BÀI TẬP LÝ THUYẾT XÁC SUẤT CHƯƠNG 1

BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN CHƯƠNG 1 1 Áp dụng định nghĩa xác suất 1 Tung đồng thời hai con xúc xắc Tìm xác suất được hai mặt a Có tổng số chấm bằng 7 b Có tổng số chấm nhỏ hơn 7 c Có ít nhất một mặt lục Giải Khi gieo đồng thời hai con xúc xắc, ta có không gian mẫu gồm 36 trường hợp có thể xảy ra là a Gọi = Tổng số chấm bằng 7 = Vậy b Gọi = Tổng số chấm < 7 = Vậy c Gọi =Có ít nhất một mặt sáu chấm = Vậy 2 Số lượng nhân viên của công ty H được phân loại theo lứa tuổi và giới tính như sau Giới tính.

BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN CHƯƠNG 1

1 Áp dụng định nghĩa xác suất

1 Tung đồng thời hai con xúc xắc Tìm xác suất được hai mặt:

a Có tổng số chấm bằng 7

b Có tổng số chấm nhỏ hơn 7

c Có ít nhất một mặt lục

Giải

Khi gieo đồng thời hai con xúc xắc, ta có không gian mẫu gồm 36 trường hợp có thể xảy ra là:

a Gọi = "Tổng số chấm bằng 7" = Vậy

b Gọi = "Tổng số chấm < 7"

Vậy

c Gọi ="Có ít nhất một mặt sáu chấm"

Vậy

2 Số lượng nhân viên của công ty H được phân loại theo lứa tuổi và giới tính như sau:

Giới tính

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

36 6

P A = =

B

{11,12,13,14,15, 21, 22, 23, 24,31,32,33, 41, 42,51}

15

36

P B =

C

{16, 61, 26, 62,36, 63, 46, 64,56, 65, 66}

11

36

P C =

Chọn ngẫu nhiên 1 nhân viên của công ty Tìm xác suất người được chọn:

a Từ 40 tuổi trở xuống

b Là nam trên 40 tuổi

c Là nữ không quá 40 tuổi

Giải

Tổng số nhân viên nam, nữ của công ty lần lượt là 780, 820 người

a Gọi = "Nhân viên dưới 40 tuổi"

b Gọi = "Nhân viên nam trên 40 tuổi"

c Gọi = "Nhân viên nữ không quá 40 tuổi"

3 Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 8 nữ Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để lập một

ban cán sự gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó học tập, 1 lớp phó văn thể Tính xác suất trong ban

cán sự đó có:

a 1 nữ

b Ít nhất 2 nữ

Giải

Gọi = "Ban cán sự lớp có 1 nữ", = "Ban cán sự lớp có ít nhất 2 nữ" Ban cán sự gồm 3 thành viên là một bộ có sắp thứ tự Do đó, số cách chọn ra 3 học sinh để lập ban cán

sự lớp là

a Để chọn ra ba học sinh trong đó có 1 nữ, ta tiến hành:

‐ Chọn 1 nữ, có 8 cách

‐ Chọn 2 nam, có cách

A

120 260 170 420 970

+

B

400

1600

P B = =

C

170 420

1600

P C = + =

3

20 6840

A =

2 12

C

Do đó, số cách chọn 3 người trong đó có 1 nữ là 8.

Đổi vai trò của 3 học sinh, ta được ban cán sự khác

b Số cách chọn ra 3 nam làm ban cán sự là cách

2 Áp dụng công thức cộng, công thức nhân xác suất

4 Một hộp có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên hai sản phẩm từ hộp để kiểm tra Tính xác suất lấy được:

a 2 phế phẩm

b 1 phế phẩm

c Phế phẩm

Giải

Gọi = "Có phế phẩm từ hai sản phẩm được chọn",

a Số cách lấy ra 2 sản phẩm từ hộp là và số cách lấy ra 2 phế phẩm là

b Để lấy được 2 sản phẩm trong đó có 1 phế phẩm, ta tiến hành hai bước:

-Lấy 1 phế phẩm, có 3 cách

-Lấy 1 chính phẩm, có 7 cách

Theo quy tắc nhân, số cách lấy 2 sản phẩm trong đó có 1 phế phẩm là 21 cách

c "Lấy được phế phẩm" nghĩa là "lấy được 1 hoặc 2 phế phẩm" Mà là hai biến cố xung khắc nên

5 Có hai hộp bi Hộp thứ nhất có 6 bi đỏ và 5 bi vàng; hộp thứ hai có 7 bi đỏ và 6 bi vàng

Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên 2 bi Tính xác suất lấy được:

12

C

3 12 3 20

8 .3!

