Bài giảng lý thuyết xác suất và thông kê toán chương 8 kiểm định giả thiết thống kê

Việc tìm ra kết luận bác bỏ hay chấp nhận một giả thiết gọi làø kiểm định giả thiết thống kê.. Dựa vào số liệu của một mẫu điều tra về năng suất lúa của tỉnh này và qui tắc kiểm định để

1- Giả thiết thống kê:

I- CÁC KHÁI NIỆM

Việc tìm ra kết luận bác bỏ hay chấp nhận một giả thiết gọi làø

kiểm định giả thiết thống kê

Giả thiết thống kê là những giả thiết nói về các tham số, phân phối xác suất, tính đôc lập của các đại lượng ngẫu nhiên

Thí dụ: Trong một báo cáo nói rằng: năng suất lúa trung bình của tỉnh Y năm 2013 là 6,8 tấn/ha thì có thể coi đó là một giả thiết thống kê, giả thiết này nói về một tham số (kỳ vọng toán) của đ.l.n.n biểu thị năng suất lúa của

biểu thị năng suất lúa của tỉnh này

Dựa vào số liệu của một mẫu điều tra về năng suất lúa của tỉnh này và qui tắc kiểm định để đưa ra một kết luận là bác bỏ hay chấp nhận giả thiết trên.

Khi đặt giả thiết thống kê cần lưu ý:

 Giả thiết đặt ra sao cho khi Giả thiết đặt ra sao cho khi

chấp nhận hoặc bác bỏ nó sẽ có tác dụng trả lời được câu hỏi mà bài toán thực tế đặt ra.

 Giả thiết đặt ra thường mang Giả thiết đặt ra thường mang

nghĩa :”không khác nhau”, hoặc

“khác mà không có ý nghĩa” hoặc “bằng nhau”.

Giả thiết đặt ra như vậy gọi là giả thiết cần kiểm định (Hay giả thiết không - null hypothesis) ký hiệu

là H 0

Một mệnh đề đối lập với H 0 gọi là giả thiết đối và được ký hiệu là

H 1

(Vì miền bác bỏ nằm về hai phía của miền chấp nhận)

Giả thiết đối dạng:   0 thường được áp dụng khi ta chưa biết rõ trong thực tế  > 0 hay  < 0

Nhưng nếu bằng kinh nghiệm hoặc qua phân tích ta biết được chiều hướng là  > 0 thì ta có thể đặt giả thiết đối dạng:  > 0

Hoặc ta biết được chiều hướng là

 < 0 thì ta có thể đặt giả thiết đối dạng:  < 0

Nếu kiểm định giả thiết với giả thiết đối có dạng: H 1 :  > 0 ; hoặc

H 1 :  < 0 ; thì được gọi là kiểm định giả thiết một phía

Nếu giả thiết đối có dạng

Nếu giả thiết đối có dạng

Nhiệm vụ của lý thuyết kiểm định giả thiết thống kê là: Bằng thực nghiệm (thông qua mẫu cụ thể) kiểm tra tính đúng (sai) của giả thiết H 0

2- Mức ý nghĩa, miền bác bỏ

Với  bé tùy ý có thể tìm được miền W mà P(Z  W) = 

Miền W được gọi là miền bác bỏ

giả thiết H 0

 tùy thuộc vào tầm quan trọng của vấn đề kiểm định Trong thực tế thường chọn  trong

khoảng (1%; 5%)  được gọi là

mức ý nghĩa của kiểm định

Nếu z W thì ta bác bỏ giả thiết

H 0 thừa nhận H 1

Nếu z  W thì ta chấp nhận H 0 .

* Lưu ý: Khi nói “chấp nhận H 0 ” điều đó không có nghĩa là giả thiết

H 0 là đúng mà chỉ có nghĩa là với số liệu của mẫu ta chưa đủ cơ sở (chưa đủ bằng chứng) để bác bỏ H 0

Trong thực hành nên nói rằng:

“có thể chấp nhận H0” hoặc

“chưa có cơ sở để bác bỏ H0”

3- Sai lầm loại 1 và sai lầm loại 2

a- Sai lầm loại 1:

Là sai lầm mắc phải khi ta bác bỏ một giả thiết H 0 trong khi thực tế thì giả thiết H 0 đúng.

