Khoá luận tốt nghiệp hình chóp tứ giác và một số dạng bài tập liên quan

19 1.3.4 Thiết diện của hình chóp với P đi qua hai điểm và song song với một m ặt phẳng cho trước.. 1.5.5 Khoảng cách giữa đường thẳng và m ặt phẳng songsong và khoảng cách giữa hai m ặt

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Trần Văn N ghị người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành tốt khóa luận này.

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viên

N guyễn T hị M inh Thu

Khóa luận được hình thành sau quá trình tự tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân dựa trên những kiến thức đã học, tài liệu tham khảo và sự hướng dẫn của thầy giáo Trần Văn N ghị.

Em xin cam đoan kết quả của khóa luận này là không sao chép từ bất kì bài khóa luận nào Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan của mình.

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viên

N guyễn T hị M inh Thu

Lời nói đầu 1

1 M ột số dạng bài tập liên quan đến hình chóp tứ giác 3

1.1 Quan hệ song song trong hình chóp tứ g iá c 3

1.1.1 Xác định giao tuyến chung của hai m ặt phẳng 31.1.2 Xác định giao điểm của đường thẳng a và (a) 4

1.1.3 Chứng minh ba điểm A, B, c thẳng hàng 61.1.4 Chứng minh ba đường thẳng đồng q u y 7

1.1.5 Chứng minh đường thẳng a song song với đường

thẳng b 8

1.1.6 Chứng minh đường thẳng song song với m ặt phẳng 8

1.1.7 Hai m ặt phẳng song song 10

1.2 Quan hệ vuông góc trong hình chóp tứ giác 11

1.2.1 Chứng minh đường thẳng vuông góc với m ặt phẳng 11

1.2.2 Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc 13

1.2.3 Chứng minh hai m ặt phẳng vuông g ó c 15

1.3 Bài toán thiết diện trong hình chóp tứ g iá c 17

1.3.1 Thiết diện của hình chóp với (p) đi qua ba điểm

không thẳng h à n g 17

1.3.2 Thiết diện của hình chóp với (p), (p) chứa đường

thẳng a và song song với một đường thẳng b cho

trước (a, b chéo n h a u ) 18

1.3.3 Thiết diện của hình chóp với (P) qua một điểm và

song song với hai đường thẳng cho t r ư ớ c 19

1.3.4 Thiết diện của hình chóp với (P) đi qua hai điểm

và song song với một m ặt phẳng cho trước 20

1.3.5 Thiết diện qua một điểm và vuông góc với một

đường thẳng cho t r ư ớ c 21

1.3.6 Thiết diện chứa một đường thẳng a và vuông góc

với một m ặt p h ẳ n g 22

1.4 Các bài toán về góc trong hình chóp tứ g i á c 23

1.4.1 Góc giữa hai đường t h ẳ n g 231.4.2 Góc giữa đường thẳng a và m ặt phẳng (a) 24

1.4.3 Góc giữa hai mặt p h ẳ n g 26

1.5 Các bài toán về khoảng cách trong hình chóp tứ giác 281.5.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 28

1.5.2 Khoảng cách từ một điểm đến một m ặt phẳng 301.5.3 Xác định đường vuông góc chung giữa hai đường

thẳng chéo nhau 32

1.5.4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 34

1.5.5 Khoảng cách giữa đường thẳng và m ặt phẳng song

song và khoảng cách giữa hai m ặt phẳng song song 35

1.6 Các bài toán về thể tích trong hình chóp tứ g i á c 38

1.6.1 Tính thể tích trực tiếp bằng cách tìm đường cao 38 1.6.2 Bài toán tính thể tích khối chóp một cách gián tiếp 45 1.6.3 Các bài toán về so sánh thể t í c h 47

1.7 Xác định tâm và bán kính m ặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ g i á c 49

1.8 Hình chóp tứ giác đều 50

1.9 Các bài tập về hình chóp tứ giác đặc biệt k h á c 51

1.9.1 Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy hay hình chóp có hai m ặt bên vuông góc với đáy 51

