tom tat ly thuyet va cac dang bai tap toan 11 hoc ki 2 nguyen quoc duong

Tiếp tuyến cho sẵn hệ số góc, song song - vuông góc 188CHƯƠNG 3 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN... Dãy số có giới hạn là số a hữuhạn gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.. Định nghĩa 3 Giới hạn vô c

Dạng 3.2 Xét tính liên tục của hàm số cho trước trên R 119

Dạng 2.2 Tiếp tuyến cho sẵn hệ số góc, song song - vuông góc 188

CHƯƠNG 3 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC 255

3 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song 305

ĐẠI SỐ - GIẢI

TÍCH

n→+∞un= 0 hay lim un = 0 hay un→ 0 khi n → +∞.

Định nghĩa 2 (Giới hạn bằng a) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là số thực a nếu lim(un− a) = 0 Khi

đó ta viết viết lim

n→+∞un = a hay lim un = a hay un → a khi n → +∞ Dãy số có giới hạn là số a hữuhạn gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa 3 (Giới hạn vô cực)

1 Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞ nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kỳ, kể

từ một số hạng nào đó trở đi

Ký hiệu: lim un= +∞ hay un→ +∞ khi n → +∞

2 Dãy số (un) có giới hạn là −∞ khi n → +∞ nếu lim(−un) = +∞

Ký hiệu: lim un= −∞ hay un→ −∞ khi n → +∞

Định nghĩa 4 Cấp số nhân (un) có công bội q được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn nếu |q| < 1

Nhận xét Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q Với mỗi n ∈ N∗, đặt Sn= u1+ u2+ · · · + un.Lúc đó

lim Sn= u1

Định nghĩa 5 Giới hạn (4.1) được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) và được ký hiệu là

S = u1+ u2+ u3+ · · · + un+ · · · Như vậy

ãò5ï

nÅ

4 − 2n

ã5

n4

Å

4 − 2n

= lim

Å

2 − 1n

ã5Å

4 − 2n

ã4

20Å

VÍ DỤ 3 Tính giới hạn L = limn

2− n + 3

n3+ 2n .Lời giải

Nhận xét Nếu bậc tử P (n) lớn hơn bậc mẫu Q(n) thì L = limP (n)

Q(n) = ±∞ Để biết là +∞ hay −∞ ta dựavào dấu của giới hạn hai nhân tử trong tích theo quy tắc “cùng dấu thì tích dương, trái dấu thì tích âm” Thôngthường, sẽ để trống = · · · và xét dấu sẽ điền vào sau Vế trắc nghiệm, đó chính là dấu của tích hệ số bậc caonhất của tử và mẫu

n2Å

Nhận xét Cần nhớ công thức cấp số cộng:

uk+1− uk = d, với d là công sai

ò

= limÅ

1 − 1

n + 1ã

= lim n

n + 1

nÅ

1 + 1nã

= lim 1

1 + 1n

1 + 0 = 1.

Nhận xét Phân tích 1

k=0

= 1 và b = 1

k

Ta có

L = lim

n2Å

3− n + 32n2+ 3n3− 1.Lời giải

Ta có

L = lim

n3Å

3− 2n + 15n3− n (n2+ n − 1).Lời giải.

Ta có

L = lim6n

3− 2n + 14n3− n2+ n

4+ 1
2

(n + 2)9

n17+ 1 .Lời giải

L = lim

ï

n4Å

2 + 1

n4

ãò2ï

nÅ

1 + 2n

BÀI 5 Tính giới hạn L = lim(2n − 1)

2 3 − 4n3
(4n + 2)3(2 − n)2 Lời giải

L = lim

ïnÅ

2 − 1n

ãò2ï

n3Å 3

n3 − 4ãò

ïnÅ

4 + 2n

2 − 1n

ã2

n3Å 3

n3− 4ã

n3

Å

4 + 2n

ã3

n2Å 2

n− 1

ã2

= lim

Å

2 − 1n

ã2

Å 3

n3 − 4ã

Å

4 + 2n

4.

