Toán 12 học kì 1 phần 2

Phương pháp giải Số tiền lãi của kỳ hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi

TÀI LIỆU HỌC TẬP

HK1 TOÁN 12

2021HDEDUCATION

1) 𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦

2)

x

x y y

a a a



3) a b x x( )a b x

4)

x x

𝑎 𝑥 = 𝑎−𝑥7)

a

a a



9) a0 1;a1  a a

Công thức lũy thừa

Lũy thừa với số mũ thực

số mũ

cơ sốĐọc là: a mũ α

4



4

12

 

Hữu tỉ

mrn

Chú ý điều kiện của cơ số a đối với từng dạng số mũ α

Không tồn tại lũy thừa 00

HDedu - Page 1

.1

b b

Đọc là: Lôgarit cơ số a của b

 Nếu a = 10, ta có lôgarit thập phân:

Kí hiệu: log b10 ; logb; lgb

 Nếu a = e, ta có lôgarit tự nhiên

Kí hiệu: (Lôga Nê-pe): log be ; lnb

Công thức 1,2

1

1

2 log log1000 3log log 16

5

6 4

4

log 4 log 10

22x 1 

56



Với giá trị nào của a thì biểu thức  2 xác định?

6log 2a a

2017log 9 a  2a 3 

Bài 1 Với giá trị nào của x để biểu thức   có nghĩa:

Bài 2. Cho biểu thức     Giá trị nào của a để biểu thức trên xác định?

Bài 3. Rút gọn biểu thức 2 24 7 ,

Bài 4. Rút gọn biểu thức P 2loga12 3loga5 loga15 loga150

A P loga8 B P log8a C P  loga8 D P loga6

3 Bài tập tự luyện

HDedu - Page 5

Sử dụng các công thức lũy thừa và công thức lôgarit

2 Ví dụ minh họa

Giá trị của biểu thức bằng?

4 0,75

2log a log a

Bài 1. Cho   Khi đó bằng:

Bài 2. Giá trị của biểu thức bằng:

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức lũy thừa, lôgarit

1 Phương pháp giải

HDedu - Page 6

Bài 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Bài 4. So sánh   và , với mọi số nguyên n > 1

2 Bài tập

HDedu - Page 7

Đặt a log 3 2 và b log 3 5 Hãy biểu diễn log 456 theo a và b?

2a 2ablog 45

Bài 1 Rút gọn biểu thức 2 2  2 ta được:

1 2 1

a abP

Bài 3 Cho hai số thực a và b, với 1 < a < b Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A log b 1 log aa   b B 1 log b log a a  b C log a log b 1b  a  D log a 1 log bb   a

Bài 4 Viết biểu thức về dạng và biểu thức về dạng Tính

4

2 28

x2

3

2 84

5324

2017576

Bài 12 Cho biểu thức 4 , với các số thực dương a và b Rút gọn P được kết quả

log e

HDedu - Page 10

Với α không nguyên thì D0; Đạo hàm: y  x  x 1.

Hàm số y x  (α > 0) Hàm số y x  (α < 0)Luôn đồng biến

Luôn đi qua điểm  1;1

Đồ thị: Luôn nằm trong góc phần tư thứ I

1 Hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa có dạng y x,  

Tập xác định: Với α nguyên dương thì D = 

Với α nguyên âm hoặc bằng 0 thì D \0

y

x a

 Đồng biến  a 1 Nghịch biến   0 a 1 Tiệm cận: x0 (trục tung) Điểm cố định: A(1;0) Hình dáng

Hàm số mũ: ya x

(a0, a1)

Tập xác định D

Chiều biến thiên

Cho hàm số ya x có đồ thị ( )C Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A Đồ thị ( )C luôn đi qua M(0;1) và (1; )a B Đồ thị ( )C có tiệm cận y0

C Đồ thị ( )C luôn nằm trên trục hoành D. Hàm số luôn đồng biến

Cho hàm số ylog2x Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Đạo hàm của hàm số là ' 1

.ln 2

y x

 B Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm tiệm cận đứng

C Tập xác định của hàm số là ( ; ) D Hàm số đồng biến trên khoảng (0;)

Cho hàm số ( ) :  3 2

x

C y  Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:

A Hàm số ( )C luôn nghịch biến trên

B Đồ thị của hàm số ( )C có tiệm cận ngang là trục hoành

C Đồ thị của hàm số ( )C đi qua điểm M(0;1)

D Hàm số đã cho có đúng 1 cực trị

HDedu - Page 12

Đồ thị của hàm số nào sau đây không có đường tiệm cận ngang

Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?