1.9.2 Hình chóp có một m ặt bên hoặc m ặt chéo vuông góc với đ á y 53

1.9.3 Hình chóp có các m ặt bên tạo với đáy các góc bằng n h a u 54

2 B À I T Ậ P Đ Ề N G H Ị 55 2.1 Quan hệ song song trong hình chóp tứ g iá c 55

2.2 Quan hệ vuông góc trong hình chóp tứ giác 56

2.3 Bài toán thiết diện trong hình chóp tứ g iá c 58

2.4 Bài toán về góc trong hình chóp tứ g iá c 60

2.5 Các bài toán về khoảng cách trong hình chóp tứ giác 61

2.6 Các bài toán về thể tích trong hình chóp tứ g i á c 62

2.7 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ g i á c 64

Lời nói đầu

1 Lý do chọn đề tài

Hình học nói chung và hình học không gian nói riêng là một môn

học khó đối với học sinh trong nhà trường trung học phổ thông Vì hình

học là môn học có tính chặt chẽ, logic và trừu tượng hóa cao hơn các

môn học khác

Để học Hình học không gian, ngoài tính trừu tượng còn đòi hỏi

học sinh phải có kĩ năng tư duy cao Hình học không gian bước đầu học

thấy khó song càng học càng thấy sự thú vị trong đó Do việc nghiên cứu

hình học không gian là cần thiết, nên trong bài khóa luận này em sẽ đi

đào sâu vào một phần nhỏ của hình học không gian là hình chóp tứ giác Đây là một chủ đề có cấu trúc thi cao đẳng, đại học và thường xuyên

có m ặt trong trong các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi ở các trường phổ thông Nhằm cung cấp kiến thức, rèn luyện kĩ năng liên quan đến các

dạng bài tập về hình chóp tứ giác nên em đã chọn nghiên cứu đề tài

"Hình chóp tứ giác và m ột số dạng bài tập liên quan" Là một

giáo viên trong tương lai em nhận thấy việc nghiên cứu đề tài này là

hợp lý và có ý nghĩa thực tiễn

2 M ục đích nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu cơ sở lí luận, hệ thống hóa và phân dạng các dạng

bài tập về hình chóp tứ giác một cách chi tiết nhất nhằm tích cực hóa

hoạt động của học sinh, nâng cao năng lực sư phạm cho giáo viên và tăng hiệu quả dạy học môn toán ở TH PT

3 P h ạm vi, đối tượng n ghiên cứu

a) Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là hình chóp tứ giác

b) Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết và bài tập về quan hệ vuông góc, quan hệ song song, thiết diện, các bài toán về góc, khoảng cách, thể tích, m ặt cầu

ngoại tiếp hình chóp tứ giác, bài toán về hình chóp tứ giác đều và các

bài toán về hình chóp tứ giác đặc biệt khác ở chương trình toán trung

học phổ thông

4 N h iệm vụ n ghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu là phân loại, hệ thống các dạng bài tập

về hình chóp tứ giác

5 P hương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích và tổng hợp kiến thức

6 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1: Một số dạng bài tập liên quan đến hình chóp tứ giác

Chương 2: Bài tập đề nghị

M ộ t số d ạ n g b à i tậ p liê n q u a n đ ế n

h ìn h ch ó p t ứ g iá c

1.1 Quan hệ song song trong hình chóp tứ giác

1.1.1 X ác định giao tu y ế n chung của hai m ặt phang

P hương pháp: T ìm điểm chung của 2 m ặt phẳng

Ta đi xác định giao tuyến của hai m ặt phẳng phân biệt (p) và (Q)

V í dụ: Cho hình chóp S.ABCD trong đó ABCD là tứ giác có các cặp

cạnh đối diện song song Tìm giao tuyến của:

a) (SAC) và (SBD);

b) (SAB) và (SCD);

c) (MBC) và (SAN) với M, N là trung điểm của SA, BC

Lời giải

b) Theo giả thiết ta có AC n BD = E

Do đó (SAB) và (SCD) có hai điểm chung

là s và E

Vậy SE = (SAB) n (SCD)

c) Vì M là trung điểm của SA nên M e ( S AN) và M e (M B C )

Vì N là trung điểm của BC nên N e (M B C ) và N € ( SAN)

V í dụ: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành Gọi M là trung

điểm của sc.

a) Tìm giao điểm I = AM n(SBD);

b) Tìm giao điểm E = MN n(SBD), với N là trung điểm của AB;

c) Tìm giao điểm H = SD n(ABM)

Xét AAMN có IA = 2IM, (do I là trọng

tâm của A SBD ) nên NF / / B I với F là trung điểm của AI

Trong A MNI vì E I//N F và I là trung điểm của MF nên F là trung điểm

của MN

c) Trong A SBD, vì BI n SD = H nên H e (A B M ).

