Hình chóp tứ giác và một số dạng bài tập liên quan

1.5.5 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng songsong và khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 35 1.6 Các bài toán về thể tích trong hình chóp tứ giác.. Nghiên cứu lý thuyết và bài

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Minh Thu

HÌNH CHÓP TỨ GIÁC

VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

ThS Trần Văn Nghị

Hà Nội – Năm 2016

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Trần Văn Nghị người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành tốt khóa luận này.

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viên Nguyễn Thị Minh Thu

Khóa luận được hình thành sau quá trình tự tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân dựa trên những kiến thức đã học, tài liệu tham khảo và sự hướng dẫn của thầy giáo Trần Văn Nghị.

Em xin cam đoan kết quả của khóa luận này là không sao chép từ bất kì bài khóa luận nào Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan của mình.

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viên Nguyễn Thị Minh Thu

Lời nói đầu 1

1 Một số dạng bài tập liên quan đến hình chóp tứ giác 3

1.1 Quan hệ song song trong hình chóp tứ giác 3

1.1.1 Xác định giao tuyến chung của hai mặt phẳng 3

1.1.2 Xác định giao điểm của đường thẳng a và (α) 4

1.1.3 Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng 6

1.1.4 Chứng minh ba đường thẳng đồng quy 7

1.1.5 Chứng minh đường thẳng a song song với đường

thẳng b 8

1.1.6 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 8

1.1.7 Hai mặt phẳng song song 10

1.2 Quan hệ vuông góc trong hình chóp tứ giác 11

1.2.1 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 11

1.2.2 Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc 13

1.2.3 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 15

1.3 Bài toán thiết diện trong hình chóp tứ giác 17

1.3.1 Thiết diện của hình chóp với (P) đi qua ba điểm

không thẳng hàng 17

1.3.2 Thiết diện của hình chóp với (P), (P) chứa đường

thẳng a và song song với một đường thẳng b cho

trước (a, b chéo nhau) 18

1.3.3 Thiết diện của hình chóp với (P) qua một điểm và

song song với hai đường thẳng cho trước 19

1.3.4 Thiết diện của hình chóp với (P) đi qua hai điểm

và song song với một mặt phẳng cho trước 20

1.3.5 Thiết diện qua một điểm và vuông góc với một

đường thẳng cho trước 21

1.3.6 Thiết diện chứa một đường thẳng a và vuông góc

với một mặt phẳng 22

1.4 Các bài toán về góc trong hình chóp tứ giác 23

1.4.1 Góc giữa hai đường thẳng 23

1.4.2 Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) 24

1.4.3 Góc giữa hai mặt phẳng 26

1.5 Các bài toán về khoảng cách trong hình chóp tứ giác 28

1.5.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 28

1.5.5 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song

song và khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 35

1.6 Các bài toán về thể tích trong hình chóp tứ giác 38

1.6.1 Tính thể tích trực tiếp bằng cách tìm đường cao 38 1.6.2 Bài toán tính thể tích khối chóp một cách gián tiếp 45 1.6.3 Các bài toán về so sánh thể tích 47

1.7 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác 49

1.8 Hình chóp tứ giác đều 50

1.9 Các bài tập về hình chóp tứ giác đặc biệt khác 51

1.9.1 Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy hay hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy 51

1.9.2 Hình chóp có một mặt bên hoặc mặt chéo vuông góc với đáy 53

1.9.3 Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau 54

2 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 55 2.1 Quan hệ song song trong hình chóp tứ giác 55