Trong hình vẽ bên có đồ thị các hàm số ya x,yb y x, logc x Hãy chọn mệnh đề đúng

 

2x 2 2x

2ey

 

2x 2 2x

3ey

Ví dụ 1: Hình bên là đồ thị của ba hàm số y log x a , y log x b , y log x c (0 a, b,c 1  ) được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Bài 2 Cho hàm số y x ln x   1 x 2 1 x 2 Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A Hàm số xác định trên khoảng 0; B Hàm số tăng trên khoảng 0;

C Hàm số giảm trên khoảng 0; D Hàm số có đạo hàm y ln x  1 x 2

Bài 3 Trong bốn hàm số y x 1; ; ; , có mấy hàm số mà đồ thị của

Bài 5 Đồ thị sau của hàm số nào?

y 3

x

1y2

 

   

Bài 6 Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

A y log x 1 2  B y log x 1 2   C y log x 1 3  D y log x 1 3  

x 1 ln 5

 

2xy

 

2x ln 5y

x 2

 

2xy

HDedu - Page 21

Ví dụ 3: Cho phương trình: 23x23 32x 1  Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.

B Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên.

C Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.

D Phương trình vô nghiệm.

Bài 2 Cho phương trình e3 2x e 1 2x 9 0, khẳng định nào sau đây đúng?

A Phương trình có một nghiệm B Phương trình vô nghiệm.

C Phương trình có hai nghiệm dương D Phương trình có hai nghiệm âm.

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Giải phương trình mũ bằng phương pháp đưa về cùng cơ số và lôgarit hóa

1 Phương pháp giải

HDedu - Page 28

Phương trình có dạng A.a2x B.ax C 0 Đặt ax t,t 0 .

Phương trình có dạng A.a2x B.a bx xC.b2x 0

  

 

  t 0 Phương trình có dạng A.ax B.bx C 0 với a.b = 1

Ví dụ 2: Phương trình có hai nghiệm Tính

 Đưa về dạng phương trình tích.

 Phương pháp hàm số (thường sử dụng khi gặp phương trình mũ phức tạp)

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tổng các nghiệm của phương trình 12.3x 3.15x5x 1  20 là:

A log 5 13  B log 53 C log 5 13  D log 3 15 

Ví dụ 2: Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

Một số phương pháp khác để giải phương trình mũ là:

Dạng 4: Phương trình mũ chứa tham số

1 Ví dụ minh họa

HDedu - Page 30

Bài 10 Phương trình 2x 3  3x2  5x 6 có hai nghiệm x , x1 2, trrong đó x1x2, chọn phát biểu đúng?

A 3x12x2 log 83 B 2x13x2 log 83 C 2x13x2 log 543 D 3x12x2 log 543

Bài 11 Tổng lập phương các nghiệm của phương trình 2x2.3x6x 2 là:

Phương trình     , với mọi

 

f x 0log f x b

A 0 B 80 C 9 D

9

829

A 4 B 1 C 64 D

4

164

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Giải phương trình lôgarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số và mũ hóa

1 Phương pháp giải

HDedu - Page 40

Ví dụ 1: Gọi nghiệm của phương trình log x.log 2x 12 3   2log x2 là x1 x2 Khi đó, giá trị của

là:

2x 5x 3

A 10 B 15 C 20 D 30

A Lớn hơn 0 B Nhỏ hơn 1 C Là số nguyên tố D Là số âm.

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình 2 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1

A m 2 B m C m < 2 D m 2

Ví dụ 4: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình 1  2  có nghiệm trên

2

log m 4x 2log x 2 0đoạn  2;5

A m20;69 B m24;69 C m10;70 D m10;70

Dạng 3: Giải phương trình lôgarit bằng các phương pháp khác

1 Phương pháp giải

Một số phương pháp khác để giải phương trình lôgarit là:

Dạng 4: Phương trình lôgarit chứa tham số

1 Ví dụ minh họa

HDedu - Page 42

Ví dụ 2: Phương trình log2x2-2x 17  2log 45x1  6 có nghiệm thỏa mãn:

A Số nguyên âm B Số chính phương C Số vô tỉ D Số nguyên tố.

Bài 5 Điều kiện xác định của phương trình  2 là:

2log log 2 x  0

A m 2 B m 1 C m = 1 D m = 2

Bài 12 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình  x   x  có

log 5 1 log 2.5 2 mnghiệm x 1

A m2; B m3; C m  ; 2 D m  ;3

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1 Điều kiện xác định của phương trình log2x 316 2 là:

HDedu - Page 43

       

f x g x

• Nếu 0 a 1  thì af x ag x  f x g x  (ngược chiều nếu 0 a 1  )

• Nếu a chứa ẩn thì f x  g x        (Điều kiện )

a a  a 1 f x g x  0 a 0Bất phương trình lôgarit:

• Nếu a 1 thì       (cùng chiều nếu )

   

g xlog f x log g

10;

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình 16x 4x  6 0 là:

Bài 3 Cho bất phương trìnhxlog x 4 2  32 Tập nghiệm của bất phương trình là:

A Một khoảng B Nửa khoảng C Một đoạn D Tập rỗng

Bài 4 Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn bất phương trình  2x ?

