BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN CHƯƠNG 2 1 Lập bảng phân phối xác suất 1 Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm xấu Mỗi sản phẩm tốt nặng 3kg, còn mỗi sản phẩm xấu chỉ nặng 2kg Chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ lô hàng Gọi là tổng khối lượng của 3 sản phẩm a Hãy lập bảng phân phối xác suất của b Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của Giải a Gọi = Chọn được sản phẩm tốt với Khi đó Ta có bảng phân phối xác xuất của 6 7 8 9 P X X X i A i 0,1, 2, 3i = 3 4 0 3 10 1 2 6 4 1 3 10 2 1 6 4 2 3 10 3.
Trang 1BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN CHƯƠNG 2
1 Lập bảng phân phối xác suất
1 Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm xấu Mỗi sản phẩm tốt nặng 3kg,
còn mỗi sản phẩm xấu chỉ nặng 2kg Chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ lô hàng Gọi là tổng khối lượng của 3 sản phẩm
a Hãy lập bảng phân phối xác suất của
b Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của
Giải
a Gọi = "Chọn được sản phẩm tốt" với
Khi đó
Ta có bảng phân phối xác xuất của
P
X
X
X
i
3 4
10
1 2
6 4
10
2 1
6 4
10 3 6
10
1
30 3
10 1
2 1
6
C C
C C C
C C C C C
X
X
1 30
3 10
1 2
1 6
( ) 6 7 8 9 7,8.
2 2 1 2 3 2 1 2 1
( ) 6 7 8 9 61, 4
2 ( ) 61, 4 (7,8) 0,56 ( ) 0,56 0, 7483.
Trang 22 Một hộp chứa 10 viên phấn trắng và 6 viên phấn màu Chọn ngẫu nhiên 3 viên phấn
Gọi là số viên phấn màu lấy được
a Hãy lập bảng phân phối xác suất của
b Tìm hàm phân phối xác suất của
c Tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của
Giải
a Ta có
Bảng phân phối xác suất của như sau:
P
b Hàm phân phối xác suất của
c Ta có
X
.
X
.
X
.
X
X X
3 14
27 56
15 56
1 28
X
3
14 39
56 27
28
x x
x x
( ) 0 1 2 3 1,875
( ) ( ) ( ( )) 0, 609375 ( ) 0, 7806
E X
E X
Trang 33 Một xạ thủ được phát 3 viên đạn và được phép bắn lần lượt từng viên cho đến khi trúng
mục tiêu thì dừng bắn Biết xác suất bắn trúng từng viên đều là 0,8 Hãy lập bảng phân phối xác suất của số viên đạn
a Trúng mục tiêu
b Xạ thủ đã sử dụng
Giải
a Gọi = "Số viên đạn xạ thủ bắn trúng mục tiêu"
Bảng phân phối xác suất
P 0,008 0,992
b Gọi = "Số viên đạn xạ thủ đã sử dụng"
Bảng phân phối xác suất của
P 0,8 0,16 0,04
2 Tìm hàm phân phối xác suất
Đối với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
4 Một sinh viên đi học từ nhà đến trường phải qua 4 ngã tư Xác suất gặp đèn đỏ ở mỗi
ngã tư là 25%
a Tìm hàm phân phối xác suất của số lần sinh viên gặp đèn đỏ
b Tính số lần sinh viên gặp đèn đỏ trung bình
Giải
Gọi = "Số lần sinh viên gặp đèn đỏ" = {0,1,2,3,4}
a Xác suất sinh viên gặp một đèn đỏ là Áp dụng mô hình Bernoulli cho trường hợp này ta có
Bảng phân phối xác xuất của
P 0,316 0,422 0,211 0,047 0,004 Hàm phân phối xác suất của
X
X
Y
Y Y
X
0, 25.
p =
4( ) 4k k(1 ) ,k 0, 4
P k =C p −p k = X
X
X
Trang 4b Trung bình số lần sinh viên gặp đèn đỏ
Đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục
5 Cho là đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất
a Tìm hàm phân phối xác suất của
b Tình kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn, mốt và trung vị của
Giải
b
Ta nhận thấy đạt cực đại tại nên
0, 738 1 2 ( )
x x x
F x
x x x
4 0 ( )
0.0, 316 1.0, 422 2.0, 211 3.0, 047 4.0, 004 1.
i i i
=
=
=
X
2
( )
x x
f x
x
=
.