Xác suất mắc phải sai lầm loại 1 chính là mức ý nghĩa 

b- Sai lầm loại 2:

Là sai lầm mắc phải khi ta chấp nhận giả thiết H 0 trong khi thực tế thì giả thiết H 0 sai.

Xác suất mắc phải sai lầm loại 2 là xác suất để Z nhận giá trị không thuộc miền bác bỏ W khi H 0 sai (tức

H 1 đúng) P(Z  W/H 1 ) = 

Các trường hợp có thể xảy ra khi tiến hành kiểm định giả thiết thống kê cho

ở bảng sau:

Có 2 cách khống chế khả năng mắc phải sai lầm:

Cách thứ nhất: Ta ấn định trước

mức xác suất sai lầm loại 1 và sai lầm loại 2 rồi tính toán tìm một mẫu có kích thước nhỏ nhất ứng với 2 mức xác suất sai lầm này.

Cách thứ hai: Ta ấn định trước xác suất sai lầm loại 1 (tức cho trước mức ý nghĩa ) chọn miền

bác bỏ W sao cho có xác suất sai lầm loại 2 cực tiểu Các miền bác bỏ W trong giáo trình này thỏa mãn yêu cầu đó

Chú ý: bác bỏ hay chấp nhận một bác bỏ hay chấp nhận một

giả thiết tùy thuộc vào giá trị thực nghiệm của tiêu chuẩn Z và mức ý nghĩa  Kiểm định giả thiết thống kê chỉ là một qui tắc giúp ta kết luận một vấn đề nào đó mà bài toán thực tế đặt ra sao cho kết luận đó có khả năng mắc phải sai lầm nhỏ

Giả sử trung bình của tổng thể (cũng chính là kỳ vọng toán của đ.l.n.n X) là  ( chưa biết) Cần

kiểm định giả thiết:

H 0 :  = m 0 ; H 1 :   m 0

II- KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ TRUNG BÌNH TỔNG THỂ

Để kiểm định giả thiết trên ta tiến hành lấy mẫu kích thức n và xét các trường hợp sau:

1- Trường hợp n  30 (hoặc n < 30 nhưng X có phân phối chuẩn); 2

đã biết.

Trường hợp này ta chọn thống kê:

Z =

n /

m





làm tiêu chuẩn kiểm định.

Nếu giả thiết H 0 đúng thì

Z  N(0, 1)

Với mức ý nghĩa , chọn miền bác bỏ giả thiết H 0 : W = z :  z  > z/2

Trong đó z/2 là giá trị của Z

Z  N(0, 1) thoả mãn: z/2 > 0

P( Z > z/2 ) = 

Trên đồ thị, miền bác bỏ Wđược minh họa như sau:

Để xác định z/2 ta tra bảng hàm Laplace ở phần phụ lục hoặc dùng hàm NORMSINV trong Excel

Như vậy xác suất để giá trị của Z rơi vào miền bác bỏ là , tức xác

suất để Z rơi vào miền chấp nhận sẽ là 1 Vì  nhỏ, nên xác suất để Z rơi vào miền chấp nhận sẽ lớn

Nghĩa là: nếu giả thiết H 0 đúng thì có thể coi rằng hầu hết các giá trị của Z sẽ rơi vào miền chấp nhận Còn nếu giá trị của Z rơi vào miền bác bỏ có nghĩa là ta đã tìm được

“bằng chứng” để chứng tỏ giả thiết H 0 là không đúng và vì thế ta bác bỏ giả thiết đó.

Từ đó ta có qui tắc quyết định khi tiến hành kiểm định giả thiết H 0 trong trường hợp này như sau:

 Lấy mẫu kích thước n, từ mẫu Lấy mẫu kích thước n, từ mẫu

cụ thể này tính:

z = x m 0  n





 Với mức ý nghĩa Với mức ý nghĩa  cho trước , xác định z/2

 Nếu Nếu z > z/2 thì bác bỏ giả

thiết H 0 , chấp nhận H 1

Nếu z  z/2 thì có thể chấp nhận giả thiết H 0

Từ việc chấp nhận (hay bác bỏ) H 0

ta suy ra kết luận cuối cùng theo yêu cầu của bài toán thực tế.

