

4 4 4

8

P X = =C        =

   

X

48

~ 60

t

(4)

b Trong thời gian 15 phút thì Do đó,

c Trong thời gian 5 phút thì Do đó, trung bình số cuộc gọi đến đang chờ vào thời gian đó là 4 Xác suất không có khách hàng nào chờ máy là

d Trong thời gian 3 phút thì Do đó

2 Xấp xỉ giữa phân phối nhị thức, Poisson và siêu bội

3 Cho một phân phối nhị thức với n = 100 và p = 0,01 Sử dụng phân phối Poisson để tính xấp xỉ

a

b

c

d

e

Giải

a

b

4 3 4

3!

e

P X

−

= =

~ (12)

12 10 12

10!

e

P X

−

~ (4)

4 0 4

0!

e

P X

−

= =

~ (2, 4)

2,4 0 2, 4

0!

e

P X

−

( 0)

P X =

( 1)

P X =

( 2)

P X =

( 2)

P X 

( 2)

P X 

(100; 0, 01) (1)

1 0 1

0!

e

P X

−

1 1 1

1!

e

P X

−

c

d

e

4 Cho biết 1% hóa đơn điện thoại được gửi đến các hộ gia đình bị nhầm địa chỉ Sử dụng

phân phối nhị thức và xấp xỉ phân phối Poisson, tìm xác suất có ít nhất một hóa đơn nhầm địa chỉ trong số 20 hóa đơn được chọn Hãy so sánh hai kết quả thu được với 4 chữ số thập

phân

Giải

Gọi là số hóa đơn bị nhầm địa chỉ trong số 20 hóa đơn được chọn Ta có,

Tính theo phân phối nhị thức

Tính theo phân phối xấp xỉ Poisson

So sánh: xấp xỉ Poisson cho kết quả khá chính xác (sai lệch với đáp án đúng 0,0008)

5 Có 200 chứng từ hoàn trả chi phí đi lại của nhân viên đã được nộp cho phòng tài chính

của một công ty, trong số đó có 20 chứng từ bị lỗi Một kiểm toán viên xét một mẫu gồm

5 chứng từ

a Tìm xác suất trong mẫu đó

(i) Không có chứng từ nào bị lỗi

(ii) Chứa ít nhất hai chứng từ bị lỗi

b Tính xấp xỉ các xác suất trong câu a bằng phân phối nhị thức, nhận xét các kết quả thu được

Giải

a Gọi là số chứng từ bị lỗi có trong mẫu Khi đó

1 2 1

2!

e

P X

−

P X  =P X = +P X = +P X = =

( 2) 1 ( 2) 0, 08

P X  = −P X  =

X

~ (20; 0, 01) (0, 2)

2

0 0

( 1) 1 ( 0) 1 0, 01 0,99 0,182 1

0, 2 0, 20

0!

e

−

b

Nhận xét: Sai số ở câu (i) là 0,003, sai số ở câu (ii) là 0,002

6 Kiểm tra 400 xe hơi xem có đạt tiêu chuẩn về khí thải của thành phố hay không, người

ta thấy có 320 xe đạt chuẩn và 80 xe không đạt chuẩn Một mẫu ngẫu nhiên 6 xe hơi được

chọn

a Xác suất cả 6 xe đều đạt chuẩn là bao nhiêu?

b Xác suất ít nhất 5 xe đạt chuẩn là bao nhiêu?

c Sử dụng xấp xỉ nhị thức để tính lại các xác suất trên, nhận xét các kết quả thu được

Giải

Gọi là số xe hơi đạt chuẩn trong số 6 xe hơi được chọn Ta có,

a

b

20 180 5 200

( )i P X( 0) C C 0,587

C

0 5 1 4

20 180 20 180

200 200

1

0, 079

=

~ (200, 20,5) (5;0,1)

0 0 5 5

( 0) 0,1 0,9 0 9 ,5

1 0,1 0,9 0,1 0,9

0, 08

1

=



6 0

320 80 6 400 ( 6) C C 0, 2597

P X

C

5 1 6 0

320 80 320 80

400 400

(400,320, 6) (6; 0,8)

6 6 0 ( 6) 0,8 0, 2 0, 26 21

Nhận xét: Sử dụng xấp xỉ nhị thức tính toán đơn giản hơn và sai số khá nhỏ

7 Một nhà sản xuất lốp xe ô tô báo cáo rằng: trong một lô hàng 5000 lốp xe được chuyển

đến một nhà phân phối địa phương có 1000 lốp xe bị khiếm khuyết Một người mua 10 lốp

xe ngẫu nhiên từ nhà phân phối này Hỏi xác suất có đúng 3 lốp bị khiếm khuyết là bao

nhiêu?

