BTVN BÀI 04: CÁC HÌNH CHÓP TAM GIÁC KHÁC.. Tính thể tích hình chóp S.ABC.. Tính thể tích tứ diện theo x.. Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất... Mặt phẳng qua MN // SC chia tứ diện th
Trang 1BTVN BÀI 04: CÁC HÌNH CHÓP TAM GIÁC KHÁC.
Bài 1: SABCD có đáy là tâm giác cân tại A, BC =a, BAC =α, các cạnh bên nghiêng trên đáy
một góc α Tính thể tích hình chóp S.ABC
- Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)
- Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy ⇒ H là tâm
đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
.sin 2
ABC
mà BC2 = 2AB2 - 2AB2cosα = 2AB2(1 - cosα) = a2
cos
1 − α
a
⇒
2 sin 2 2 1 cosa a4 cos2
ABC
α
HA = R = 2sinBCα = 2sinaα
SH AH
3 cot 2
a
α α
∆ Bài 2: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1
a Tính thể tích tứ diện theo x
b Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất
Gọi H là Hình chiếu của D lên (ABC) vì
DA = DC = DB = 1
⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp
Trang 2∆ABC mà ∆ABC cân H ∈ CC’ với C’ là trung điểm AB
4
4
4 2
1 2
4 2 2 2
1 1
4 cos sin 4 sin
x x
C x
x x C C
−
−
=
=
=
⇒Tam giác vuông HCD có:
2
2 4
3 4
1
1
x x
−
− =
2 4
3
x x
−
−
3 . 3.4 4 4 x 12x 3
ABC
x
Gọi M là trung điểm của CD ⇒ CD ⊥ (ABM)
Vì ∆ACD và ∆BCD đều ⇒ AM = BM = 2
3
VABCD = 2VCBMA = 2.31CM.S∆ABC = S ABM
∆ . 2
1 3 2
S∆ABM = 21 MC’.AB =
12x ( 23)2 (2x)2 4x 3 x2
−
= +
VABCD = x 3 x2 121 3 x2 x
4 3
b. VABCD =121 3 − x2 x ≤ 121.3−x22+x2 =18
Dấu “=” xảy ra x2 = 3-x3 x = 2
3 và thể tích lớn nhất là
8
1
Bài 03: Cho tứ diện SABC lấy M, N thuộc cạnh SA, SB sao cho
2
1
=
MA
SM
NB
SN
Mặt phẳng qua MN // SC chia tứ diện thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần này
Dễ thấy thiết diện là hình thang MNEF (với MF // NE)
Trang 3Đặt V = VSABC, V1 = VMNEFCS, V2 = VMNEFAB
V1 = VSCEF + VSFME + VSMNE
= CB CE = 31.32 = 92
CA CF V
V SCEF
SA SE SE SM V
V
SFEA SFME
CA FA S
S S S S
S V
V
ABC CEA CEA FEA ABC
FEA SFEA
V SFME
27
4 9
4 3
1 =
=
SA SM V
V
SABE SMNE
CE EB S
S S S S
S V
V
ABC CEA CEA ABE ABC
ABE SABE
27V ⇒ V1 = 2
9V + 4
27V + 2
27V = 4
5 2
V V
Bài 04: Cho hình chóp SABC có tất cả các góc phẳng ở đỉnh A và B của tam diện đều bằng α
AB = a Tính thể tích hình chóp SABC
- Dễ thấy∆ SAB, ∆CAB là các tâm giác cân tại S và C
AB CE
⊥
⊥
⇒VSABC = VASEC + VBSEC = 13S∆SEC.(AE+BE) = 3
1S∆SEC.AB
∆SEC cân tại E vì ES = EC (∆SAB = ∆ACB (g.c.g))
Gọi F là trung điểm SC ⇒ EF⊥SC
∆SBC cân tại B vì BC =BS (Vì ∆SAB = ∆CAB)
FS = FC ⇒ FBC = α3
Tam giác vuông EBC có CE =
2tan
α α
Trang 4
Tam giác vuông FBC có BC = CE2 + EB2 (cos cos2 )
2cos
a
a EB
FC
⇒ FC = BC sin 2
α
= 2cos sinα2 α
a
Tam giác vuông EFC có
EF2 = EC2 - FC2 = 2 2 2sin22 2 1 ( 2 2 )
4 tan 4cos2 4 cos2 sin sin 2
a
α
α
S∆SEC = 2
1
2 2
cos
2 sin sin sinα
α
α
a
−
2 2
2 cos
2 2 sin sin sin
a
2 2
2 cos
12
3 2 sin sin sin
α α
a
====================Hết==================
Giáo viên: Trịnh Hào Quang Nguồn: Hocmai.vn