2- Trường hợp n  30 ; 2 chưa biết

Chọn:

S

) m X

làm tiêu chuẩn kiểm định.

Nếu H 0 đúng thì Z  N(0, 1), do đó miền bác bỏ giả thiết H 0 và qui tắc quyết định trong trường hợp này giốngï như trường hợp 1 Chỉ khác là giá trị z được tính theo công thức:

n s

m

x



3- Trường hợp n < 30, 2 chưa biết,

X có phân phối chuẩn

Chọn:

n S

) m X

T = làm tiêu chuẩn kiểm định.

Nếu H 0 đúng thì T có phân phối Student với n1 bậc tự do.

Miền bác bỏ:

W = t :  t  > t/2

Trong đó t/2 là giá trị của T

T  T(n-1) thoả mãn: t/2 > 0 và

P(T > t/2 ) = 

t/2 được xác định bằng cách tra bảng phân phối Student với bậc tự do n1 hoặc dùng hàm TINV trong Excel

Từ đó ta có qui tắc quyết định khi tiến hành kiểm định giả thiết H 0 trong trường hợp này như sau:

 Lấy mẫu kích thước n, từ mẫu Lấy mẫu kích thước n, từ mẫu

cụ thể này tính:

S

) m X

 Với mức ý nghĩa Với mức ý nghĩa  cho trước ,

xác định t/2

 Nếu t > t/2 , thì bác bỏ giả thiết H 0 , chấp nhận H 1

Nếu t  t/2 , thì có thể chấp nhận giả thiết H 0

Từ việc chấp nhận (hay bác bỏ)

H 0 ta suy ra kết luận cuối cùng theo yêu cầu của bài toán thực tế.

Chú ý: Trường hợp bác bỏ giả thiết H 0

* Nếu x < m 0 thì có thể kết luận

 < m 0

* Nếu x > m 0 thì có thể kết luận

 > m 0

Nếu kiểm định giả thiết:

H 0 :  = m 0 ; H 1 :  > m0

Thì qui tắc kiểm định ở bước 2 và

3 thay đổi như sau:

 Dùng z Dùng z thay cho z/2

Nếu z > z thì bác bỏ H 0

Nếu z  z thì có thể chấp nhận H 0

Nếu kiểm định giả thiết:

H 0 :  = m 0 ; H 1 :  < m 0

Thì qui tắc kiểm định ở bước 2 và

3 thay đổi như sau:

 Dùng z thay cho z/2

Nếu z < -z thì bác bỏ H 0

Nếu z > -z thì có thể chấp nhận H 0

Thí dụ

Thí dụ: Trọng lượng của các bao gạo

do một máy đóng bao sản xuất là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình theo qui định là 50 kg

Để xem máy đóng bao làm việc có bình thường không người ta cân thử

50 bao và tính được:

x = 49,72 kg; s = 0,5 kg

Với mức ý nghĩa  = 1%, hãy cho kết luận về tình hình làm việc của máy đóng bao đó?

Giải: Gọi  là trọng lượng trung bình thực tế của những bao gạo do máy sản xuất ( chưa biết) Đặt giả thiết:

H 0 :  = 50 ; H 1 :  < 50

Trường hợp này kích thước mẫu

n = 50 > 30 ;  2 chưa biết

z = = 50  3,96

5 , 0

) 50 72

, 49

Với mức ý nghĩa  = 1%, thì:

z = z 0,01 = 2,326

Vì z = -3,96 < -2,326

Tức zW nên ta bác bỏ giả thiết

H 0 Tức là máy đóng bao làm việc không bình thường Nói cụ thể hơn, máy đã sản xuất ra những bao gạo có trọng lượng trung bình thấp hơn 50 kg.

x

Giả sử tỷ lệ các phần tử có tính chất A của tổng thể là p (p chưa biết) Ta cần kiểm định giả thiết:

H 0 : p = p 0 ; H 1 : p  p 0

với mức ý nghĩa .

III- KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT

VỀ TỶ LỆ TỔNG THỂ

Để kiểm định giả thiết trên, ta lấy mẫu kích thước n khá lớn và áp dụng qui tắc quyết định như

sau:

+ Từ mẫu cụ thể tính f rồi tính:

) p

1 ( p

n )

p f

( z

0 0

0







+ Với  cho trước , xác định z/2

+ Nếu  z  > z/2 thì ta bác bỏ H 0.

Nếu  z   z/2 thì ta có thể chấp nhận H 0

Từ việc chấp nhận (hay bác bỏ) H 0

ta suy ra kết luận cuối cùng theo yêu cầu của bài toán thực tế.

Chú ý: Trường hợp bác bỏ giả thiết H 0

•Nếu f < p 0 thì có thể kết luận

• p < p 0

•Nếu f > p 0 thì có thể kết luận

• p > p 0

Nếu kiểm định giả thiết:

H 0 : p = p 0 ; H 1 : p > p 0

Thì qui tắc kiểm định ở bước 2 và

3 thay đổi như sau:

 Dùng Dùng z thay cho z/2

 Nếu z > z thì bác bỏ H 0

Nếu z  z thì có thể chấp nhận H 0

Nếu kiểm định giả thiết:

H 0 : p = p 0 ; H 1 : p < p 0

Thì qui tắc kiểm định ở bước 2 và

3 thay đổi như sau:

 Dùng z thay cho z/2

Nếu z < -z thì bác bỏ H 0

Nếu z > -z thì có thể chấp nhận H 0

Thí dụ: : Tỷ lệ phế phẩm của một nhà máy trước đây là 5% Sau khi tiến hành một cải tiến kỹ thuật, người ta kiểm tra 400 sản phẩm thì thấy có 16 phế phẩm

Với mức ý nghĩa  = 2%, hãy kết luận xem việc cải tiến kỹ thuật có làm giảm tỷ lệ phế phẩm hay không ?

Giải: Gọi p là tỷ lệ phế phẩm của nhà máy sau khi cải tiến kỹ thuật Ta cần kiểm định giả thiết

z = =  0,92

) 05 ,

0 1

( 05 ,

0

400 )

05 ,

0 04

, 0

IV- KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI

LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Giả sử chưa biết phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X,

ta cần kiểm định giả thiết:

H 0 : X có phân phối xác suất nào đó.

H 1 : X không có phân phối xác suất nói trên.

Ký hiệu: P i = P(X = x i )

hoặc P i = P(x i  X  x i+1 )

Thực hiện n phép thử độc lập đối với đ.l.n.n X Tần số lý thuyết của biến cố (X = x i ) sẽ là nP i Tần số thực tế là n i Hiệu (n i  nP i ) 2 có thể dùng làm cơ sở để xét xem phân phối xác suất của X có phải như giả thiết H 0 đã nêu ra hay không.

K Pearson đã chọn thống kê:

i

nP

) nP n

(

làm tiêu chuẩn kiểm định.

Với n khá lớn có thể coi 2 có phân phối “Chi bình phương” với (k r 1) bậc tự do

Trong đó r là số các tham số chưa biết đối với phân phối xác suất của X theo H 0

Miền bác bỏ giả thiết H 0 với mức

ý nghĩa  là:

W =  2 :  2   2 

Trong đó 2 là giá trị của đại lượng ngẫu nhiên 2 với (k r 1) bậc tự do thoả mãn điều kiện:

miền bác bỏ

miền chấp nhận

+ +

0

Qui tắc quyết định:

+ Lấy mẫu kích thước n, từ mẫu này ta có được các giá trị quan sát

x i (i = 1, 2, , k) hoặc các khoảng (x i ; x i+1 ).

