Toán 11 học kì 2 2122

 Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau..  Độ dài của vectơ là độ dài củ

TÀI LIỆU

HDEDUCATION2022

HỌC TẬP

HK2TOÁN11

+) Cỏch 2: Cụng thức tổng quỏt: U n 

+) Cỏch 3: Cụng thức truy hồi:

 1

n u

 1 !2

- Viết 5 số hạng đầu tiờn

- Chứng minh rằng: dóy số cú số hạng tổng quỏt là: u n 3n4 Tỡm số hạng tổng quỏt của cỏc dóy:

3

11

trong đó u n = u(n) hoặc viết tắt là (u n ), và gọi u1 là số hạng đầu, u n là số

hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số

Số liền sau luôn lớn hơn số liền trước nó u n1 u n

 Cách chứng minh dãy số tăng

1 1

01

u u

+) Dãy số giảm:

Số liền trước luôn lớn hơn số liền sau u n1u n

 Cách chứng minh dãy số giảm:

1 1

01

u u

n d) u n sinncosn

Dạng 2 Dãy số tăng, giảm

+) Dãy số tăng:

Dạng 3 Dãy số bị chặn

Ví dụ 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1 1 1 1 1; 2; 3; 4; 5; Số hạng tổng quát của dãy số này là:

Câu 2 Tìm công thức tính số hạng tổng quát untheo n của dãy số sau 1

Dạng 2: Dãy số tăng, giảm, bị chặn

1 Phương pháp giải

Cách 1: Sử dụng kiến thức phần lí thuyết trọng tâm

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS

u

2

2, n *)hay uk – 1 + uk + 1 = 2uk

HDedu - Page 5

1 n n

n(u u )S

2

1 n

n[2u (n 1)d]

S

21

1 1

1

14u

d5

u (1 q )S

Ví dụ 1: Cho dãy số 3; 3; 3; 3; 3 ; Khẳng định nào sau đây là sai?

D Dãy số này là dãy số giảm.

Ví dụ 2: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng?

9u

Ví dụ 2: Cho một cấp số cộng có công sai âm, số hạng thứ tư bằng 11 Hiệu của số hạng thứ ba và số

hạng thứ sáu bằng 6 Hỏi 45 là tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên?

Câu 1 Cho cấp số nhân 1;a; 1 Giá trị của a là:

12

Câu 4 Tìm tích các số dương a và b sao cho a, a 2b, 2a b  lập thành một cấp số cộng và

C Thứ bảy D Không phải là số hạng của cấp số.

Câu 6 Cho cấp số nhân  un , biết u15; u5 405 và tổng Sn 1820 Cấp số nhân này có bao nhiêu số hạng?

Câu 10 Cấp số nhân 1 2 3 có công bội và Tính tổng

Câu 11 Tìm công sai của cấp số cộng sau 5 , biết công sai là một số dương

 

n n

Chú ý:

0

lim0

a a

Nếu biểu thức có dạng phân thức

 chia cả tử và mẫu cho n

HDedu - Page 19

Giới hạn chứa căn

n

n

n n

6516

Ví dụ 4: Giá trị của giới hạn lim 30 4n3  35n bằng:

Ví dụ 5: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có giá trị bằng ?

A lim 2n45n37n B lim 1 5n 2n3   3

C lim 3n 32n 5  D lim 2n cos n 2 23n2

Trắc nghiệm giới hạn của dãy số

1 Phương pháp giải

Cách 1: Sử dụng công thức

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS

HDedu - Page 21

3 Bài tập tự luyện

Câu 1 Giới hạn của dãy số  un , với là:

4 n

3n nu

2n 1



n 2lim

n 1





2 2

3n n 5lim

3 5.4lim

C Giá trị của m là một số dương.

D Giá trị của m thỏa mãn bất phương trình 2x26x 2 0 

n

nu4



Câu 1 Cho giới hạn với là phân số tối giản, b > 0 Giá trị của

Câu 2 Cho giới hạn 2 2 Giá trị a là nghiệm của phương trình nào dưới đây?