X
.
X
( ) ( )
x
F x f t dt
−
=
3
x
x
1
3 0
3
4
E X x f x dx x dx
+
−
1
0
3
5
E X =x x dx=
2
( ) 0,1936
Var X E X E X
X
( )
Trang 5Trung vị thỏa mãn và tức là
3 Vectơ ngẫu nhiên 2 chiều
6 Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của vectơ ngẫu nhiên hai chiều
a Hỏi có độc lập không? Vì sao?
b Tính kỳ vọng, phương sai, hiệp phương sai, hệ số tương quan, ma trận tương quan của
Giải
a Ta có
b Theo câu a, ta có và
Phương sai
Hiệp phương sai
Hệ số tương quan
2
2
P X m
3 0
m
F m = x dx= m = m=
(X Y, )
( j)
P Y =y
,
X Y
( , ).X Y
( ) 1.0,55 2.0, 45 1, 45;
E X = + = E Y =( ) 1.0,15 3.0,55 7.0,3+ + =3,9
( ) 1.0,1 2.0, 05 3.0, 2 6.0,35 7.0, 25 14.0, 05 5,35
( ) ( ) 1, 45.3,9 5, 655
( ) ( ) ( )
E XY E X E Y X Y,
( ) (1, 45;3, 9)
E XY =
( ) 1 0,55 2 0, 45 2,35
( ) 1 0,15 3 0,55 7 0,3 19,8
( ) 2,35 (1, 45) 0, 2475; ( ) 19,8 (3,9) 4,59.
( , ) ( ) ( ) ( ) 5,35 1, 45.3,9 0,305
Cov X Y =E XY −E X E Y = − = −
Trang 6Ma trận tương quan (ma trận hiệp phương sai)
7 Nghiên cứu mối liên hệ giữa doanh thu bán hàng (tỉ đồng/năm) và chi phí quảng cáo (triệu đồng/năm) của một công ty thương mại tại một số cửa hàng, ta có bảng số liệu sau (các ô giữa là số lượng cửa hàng có cùng chi phí quảng cáo và doanh thu còn gọi là tần số của cặp giá trị
Y 28 29 30 32 35 36
a Hãy lập bảng phân phối xác suất lề của và
b Tính kỳ vọng, phương sai, hiệp phương sai, hệ số tương quan của vectơ
Giải
a Dựa vào bảng số liệu ta có bảng phân phối xác suất lề
Y
X 28 29 30 32 35 36
50
55
60
( , ) 0,305
0, 286.
( ) ( ) 0, 2475.4,59
XY
Cov X Y R
Var X Var Y
−
( ) ( , ) 0, 2475 0,305 ( , )
Var X Cov X Y Var X Y
Cov X Y Var Y
−
−
Y X
( , )).X Y
X
X Y.
( , )
Z = X Y
( i)
P X =x
5 68
3 68
2 68
5 34 2
68
7 68
9 68
2 68
5 17 2
68
8 68
7 68
3 68
5 17
Trang 765
1
b Các đặc trưng của vectơ
Kỳ vọng
Phương sai
Hiệp phương sai:
Hệ số tương quan:
BÀI TẬP
2.1 Trong một hộp có 20 sản phẩm, trong đó có 5 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm
Gọi là số phế phẩm trong các sản phẩm lấy ra
a Hãy lập bảng phân phối xác suất của
b Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn, mốt và trung vị của
3 68
5 68
5 68
4 68
1 68
9 34
( j)
68
15 68
6 17
7 34
7 68
1 68
( , )
Z = X Y
E X = + + + =
2 116775
34
E X =
2 31955
34
E Y =
( ) 28.50 29.50 65.36 1791, 6
1985 520
34 17
2
116775 1985
Var X = −
2
31955 520
Var Y = −
1985 520 ( , ) 1791, 6 5,8
34 17
( , ) 5,8
0,55.
( ) ( ) 26, 6.4, 2
XY
Cov X Y R
Var X Var Y
X
.
X
.