2.2 Quan hệ vuông góc trong hình chóp tứ giác 56

2.3 Bài toán thiết diện trong hình chóp tứ giác 58

2.4 Bài toán về góc trong hình chóp tứ giác 60

2.5 Các bài toán về khoảng cách trong hình chóp tứ giác 61

2.6 Các bài toán về thể tích trong hình chóp tứ giác 62

2.7 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác 64

Lời nói đầu

1 Lý do chọn đề tài

Hình học nói chung và hình học không gian nói riêng là một môn

học khó đối với học sinh trong nhà trường trung học phổ thông Vì hình

học là môn học có tính chặt chẽ, logic và trừu tượng hóa cao hơn các

môn học khác

Để học Hình học không gian, ngoài tính trừu tượng còn đòi hỏi

học sinh phải có kĩ năng tư duy cao Hình học không gian bước đầu học

thấy khó song càng học càng thấy sự thú vị trong đó Do việc nghiên cứu

hình học không gian là cần thiết, nên trong bài khóa luận này em sẽ đi

đào sâu vào một phần nhỏ của hình học không gian là hình chóp tứ giác

Đây là một chủ đề có cấu trúc thi cao đẳng, đại học và thường xuyên

có mặt trong trong các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi ở các trường phổ

thông Nhằm cung cấp kiến thức, rèn luyện kĩ năng liên quan đến các

dạng bài tập về hình chóp tứ giác nên em đã chọn nghiên cứu đề tài

"Hình chóp tứ giác và một số dạng bài tập liên quan" Là một

giáo viên trong tương lai em nhận thấy việc nghiên cứu đề tài này là

hợp lý và có ý nghĩa thực tiễn

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu cơ sở lí luận, hệ thống hóa và phân dạng các dạng

bài tập về hình chóp tứ giác một cách chi tiết nhất nhằm tích cực hóa

hoạt động của học sinh, nâng cao năng lực sư phạm cho giáo viên và

tăng hiệu quả dạy học môn toán ở THPT

3 Phạm vi, đối tượng nghiên cứu

a) Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là hình chóp tứ giác

b) Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết và bài tập về quan hệ vuông góc, quan hệ song

song, thiết diện, các bài toán về góc, khoảng cách, thể tích, mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp tứ giác, bài toán về hình chóp tứ giác đều và các

bài toán về hình chóp tứ giác đặc biệt khác ở chương trình toán trung

học phổ thông

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu là phân loại, hệ thống các dạng bài tập

về hình chóp tứ giác

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích và tổng hợp kiến thức

6 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1: Một số dạng bài tập liên quan đến hình chóp tứ giác

Chương 2: Bài tập đề nghị

Một số dạng bài tập liên quan đến hình chóp tứ giác

1.1 Quan hệ song song trong hình chóp tứ giác

1.1.1 Xác định giao tuyến chung của hai mặt phẳng

Phương pháp: Tìm điểm chung của 2 mặt phẳng

Ta đi xác định giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q)

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD trong đó ABCD là tứ giác có các cặp

cạnh đối diện song song Tìm giao tuyến của:

a) (SAC) và (SBD);

b) (SAB) và (SCD);

c) (MBC) và (SAN) với M, N là trung điểm của SA, BC

Lời giải

b) Theo giả thiết ta có AC ∩ BD = E.

Do đó (SAB) và (SCD) có hai điểm chung

là S và E

Vậy SE = (SAB) ∩ (SCD)

c) Vì M là trung điểm của SA nên M ∈ (SAN ) và M ∈ (M BC)

Vì N là trung điểm của BC nên N ∈ (M BC) và N ∈ (SAN )

thẳng a và (α)

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành Gọi M là trung

điểm của SC

a) Tìm giao điểm I = AM ∩(SBD);

b) Tìm giao điểm E = MN ∩(SBD), với N là trung điểm của AB;

c) Tìm giao điểm H = SD ∩(ABM)

Xét ∆AMN có IA = 2IM, (do I là trọng

tâm của ∆ SBD ) nên NF // BI với F là trung điểm của AI

Trong 4 MNI vì EI//NF và I là trung điểm của MF nên F là trung điểm

của MN

c) Trong ∆ SBD, vì BI ∩ SD = H nên H ∈ (ABM )

Vậy SD ∩ (ABM) = H

1.1.3 Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng

Phương pháp: Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng

minh ba điểm đó là các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt Khi

đó chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó

Cụ thể: Với 2 mặt phẳng phân biệt (P) và (Q), nếu

1.1.4 Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

Phương pháp:

Cách 1: Chứng minh ba đường thẳng này không đồng phẳng và đôi một

cắt nhau

Cách 2: Chứng minh hai trong ba đường thẳng này cắt nhau và giao

điểm của chúng nằm ở trên đường thẳng thứ ba

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD, gọi AC ∩ BD = O và M, N lần lượt là

hai điểm tùy ý trên 2 cạnh SA, SB

a) Chứng minh M1 = (OMN) ∩ (SAD); M2 = (OMN) ∩ (SBC)

b) Chứng minh M1, SR, M2 đồng quy với R = AD ∩ BC

Lời giải

a) Trong (SAB) gọi MN ∩ AB = P

Trong (ABCD) gọi OP ∩ AD = E và

OP ∩ BC = F

Khi đó ta suy ra M1 ≡ ME, M2 ≡ NF

b) Trong (OMN) gọi M1 ∩ M2 = Q

1.1.5 Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng

b

Phương pháp:

Cách 1: Tìm (α) chứa a, b và sử dụng các định lý về quan hệ song song

trong mặt phẳng như định lý Talet (đảo), định lý đường trung bình

trong tam giác, hình thang , định lý hai đường thẳng cùng vuông góc

với đường thẳng thứ ba

Cách 2: Sử dụng định lý giao tuyến về quan hệ song song

Cách 3: Sử dụng định lý hai đường thẳng cùng song song với đường

thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang, AD//BC

Gọi M là trung điểm của SA, (MBC) ∩ SD = N Chứng minh MN//AD

Lời giải

Ta có BC//AD ⇒ BC//(SAD)

Mặt phẳng (MBC) chứa BC mà BC//(SAD)

nên hai mặt phẳng (MBC) và (SAD) cắt

nhau theo giao tuyến MN với MN//BC

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, G là trọng

tâm 4 SAB, IA = IB, lấy M∈AD sao cho AD = 3AM

a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC);

b) Qua M kẻ Đường thẳng song song với AB, và đường thẳng này cắt

1.1.7 Hai mặt phẳng song song

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi H, I, K

lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC

a) Chứng minh (HIK)//(ABCD);

b) Gọi J = SD ∩ (HIK) Chứng minh HIKJ là hình bình hành;

c) Gọi M = AI ∩ DK, N = DH ∩ CI Chứng minh (SMN)//(ABCD)

Lời giải

a) Vì IH//AB nên IH//(ABCD)

Vì IK//BC nên IK//(ABCD)

Suy ra IK là đường trung bình của 4

MAD ⇒ KM = KD Mà KS = KC nên suy ra tứ giác SMCD là hình

bình hành ⇒ SM//CD (1)

Tương tự ta chứng minh được tứ giác SNAD là hình bình hành nên

SN//AD (2) Từ (1) và (2) suy ra (SMN)//(ABCD)

1.2 Quan hệ vuông góc trong hình chóp tứ giác

1.2.1 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, (SAB) và

(SAD) cùng vuông góc với (ABCD) Chứng minh:

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O,

SA ⊥ (ABCD) Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên

b) Theo câu a ta có BC ⊥ (SAB), mà AH ⊥ (SAB) nên BC ⊥ AH

Theo giả thiết thì SB ⊥ AH và SB, BC ⊂ (SBC), SD ∩ CD = D

Suy ra AK⊥(SCD)

c) Ta coó 4 SAB = 4 SAD (2 tam giác vuông) và AH, AK lần lượt là

đường cao của 2 tam giác trên Suy ra SH

1.2.2 Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc

Cách 5: Cho đường thẳng a //(α) Nếu b ⊥ (α) thì b ⊥ a

Cách 6: Nếu 1 đường thẳng vuông góc với hai cạnh của 1 tam giác thì

nó cũng vuông góc với cạnh còn lại

Ví dụ 1: (Đề TSĐH khối A- 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy

là hình vuông cạnh a Mặt bên (SAD) là tam giác đều và ở trong mặt

phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB,

BC, CD Chứng minh AM ⊥ BP

Lời giải

Gọi H là trung điểm của AD

Vì SAD là tam giác đều nên SH ⊥ AD

Lại có (SAD) ⊥ (ABCD) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ví dụ 2: (Đề TSĐH khối B-2007) Cho hình chóp tứ giác đều