Câu 3 Tìm giới hạn của dãy số  , biết

Câu 4 Biết giới hạn Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 5 Cho dãy số n Tìm giá trị nghịch đảo giới hạn của dãy số

4

Câu 6 Tìm giới hạn của dãy số  , biết

HDedu - Page 23

Tính:

2

4 1 3lim

1 1lim

3 2 2

8 11 3lim

8lim

1lim

Dạng 2: Tính giới hạn của một số hàm đặc biệt

*) Giới hạn 1 bên: lim  

VD1: Tính giới hạn:

VD2: Tính giới hạn:

VD: Tính

L 

Ví dụ 3: Cho giới hạn Giá trị của bằng:

2 2

3

233

Ví dụ 4: Cho giới hạn Giá trị của bằng:

x 1

x 2x 1lim

   

0

0lim

1 Hàm số liờn tục tại 1 điểm

Cho hàm số y = f(x) xỏc định trờn 1 khoảng K và 1 điểm x0 bất kỡ thuộc K  Hàm số liờn tục tại x0 

Kết luận : Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (−∞ ; 1) , (1 ; +∞) và

gián đoạn tại x = 1 

2 Hàm số liờn tục trờn 1 đoạn [a; b] 

y

x b

x

x x

tại x = 2 Tìm m để hàm số liên tục tại x = 2

b) Tìm a, b để hàm số f(x) liên tục tại x = 1 với  

318

a b mà f(a).f(b) < 0

 tồn tại c a b; sao cho f(c) = 0

 Dạng bài: Chứng minh phương trỡnh cú nghiệm

y = f(x) là hàm số đa thức nên liên tục trên \ Do đó, nó liên tục trên đoạn

[0 ; 2] Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈ (0 ; 2) 

c a

f(a) O f(b)

Định lý 3:

Nếu 1 hàm số f(x) liờn tục trờn  ; 

Hàm số y f x   liên tục tại điểm x0 khi và chỉ khi      .

A Chỉ (I) đúng B Chỉ (I) và (IV) đúng C Chỉ (II) và (IV) sai D Tất cả đều đúng.

Ví dụ 2: Cho hàm số   Nhận xét nào sau đây là đúng?

2 2

C Hàm số liên tục tại x 2 D Hàm số xác định tại x 2

Ví dụ 3: Giá trị nào của a thì hàm số   liên tục tại x = 3?



A Hàm số liên tục tại điểm x 3 B Hàm số không liên tục tại điểm x = 1.

C Hàm số liên tục tại điểm x 4 D Hàm số liên tục tại điểm x = 1.

C Hàm số không liên tục tại x = 1 D Hàm số có tập xác định 

Câu 3 Cho hàm số   Xác định a để hàm số liên tục tại

22x 7x 6

6

HDedu - Page 35

Câu 1 Tính giới hạn 3 5 2

x 1

lim2x 1

g x

62

x , khi x 317

Câu 8 Biết  2  với Khi đó bằng:

Câu 10 Giá trị của giới hạn là:

3

khi x 9x

16

Câu 16 Cho hàm số   Tìm giá trị của a để hàm số liên tục trên

12

HDedu - Page 37

b)

' 2







x y

cos1

Ví dụ 1: Cho hàm số   Khi đó là kết quả nào sau đây?

1.32

Ví dụ 2: Tìm a, b để hàm số f x  x22 1 khi x 0 có đạo hàm trên

Ví dụ 8: Cho hàm số y cot x Hệ thức nào sau đây là đúng?

2



A y22y 0. B y22y 1 0.  C y22y 2 0.  D y22y 1 0. 

2 Bài tập tự luyện

Câu 1 Đạo hàm của hàm số sau y xcosx là:

Câu 2 Tìm số gia của hàm số y f x  x 3x3 22 ứng với số gia   x 0,1 của đối số x tại x0 1

Câu 3 Đạo hàm của hàm số sau y 32 x 2x x là:

3x

Nếu chọn hàm số y = x thì dy dx 1 x    x Vì vậy ta thường kí hiệu  x dx và dy f x dx.  Công thức tính gần đúng nhờ vi phân là: f x 0 x  f x0 f ' x x. 0 

Vận tốc tức thời của chuyển động là đạo hàm của độ dời của chuyển động theo thời gian

Gia tốc tức thời của chuyển động là đạo hàm của vận tốc thức thời của chuyển động theo thời gian

Ví dụ 3: Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số sau y cos x. 2

Câu 1 Cho hàm số y sin x  2 Vi phân của hàm số là:

Câu 2 Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y 1 n *.

a) Giải phương trình: f ' x g x ' 

 

3 2

b) Giải phương trình y '0 biết y 2 x3x

c) Giải phương trình y '0 biết:

2

Ví dụ 2:

a) Giải bất phương trình g x' 0 biết   2

2 11

+) Phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt âm

+) Phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt sao cho: 2 2

+) Đa thức +) Lượng giác

Các dạng toán

1 Giải phương trình

+) Đa thức +) Chứa căn

y sin 2x 1 

A y 6sin 2x 1 cos 2x 1   2      B y 3sin 2x 1 cos 2x 1   2     

C y 3cos 2x 1 cos 2x 1   2      D y 3sin 2x 1   2  

Câu 2.Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S 1t4 3t ,2 trong đó t tính bằng giây (s)

- Tiếp tuyến: là đường thẳng tiếp xúc với đồ thị (chỉ cắt đồ thị tại 1 điểm)

- Phương trình tiếp tuyến:

Cho y = f(x)

Tiếp tuyến của f(x) tại A x y 0; 0

y y x' 0 xx0y0

 f ' x0 xx0y0

Trong đó: +) x0: hoành độ của tiếp điểm

+)y0: tung độ của tiếp điểm

+)y x' 0 : hệ số góc của tiếp tuyến

x

a) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 2

b) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ y = 1

c) Viết phương trình tiếp tuyến tại giao của đồ thị và x  y 3 0

 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y       x 2 1 y x 1

b) Gọi phương trình tiếp tuyến tại điểm M x y 0; 0 là: yy x' 0 xx0y0 +) Ta có:

c) Gọi phương trình tiếp tuyến tại điểm M x y 0; 0 là: y y x' 0 xx0y0 +) x     y 3 0 y x 3

+) Phương trình hoành độ giao điểm:

a) Viết phương trình tiếp tuyến tại giao với Oy (trục tung)

b) Viết phương trình tiếp tuyến tại giao với Ox (trục hoành)

c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ xx0 sao cho y'' x0  1

+) Hai đường thẳng song song 2 hệ số góc bằng nhau

+) Hai đường thẳng vuông góc tích của 2 hệ số góc bằng -1

VD2: Cho yx33x24

a) Viết phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng: y9x23

b) Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: x3y 1 0

VD1: Cho y= (x-1)/(x+2) Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3

*) Đường thẳng song song, vuông góc

Viết phương trình tiếp tuyến của  C : y f x   tại điểm M x ; y 0 0

Nếu đề bài cho tung độ y0 thì giải phương trình y0 f x 0 , tìm ra x0

Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với trục tung thì cho x0 0.Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với trục hoành thì choy0 0

Ví dụ 5: Cho hàm số y 3x 1 1 Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của

182

Bước 1: Tìm tập xác định Tính f x  Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm.

Bước 2: Do phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k, giải phương trình k y x  0 tìm x0

Bước 3: Tính y0 f x 0

Hệ số góc k y x  0 của tiếp tuyến thường cho gián tiếp như sau:

Tiếp tuyến //d : y ax b   k a

a

Tiếp tuyến tạo với trục hoành góc    k tan

Tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B  k OB

C Không tồn tại tiếp tuyến D y x 8 

Ví dụ 2: Cho đường cong  C : y 3x 1 Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến song

Ví dụ 3: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y x 33x22, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng:

Bước 4: Tính y , k f x0   0 Lập phương trình tiếp tuyến y f x  0 x x 0y0.

Bước 1: Gọi M x ; y 0 0 là tiếp điểm Tính y0 f x 0 và k y x  0 theo x0

Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại  M x ; y 0 0 là :  y k x x   0y0

Bước 3: Do A(x ; y )A A   yA k(xAx ) y0  0 Giải phương trình ra x0

716

916

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A cho trước

1 Phương pháp giải

HDedu - Page 55

Câu 1 Cho hàm số 1 3 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

1213

1216

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

 Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Kí hiệu: a b c  , , , ,AB: điểm đầu A, điểm cuối B

 Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau

Ngược lại, hai vectơ có giá cắt nhau được gọi là hai vectơ không cùng phương

Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng

 Độ dài của vectơ là độ dài của đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ Vectơ

có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị Kí hiệu: AB AB BA

 Vectơ – không: là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau

 Điều kiện để hai vectơ cùng phương

 Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất kì ta có: AC  AB  BC

 Quy ba điểm cho phép trừ:

Cho ABC, G là trọng tâm, ta có:

.0

Ví dụ 1:Cho hình tứ diện ABCD Chỉ ra các vectơ có điểm đầu A, điểm cuối là các đỉnh

còn lại của tứ diện Các vectơ đó có cùng nằm trong một mặt phẳng không?

