BÀI 04: CÁC HÌNH CHÓP TỨ GIÁC KHÁC Cũng như các khối chóp tam giác.. Một số phương pháp xác định chiều cao chúng ta cũng áp dụng được với các khối chóp tứ giác.. Tính chất 1: Nếu hình ch
Trang 1BÀI 04: CÁC HÌNH CHÓP TỨ GIÁC KHÁC
Cũng như các khối chóp tam giác Một số phương pháp xác định chiều cao chúng ta cũng áp dụng được với các khối chóp tứ giác Nhưng đối với các hình chóp khác này, thầy xin nêu lại 3 phương pháp xác định chiều cao như sau:
1 Tính chất 1: Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng nhau
thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
2 Tính chất 2: Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên đáy hoặc có các đường cao của
các mặt bên xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy
3 Tính chất 3: Nếu một đường thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc với
một mặt phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đường cao của khối chóp là đường thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh đã nói ở trên.
Sau đây sẽ là các ví dụ áp dụng các tính chất trên trong quá trình tính thể tích:
II Các ví dụ minh họa:
1.Ví dụ 1: (ĐH Khối A – 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM.Biết
SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =a 3 Tính thể tích khối chóp S.CDNM
3
SH⊥ ABCD ≡ CDMN ⇒V S CDMN= SH SCDMN
Mặt khác trong hình vuông ABCD ta có:
2 2 5 2 2
S CDNM S ABCD S AMN S BCM
a
Cách khác: Ta thấy CN ⊥ DM vì:
∆DAM và ∆CDN có:
0 90
2
a
Vậy ∆DAM = ∆CDN => D1=C1 mà 0
1 1 90
1 1 90
Trang 22 2
S CDNM
a a
CM DN
=
+ +
Vậy
1
3
V
S CDMN
a
Chú ý: Đây là bài toán yêu cầu các em biết phát hiện các yếu tố của hình học giải tích phẳng Bài toán này có thể sửa đề bài thành “ M, N lần lượt nằm trên AB và AD sao cho: AM = k AB
và DN = k DA Trong đó k ∈(0;1)thì lúc đó mình vẫn có CN ⊥DM Phát hiện yếu tố này quả là rất quan trọng trong nhiều bài toán Mong các em lưu ý!
2 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2,
ACB = 90o ∆SAC và ∆SBD là các tam giác đều có cạnh bằng 3 Tính thể tích khối chóp
Giải:
Ta có ∆SAC và ∆SBD là các tam giác đều nên:
SA = SB = SC = SD Giả sử H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống đáy ABCD ta xét 4 tam giác SHA, SHB, SHC và SHD có:
- SH chung
- SHA = SHB = SHC = SHD = 900
- SA = SB = SC = SD
Vậy ∆SHA = ∆SHB = ∆SHC = ∆SHD nên:
HA = HB = HC = HD vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD
Mặt khác: ABCD là hình thang có AC = BD = 3
=> ABCD là hình thang cân và có ACB = ADB = 900
=> H chính là trung điểm của AB
Và AB là đường kính đường tròn tâm H bán kính HA
Ta thấy chiều cao của hình thang là:
ABCD
Trang 33 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, ∆SAD đều cạnh = 2a, BC = 3a Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau Tính thể tích hình chóp S.ABCD
Giải:
- Hạ SH ⊥ (ABCD), H ∈ (ABCD)
- Vì các mặt bên lập với đáy các góc
bằng nhau nên dễ dàng chứng minh
được H là tâmđường tròn nội tiếp
- Gọi K là hình chiếu của H lên AD
- Ta có DH và AH là các đường
phân giác của các góc vuông A và
D nên HAD+ HAD = 900, vậy
tam giác AHD vuông cân tại H nên
2
AD a
=
- Tam giác vuông SHK có HK = a
a a
Vì ⋄ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a
a
+
2 2
a
4 Ví dụ 4: Chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểm SC Mặt phẳng (P)
chứa AM và song song với BD chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần
đó
Giả sử SO∩AM ={ }I Ta thấy:
/ /
dựng đường thẳng qua I và // BD cắt SB và SD lần
lượt tại B’ và D’
Trang 4O C
B
A D S
H
Đặt:
1 2
'
; '
2
S AB MD S ABCD
V
Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:
'
' 1
1
'
' 2
2
(vì I là trọng tâm ∆SAC)
T
+
5 Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi SA = x (0 < x < 3 ) các cạnh còn lại đều bằng
1 Tính thể tích của hình chóp S.ABCD theo x
Giải:
Ta có ∆SBD= ∆DCB c c c( )⇒SO=CO
Tương tự ta có SO = OA
vậy tam giác SCA vuông tại S
⇒CA= 1+x2
⇒BD= 3−x2 (do0<x< 3)
4
ABCD
Gọi H là hình chiếu của S xuống (CAB) Vì SB = SD nên HB = HD ⇒ H ∈ CO
2
1
x SH
+ Vậy V = 1 2
3
6x −x
====================Hết===================