Giải

Gọi là số lốp xe bị khiếm khuyết trong 10 lốp xe mua được

3 Áp dụng các phân phối liên tục

8 Cho là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc Tính các xác suất sau:

a

b

c

Giải

9 Cho có phân phối chuẩn với và Tính xác suất

a

b

c hoặc

( 3)

P X = H(5000,1000,10)B(10;0, 2)

3 3 7 10

( 3) 0, 2 0,8 0, 201.

Z

( 1,98 0, 49)

P −  Z

(0,52 1, 22)

( 1, 75 1, 04)

P −   −Z

( 1,98 0, 49) (0, 49) ( 1,98)

(0, 49) (1,98) 1

0, 664

= (0,52 1, 22) (1, 22) (0,52) 0,19

( 1, 75 1, 04) ( 1, 04) ( 1, 75)

(1, 75) (1, 04) 0,109

=



=

=

75

X 

70

X 

80

Giải

10 Giá cổ phiếu trung bình của các công ty tạo nên chỉ số S&P 500 là 30$, độ lệch chuẩn

là 8,20$ (BusinessWeek, Special Annual Issue, Spring 2003) Giả sử rằng giá cổ phiếu có phân phối chuẩn

a Xác suất một công ty có giá cổ phiếu ít nhất 40$ là bao nhiêu?

b Xác suất một công ty có giá cổ phiếu không vượt quá 20$ là bao nhiêu?

c Giá cổ phiếu phải là bao nhiêu để một công ty thuộc top 10%?

Giải

a

b

c Ta tìm sao cho

Tra bảng, ta được,

Suy ra,

75 100

10

70 100

10

1

0,181.

=

40 30

8, 2

P X  = −P X  = −  − =

20 30

8, 2

P X  =  − =

0

x P X( x0)=0,9

0 0

30

8, 2

x

P X x =  − =

0 30

1, 28.

8, 2

x −

=

0 40, 496

x =

11 Tổ chức bảo vệ quyền lợi người tiêu dùng muốn tìm hiểu một trang trại bò sữa có thực

sự rót 500 ml sữa vào hộp dán nhãn 500 ml hay không Giả sử rằng lượng sữa được rót vào

hộp tuân theo phân phối chuẩn với trung bình 501,5 ml và độ lệch chuẩn 0,8 ml

a Tính xác suất một hộp nào đó chứa ít hơn 500 ml sữa

b Tổ chức quyền của người tiêu dùng mua 400 hộp sữa Tìm xác suất có ít hơn 12 hộp không chứa đủ sữa

Giải

Gọi là lượng sữa được rót vào hộp

a

b Gọi là số hộp không chứa đủ sữa

Ta có,

12 Cho T có phân phối Student với 10 bậc tự do, tìm

Giải

Ta có:

13 Cho có phân phối Tính các xác suất sau

a

Giải

;

4 Xấp xỉ phân phối nhị thức và Poisson bởi phân phối chuẩn

14 Giả sử có phân phối nhị thức với và Tính xấp xỉ các xác suất sau

~ (501,5;0,8 )

500 501,5

0,8

11

0

k

=

( 1,81)

P T 

( 1,81) 0, 05

( 1)

P X 

( 2)

P X  P X ( 0,5)

( 1, 76)

P X  P X ( 0,568)

( 1) 0, 5

a P X  =

( 2) 0, 008; ( 0,5) 0, 008.

( 1, 76) 0, 025; ( 0,568) 0, 025

a

b

c

Giải

BÀI TẬP

3.1 Tìm xác suất có đúng 3 sinh viên sinh vào tháng 4 hoặc tháng 5 trong một nhóm có 6

sinh viên

3.2 Tung 2 con xúc xắc 10 lần, tìm xác xuất mặt 6 xuất hiện trong 5 lần tung

3.3 Chọn 5 giá trị bất kỳ thuộc khoảng (0,1) một cách ngẫu nhiên và độc lập nhau

a Tìm xác suất có ít nhất 2 giá trị nhỏ hơn

b Tìm xác xuất số thập phân đầu tiên của 2 giá trị trong 5 giá trị được chọn là 3

3.4 Tỉ lệ chính phẩm của một kho hàng là 0,85 Người ta chọn ngẫu nhiên 150 sản phẩm của lô hàng Tính giá trị tin chắc nhất của số chính phẩm chọn ra

3.5 Trong một buổi vận động từ thiện, 35% trong số 560 người tham dự đã đóng góp tiền

mặt Nếu chọn ngẫu nhiên 15 người từ 560 người tham dự thì xác suất có ít nhất 2 người

đã đóng góp tiền mặt là bao nhiêu?