Vậy SD n (ABM) = H

1.1.3 C hứng m inh ba điểm A , B , c th ẳn g hàng

P hương pháp: Muốn chứng minh ba điểm A, B, c thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó là các điểm chung của hai m ặt phẳng phân biệt Khi

đó chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của hai m ặt phẳng đó

Cụ thể: Với 2 m ặt phẳng phân biệt (p) và (Q), nếu

1.1.4 C hứng m inh ba đường th ẳ n g đồng quy

P hương pháp:

Cách 1 : Chứng minh ba đường thẳng này không đồng phẳng và đôi một

cắt nhau

Cách 2 : Chứng minh hai trong ba đường thẳng này cắt nhau và giao

điểm của chúng nằm ở trên đường thẳng thứ ba

V í dụ: Cho hình chóp S.ABCD, gọi AC n BD = o và M, N lần lượt là

hai điểm tùy ý trên 2 cạnh SA, SB

a) Chứng minh Ai = (OMN) n (SAD); A2 = (OMN) n (SBC)

b) Chứng minh Ai, SR, A2 đồng quy với R = AD n BC

s

Lời giải

a) Trong (SAB) gọi MN n AB = p

Trong (ABCD) gọi OP n AD = E và

OP n BC = F

Khi đó ta suy ra Ai = ME, A2 = NF

b) Trong (OMN) gọi Ai n A2 = Q

1.1.5 C hứng m inh đường th ẳ n g a song song với đường th ẳn g

b

P hương pháp:

Cách 1: Tìm (a) chứa a, b và sử dụng các định lý về quan hệ song song

trong m ặt phẳng như định lý Talet (đảo), định lý đường trung bình trong tam giác, hình thang , định lý hai đường thẳng cùng vuông góc

với đường thẳng thứ ba

Cách 2: Sử dụng định lý giao tuyến về quan hệ song song.

Cách 3: Sử dụng định lý hai đường thẳng cùng song song với đường

thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau

V í dụ: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang, A D //B C

Gọi M là trung điểm của SA, (MBC) n SD = N Chứng minh M N //A D

Lời giải

Ta có B C //A D ^ B C //(SA D )

Mặt phẳng (MBC) chứa BC mà B C //(SA D )

nên hai m ặt phẳng (MBC) và (SAD) cắt

nhau theo giao tuyến MN với M N //B C

V í dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, G là trọng

tâm A SAB, IA = IB, lấy M eAD sao cho AD = 3AM

a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC);

b) Qua M kẻ Đường thẳng song song với AB, và đường thẳng này cắt

1.1.7 H ai m ặt phẳng song song

a c ( a ) , a / / (/3)

P hương pháp: (a) / / (/3) <=> b c ( a ) , b/ / (/3)

a n b = o

V í d ụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi H, I, K

lần lượt là trung điểm của SA, SB, s c

a) Chứng minh (H IK )//(A B CD );

b) Gọi J = SD n (HIK) Chứng minh H IKJ là hình bình hành;

c) Gọi M = AI n DK, N = DH n CI Chứng minh (SM N)//(ABCD)

Lời giải

a) Vì IH //A B nên IH //(A B C D )

Vì IK //B C nên IK //(A B C D )

Suy ra (IH K )//(A B C D )

b) Vì (IH K )//(A B C D ) nên K J//C D

Vì K là trung điểm của s c =>■ J là trung

Suy ra IK là đường trung bình của A

MAD =>■ KM = KD Mà KS = KC nên suy ra tứ giác SMCD là hình

D

bình hành SM //C D (1)

Tương tự ta chứng minh được tứ giác SNAD là hình bình hành nên

SN //A D (2) Từ (1) và (2) suy ra (SM N )//(A BCD )