X
Trang 82.2 Một hộp có 2 bi đỏ và 8 bi trắng Một người tham gia trò chơi với quy luật như sau:
chọn ngẫu nhiên từ hộp ra 1 bi Nếu được bi đỏ thì thưởng 6.500đ, nếu được bi trắng thì phạt 1.700đ Anh ta có nên chơi trò chơi này nhiều lần không? Vì sao?
2.3 Một đội tuyển có 3 vận động viên Xác suất thi đấu thắng trận của họ lần lượt là 0,4;
0,3; 0,6 Mỗi vận động viên thi đấu một trận độc lập với đội bạn Gọi là số trận thắng của đội tuyển
a Hãy lập bảng phân phối xác suất và hàm phân phối xác suất của
b Tìm xác suất đội tuyển thắng ít nhất 1 trận
2.4 Trong một trò chơi, mỗi người chơi được bắn 2 viên đạn nếu bắn trúng mỗi viên sẽ
được 20.000đ, nếu bắn trật mỗi viên sẽ bị mất 10.000đ Giả sử xác suất bắn trúng mỗi viên
là 40%
a Lập bảng phân phối xác suất của số tiền nhận được đối với một người chơi
b Nếu bạn tham gia cuộc thi này thì số tiền bạn nhận được nhiều nhất là bao nhiêu?
c Số tiền trung bình mà một người tham gia trò chơi nhận được là bao nhiêu?
2.5 Cho và là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có bảng phân phối xác suất là
a Hãy lập bảng phân phối xác suất của và
b Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn và
2.6 Giả sử tuổi thọ của một loài côn trùng là đại lượng ngẫu nhiên liên tục (đơn vị là tháng) có hàm mật độ xác suất
a Tìm tham số
b Tính tỷ lệ côn trùng chết trước khi được 1 tháng tuổi
c Tính tuổi thọ trung bình của loại côn trùng này
X
.
X
X+Y XY.
X+Y XY.
X
( 2) [0, 2]
( )
f x
x
m
Trang 92.7 Nhu cầu hàng năm về loại hàng A là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ như sau (đơn vị: ngàn sản phẩm)
a Tính
b Tính xác suất để nhu cầu loại hàng đó không vượt 12000 sản phẩm trong 1 năm
c Tính nhu cầu trung bình hàng năm về loại hàng đó
2.8 Thời gian xếp hàng chờ mua hàng của khách là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có phân
phối xác suất như sau (đơn vị tính: phút):
a Tính hệ số
b Tính thời gian xếp hàng trung bình
2.9 Diện tích lá của một loại cây là đại lượng ngẫu nhiên (đơn vị đo là cm2) với hàm mật độ:
a Xác định
b Tính kỳ vọng, phương sai với k vừa tìm được
2.10 Biết tuổi thọ (đơn vị: năm) của một mạch điện tử trong máy tính là đại lượng ngẫu
nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất
a Tính kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên theo
b Tìm hàm phân phối xác suất cho đại lượng ngẫu nhiên
X
(30 ) [0,30]
( )
f x
x
.
k
3 2
x
x
a
X
( 2) [0, 2]
( )
f x
x
=
.
k
0
bx
be x
x
−
.
b
Trang 10c Giả sử tuổi thọ trung bình của loại mạch điện này là 5 năm, thời gian bảo hành là
2 năm Tính tỷ lệ những mạch điện tử bị thay thế trong thời gian bảo hành
2.11 Cho
a Có ý kiến cho rằng độc lập, bạn có đồng ý không?
b Tính
2.12 Cho bảng phân phối xác suất của và như sau
X Y 2 5
a và có độc lập không? Vì sao?
b Tính các tham số đặc trưng của
2.13 Tung một con xúc xắc 2 lần độc lập Gọi là số nút xuất hiện ở lần tung thứ nhất,
là số nút xuất hiện ở lần tung thứ hai Khi đó có độc lập không ? Vì sao ?
2.14 Tung một con xúc xắc 3 lần độc lập Gọi là số lần mặt chẵn xuất hiện và là số lần mặt lẻ xuất hiện
a Lập bảng phân phối xác suất của và
b Tính hệ số tương quan và cho nhận xét
2.15 Tìm các phân phối lề của Lập bảng phân phối xác suất của Lập bảng phân phối xác suất của Biết
( ) 1, ( ) 2, ( ) 2, ( ) 1
E X = E Y = E XY = Var X =
,
X Y
2 ( ), ( 4), ( ( ))
( i)
P X =x
( j)
P Y =y
(X Y, ).