Ví dụ 1: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình  2 vô nghiệm.

Bài 1 Tập nghiệm của bất phương trình x1 x 11 là:

A x 3 B x 2 C x 1 D x 1

Bài 8 Bất phương trình   x   có tập nghiệm là:

log log 9 72 1

A S log3 73; 2 B Slog3 72; 2 C S  ; 2 D Slog3 73; 2

Câu 9 Tập nghiệm của bất phương trình   2 là:

3log 125x log x log x

Bài 12 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

có nghiệm đúng với mọi x

Bài toán lãi đơn S A 1 r.n   

Công thức tính lãi đơn S A 1 r.n   

Trong đó: S là số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn

A là tiền gửi ban đầu

n là số kì hạn tính lãi

r là lãi suất định kì tính theo %

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ: Bà An gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi suất đơn 7% một năm thì sau 5 năm số tiền bà An

nhận được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?

A.13,5 triệu đồng B 16 triệu đồng C 12 triệu đồng D 12,7 triệu đồng.

Công thức tính lãi kép  n

S A 1 r Trong đó: S là số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn

A là tiền gửi ban đầu

n là số kì hạn tính lãi

r là lãi suất định kì tính theo %

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 7,5% một năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn Hỏi sau

bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?

A 9 năm B 10 năm C 8 năm D 7 năm.

A 92576000 đồng B 80486000 đồng C 92690000 đồng D 90930000 đồng.

A 13 năm B 14 năm C 11 năm D 10 năm.

Dạng 2: Bài toán lãi kép

1 Phương pháp giải

Số tiền lãi của kỳ hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau

HDedu - Page 72

Ví dụ 3: Một người gửi 350 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6,7% một năm Biết rằng nếu

không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, người đó nhận được số tiền hơn 800 triệu đồng bao gồm cả gốc

và lãi? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra

Ví dụ 2: Ông A gửi tiết kiệm 75 triệu đồng vào ngân hàng theo kì hạn 3 tháng và lãi suất 0,59% một

tháng Nếu ông A không rút lãi ở tất cả các định kỳ thì sau 3 năm ông A nhận được số tiền là bao nhiêu?

1 Phương pháp giải

Công thức tăng trưởng dân số m n r

A A e Trong đó: Am là dân số năm m

Ví dụ: Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức tăng trưởng mũ Biết rằng tỉ lệ tăng dân số thế

giới hàng năm là 1,32%, năm 2003 dân số thế giới vào khoảng 7095 triệu người Dự đoán dân số năm 2010?

A 7781 triệu người B 7782 triệu người C 7783 triệu người D 7784 triệu người.

tháng, số tiền người đó nhận được sau kn tháng là  k

Ví dụ: Một người được lãnh lương khởi điểm là 3 triệu đồng/tháng Cứ 3 tháng thì lương người đó được

tăng thêm 7% một tháng Hỏi sau 36 tháng thì người đó nhận được lương tất cả là bao nhiêu?

A 700triệu đồng B 623 triệu đồng C 954triệu đồng D 644triệu đồng

Dạng 3: Bài toán tăng trưởng dân số

Ví dụ 1: Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền A theo hình thức lãi kép với lãi

suất 0,6% mỗi tháng Biết sau 15 tháng người đó có số tiền là 10 triệu đồng Hỏi số tiền A gần với số tiền nào nhất trong các số sau?

A 535 000 đồng B 635 000 đồng C 613 000 đồng D 643 000 đồng.

Ví dụ 2: Hàng tháng, anh A gửi vào ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất 0,6% mỗi tháng Hỏi sau ít nhất

bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính lãi) thì anh A được số tiền cả lãi và gốc là 100 triệu trở lên?

Ví dụ: Mẹ Lam gửi ngân hàng 20 tỷ đồng với lãi suất 0,75% mỗi tháng Hàng tháng vào ngày ngân hàng

tính lãi, mẹ Lam đến ngân hàng rút 300 triệu đồng để chi tiêu Hỏi sau 2 năm số tiền còn lại trong ngân hàng là bao nhiêu?

đầu hoàn nợ số tiền là X đồng, hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng.

Ví dụ 1: Ông Minh vay ngắn hạn ngân hàng 200 triệu đồng, với lãi suất 12% một năm Ông muốn hoàn

nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kề từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay Hỏi theo cách đó, số tiền mà ông Minh sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông Minh hoàn nợ

A m 67 (triệu đồng) B m 69 (triệu đồng) C m 70 (triệu đồng) D m 68 (triệu đồng)

Ví dụ 2: Anh Ba vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với lãi suất 0,9% một tháng, mỗi tháng trả

15 triệu đồng Sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ?