3.6 Các kiện hàng qua kiểm tra sẽ bị từ chối nếu phát hiện số sản phẩm hỏng nhiều hơn

5% Một kiện hàng mới về gồm 500 sản phẩm, người ta kiểm tra ngay 30 sản phẩm thì thấy

có 2 sản phẩm hỏng Hỏi kiện hàng đó có bị từ chối hay không?

( 70)

P X 

P  X 

( 80)

P X =

~ (200;0, 4) (80; 48)

( )

70 80

48

(1, 44) ( 1, 44) 0,85014

200.0, 4.0, 6 200.0, 4.0, 6

1 3

3.7 Trong số 28 bà mẹ đến cửa hàng mua sữa cho con có 18 người thích mua sữa ngoại và

10 người thích mua sữa sản xuất tại Việt Nam Chọn 5 người bất kỳ, xác suất có ít nhất 3 người chọn mua sữa ngoại là bao nhiêu?

3.8 Trong suốt thời gian một trường đại học nhận đăng ký nhập học qua điện thoại, trung bình cứ hai phút có một cuộc gọi đến Hỏi:

a Số cuộc gọi đến trung bình trong một giờ là bao nhiêu?

b Xác suất có ba cuộc gọi đến trong năm phút là bao nhiêu?

c Xác suất không có cuộc gọi nào trong năm phút là bao nhiêu?

3.9 Các hành khách đi máy bay đến cổng kiểm tra đặc biệt một cách ngẫu nhiên và độc lập tại một sân bay quốc tế Tốc độ đến trung bình là 10 hành khách mỗi phút Tính xác suất

a Không hành khách nào đến trong khoảng thời gian một phút

b Có không quá 3 hành khách đến trong khoảng thời gian một phút

c Không có hành khách đến trong khoảng 15 giây

d Có ít nhất một hành khách đến trong khoảng 15 giây

3.10 Trung bình có 15 tai nạn máy bay xảy ra mỗi năm (The World Almanac and Book of Facts, 2004)

a Tính trung bình số tai nạn máy bay xảy ra mỗi tháng

b Tính xác suất không có tai nạn nào trong một tháng

c Tính xác suất có đúng một tai nạn trong một tháng

d Tính xác suất có nhiều hơn một tai nạn trong một tháng

3.11 Ủy ban An toàn Quốc gia (NSC) ước lượng rằng nạn nhảy việc gây tổn thất kinh tế

(về mặt năng suất) gần 200 triệu đô la mỗi năm (NSC, Tháng Ba 2006) Theo ước lượng của NSC, trong các công ty với 50 nhân viên thì trung bình có 3 nhân viên nhảy việc mỗi

năm Hãy trả lời các câu hỏi sau cho công ty với 50 nhân viên:

a Xác suất không có nhân viên nào nhảy việc trong khoảng thời gian một năm là bao nhiêu?

b Xác suất có ít nhất hai nhân viên nhảy việc trong khoảng thời gian một năm là bao nhiêu?

c Số nhân viên nhảy việc trung bình trong khoảng thời gian sáu tháng là bao nhiêu?

d Xác suất không có nhân viên nào nhảy việc trong sáu tháng tiếp theo là bao nhiêu?

3.12 Cho một phân phối nhị thức với và Sử dụng phân phối Poisson, hãy

tính xấp xỉ:

a

b

c

d

e

3.13 Một công ty sản xuất máy tính lấy mẫu các con chip máy tính Sau khi nhận một lô

hàng lớn các con chip, công ty chọn ngẫu nhiên 800 con chip Nếu có không quá 3 con chip bị lỗi, toàn bộ lô hàng sẽ được chấp nhận mà không cần kiểm tra các con chip còn lại trong lô hàng Nếu có hơn 3 con chip bị lỗi, mỗi con chip trong toàn bộ lô hàng sẽ được kiểm tra một cách cẩn thận với chi phí của nhà cung cấp Giả sử rằng tỷ lệ thực sự các con

chip bị lỗi được cung cấp là 0,001 Tính xấp xỉ xác suất lô hàng được chấp nhận

3.14 Tháng trước một công ty bán được 10000 đồng hồ mới Kinh nghiệm trong quá khứ

chỉ ra rằng xác suất một đồng hồ mới cần phải sửa chữa trong thời gian bảo hành là 0,002