BÀI 6 Tính giới hạn L = lim 3n

2− 1
3

(2n + 5)2(9n + 4)(2n − 4)4(2n3+ 1) (2n2− 7).Lời giải

L = lim

ï

n2Å

3 − 1

n2

ãò3ïnÅ

2 + 5n

ãò2ïnÅ

9 + 4nãò

ïnÅ

2 − 4n

ã2

nÅ

9 + 4nã

n4

Å

2 − 4n

ã2Å

9 + 4nã

Å

2 − 4n

= 243

16 .

BÀI 7 Tính giới hạn L = lim n

2+ 2
(n − 1)3

(n + 1) (2n2+ 3)2.Lời giải

1 − 1n

ãò3

ïnÅ

1 + 1n

1 + 2

n2

ã

n3Å

1 − 1n

ã3

nÅ

1 + 1n

ã3

Å

1 + 1n

n4+ 5n3+ n.Lời giải

Ta có

L = lim

nÅ

7 + 3nã

n2 ·

7 + 3n2

= lim

Ö1

3n4+ 5 .Lời giải

Xét cấp số cộng 1, 2, , n có số hạng đầu u1= 1, số hạng cuối un= n và công sai d = 1.

1 + 1n2(3 + 1

n2)

=1

6.

Vậy L = 1

BÀI 18 Tính giới hạn L = lim1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1)

n2+ 3n + 1 .Lời giải

Xét cấp số cộng 1, 3, 5, , 2n−1 có số hạng đầu u1= 1, công sai d = 2, số hạng cuối 2n−1 = 1+(n−1)·2 = un

Do đó 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = (1 + 2n − 1)n

2.Suy ra

Xét cấp số cộng 1, 2, , n có số hạng đầu u1= 1, số hạng cuối un= n và công sai d = 1

1 + 1n2

Xét cấp số cộng 5, 9, 13, , 4n − 3 có số hạng đầu u1= 5, công sai d = 4 và số hạng cuối 4n − 3 = 5 + (n − 2) · 4 =

4 − 2

n − 2

n2

2Å

3 + 5

n − 1

n2

ã =4

−1

2 + 1n

ò.Lời giải

= 3

4.Vậy L = 3

ò.Lời giải

2n + 1ã

2

Å

1 − 12n + 1

ã

ãò

=1

2.Vậy L = 1

ò.Lời giải

3n + 1ã

3

Å

1 − 13n + 1

ã

ãò

=1

3.Vậy L = 1

Chia cả tử và mẫu cho 5n, ta có

n

− 3 5

n

+ 100

2 · 2 5

n

+ 9 · 3 5

1 để áp dụng công thức lim qn = 0 với |q| < 1

VÍ DỤ 2 Tính giới hạn L = lim1 + 2 + 2

2+ 23+ · · · + 2n

5 · 2n+ 1 .Lời giải

• Xét cấp số nhân 1, 2, 22, 23, · · · , 2n có số hạng đầu tiên u1= 1, công bội q = 2 và có số hạng tổng quát

ãn

5 +Å 12

Chia tử và mẫu cho 5n, ta được

L = lim4 ·

3 5

5n−1+ 2 · 6n+3.Lời giải

Chia tử và mẫu cho 6n, ta được

L = lim 16 ·

2 3

n− 3n−2+ 3 · 5n+2

2n−1+ 3n+2+ 5n+1.Lời giải

Chia tử và mẫu cho 5n, ta được

L = lim

2 5

BÀI 4 Tính giới hạn L = lim 2

2n+1+ 3n+2+ 5n+1.Lời giải

Chia tử và mẫu cho 5n, ta được

L = lim

2 5

n

− 3 5

n− 4 · 5n+1

2 · 4n+ 3 · 5n Lời giải

Chia tử và mẫu cho 5n, ta được

n+ (−5)n

2 · 3n+ 3 · (−5)n.Lời giải

Chia tử và mẫu cho (−5)n, ta được

n· 25n+1

35n+2 Lời giải

Chia tử và mẫu cho 243n, ta được

L = lim − 1

243

n

· 2 · 32 243

2+ 23+ · · · + 2n

1 + 3 + 32+ 33+ · · · + 3n.Lời giải

Áp dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân, ta lần lượt có

n

3 − 13
n = 2 ·0 − 0

3 − 0 = 0.