1.2 Quan hệ vuông góc trong hình chóp tứ giác

1 2 1 Chứng m inh đường th ẳn g vuông góc với m ặt phẳng

V í dụ: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, (SAB) và

(SAD) cùng vuông góc với (ABCD) Chứng minh:

V í d ụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm o ,

SA _L (ABCD) Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên

b) Theo câu a ta có BC T (SAB), mà AH T (SAB) nên BC T AH

Theo giả thiết thì SB _L AH và SB, BC c (SBC), SD n CD = D

Suy ra AKT(SCD)

c) Ta coó A SAB = A SAD (2 tam giác vuông) và AH, AK lần lượt là

s H S K

đường cao của 2 tam giác trên Suy ra —— = —— => H K //B D

Lại có BD T (SAC) (chứng minh câu a) Vậy HK T (SAC)

s

1 2.2 C hứng m inh hai đường th ẳn g a và b vu ôn g góc

Cách 5: Cho đường thẳng a / / ( « ) Nếu b _L (a) thì b i a

Cách 6: Nếu 1 đường thẳng vuông góc với hai cạnh của 1 tam giác thì

nó cũng vuông góc với cạnh còn lại

V í dụ 1: (Đ ề T S Đ H khối A - 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy

là hình vuông cạnh a Mặt bên (SAD) là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, p lần lượt là trung điểm của SB,

BC, CD Chứng minh AM _L BP

Lời giải

Gọi H là trung điểm của AD

Vì SAD là tam giác đều nên SH _L AD

Lại có (SAD) JL (ABCD) suy ra SH JL (ABCD)

V í dụ 2: (Đ ề T S Đ H khối B -2007) Cho hình chóp tứ giác đều

S.ABCD cạnh đáy bằng a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung

điểm của SA Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, BC Chứng minh

MN JL BD

Lời giải

Ta có SEAD là hình bình hành suy ra S E //A D và SE = AD

Suy ra SEBC là hình bình hành =>■ S C //E B

Gọi p là trung điểm của A, khi đó trong các A EAB, A ABC ta có:

M P //E B , P N //A C Từ đó suy ra (M N P)//(SA C ) (1)

Ta có BD JL AC và BD _L SH ( vì SH JL (ABCD)) =>• BD _L (SAC) (2)

Từ (1) (2) suy ra BD _L (MNP) =>■ BD _L MN (đpcm)

1.2.3 C hứng m inh hai m ặt phẳng vu ôn g góc

Cách 3: Gọi L Ì: ~ử là V T PT của (qí) và (/3), chứng minh = 0

V í dụ 1: (Đ ề th i T S Đ H khối B -2006) Cho hình chóp S.ABCD có

đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = a\/2 , SA = a và SA _L (ABCD)

Gọi M, N là trung điểm của AD, sc Chứng minh (SAC) _L (SMB)

V í dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm o ,

1.3 Bài toán th iết diện trong hình chóp tứ giác

1.3.1 T h iết diện của hình chóp với (P ) đi qua ba điểm không

xác định được giao tuyến với các m ặt này

Bước 3: Tiếp tục như trên tới khi các đoạn giao tuyến tạo thành 1 đa giác phẳng khép kín ta được thiết diện

Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận

V í dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là điểm bất kì nằm trên

canh sc (không trùng với s, C) Gọi N, p lần lượt là trung điểm của

AB, AD Tìm thiết diện của hình chóp với

1.3.2 T h iết diện của hình chóp với (P ), (P ) chứa đường th ẳn g

a và song son g với m ột đường th ẳn g b cho trước (a, b chéo nhau)

Phương pháp:

Bước 1: Chỉ ra (p) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song

Bước 2: Tìm một điểm chung M của hai m ặt phẳng

Bước 3: Khi đó (P) n (Q) = M t//a //b

Bước 4: Sử dụng các cách tìm thiết diện đã biết ta tìm giao tuyến của (P) với các m ặt còn lại của hình chóp

Bước 5: Dựng thiết diện và kết luận

V í dụ: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành, M là

trung điểm của s c , (p) là m ặt phẳng qua AM và song song BD Tìm

thiết diện của hình chóp khi cắt (P)