S.ABCD cạnh đáy bằng a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung

điểm của SA Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, BC Chứng minh

MN ⊥ BD

Lời giải

Ta có SEAD là hình bình hành suy ra SE//AD và SE = AD

Suy ra SEBC là hình bình hành ⇒ SC//EB

Gọi P là trung điểm của A, khi đó trong các 4 EAB, 4 ABC ta có:

MP//EB, PN//AC Từ đó suy ra (MNP)//(SAC) (1)

Ta có BD ⊥ AC và BD ⊥ SH ( vì SH ⊥ (ABCD)) ⇒ BD ⊥ (SAC) (2)

Từ (1) (2) suy ra BD ⊥ (MNP) ⇒ BD ⊥ MN (đpcm)

1.2.3 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Cách 3: Gọi −→n , −→v là VTPT của (α) và (β), chứng minh −→n ·−→v = 0.

Ví dụ 1: (Đề thi TSĐH khối B-2006) Cho hình chóp S.ABCD có

Mặt khác SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ MB

⇒ MB ⊥ (SAC)

Suy ra (SMB) ⊥ (SAC) (đpcm)

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O,

2 (1).

Mà 4 COI đồng dạng 4 CSA suy ra OI

SA =

COCS

⇒OI = x · a

√2

2√

x2 + 2a2 (2)

Từ (1) (2) ta có a

√2

1.3 Bài toán thiết diện trong hình chóp tứ giác

1.3.1 Thiết diện của hình chóp với (P) đi qua ba điểm không

thẳng hàng

Phương pháp:

Bước 1: Từ hai điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của

(P) với một mặt của hình chóp

Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm được cắt các cạnh của mặt đó của hình

chóp, ta sẽ được các điểm chung mới của (P) với các mặt khác Từ đó

xác định được giao tuyến với các mặt này

Bước 3: Tiếp tục như trên tới khi các đoạn giao tuyến tạo thành 1 đa

giác phẳng khép kín ta được thiết diện

Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là điểm bất kì nằm trên

canh SC (không trùng với S, C) Gọi N, P lần lượt là trung điểm của

AB, AD Tìm thiết diện của hình chóp với (MNP)

1.3.2 Thiết diện của hình chóp với (P), (P) chứa đường thẳng

a và song song với một đường thẳng b cho trước (a, b

chéo nhau)

Phương pháp:

Bước 1: Chỉ ra (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song

Bước 2: Tìm một điểm chung M của hai mặt phẳng

Bước 3: Khi đó (P) ∩ (Q) = Mt//a//b

Bước 4: Sử dụng các cách tìm thiết diện đã biết ta tìm giao tuyến của

(P) với các mặt còn lại của hình chóp

Bước 5: Dựng thiết diện và kết luận

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành, M là

trung điểm của SC, (P) là mặt phẳng qua AM và song song BD Tìm

thiết diện của hình chóp khi cắt (P)

1.3.3 Thiết diện của hình chóp với (P) qua một điểm và song

song với hai đường thẳng cho trước

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điểm M ∈ (P) ∩ (Q)

Bước 2: Chỉ ra (P)//a hoặc b ⊂ (Q) Suy ra giao tuyến của (P) và (Q)

là đường thẳng qua M và song song với a hoặc b

Bước 3: Tiếp tục tìm giao tuyến của các mặt khác của hình chóp với

(P) bằng các cách đã biết

Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang (AD//BC), M là

điểm bất kì thuộc AB, (α) là mặt phẳng qua M và song song với AD và

SB Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (α)

Suy ra (α) ∩ (ABCD) = KP Lại có (α) ∩ (SCD) = KN

Vậy thiết diện là hình thang MNKP

1.3.4 Thiết diện của hình chóp với (P) đi qua hai điểm và

song song với một mặt phẳng cho trước

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điểm chung M của (P) và một mặt phẳng nào đó của hình

chóp

Bước 2: Chỉ ra (P)//(Q) Tìm a = (P) ∩ (Q), hoặc b = (P) ∩ (Q) Khi

đó giao tuyến là đường thẳng qua M song song với a hoặc b

Bước 3: Dựng thiết diện và kết luận

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang, CD < AB,

(α) là mặt phẳng qua M trên cạnh AB và song song với (SAD) Tìm

thiết diện của hình chóp với (α)