BÀI 9 Tính giới hạn L = lim

ãn

− 1ò

·ï 1

3 ·Å 13

ãn

− 1ò

Do đó

L = lim

(−2)ï 1

2 ·Å 12

ãn

− 1ò

Å

−32

ã

·ï 1

3 ·Å 13

ãn

− 1

ò =4

1 − 1

32

ã

· · ·Å

1 − 1

n2

ãò.Lời giải

Ta xét đánh giá đại diện

n(n + 1)(n + 2)

ò.Lời giải

Trong bài quy nạp toán học, chúng ta đã chứng minh được

1 +n2 =

1

3.

BÀI 12 Tính giới hạn L = limï 13+ 23+ 33+ · · · + n3

n4+ 4n3+ 1

ò.Lời giải

Trong bài quy nạp toán học, chúng ta đã chứng minh được

n4

ò.Lời giải

Trước hết ta cần tìm được biểu thức tổng quát của tổng

{ DẠNG 1.3 Tính giới hạn của dãy số chứa căn thức

3 − 4nã

(a ± b)(a2∓ ab + b2) = a3± b3

1 + 2n

ãô2

+ 3

 nÅ

1 + 2n

a · b + b2 Trong lời giải trên, đã sử dụng hai tính chất:

lim (un+ vn) = lim un+ lim vn

lim C = C với C là hằng số và C ∈ R

2 −13

L = lim

1n

√9n2− n + 11

1 + 1nã

= 10 + lim

1 + 1n

…

1 + 1

n+1

n2 + 1

= 10 +√ 1 + 0

1 + 0 + 0 + 1= 10 +

12

= 21

2 .

BÀI 3 Tính giới hạn L = lim

√4n2− n + 1 − n

√9n2+ 3n .Lời giải

n

…

9 + 3n

4n2+ 1ä.Lời giải

L = lim(9n

2+ 2n − 1) − (4n2+ 1)

√9n2+ 2n − 1 +√

4n2+ 1 = lim

5n2+ 2n − 2

√9n2+ 2n − 1 +√

Lời giải

L = lim4n

2+ n + 1 − 81n2

√4n2+ n + 1 + 9n

= lim −77n2+ n + 1

√4n2+ n + 1 + 9n

4n2+ 2ä.Lời giải.

L = lim(4n

2+ n) − (4n2+ 2)

√4n2+ n +√

1 − 2nã

√2n4+ 3n − 22n2− n + 3 .Lời giải

2 .

BÀI 8 Tính giới hạn L = limÄ√n2+ 3n + 5 − n + 25ä

3 + 5nã

= 25 + lim

3 + 5n

…

1 + 3

n+5

n2+ 1

√2n + 1 −√

n + 3

√4n − 5 .Lời giải

1 − 2nã

n

…

4 − 5n

= lim

1 − 2n

…

4 − 5n

n4+ 3n + 1ä.Lời giải

√4n2− 1 +√3

8n3+ 2n2− 3

√16n2+ 4n −√4

n4+ 1 .Lời giải

L = lim

1n

Ä√

4n2− 1 +√3

8n3+ 2n2− 3ä1

9n2+ 1ä.Lời giải.