( ) 0, 4632.

A

3 12

A

2

3 20

( 8 3!)

0, 3439.

( )

A

+



= −

i

2 10

2 3 2 1 2

0

( 1 .

15 )

C =

=

10

15

P A

C

1, 2

A A

15 15 15

P A +A =P A +P B = + = 

a 3 bi đỏ

b Số bi đỏ nhiều hơn số bi vàng

Giải

Phép thử "lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 bi" được tiến hành qua hai bước:

‐ Lấy 2 bi từ hộp thứ nhất, có cách

‐ Lấy 2 bi từ hộp thứ hai, có cách

Do đó, số cách lấy 4 bi từ cả hai hộp là

a Gọi = "Lấy được 3 bi đỏ"

b Gọi = "Lấy được số bi đỏ nhiều hơn số bi vàng"

6 Một trường đại học có 50% sinh viên học tiếng Anh, 40% học tiếng Pháp, 30% học tiếng

Đức, 20% học tiếng Anh và tiếng Pháp, 15% học tiếng Anh và tiếng Đức, 10% học tiếng Pháp và tiếng Đức, 5% học cả ba thứ tiếng Anh, Pháp, Đức Tìm xác suất khi chọn ngẫu

nhiên 1 sinh viên thì người đó:

a Học ít nhất 1 trong 3 ngoại ngữ kể trên

b Chỉ học tiếng Anh và tiếng Đức

c Chỉ học tiếng Pháp

d Học tiếng Pháp, biết rằng người đó học tiếng Anh

Giải

Gọi lần lượt là biến cố sinh viên học tiếng Anh, Pháp, Đức

a Gọi = "Sinh viên học ít nhất 1 trong 3 ngoại ngữ"

2 11

C

2 13

C

11 13 4290

C C = D

D =C C C C C C+ =

1260

4290

P D = 

E

E = +C C =

1575

4290

P E = 

, ,

E F G

X

E+ +F G

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0,8.

= + + −  − 

−  +   =

b Gọi = "Sinh viên chỉ học tiếng Anh và Đức"

c Gọi = "Sinh viên chỉ học tiếng Pháp"

d Gọi T là biến cố sinh viên đó học tiếng Pháp biết sinh viên đó học tiếng Anh

7 Một tín hiệu thông tin được phát đi 3 lần với xác suất nguồn thu nhận được ở mỗi lần

là 0,4

a Tìm xác suất nguồn thu nhận được tín hiệu thông tin đó

b Muốn xác suất nguồn thu nhận được tín hiệu thông tin không nhỏ hơn 0,9 thì phải phát ít nhất bao nhiêu lần?

Giải

Gọi = "Nguồn thu nhận được tín hiệu thông tin ở lần phát thứ " với

a Gọi = "Nguồn thu nhận được thông tin sau 3 lần phát"

=

Do các nhóm biến cố trên xung khắc và trong mỗi nhóm các biến cố độc lập nên

b Gọi là số lần cần phát tín hiệu và là biến cố nguồn thu nhận được thông tin sau n lần phát Ta cần tìm sao cho hay nghĩa là

Vậy cần phát ít nhất 5 lần

3 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

8 Một phân xưởng có 60 công nhân, trong đó có 40 nữ và 20 nam Tỷ lệ công nhân nữ tốt

nghiệp phổ thông trung học là 15%; còn tỷ lệ này đối với nam là 20% Gặp ngẫu nhiên một

công nhân của phân xưởng Tìm xác suất công nhân này đã tốt nghiệp phổ thông trung học Giải

Gọi = "Công nhân nữ", = "Công nhân nam"

= "Công nhân tốt nghiệp phổ thông trung học "

Y

P Y =P EG −P E F G =

Z

P Z = P F −P EF −P EG +P E F G =

20 ( ) 0, 4

50

P T = =

i

X

A +A A +A A A

0, 4 0, 6.0, 4 0, 6.0, 6.0, 4 0, 784

P X = P A +P A P A +P A P A P A

n P Y ( ) 0,9 P Y ( ) 0,1

1

B

Ta có

Vì là một hệ biến cố đầy đủ nên

9 Một nhà máy sản xuất bóng đèn gồm 3 máy Máy A sản xuất 25%, máy B sản xuất 35%,

máy C sản xuất 40% số bóng đèn Tỉ lệ bóng đèn hỏng do 3 máy đó sản xuất lần lượt là 3%, 2%, 1% Một người mua bóng đèn do nhà máy đó sản xuất

a Tính xác suất để người đó mua phải bóng đèn hỏng

b Biết người đó mua phải bóng đèn hỏng Tính xác suất đó là bóng đèn do máy C sản xuất