Lời giải

Ta có M ∈ (α)∩ (ABCD) và M ∈ (α) ∩ (SAB)

Vì (α)//(SAD) nên (α) ∩ (ABCD) = MN, MN//AD

Tương tự ta có (α) ∩ (SAB) = MK, MK//SA;

(α) ∩ (SCD) = NP, NP//SD; (α) ∩ (SBC) = KP

Vậy thiết diện là hình thang KMNP

1.3.5 Thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường

thẳng cho trước

Phương pháp: Gỉa sử cần dựng thiết diện của một hình chóp cắt bởi

(P) đi qua một điểm M và vuông góc với đường thẳng d cho trước

Bước 1: Tìm hai đường thẳng a và b cắt nhau cùng vuông góc với d

Bước 2: Khi đó (P)//(a, b)

Bước 3: Tìm giao tuyến của (P) với hình chóp bằng cách tính đã biết

Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận

Chú ý: Nếu đã có sẵn 2 đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau mà cùng

vuông góc với d thì ta chọn (P) song song với a (hay chứa a) và b song

song với (P)(hay chứa b).Rồi thực hiện các bước còn lại

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD)

Gọi (α) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB Xác định thiết diện

Suy ra (α) ∩ (SAB) = AH;

(α) ∩ (SAD) = AD; (α) ∩ (ABCD) = AD

Ta có (α) ∩ (SBC) = Hx với Hx//BC

Gọi I = Hx ∩ SC suy ra (α) ∩ (SBC) = HI

Vậy thiết diện cần tìm là hình thang vuông AHID

1.3.6 Thiết diện chứa một đường thẳng a và vuông góc với

một mặt phẳng

Phương pháp:

Bước 1: Chọn một điểm A nằm trên đường thẳng a sao cho qua A có

thể dựng được đường thẳng b vuông góc với (α) một cách dễ nhất

Bước 2: Khi đó, mp(a, b) chính là (α) cần dựng

Bước 3: Tìm giao tuyến của (α) với hình chiếu bằng cách đã dựng

Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD)

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và vuông góc với (SBC) Tìm thiết diện của

1.4 Các bài toán về góc trong hình chóp tứ giác

1.4.1 Góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp:

Cách 1: (Dùng định nghĩa) Góc giữa hai đường thẳng trong không

gian là góc giữa đường thẳng a’, b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt

song song với a và b : a//a

Ví dụ 2: (Đề TSĐH-CĐ khối B-2008) Cho hình chóp S.ABCD có

đáy là hình vuông cạnh bằng 2a, SA = a, SB = a√

Suy ra 4 SAB vuông tại S và [SAB = 60o

Vì (SAB) ⊥ (ABCD) nên nếu kẻ

SH ⊥ AB thì SH ⊥ (ABCD)

Vì [SAB = 60o nên 4 SAM đều

Suy ra HA = HM = a

2.Trong (ABCD) kẻ HK ⊥ MP ⇒ SK ⊥

⇒ MK = √a

5 (2).

Từ (1) (2) suy ra cos α =

√5

5 .

1.4.2 Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α)

Phương pháp :

Cách 1: a ⊥ (α) ⇔ (a, (α)) = 90o

2 =

√3

√

7 suy ra [SCB = arctan√

7

c) Ta có BD ⊥ (SAC) suy ra (SAC) ⊥ (SBD) theo giao tuyến SO

Trong (SAC) hạ SO ⊥ AA1 suy ra AA1 ⊥ (SBD)

⇒ (AC, (SBD)) = (AC, AA1) = \A1AC = \A1AO

6a2 suy ra AA1 = a

√6

√

13.Suy ra cos \A1AO = AA1

a√6

√

13·

√2

r 12

13 ⇒ \A1AO = arccosr 12

13.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

SA ⊥ (ABCD), SA = a Tính góc giữa hai mặt phẳng :