Tính xấp xỉ xác suất:

a Không có đồng hồ nào cần bảo hành

b Có không quá 5 đồng hồ cần bảo hành

c Có không quá 10 đồng hồ cần bảo hành

d Có không quá 20 đồng hồ cần bảo hành

3.15 Một hồ cá có 1000 con, trong đó có 100 con được đánh dấu Người ta bắt lên 20 con

cá

a Tính xác suất có đúng 10 con được đánh dấu

b Sử dụng phân phối nhị thức để tính xác suất trong câu a

50

n = p =0, 004

( 0)

P X =

( 1)

P X =

( 2)

P X =

( 2)

P X 

( 2)

P X 

3.16 Tính diện tích hình phẳng nằm bên dưới đường cong chuẩn tắc và giữa hai đường thẳng sau đây

f và

3.17 Đối với người vay có điểm tín dụng tốt, các khoản nợ trung bình cho loại tài khoản

trả góp và xoay vòng là 15015$ (BusinessWeek, 20/3/2006) Giả sử độ lệch chuẩn là 3540$

và các khoản nợ có phân phối chuẩn.Tìm xác suất khoản nợ của một người vay có điểm tín dụng tốt

a Lớn hơn 18000$

b Nhỏ hơn 10000$

c Từ 12000$ đến 18000$

d Không vượt quá 14000$

3.18 Một người phải đạt điểm thuộc top 2% dân số thế giới trong một bài kiểm tra IQ mới

đủ điều kiện trở thành thành viên Mensa, hiệp hội những người có IQ cao nhất thế giới Nếu điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 và độ lệch chuẩn 15 thì một người

phải đạt bao nhiêu điểm mới đủ điều kiện gia nhập Mensa?

3.19 Một cửa hàng bánh ngọt nhận thấy rằng cửa hàng phải vứt bỏ quá nhiều bánh ngọt

vào mỗi tối Vì vậy người quản lý đã thực hiện một nghiên cứu về doanh số bán bánh và thấy rằng vào một ngày bình thường, doanh số bán bánh tuân theo phân phối chuẩn với trung bình 14 kg và độ lệch chuẩn là 6 kg Sau đó, người quản lý quyết định chỉ chuẩn bị

16 kg bánh ngọt mỗi ngày Hỏi khả năng cửa hàng hết bánh ngọt vào một ngày nào đó là

bao nhiêu?

0

3,5

Z = − Z = −1

1, 2

1,3

Z = − Z =1,3

1

Z = − Z =1

3

3.20 Thời gian cần thiết để hoàn thành một bài thi cuối kỳ trong một khóa học nào đó tuân

theo phân phối chuẩn với trung bình 80 phút và độ lệch chuẩn 10 phút Hãy trả lời các câu

hỏi sau đây:

a Xác suất hoàn thành bài thi không quá một giờ là bao nhiêu?

b Xác suất một sinh viên hoàn thành bài thi nhiều hơn 60 phút nhưng ít hơn 75 phút

là bao nhiêu?

c Giả sử rằng lớp có 60 sinh viên và thời gian thi là 90 phút Hỏi trung bình có bao nhiêu sinh viên không thể hoàn thành bài thi trong thời gian quy định?

3.21 Giám đốc một ngân hàng địa phương nhận thấy rằng người dân thường rút tiền lương

vào ngày thứ sáu Lượng tiền rút ra vào ngày thứ sáu tuân theo phân phối chuẩn với trung bình 5 tỷ và độ lệch chuẩn là 1 tỷ Vị giám đốc này muốn đảm bảo rằng lượng tiền trong ngân hàng có thể đáp ứng 99,9% lượng tiền rút vào ngày thứ sáu Hỏi lượng tiền tối thiểu

mà họ cần có là bao nhiêu?

3.22 Thu nhập hàng tháng của các nhà phân tích tài chính có phân phối chuẩn với trung

bình 5700$ Nếu chỉ có 6,68% nhà phân tích tài chính có thu nhập hàng tháng nhiều hơn 6140$ thì độ lệch chuẩn của thu nhập hàng tháng của các nhà phân tích tài chính là bao

nhiêu?