1.3.3 T h iết diện của hình chóp với (P ) qua m ột điểm và song

song với hai đường th ẳ n g cho trước

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điểm M € (P) n (Q)

Bước 2: Chỉ ra ( p ) //a hoặc b c (Q) Suy ra giao tuyến của (p) và (Q)

là đường thẳng qua M và song song với a hoặc b

Bước 3: Tiếp tục tìm giao tuyến của các m ặt khác của hình chóp với (p) bằng các cách đã biết

Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận

V í dụ: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang (A D //B C ), M là

điểm bất kì thuộc AB, (qí) là m ặt phẳng qua M và song song với AD và

SB Tìm thiết diện của hình chóp với m ặt phẳng (o)

Lời giải

T a c ó M e (a) n (ABCD)

Vì (a )//A D nên (a) n (ABCD) = Mx với

M x//A D Gọi N = Mx n CD

Suy ra (a) n (ABCD) = MN

Vì (a )//S B nên (a) n (SAB) = MP,

M P //S B

Tương tự ta có (a) n (SAD) = Px với

P x //A D .Gọi K = Px n SD

Suy ra (a) n (ABCD) = KP Lại có (a) n (SCD) = KN.

Vậy thiết diện là hình thang MNKP

1.3.4 T h iết diện của hình chóp với (P ) đi qua hai điểm và

song song với m ột m ặt phẳng cho trước

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điểm chung M của (P) và một m ặt phẳng nào đó của hình chóp

Bước 2: Chỉ ra (P )//(Q ) Tìm a = (p) n (Q), hoặc b = (p) n (Q) Khi

đó giao tuyến là đường thẳng qua M song song với a hoặc b

Bước 3: Dựng thiết diện và kết luận.

V í dụ: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang, CD < AB,

(a) là m ặt phẳng qua M trên cạnh AB và song song với (SAD) Tìm

thiết diện của hình chóp với (qí)

Lời giải

T a c ó M e (a)n (ABCD) v à M e (a) n (SAB)

Vì (a)//(S A D ) nên (a) n (ABCD) = MN, M N //A D

Tương tự ta có (a) n (SAB) = MK, M K //SA ;

(a) n (SCD) = NP, N P //SD ; (a) n (SBC) = KP

Vậy thiết diện là hình thang KMNP

1.3.5 T h iết diện qua m ột điểm và vu ôn g góc với m ột đường

th ẳn g cho trước

P hương pháp: Gỉa sử cần dựng thiết diện của một hình chóp cắt bởi

(P) đi qua một điểm M và vuông góc với đường thẳng d cho trước

B ước 1: Tìm hai đường thẳng a và b cắt nhau cùng vuông góc với d

B ước 2: Khi đó ( p )//(a , b).

B ước 3: Tìm giao tuyến của (P) với hình chóp bằng cách tính đã biết

B ước 4: Dựng thiết diện và kết luận.

Chú ý: Nếu đã có sẵn 2 đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau mà cùng

vuông góc với d thì ta chọn (p) song song với a (hay chứa a) và b song

song với (P)(hay chứa b).Rồi thực hiện các bước còn lại

V í dụ: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình chữ nhật, SA _L (ABCD)

Gọi (a) là m ặt phẳng qua A và vuông góc với SB Xác định thiết diện

khi (o) cắt hình chóp S.ABCD

Suy ra (o) n (SAB) = AH;

(a) n (SAD) = AD; (a) n (ABCD) = AD.

Ta có (a) n (SBC) = Hx với H x//B C

Gọi I = Hx n SC suy ra (a) n (SBC) = HI

Vậy thiết diện cần tìm là hình thang vuông AHID

1.3.6 T h iết diện chứa m ột đường th ẳn g a và vu ôn g góc với

m ột m ặt phẳng

Phương pháp:

Bước 1: Chọn một điểm A nằm trên đường thẳng a sao cho qua A có

thể dựng được đường thẳng b vuông góc với (a ) một cách dễ nhất

Bước 2: Khi đó, mp(a, b) chính là (a ) cần dựng.