Lời giải

a) Ta có SA ⊥ (ABCD) và AB ⊥ BC

Suy ra SB ⊥ BC

Vậy (SBC), (ABCD) = [SBA = α

Vì 4 SAB vuông cân tại A nên α = 45o

b) Ta có BD ⊥ SA và BD ⊥ AC

Suy ra BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC

Qua BD, vẽ mp (γ) ⊥ SC tại I thì ta được 4 IBD cân tại I và

[

BID = β là góc giữa hai mp (SBC) và (SDC)

Vì 4 SBC vuông tại B nên ta có 1

BI2 = 1

BC2+ 1

BS2 = 1

a2+ 12a2 = 3

2a2.Suy ra cos β = IB

= −1

2 ⇒ β = 120o

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, cạnh

bên bằng a

√3

Qua S kẻ mp (γ) ⊥ 4 thì (γ) cắt (SAB) và (SCD) theo 2 giao tuyến

SM, SN cùng vuông góc với 4 tại S, khi đó (γ) chính là (SMN) vuông

góc với AB tại trung điểm M và vuông góc với CD tại trung điểm N

Suy ra O ∈ (SMN) và \M SN = β là góc giữa (SAB) và (SCD)

Vì 4 SMN cân tai S và góc \SM O = α = 45o

Suy ra \M SN = β = 180o-2·45o = 90o

1.5 Các bài toán về khoảng cách trong hình chóp

tứ giác

1.5.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Phương pháp:

B1 Xác định hình chiếu của M trên 4 là H suy ra MH = d

B2 Gắn vào việc tính đường cao trong tam giác nào đó sau đó sử dụngphương pháp cân bằng diện tích

B3 Sử dụng công thức tính khoảng cách của hình học tọa độ:

Ví dụ 1: (Đề dự bị khối B-2002) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là

hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a Gọi E là trung điểm của

CD Tính theo a khoảng cách từ S đến BE

Lời giải

Hạ AH ⊥ BE mà SA ⊥ BE

Suy ra BE ⊥ (SAH)

⇒ BE ⊥ SH ⇒ d (S, BE) = SH

Kéo dài BE cắt AD tại M

⇒ D là trung điểm của AM và AM = 2a

Vì 4 ABM vuông tại A nên

5

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh bên

Suy ra d (O, SC) = OI

Vì 4 SAC vuông cân tại A (SA = AC = 2a) nên

4 OIC vuông cân tại I, suy ra d (O, SC) = OI

2 .b) Kẻ OJ ⊥ AB, vì SA ⊥ OJ suy ra OJ ⊥ (SAB) (1)

2 .Gọi CK là đường cao của 4 ABC suy ra SABC = 1

2CK·AB.

Suy ra CK = a

√3

√

2 .Hơn nữa OJ = 1

2CK =

a√6

2√

2·√1

2 =

a√3

4 .Trong 4 vuông OJH ta có OH2 = OJ2+J H2 = 6a

4 .

1.5.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Phương pháp:

1) Xác định hình chiếu của điểm đó trên mặt phẳng

2) Tính đường cao của hình chóp nào đó và dùng phương pháp cân bằng

thể tích

3) Sử dụng công thức: d (M, (P)) = |Axo + Byo + Czo + D|

√

A2 + B2 + C2

Ví dụ 1: (Đề TSĐH Khối D-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy

ABCD là hình thang vuông [ABC = \BAD = 90o, AD = 2a, AB = BC =

a) Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AC, SA ⊥ AD

Trong 4 vuông SAC có SC2 = SA2+AC2 = 4a2

Trong 4 vuông SAD có SD2 = SA2+AD2 = 6a2

BF =

2a√33

6 .Mặt khác VSBCD = 1

3·SSCD·BF = 1

6·SC·CD·BF ⇒ BF = a

2 (2).

Từ (1) và (2) suy ra HK = d (H, (SCD)) = a