A 40 tháng B 50 tháng C 45 tháng D 48 tháng.

Bài 1 Anh B gửi 27 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn là một quý, với lãi suất 1,85%

một quý Hỏi thời gian nhanh nhất là bao lâu để anh B có được ít nhất 36 triệu đồng tính cả vốn lẫn lãi?

A 19 quý B 15 quý C 4 năm D 5 năm.

Bài 2 Đầu mỗi tháng chị N gửi vào ngân hàng số tiền 3 tỷ đồng Sau 1 năm chị N nhận được số tiền cả

gốc và lãi là 40 tỷ đồng Hỏi lãi suất ngân hàng là bao nhiêu phần trăm mỗi tháng?

A 1,51% B 1,52% C 1,71% D 1,61%.

Bài 3 Bố Lan gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,7% mỗi tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng

tính lãi, bố Lan rút một số tiền như nhau để chi tiêu Hỏi số tiền mỗi tháng bố Lan rút ra là bao nhiêu để sau 5 năm thì số tiền vừa hết?

A 300 000 đồng B 450 000 đồng C 400 000 đồng D 409 000 đồng.

Bài 4 Mẹ Lê vay trả góp ngân hàng số tiền 50 triệu đồng với lãi suất 1,15% một tháng trong vòng 4 năm

thì mỗi tháng mẹ Lê phải trả bao nhiêu tiền thì hết nợ?

CHUYÊN ĐỀ

3 RDiện tích xung quanh : S xq  .R l

h2R2 l2

Góc là góc ở đỉnh của hình nón, được tạo bởi hai đường sinh đi qua

đường kính

OM : đường sinh của hình nón ( l )

thì OI là đường cao của hình nón

IM: là cạnh nối từ tâm đến điểm bất kì, được gọi là bán kính đáy ( R )

Diện tích toàn phần : S tpS xqS day

O: đỉnh của hình nón

I : tâm đáy của hình nón

M : là điểm bất kì nằm trên đường tròn dưới đáy

OI : là trục của hình nón Giả sử coi hình nón với vai trò là hình chóp

Công thức :

S đáy = .R2 Chu vi đáy:C d 2 r 

3 S đáy nhân với chiều cao =  

HDedu - Page 77

Câu 1 : Cho hình nón có đường cao bằng 3cm và đường sinh bằng 2cm Diện tích đáy của hình nón là :

Câu 3 : Trong không gian cho OAB vuông tại O có OA4;OB3

a) Diện tích xung quanh hình nón là:

Khi OAB quay quanh cạnh góc vuông

OA thì tạo thành một khối nón tròn xoay

  Tính độ dài đường sinh nhận được khi quay quanh trục AB

Câu 2 : Trong không gian cho ABC vuông tại A, AB a, AC a 3

5

Câu 4 : Cho hình nón có thể tích là 96 , tỉ số giữa đường cao và đường sinh là

Tính diện tích xung quanh nón vừa cho

Câu 5: Một hình nón có đường cao a 3 và bán kính mặt đáy Ra được cắt ra theo 1 đường sinh rồi trải ra trên mặt phẳng ta được một hình quạt Tính góc tâm  của hình quạt đó

Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a Diện tích xung quanh hình nón là:

Cho ABO vuông tại , O  BAO 30 , AB a , quay ABO quanh trục AO ta được hình nón

có diện tích xung quanh bằng:

Câu 1 Cho ABO vuông tại , O  BAO 30 , AB a , quay ABO quanh trục AO ta được hình nón có diện tích xung quanh bằng:

Thiết diện qua trục của hình nón thông thường hay gặp ở một số dạng như:

 Thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân: AB SA 2

 Thiết diện qua trục là một tam giác đều: AB SA SB 

 Thiết diện qua trục có góc ở đỉnh (góc  ) bằng số độ cho trước…

Thiết diện của khối nón

1 Phương pháp giải

Trường hợp 1: Thiết diện qua trục của hình nón: mp P đi qua trục của hình nón và cắt mặt nón theo 2 đường sinh SA,SB (AB là đường kính đáy) Thiết diện là tam giác cân SAB

Trong hình nón có hai kiểu thiết diện:

Thiết diện đi qua trục của hình nón Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón Thiết diện vuông góc với trục và song song với đáy

đường sinh SA SB, (AB là dây cung bất kì của đáy) Thiết diện là tam giác cân SAB

Kẻ OH  AB thì H chính là trung điểm của AB

Góc giữa mặt phẳng SAB với đường tròn đáy là

Thiết diện được hiểu là một khối hình có một mặt phẳng cắt ngang qua, phần giao của khối hình và mặt phẳng được gọi là thiết diện

HDedu - Page 81