X
X Y.
,
| 3
Y X =
Trang 112.16 Cho bảng phân phối xác suất đồng thời sau đây:
X Y -1 0 1 2
a Tìm các phân phối lề của Hai đại lượng này có độc lập hay không?
b Tính kỳ vọng, phương sai, hiệp phương sai và hệ số tương quan của Hai đại lượng này có phụ thuộc tuyến tính hay không?
2.17 Một hộp đựng 3 bi đỏ, 2 bi xanh và 1 bi vàng Lấy ngẫu nhiên ra từng bi cho đến khi
gặp bi đỏ thì dừng Gọi X là số bi xanh, Y là số bi vàng đã lấy ra
a Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của
b Tính
2.18 Quỹ đầu tư A thiết kế một phương án đầu tư rồi chuyển cho hai công ty B và C xét
duyệt một cách độc lập Xác suất công ty B và C chấp nhận phương án đầu tư lần lượt là 0,7 và 0,8 Nếu B chấp nhận thì phải trả cho A 5 triệu đồng, ngược lại chỉ trả 1 triệu đồng Nếu C chấp nhận thì phải trả cho A 9 triệu đồng, ngược lại chỉ trả 3 triệu Chi phí cho việc thiết kế của A là 10 triệu đồng và thuế là 10% doanh thu Gọi là số lãi A nhận được sau khi trừ chi phí và thuế Hỏi A có nên nhận thiết kế hay không? Vì sao?
2.19 Cho và là hai đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất đồng thời như sau
1 0,12 0,15 0,03
2 0,28 0,35 0,07
a Chứng minh rằng , độc lập
b Tìm quy luật phân phối của đại lượng ngẫu nhiên và tìm các giá trị kỳ vọng
,
X Y
,
X Y
,
X Y
( , ), XY , ( , )
Cov X Y R Var X Y
X
Y X
X Y
XY
Z = Z
Y
X,E ,E
E
Trang 122.20 Có 3 xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu với xác suất bắn trúng lần lượt là 0,6; 0,7; 0,5
a Biết rằng có 2 người bắn trúng, tìm xác suất người thứ ba bắn trượt
b Giả sử có 1 người bắn trúng, tìm xác suất đó là người thứ hai
c Gọi X là số xạ thủ bắn trúng trong số 3 người đó Hãy lập bảng phân phối xác suất và tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X.
2.21 Có hai kiện hàng Kiện thứ nhất có 12 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm loại A Kiện
thứ hai có 8 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm loại A Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ kiện
thứ nhất bỏ vào kiện thứ hai, sau đó từ kiện thứ hai lấy ra 3 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm
loại A có trong 3 sản phẩm lấy ra sau cùng
a Lập bảng phân phối xác suất của X
b Tính E(X); Var(X).
2.22 Cho hàm số
a Chứng tỏ là hàm mật độ xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên X
b Tìm hàm phân phối xác suất của X
c Tính xác suất
2.23 Xác suất một hộp sữa trong kho bị hỏng là 0,5% Chọn ngẫu nhiên 800 hộp trong
kho.Tìm xác suất có ít nhất 3 hộp bị hỏng Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của
số hộp sữa bị hỏng trong 800 hộp đó
2.24 Có 3 hộp, mỗi hộp đựng 10 sản phẩm Số phế phẩm có trong mỗi hộp tương ứng là:
1, 2, 3
a Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một sản phẩm Tìm bảng phân phối xác suất của
số sản phẩm tốt có trong 3 sản phẩm lấy ra
b Chọn ngẫu nhiên một hộp, rồi từ hộp đã chọn lấy ra ngẫu nhiên 3 sản phẩm Tìm bảng phân phối xác suất của số phế phẩm có trong 3 sản phẩm lấy ra
2.25 Hộp thứ nhất có 10 chai thuốc, trong đó có 4 chai kém phẩm chất Hộp thứ hai có 8
chai thuốc, trong đó có 3 chai kém phẩm chất Lấy ngẫu nhiên 2 chai thuốc ở hộp thứ nhất
bỏ vào hộp thứ hai, sau đó từ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên ra 3 chai thuốc Gọi X là số chai thuốc kém phẩm chất có trong 3 chai lấy ra từ hộp thứ hai Tìm Mod(X).
