BÀI 01: THỂ TÍCH HèNH CHểP TAM GIÁC ĐỀU Khối đa diện đầu tiờn chỳng ta nghiờn cứu đú là “ Khối chúp tam giỏc” hay hỡnh tứ diện, một trong những khối chúp tam giỏc đặc biệt đú là hỡnh chú
Trang 1Hocmai.vn – Ngụi trường chung của học trũ Việt 1
CHƯƠNG I: THỂ TÍCH KHỐI CHểP TAM GIÁC
BÀI 01: THỂ TÍCH HèNH CHểP TAM GIÁC ĐỀU
Khối đa diện đầu tiờn chỳng ta nghiờn cứu đú là “ Khối chúp tam giỏc” hay hỡnh tứ diện, một trong những khối chúp tam giỏc đặc biệt đú là hỡnh chúp tam giỏc đều Sau đõy sẽ là một số tớnh chất
cơ bản nhất trong hỡnh chop tam giỏc đều, cỏc tớnh chất này cỏc em hoàn toàn được sử dụng mà khụng cần chứng minh lại trong cỏc bài toỏn về tớnh thể tớch:
I Cỏc tớnh chất:
Chỳ ý khi vẽ hỡnh: Khi vẽ hỡnh chúp tam giỏc đều cỏc bạn nờn vẽ đỏy trước, trong khụng
gian ta tưởng tượng đỏy là tam giỏc thụng thường bởi vỡ nếu coi đỏy là tam giỏc đều ta sẽ dẫn
đến khú nhỡn hỡnh Sau đú xỏc định tõm của đỏy (giao của 3 đường trung tuyến, đường cao, đường phõn giỏc trong, đường trung trực) Từ đỏy ta dựng đường thẳng vuụng gúc với mặt đỏy
Trờn đú ta xỏc định đỉnh và dựng cỏc cạnh bờn ta sẽ cú hỡnh chop tam giỏc đều dễ nhỡn
1 Tớnh chất 1:
Trong hỡnh chúp tam giỏc đều thỡ đỏy là tam giỏc đều và 3 mặt bờn là cỏc tam giỏc cõn và bằng nhau
- ∆ABCđều
- SA SB SC= =
2 Tớnh chất 2:
Trong hỡnh chúp tam giỏc đều, hỡnh chiếu vuụng gúc hạ từ đỉnh xuống đỏy trựng với tõm của đỏy
Định lớ thuận:
S ABC
⊥
CM: Xột cỏc tam giỏc SOA, SOB, SOC cú SO chung,
0
Vậy ∆SOA= ∆SOB= ∆SOC⇒OA=OB=OC⇒ĐPCM
Định lớ đảo:
SO
à â đáy
S ABC
ABC
O l t m
Trang 2CM: Do O là tâm nên ta có AO⊥BC Mặt khác SBC∆ cân tại S và N là trung điểm của BC nên SM⊥BC ⇒BC⊥(SAN)⇒SO⊥BC Chứng minh tương tự ta cũng có
SO⊥AB⇒SO⊥ ABC ⇒ PCM
3 Tính chất 3:
Trong hình chóp tam giác đều thì các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau:
Do SOA∆ = ∆SOB= ∆SOC
4 Tính chất 4:
Trong hình chóp tam giác đều thì góc tạo các mặt bên với đáy là bằng nhau
0
Do SOM∆ = ∆SON= ∆SOP
Sau đây sẽ là các ví dụ minh hoạ cho việc ứng dụng các tính chất trên vào trong tính thể tích
II Các ví dụ minh hoạ:
1 Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a Cạnh bên bằng 2a Tính thể tích hình chóp S.ABC
Giải
Ta có:
2 2
2
ABC
∆
Áp dụng công thức : 1
3
V= Bh
2
.
S ABC
V
Trang 32 Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng 2a hợp với đáy ABC một
góc là 600 Tính thể tích hình chóp S.ABC
Giải
Ta có: (SA, (ABC))=(SA AO, )=SAO=600
0
0
3
.
2a sin 60 3
2 os60
S ABC
a
a
⇒
3 Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a Góc tạo bởi đáy và mặt
bên là 450
Giải:
⇒ ∆SOM vuông cân tại M
2
2
3
⇒
Ta có: SM2+MB2 =SB2 ⇔2x2+3x2=a2
5
a x
3
V
4 Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB=a Các cạnh bên SA, SB SC
hợp với đáy một góc 600 Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng đi qua Bc vuông góc
với SA Tính thể tích hình chóp S.DBC
Giải
- Xác định điểm D:
Ta có: SO BC BC (SAO) BC SA
⊥
⊥
Vậy trong tam giác SAB (hoặc ∆SAC) ta dựng BD vuông góc với SA (D thuộc SA)
Trang 4Vậy mặt phẳng đi qua BC và vuông góc với SA là (DBC) và D là giao điểm cần tìm
- Tính V .
S DBC :
Áp dụng công thức tỉ số thể tích vào hình chóp ta có:
S DBC
S ABC
Trong tam giác vuông SOA ta có:
0
.2
SA
2
3
a
====================Hết==================