3.23 Tính các xác suất sau đây:

a

3.24 Cho có phân phối Hãy xác định giá trị sao cho

a

b

Xét các trường hợp

1

2

27

( 2, 05)

P t  −

27

( 2, 05

P t  t  −27 2, 05)

0 ( ) 0, 025

P X x =

0 ( ) 0, 025

P X x =

1 2 49

 = =

39

 = =

3

Nêu nhận xét về tác động của việc giảm bậc tự do lên các giá trị khác nhau của

3.25 Cho có phân phối với bậc tự do Tìm kỳ vọng và phương sai của

3.26 Cho là các biến ngẫu nhiên độc lập và có phân phối chuẩn tắc Tính

3.27 Việc sản xuất chip bán dẫn tạo ra 2% chip bị lỗi Giả sử các con chip là độc lập nhau

và một lô hàng chứa 1000 con chip Tính xấp xỉ xác suất có

a Nhiều hơn 25 con chip bị lỗi

b Từ 20 đến 30 con chip bị lỗi

3.28 10% thanh socola được sản xuất trong một nhà máy bị lỗi mẫu mã Một mẫu ngẫu nhiên 1000 thanh socola được lấy ra Tìm xác suất

a Có ít hơn 80 thanh bị lỗi

b Có từ 90 đến 115 thanh bị lỗi

c Có từ 120 thanh trở lên bị lỗi

3.29 Giả sử có phân phối Poisson với trung bình 64 Tính xấp xỉ các xác suất sau:

3.30 Khi bạn gửi 1 bản fax, xác suất gửi thành công là 0,85

a Bạn gửi 8 bản fax Sử dụng mô hình nhị thức để tìm xác suất bạn gửi thành công

ít nhất 7 bản

b Bạn gửi 50 bản fax Sử dụng xấp xỉ chuẩn cho mô hình nhị thức để tìm xác suất bạn gửi thành công ít nhất 45 bản fax

1 2 29

 = =

0

x

( 100)

P X 

1, , 10

2 2

1 10

P X ++X 

X

a P X 

b P X 

3.31 Trong một xe tải chở khoai tây, cứ mỗi 6 củ khoai tây thì trung bình có 1 củ bị hư

Chủ một cửa hàng rau quyết định từ chối lô hàng nếu tìm thấy nhiều hơn 18 củ bị hư trong

một mẫu ngẫu nhiên gồm 100 củ Tìm xác suất người này chấp nhận lô hàng

3.32 Cứ 2 tháng thì trung bình xảy ra 1 vụ tai nạn trên một đường ray xe lửa nào đó Tìm xác suất

a Có từ 25 vụ tai nạn trở lên trong 4 năm

b Có không quá 30 vụ tai nạn trong 5 năm

3.33 Cho biết chiều cao của học sinh lớp một là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với

kỳ vọng là 100 cm và độ lệch chuẩn là 1,6 cm Học sinh lớp một được xem là có chiều cao bình thường nếu chiều cao đạt từ 98 đến 102 cm

a Tìm tỷ lệ học sinh lớp một có chiều cao bình thường

b Chọn ngẫu nhiên 100 học sinh lớp một, tìm xác suất chọn được trên 70 em có chiều cao bình thường

3.34 Người ta thống kê được trong 8 phút có 20 xe ôtô đi qua một trạm thu phí giao thông Tìm xác suất trong 2 phút có

a Ít nhất 3 xe ôtô đi qua trạm thu phí đó

b Từ 4 đến 6 xe ô tô đi qua trạm thu phí đó

3.35 Cho biết tuổi thọ của bóng đèn do Xí nghiệp Rạng Đông sản xuất là biến ngẫu nhiên

có phân phối chuẩn với kỳ vọng là 1 năm và độ lệch chuẩn là 1 tháng Bóng đèn được xếp loại I nếu tuổi thọ của nó ít nhất là 11 tháng

a Một người mua 10 bóng đèn của Xí nghiệp Rạng Đông Tìm xác suất người đó mua được 7 bóng đèn loại I

b Một đại lý mua 100 bóng đèn của Xí nghiệp Rạng Đông Gọi X là số bóng đèn loại I có trong 100 bóng đó Tìm phân phối xác suất của X Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X Hỏi xác suất đại lý đó mua được ít nhất 80 bóng đèn loại

I là bao nhiêu?