Giải

a Gọi

= "Bóng đèn do máy A sản xuất"

= " Bóng đèn do máy B sản xuất"

= " Bóng đèn do máy C sản xuất"

= "Mua bóng đèn hỏng"

Ta có

b Xác suất của biến cố cần tính là

) ; ( ) ; ( | ) 0,15; ( | ) 0, 2

1, 2

A A

1 1 2 2

1 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )

6

1

H

2

H

3

H

B

0, 25.0, 03 0,35.0, 02 0, 4.0, 01

0, 018

5

B

(

P H

P B P H +P H P H +P H P H

=

=

3

( ) ( | )

| )

( )

0, 4.0, 01

0, 0185 8

(

37

P H P B H B

P B

=

=

10 Hộp thứ nhất có 7 sản phẩm loại I và 3 sản phẩm loại II Hộp thứ hai có 5 sản phẩm

loại I và 3 sản phẩm loại II Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm ở hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó từ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm thì được sản phẩm loại I Tìm

xác suất sản phẩm lấy ra từ hộp thứ hai chính là sản phẩm của hộp thứ nhất

Giải

Gọi = "Sản phẩm ở hộp thứ " với

= "Sản phẩm loại I"

Vì lập thành hệ đầy đủ nên

Vì đã xảy ra nên áp dụng công thức Bayes ta có:

11 Một hộp có 7 sản phẩm, hoàn toàn không biết chất lượng của các sản phẩm trong hộp

Mọi giả thiết về số phế phẩm có trong hộp là đồng khả năng Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3

sản phẩm để kiểm tra thì thấy có 2 phế phẩm

a Số phế phẩm nhiều khả năng nhất trong các sản phẩm còn lại là bao nhiêu?

b Lấy thêm 1 sản phẩm nữa từ hộp, tìm xác suất lấy được phế phẩm

Giải

Gọi = "Có phế phẩm trong hộp" với

Ta có lập thành hệ đầy đủ và

a Gọi = "Có 2 phế phẩm trong 3 sản phẩm lấy ra"

Khi đó

i

B

1, 2

A A

1 7 8 5 57

9 10 9 8 90

P B =P A P B A +P A P B A = + =

B

1

1 7 ( ) ( | ) 9 10 7 ( | )

57

90

P A P B A

P A B

P B

i

0, 1, , 7

8

i

P A =

A

7

0

( ) ( | ) ( ) i i

i

P A

=

= ( | i) 0, ( 0,1, 7)

P A A = i=

Vậy

Theo đề bài, biến cố đã xảy ra nên áp dụng công thức Bayes:

Suy ra, lớn nhất

Vậy số phế phẩm nhiều khả năng nhất trong các sản phẩm còn lại là 5 – 2 = 3

b Gọi = "Sản phẩm lấy thêm là phế phẩm"

Ta cần tìm

4 Áp dụng công thức Bernoulli

12 Cho biết tỷ lệ phế phẩm của một máy là 5% Tìm xác suất trong 12 sản phẩm do máy

đó sản xuất ra có:

a 2 phế phẩm

b Không quá 2 phế phẩm

Giải

a Gọi = "Sản phẩm là phế phẩm"

b Không quá 2 phế phẩm

4 3 4

7

7

(

C

1 ( )

4

P A =

A

( ) ( | ) ( | )

( )

i

P A P A A

P A A

P A

=

5

( | )

P A A

B

|

P B A

7

0

( ( ) i) ( | i)

i

P A P AB A

P AB

=

=

(AB|A i) 0;( 0,1, 2, 7)

( | ) ; ( | )

( | ) ; ( | )

3

20

( ) 5

P AB

P B A

P A

A

12

12 (2 ) (0, 05) ( 0,95) 0, 0988.

12

12

2

12

0

( 2) ( 0) ( 1)

(0, 05) (0, 95)

( 2

,

)

0 9804

k

=

 = = + = + =

BÀI TẬP

1.1 Tung hai đồng xu (cân đối và đồng chất), tìm xác suất xuất hiện mặt sấp

1.2 Gieo đồng thời 2 con xúc xắc một xanh, một đỏ Tính xác suất của biến cố:

a Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6

b Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc đỏ lớn hơn số chấm xuất hiện trên con xúc

xắc xanh

c Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số lẻ

1.3 Ba người khách cuối cùng ra khỏi nhà bỏ quên mũ Chủ nhà không biết rõ chủ nhân của từng chiếc mũ nên gửi trả cho họ một cách ngẫu nhiên Tìm xác suất:

a Cả 3 người đều bị trả sai mũ

b Chỉ có một người được trả đúng mũ

c Chỉ có hai người được trả đúng mũ

d Cả ba người đều được trả đúng mũ

Pháp; 15 người biết Vi tính; 10 người biết tiếng Anh và Vi tính; 6 người biết tiếng Anh và Pháp; 5 người biết tiếng Pháp và Vi tính; 2 người biết cả ba kỹ năng đó Chọn ngẫu nhiên

một người trong công ty, tìm xác suất người đó:

a Biết ít nhất một kỹ năng

b Chỉ biết 1 kỹ năng

c Chỉ biết 2 kỹ năng

d Chỉ biết tiếng Anh

1.5 Một hòm đựng 10 chi tiết đạt tiêu chuẩn và 5 chi tiết phế phẩm Lấy đồng thời 3 chi tiết Tính xác suất:

a Cả 3 chi tiết lấy ra đều đạt tiêu chuẩn

b Chỉ có 2 chi tiết đạt tiêu chuẩn

1.6 Cho biết mỗi vé xổ số có 5 chữ số Một người mua ngẫu nhiên 1 vé xổ số, tìm xác suất

người đó mua được vé có 5 chữ số:

a Khác nhau

b Đều là lẻ

1.7 Trong một chiếc hộp có n quả cầu được đánh số thứ tự từ 1 tới n Một người lấy ngẫu

nhiên cùng một lúc ra hai quả cầu Tính xác suất người đó lấy được một quả có số thứ tự

nhỏ hơn k và quả còn lại có số thứ tự lớn hơn k (1 < k < n)

1.8 Cho biết 1 năm có 365 ngày Chọn ngẫu nhiên 3 người, tìm xác suất họ có ngày sinh

a Khác nhau

b Trùng nhau

1.9 Biết rằng tại một xí nghiệp có 6 vụ tai nạn lao động trong ba tháng cuối năm Tìm xác

suất không có ngày nào có quá một vụ tai nạn lao động

1.10 Ba nữ nhân viên phục vụ A, B, C thay nhau rửa chén và giả thiết ba người này đều " khéo léo" như nhau Trong một tháng có 4 chén bị vỡ Tìm xác suất:

a Chị A đánh vỡ 3 chén và chị B đánh vỡ 1 chén

b Một trong ba người đánh vỡ 3 chén

c Một trong ba người đánh vỡ cả 4 chén

1.11 Hai người cùng bắn vào một mục tiêu Khả năng bắn trúng của từng người là 0,8 và 0,9 Tìm xác suất:

a Chỉ có một người bắn trúng

b Có người bắn trúng mục tiêu

c Cả hai người cùng bắn trượt

1.12 Một hộp đựng 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp Tính xác suất lấy được 2 phế phẩm trong hai trường hợp:

a Lấy hoàn lại

b Lấy không hoàn lại

1.13 Một thủ kho có chùm chìa khóa gồm 9 chiếc, trong đó chỉ có một chiếc mở được cửa kho Anh ta thử lần lượt từng chìa khóa cho đến khi mở được cửa Tính xác suất cửa mở

được ở lần thử thứ tư

1.14 Ba sinh viên A, B và C cùng làm bài thi Xác suất làm được bài của họ lần lượt là 0,8;

0,7 và 0,6 Tìm xác suất

a Có hai sinh viên làm được bài

b Sinh viên A không làm được bài nếu có hai sinh viên làm được bài

1.15 Chia ngẫu nhiên 9 hộp sữa (trong đó có 3 hộp kém phẩm chất) thành ba phần đều nhau Tính xác suất mỗi phần có 1 hộp kém phẩm chất

1.16 Một hộp có 15 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm loại I và 5 sản phẩm loại II Khách hàng thứ nhất mua ngẫu nhiên 2 sản phẩm Sau đó khách hàng thứ hai mua ngẫu nhiên 2

sản phẩm Tính xác suất trong số sản phẩm người thứ hai mua có 1 sản phẩm loại II 1.17 Một hộp đựng 3 bi đỏ và 7 bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra một bi Nếu bi lấy ra

màu đỏ thì bỏ vào hộp một bi xanh Nếu bi lấy ra màu xanh thì bỏ vào một bi màu đỏ Sau

đó từ hộp lấy tiếp ra một bi

a Tìm xác suất bi lấy ra lần sau là bi đỏ

b Giả sử hai bi lấy ra (lấy lần thứ nhất và lần thứ hai) cùng màu Tìm xác suất hai bi

này cùng màu xanh

1.18 Có 3 sinh viên nhưng chỉ có 2 vé đi xem ca nhạc Họ làm 3 lá thăm và đánh dấu "x"

vào 2 cái, sau đó mỗi người lần lượt rút một lá thăm Nếu ai rút được lá thăm có đánh dấu