L = limÄ3n −p9n2+ 1 − lim 5ä

= lim 9n

3n +√9n2+ 1 − lim 5

3n +√9n2+ 1 − lim 5

= 0 − 5 = −5

BÀI 13 Tính giới hạn L = lim

1 + 2nã

BÀI 14 Tính giới hạn L = limînÄ√n2+ 1 −√

n2+ 2äó.Lời giải

2n2+√

n4+ 2n + 1 .Lời giải

2√2n2+√

…

n2+2

n+1

n2

2√2n +√2

Ç

2√2n +√2

1 + 4n

ã

·Å

1 + 1n

ã+ 3

n2·Å

1 + 1n

1 + 4n

ã2

+ 3

 Å

1 + 4n

ã Å

1 + 1n

ã+ 3

 Å

1 + 1n

ã2# = 0

BÀI 17 Tính giới hạn L = limÄ√3

8n3+ 3n2− 2 +√3

5n2− 8n3ä.Lời giải

8n3+ 3n2+ 4 − 2n + 6ä.Lời giải

BÀI 19 Tính giới hạn L = limÄ√3

2n − n3+ n − 1ä.Lời giải

2n − n3+ n2

= −1 + lim

2n

n − n3+ n + 2ä.Lời giải

n − n3+ n2

= 2 + lim

1n

n3− 2n2− n − 1ä.Lời giải

n3− 2n2+ n2

3

 Å

1 − 2n

1 − n3ä.Lời giải

n3+ n − näó.Lời giải.

n3+ n + n2

3

 Å

√4n2+ 1 − 2n

3

√

n3+ 4n + 1 − n.Lời giải

Ta có

L = lim[(4n

2+ 1) − 4n2][p(n3 3+ 4n + 1)2+ n ·√3

n3+ 4n + 1 + n2](√

= lim

3

 Å

4 + 1

n2 + 2

å Å

4 + 1nã

= 1 + 1 + 1(2 + 2) · 4

16.

BÀI 25 Tính giới hạn L = limn

2+√3

1 − n6

√

n4+ 1 − n2.Lời giải

Ta có

6+ (1 − n6)](√

n4+ 1 + n2)[n4− n2√3

BÀI 26 Tính giới hạn L = limn(

3

√

4 − n3+ n)

√4n2+ 1 − 2n .Lời giải

Ta có

3+ n3)(√

4n2+ 1 + 2n)[p(4 − n3 3)2− n√3

4 − n3+ n2](4n2+ 1 − 4n2)

√4n2+ 1 + 2n)

8n3+ n2−√4n2− nä.Lời giải

8 + 1n

3.

BÀI 28 Tính giới hạn L = limÄ√4n2+ 3n −√3

8n3+ 5n2ä.Lời giải

8 + 5n

BÀI 29 Tính giới hạn L = limÄ√n4+ n2−√3

n6+ 1ä.Lời giải

2.

BÀI 30 Tính giới hạn L = limÄ√n2+ n + 1 −√3

n3+ n2ä.Lời giải

1 + 1n

14

BÀI 2 Tính các giới hạn sau

n + 3

√4n − 5

4

BÀI 2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Định nghĩa 1 (Giới hạn của hàm số tại một điểm) Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0và f làmột hàm số xác định trên tập hợp (a; b) \ {x0} Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dầnđến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a; b) \ {x0} mà lim xn= x0ta đều cólim f (xn) = L

Khi đó ta viết lim

= L hoặc f (x) → L khi x → x0.Định nghĩa 2 (Giới hạn của hàm số tại vô cực) Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; +∞) Tanói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần tới +∞ nếu với mọi dãy số (xn) trong khoảng(a; +∞) mà lim xn = +∞ ta đều có lim f (xn) = L

Khi đó ta viết lim

® + ∞ khi L · g(x) > 0

− ∞ khi L · g(x) < 0

B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

{ DẠNG 2.1 Tính giới hạn vô định dạng 0

0, trong đó tử thức và mẫu thức là các đa thứcPhương pháp giải: Khử dạng vô định bằng cách phân tích thành tích bằng cách chia Hoóc-nơ (đầu rơi,nhân tới, cộng chéo), rồi sau đó đơn giản biểu thức để khử dạng vô định

2x2+ x + 14x2− x + 1 =

(x − 1) x99+ x98+ · · · + x2+ x − 1
(x − 1) (x49+ x48+ · · · + x2+ x − 1)

(x − 1)(x + 3)(2x + 1)(x − 1) = limx→1

x + 32x + 1 =

(x − 2)(x2+ 4)