2.26 Năng suất của 3 máy tương ứng là các đại lượng ngẫu nhiên X 1 , X 2 , X 3 (đơn vị tính là
sản phẩm/phút) Cho biết bảng phân phối xác suất của X 1 , X 2 , X 3 như sau:
( )
x khi x
f x
khi x
=
( )
f x
( )
F x
1
2
P x
Trang 13X 1 1 2 3 4
P 0,1 0,2 0,5 0,2
X 2 2 3 4
P 0,4 0,3 0,3
X 3 2 3 4 5
P 0,1 0,4 0,4 0,1 Giả sử bạn cần mua một trong 3 loại máy này thì bạn sẽ chọn mua loại máy nào? Vì sao? (Giả thiết chất lượng và giá bán của 3 loại máy này như nhau)
2.27 Một hộp chứa 10 viên phấn trắng và 6 viên phấn màu Chọn ngẫu nhiên ra 3 viên
phấn Gọi X là số viên phấn màu lấy được Hãy lập bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất và tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X
2.28 Một sinh viên thi 4 môn, xác suất đậu từng môn là 0,7 Gọi X là số môn anh ta đậu
Hãy lập bảng phân phối xác suất và tính kỳ vọng, phương sai, mốt, trung vị của X
2.29 Một hộp đựng 10 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên từng sản phẩm cho
đến khi lấy được sản phẩm tốt thì dừng Lập bảng phân phối xác suất và tính kỳ vọng, phương sai của số sản phẩm lấy ra
2.30 Một đội tuyển có 3 vận động viên Xác suất thi đấu thắng trận của họ lần lượt là 0,4;
0,3; 0,6 Mỗi vận động viên thi đấu một trận độc lập với đội bạn Gọi X là số trận thắng của
đội tuyển
a Hãy lập bảng phân phối xác suất và hàm phân phối xác suất của X
b Tìm xác suất đội tuyển thắng ít nhất 1 trận
2.31 Một ôtô đi trên đoạn đường có 3 đèn tín hiệu giao thông hoạt động độc lập Tính kỳ
vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của số lần ôtô dừng khi đi trên đoạn đường đó, biết rằng chỉ tín hiệu xanh mới được phép đi và
a Cả 3 đèn đều có thời gian tín hiệu xanh là 30 giây, vàng là 5 giây, đỏ là 15 giây
b Ở đèn thứ nhất thời gian dành cho ba tín hiệu đó lần lượt là: 40 giây, 10 giây, 30 giây; ở đèn thứ hai: 25 giây, 5 giây, 10 giây; ở đèn thứ ba: 20 giây, 5 giây, 35 giây
Trang 142.32 Trong một hộp có 50 sản phẩm, trong đó có 12 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 10 sản
phẩm Gọi X là số phế phẩm trong các sản phẩm lấy ra Tìm phân phối xác suất của X và tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X
2.33 Đề thi trắc nghiệm có 20 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1
phương án đúng Một sinh viên không học bài nên khi đi thi đã chọn ngẫu nhiên một
phương án cho từng câu hỏi Gọi X là số câu anh ta trả lời đúng Hãy tìm phân phối xác suất của X và tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X
2.34 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau
X 0,6 4
Cho biết E(X) = 8
a Hãy tính ,
b Lập hàm phân phối xác suất của X
c Tính phương sai, độ lệch chuẩn của X
2.35 Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau
X 1 2 3 4 5 6 7
a Hãy tìm a;
b Tính
c Tìm số k nhỏ nhất sao cho
2.36 Xác suất để một hạt thóc giống bị lép là 0,003 Chọn ra 1000 hạt thóc giống.Tìm xác
suất có không ít hơn 3 hạt lép Gọi X là số hạt lép trong 1000 hạt thóc đó Hãy tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X
2.37 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ phân phối xác suất
Tìm xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng
3
x
3
p
3
x p3
2
P X P X
1
2
P X k
( ) ( )
2
0,3
x khi x
f x
khi x
=
( )1,3