"x" thì được vé đi xem ca nhạc Hãy chứng minh sự công bằng của cách làm này

1.19 Có hai lô hàng Lô thứ nhất có 85 chính phẩm và 15 phế phẩm Lô thứ hai có 72 chính

phẩm và 28 phế phẩm Từ mỗi lô hàng lấy ngẫu nhiên một sản phẩm Tính xác suất lấy được:

a Một chính phẩm

b Ít nhất một chính phẩm

1.20 Phải gieo cùng một lúc 2 con xúc xắc tối thiểu bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất 1

lần được hai mặt lục lớn hơn 0,5?

1.21 Một lô hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 10 phế phẩm Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt

3 sản phẩm Nếu cả 3 sản phẩm đều là phế phẩm thì không mua lô hàng Tính xác suất lô hàng được mua trong 2 trường hợp kiểm tra có hoàn lại và không hoàn lại

1.22 Người ta bắn lần lượt từng viên đạn vào một mục tiêu cho đến khi trúng thì ngừng

bắn Tìm xác suất ngừng bắn ở lần thứ tư, biết xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn đều

là 0,4

1.23 Cho biết tỉ lệ phế phẩm của một lô hàng là 5%

a Chọn lần lượt từng sản phẩm cho đến khi gặp phế phẩm thì dừng Tính xác suất phải chọn đến lần thứ ba

b Phải chọn tối thiểu bao nhiêu sản phẩm để xác suất chọn được ít nhất 1 phế phẩm không nhỏ hơn 0,9?

1.24 Kiểm tra ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ một lô hàng có tỉ lệ phế phẩm là 5% Tính xác suất trong 3 sản phẩm kiểm tra có:

a 2 phế phẩm

b Có ít nhất 1 phế phẩm

1.25 Một hộp có 10 bi trong đó có 3 bi đỏ

a Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại lần lượt từng bi cho đến khi lấy được bi đỏ thì

dừng Tính xác suất việc lấy bi dừng ở lần thứ ba

b Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại lần lượt từng bi cho đến khi lấy được 2 bi đỏ thì

dừng Tính xác suất việc lấy bi dừng lại ở lần thứ tư

1.26 Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 5 phương án trả lời, trong đó chỉ có một

phương án đúng Một thí sinh chọn cách trả lời hoàn toàn hú họa cho từng câu hỏi Tìm

xác suất thí sinh đó thi đỗ, biết rằng muốn đỗ phải trả lời đúng ít nhất 8 câu

1.27 Hộp thứ nhất có 10 quả cầu đỏ, 5 quả cầu vàng; hộp thứ hai có 7 quả cầu đỏ, 3 quả

cầu vàng Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả cầu, sau đó từ 2 quả cầu thu được lại lấy

ngẫu nhiên 1 quả Tìm xác suất quả cầu lấy ra sau cùng là quả cầu vàng

1.28 Hộp thứ nhất có 10 bi đỏ; hộp thứ hai có 5 bi đỏ và 5 bi xanh; hộp thứ ba có 10 bi

xanh Chọn ngẫu nhiên một hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên 2 bi thì được 2 bi xanh Sau đó từ

hộp này lấy tiếp ra một bi Tìm xác suất lấy được bi xanh

1.29 Một hộp có 6 sản phẩm, hoàn toàn không biết chất lượng của các sản phẩm trong hộp

Mọi giả thiết về số sản phẩm tốt có trong hộp là đồng khả năng Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ hộp ra 3 sản phẩm để kiểm tra thì thấy có 2 sản phẩm tốt Theo bạn, khả năng

còn lại bao nhiêu sản phẩm tốt trong hộp là nhiều nhất ? Vì sao?

1.30 Trong một kho hàng có hai loại hộp hình thức giống nhau Cho biết loại thứ nhất gồm

10 hộp, mỗi hộp có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm Loại thứ hai gồm 15 hộp, mỗi hộp có 8

chính phẩm và 4 phế phẩm

a Lấy ngẫu nhiên 1 hộp từ kho, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm Tính xác suất

lấy được chính phẩm

b Nếu trong 2 sản phẩm lấy ra có chính phẩm, tính xác suất chính phẩm đó được lấy

từ hộp loại hai

1.31 Một hộp có 5 bi trắng, 3 bi xanh và 2 bi đỏ Từ hộp lấy ngẫu nhiên 3 bi, từ 3 bi đó lại chọn ngẫu nhiên 1 bi thì được bi trắng Tính xác suất 2 bi còn lại đều là bi xanh