Bước 3: Tìm giao tuyến của (a) với hình chiếu bằng cách đã dựng

Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận

V í dụ: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình chữ nhật, SA _L (ABCD) Gọi (p) là m ặt phẳng qua I và vuông góc với (SBC) Tìm thiết diện của

1.4 Các bài toán về góc trong hình chóp tứ giác

1.4.1 G óc giữa hai đường th ẳn g

Phương pháp:

Cách 1: (D ù n g định nghĩa) Góc giữa hai đường thẳng trong không

gian là góc giữa đường thẳng a ’, b ’ cùng đi qua một điểm và lần lượt

song song với a và b : a/ / a'

V í dụ 1: (Đ ề T S Đ H khối A -2004) Cho hình chóp S.ABCD có đáy

là hình thoi cạnh \/5, AC = 4 và chiều cao s o = 2\/2, AC n BD = o

Gọi H là trung điểm sc Tìm góc giữa 2 đường thẳng SA và BH

V í dụ 2: (Đ ề T S Đ H -C Đ khối B -2008) Cho hình chóp S.ABCD có

đáy là hình vuông cạnh bằng 2a, SA = a, SB = a\/3, (SAB) _L (ABCD)

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC Tính cos (SM, DN)

Lời giải

Ta có SA = a, SB = a\/3 , AB = 2a

Suy ra A SAB vuông tại s và S A B

Vì (SAB) T (ABCD) nên nếu kẻ

c) Ta có BD T (SAC) suy ra (SAC) T (SBD) theo giao tuyến s o

Trong (SAC) hạ s o T AA ị suy ra AA 1 ± (SBD)

^ (AC, (SBD)) = (AC, A A i) = Ấ ^AC = a [ẨỒ.

Suy ra cos A ịA O = ——1 = ~A= - ~ — = \ — =>■ A ị AO = arccos-i/ —

H là hình chiếu của M trên (p ) J

V í dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

SA _L (ABCD), SA = a Tính góc giữa hai m ặt phẳng :

V í dụ 2 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, cạnh

b) Ta có s G (SAB) n (SCD), A B //C D

4 s e A, A //A B //C D

Qua s kẻ mp (7 ) _L A thì (7 ) cắt (SAB) và (SCD) theo 2 giao tuyến

SM, SN cùng vuông góc với A tại s, khi đó (7 ) chính là (SMN) vuông góc với AB tại trung điểm M và vuông góc với CD tại trung điểm N

Suy r a O G (SMN) và M S N = ¡3 là góc giữa (SAB) và (SCD).

Vì A SMN cân tai s và góc S M O = a = 45°.

Suy ra M S N = /3 = 180°-2-45° = 90°.

1.5 Các bài toán về khoảng cách trong hình chóp

tứ giác

1.5.1 K hoảng cách từ m ột điểm đến m ột đường th ẳn g

P hương pháp:

B ị Xác định hình chiếu của M trên A là H suy ra MH = d.

B 2 Gắn vào việc tính đường cao trong tam giác nào đó sau đó sử dụng

phương pháp cân bằng diện tích

B 3 Sử dụng công thức tính khoảng cách của hình học tọa độ:

d (M, A ) = ^^ ị-^ Ỳ Ị— với A e A và ~ứ là VTCP của A.

V í dụ 1: (Đ ề dự bị khối B -2002) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là

hình vuông cạnh a, SA _L (ABCD), SA = a Gọi E là trung điểm của

CD Tính theo a khoảng cách từ s đến BE

Lời giải

Hạ AH _L BE mà SA _L BE

Suy ra BE _L (SAH)

=* BE _L SH =* d (S, BE) = SH

Kéo dài BE cắt AD tại M

D là trung điểm của AM và AM = 2a

Vì A ABM vuông tại A nên

nên S H 2 = S A 2+ A H 2.

.2

4ữ2

~ 5 ~ '

V í dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm o , cạnh bên

2a, A B C = 60°, SA = y/2&, SA JL (ABCD).

Suy ra d (O, SC) = OI

Vì A SAC vuông cân tại A (SA = AC = 2a) nên

A OIC vuông cân tai I, suy ra d (O, SC) = OI

6a2 3a2 9a2

Trong A vuông OJH ta có O H 2 = O J 2+ J H 2 =

Q

Suy ra OH = V -