Theo giả thiết H 0 , ta tính

P i = P(X = x i )

hoặc P i = P( x i < X < x i+1 )

2

nP

) nP n

(

n i là tần số thực tế của x i hoặc của khoảng (x i ; x i+1 )

+ Với mức ý nghĩa , tra bảng phân

phối “chi –bình phương” (bậc tự do

kr 1) để tìm giá trị  2

r là số các tham số chưa biết của phân phối xác suất theo giả thiết

H 0 )

+ Nếu  2 > thì bác bỏ H 0

+ Nếu 2  thì có thể chấp nhận H 0

Từ việc chấp nhận (hay bác bỏ

H 0 ) ta suy ra kết luận cuối cùng mà bài toán thực tế yêu cầu.

Thí dụ:

Sản phẩm được sản xuất ra trên Sản phẩm được sản xuất ra trên

một dây chuyền tự động được đóng gói một cách ngẫu nhiên theo qui cách: 3 sản phẩm/hộp Tiến hành kiểm tra 200 hộp ta được kết quả:

Với mức ý nghĩa 5%, có thể xem số sản phẩm loại I có trong một hộp là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức hay không?

p chưa biết p được ước lượng là:

(50 + 201 + 1252 + 50 3)/600 = 0,7

Giải: Gọi X là số sản phẩm loại I có trong một hộp Ta cần KĐ giả thiết: H 0 : X  B(3, p)

Để tính 2 ta lập bảng tính như sau:

2 = 28,81 > 2 0,05 (2) = 5,99

Bác bỏ giả thiết H 0

X không có phân phối nhị thức.

Đọc bài tập: 8.14

Giả sử quan sát đồng thời hai dấu hiệu A và B trên cùng một phần tử

V- KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ TÍNH ĐỘC LẬP CỦA HAI DẤU HIỆU

Dấu hiệu A có các dấu hiệu thành phần là:

A 1 , A 2 , , A h

Dấu hiệu B có các dấu hiệu thành phần là:

B 1 , B 2 , , B k

Cần kiểm định giả thiết

Cần kiểm định giả thiết:

H 0 : A và B độc lập

H 1 : A và B không độc lập.

Lấy mẫu kích thước n và trình bày kết quả quan sát dưới dạng bảng sau:

A h n h1 n h2 n 1k n h Toång m 1 m 2 m k n

n ij (i = 1, ,h; j =1,…,k) là tổng số phần tử mang dấu hiệu thành phần A i và B j

Gọi C i là biến cố chọn được phần tử mang dấu hiệu A i

D j là biến cố chọn được phần tử mang dấu hiệu B j

Khi n khá lớn, theo định nghĩa thống kê về xác suất ta có:

n

m )

D ( P

; n

n )

C ( P

; n

n )

D C

(

P i j  ij i  i j  j

Nếu H 0 đúng, tức A, B độc lập thì các dấu hiệu A i , B j cũng độc lập

Do đó:

P(C i D j ) = P(C i )P(D j ) Tức là:

n

m

n

n n



Qui tắc quyết định:

+ Lấy mẫu kích thước n, từ mẫu

k

1 j

n

j i

2 ij ij

m n

) n

(







+ Với mức ý nghĩa  đã cho, tra bảng 2 với bậc tự do (k-1)(h-1) để tìm

(hoặc dùng hàm CHIINV trong Excel)

2





Với mức ý nghĩa  = 0,05, hãy kết luận mẫu hàng có ảnh hưởng đến ý thích của khách hàng hay không.

Giải: :

H 0 : Mẫu hàng (dấu hiệu A) độc lập (không ảnh hưởng) đến ý thích của khách hàng (dấu hiệu B).

H 1 : Mẫu hàng không độc lập (có ảnh hưởng) đến ý thích của khách hàng.

115 127 58

35 100

115

025353 ,

1 100

58

19

1 j

= 9,488

2 05 ,

nên ta chấp nhận giả thiết H 0

tức mẫu hàng không ảnh hưởng đến ý thích của khách hàng

Tổng kết chương 8

Tổng kết chương 8

của 2 dấu hiệu

Kiểm định tham số

Kiểm định phi th.số

Cơ sở LT

Cơ sở LT Qui tắc q/định

Qui tắc q/định

Kết luận

Bài tập:

8.4; 8.5; 8.21; 8.23; 8.25; 8.26; 8.27; 8.28.

Hết chương 8