Ví

Hãy kể tên các vectơ bằng với BC

Ví dụ 3:Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các canh AD, BC

và G là trọng tâm tam giác BCD Chứng minh rằng:

a) 2MN AB DC  

b) AB AC AD 3AG   

Ví dụ 4:Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD

Chứng minh rằng ba vectơ BC, AD,MN đồng phẳng

Ví

Ví dụ 6:Cho hình hộp ABCD EFGH có AB a,AD b, AE c    Gọi I là trung điểm

của đoạn BG Hãy biểu thị vectơ AI qua ba vectơ a,b,c

  Chứng minh ba vectơ BC, AD,MN đồng phẳng

dụ 5:Cho tứ

NC diện ABCD Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB, CD sao cho

AM = 2BM, ND 2

Ví dụ 1: Cho ba vectơ a b c  , , không đồng phẳng Xét các vectơ

Câu 5 Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1 Gọi O là tâm của hình lập phương Chọn đẳng thức đúng?

 Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Trên hình bên, giá của các vectơ a b c  , , cùng song song với mặt phẳng nên ba vectơ đồng

  a b c  , ,phẳng

 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

Cho ba vectơ a b c  , , trong đó và không cùng phương Điều kiện cần và đủ để ba vectơ

a

b

, ,

a b c  đồng phẳng là có duy nhất cặp số m, n sao cho c ma nb  

Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi I là tâm hình bình hành ABFE và K là tâm hình bình hành

BCGF Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M, N sao cho

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC Trong các khẳng định sau,

Câu 2 Cho hình hộpABCD A B C D     Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB A  và BCC B 

Khẳng định nào sau đây sai?

A Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng B Ba vectơ   BD IK B C; ;   không đồng phẳng

3 Bài tập tự luyện

Câu 1 Cho hình hộp ABCD A B C D     có tâm O Gọi I là tâm hình bình hành ABCD Đặt

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

Nếu ba vectơ a b c  , , không đồng phẳng thì với mỗi vectơ

, ta tìm được duy nhất các số m, n, p sao cho

AB  b, AC  c, AD  d Khẳng định nào sau đây đúng

Câu 2 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A Nếu giá của ba vectơ a b c  , , cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng

B Nếu trong ba vectơ a b c  , , có một vectơ thì ba vectơ đó đồng phằng

0

C Nếu giá của ba vectơ a b c  , , cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng

D Nếu trong ba vectơ a b c  , , có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng

Câu 3 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     Khi đó:

a

Câu 7 Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O Trong các khẳng định

sau, khẳng định nào sai?

A Nếu ABCD là hình bình hành thì OA OB OC OD       0

B Nếu ABCD là hình thang thì OA OB  2OC2OD 0

C Nếu OA OB OC OD       0 thì ABCD là hình bình hành

D Nếu OA OB  2OC2OD 0 thì ABCD là hình thang

Câu 8 Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a Khi đó:

Câu 9 Cho tứ diện ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD Tìm giá trị của k thích hợp

điền vào đẳng thức vectơ: MNk AD BC  

Câu 10 Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

A Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu     AB BC CD DA O   

B Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu  AB CD

C Cho hình chóp S.ABCD Nếu có SB SD SA SC      thì tứ giác ABCD là hình bình hành

D Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu   AB AC AD

Câu 11 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     Khi đó, ba vectơ không đồng phẳng là:

GA G G

03

GA G G

02

GA G G

HDedu - Page 65

I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Góc giữa hai vectơ u và v được kí hiệu là  u, v

Nếu u 0  hoặc v 0  thì u.v 0 

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

II GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Ta có thể xác định góc giữa hai đường thẳng a và b như sau: Chọn điểm O

trên đường thẳng b, qua điểm O dựng đường thẳng a’ song song với a Khi đó

góc giữa hai đường thẳng a và b bằng với góc giữa hai đường thẳng a’ và b

Gọi u, v lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b Nếu

Cho hai đường thẳng b và c song song, nếu đường thẳng a vuông góc

với đường thẳng c thì hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau

Hai đường thẳng vuông góc trong không gian có thể chéo nhau hoặc cắt nhau

III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Tích của hai vectơ u và v khác 0 là một số, kí hiệu u.v , được xác định bởi