7

2 − 1)(x −√

= 18 + 19

√3

(x + 4)(x − 2)2

(x − 2)2(x2+ 2x + 4)= limx→2

(x + 4)(x2+ 2x + 4) =

x3− x2− x + 1(x2+ x − 2)(x3− 1)

= lim

x→1

(x − 1)2(x + 1)(x − 1)2(x + 2)(x2+ x + 1) = limx→1

x + 1(x + 2)(x2+ x + 1) =

= lim

x→1

x(x − 1)(x18+ x17+ · · · + x + 1) − (x − 1)x(x − 1)(x28+ x27+ · · · + x + 1) − (x − 1)

= lim

x→1

(x − 1)(x19+ x18+ · · · + x − 1)(x − 1)(x29+ x28+ · · · + x − 1)

Ta có A = lim

x→1

xn− nx + n − 1(x − 1)2

= lim

x→1

(xn− 1) − n(x − 1)(x − 1)2

Lời giải

Ta có A = lim

x→1

xn− nx + n − 1(x − 1)2

= lim

x→1

x (xn− 1) − n(x − 1)(x − 1)2

= lim

x→1

xn−1+ xn−2+ · · · + x + 1
+ xn−2+ xn−3+ · · · + x + 1
+ · · · + 1(xm−1+ xm−2+ · · · + x + 1) + (xm−2+ xm−3+ · · · + x + 1) + · · · + 1

= n + (n − 1) + · · · + 1

m + (m − 1) + · · · + 1 =

n(n + 1)m(m + 1)

{ DẠNG 2.2 Tính giới hạn vô định dạng00, trong đó tử thức hoặc mẫu thức có chứa căn thức

Phương pháp giải: Nhân lượng liên hợp để khử dạng vô định

x + 3)

= lim

x→6

9 − (x + 3)(x − 6)(3 +√

x + 3) = limx→6

6 − x(x − 6)(3 +√

3

√3x + 2 − 2

x − 2 = limx→2

4 − (5x − 6)(x − 2)(2 +√

5x − 6)= limx→2

−5

2 +√5x − 6 = −

x + 1 .Lời giải

x + 1 = x→−1lim

5x − 3 + 8(x + 1)Äp(5x − 3)3 2− 2√3

5x − 3 + 4ä

= lim

x→−1

5(x + 1)(x + 1)Äp(5x − 3)3 2− 2√3

3x − 2

x − 2 = limx→2

3

√3x + 2 − 2

x − 2 − lim

x→2

√3x − 2 − 2

x − 2

= lim

x→2

3x + 2 − 8(x − 2)»3

(3x + 2)2+ 2√3

3x + 2 + 4 − limx→2

3x − 2 − 4(x − 2) √

3x − 2 + 2

4 + x + x2+ 2)

= lim

x→−1

4 + x + x2− 4(x + 1)(√

4 + x + x2+ 2) = limx→−1

x(x + 1)(x + 1)(√



BÀI 3 Tính giới hạn B = lim

x→3

√2x2− 3x − x2x − 6Lời giải

Ta có B = lim

x→3

√2x2− 3x − x2x − 6 = limx→3

(√2x2− 3x − x)(√2x2− 3x + x)(2x − 6)(√

2x2− 3x + x)

= lim

x→3

x2− 3x(2x − 6)(√

2x2− 3x + x) = limx→3

x(x − 3)2(x − 3)(√

2x2− 3x + x) = limx→3

x2(√2x2− 3x + x) =

14

x − 2(x2− 4)(√x + 2 + 2)

= lim

x→2

x − 2(x − 2)(x + 2)(√

x + 2 + 2)= limx→2

1(x + 2)(√

x + 2 + 2) =

116



BÀI 5 Tính giới hạn B = lim

x→2

2 −√3x − 2

x2− 4 .Lời giải

3x − 2) = limx→2

−3(x + 2)(2 +√

x + 3) = limx→9

−1x(√

x + 2 + 2) = limx→2

1(2x + 5)(√

7 − 2x + 2 − x)

= lim

x→−1

3 − x(2x + 5)(x − 1)(√

7 − 2x + 2 − x) = −

1

3.

BÀI 9 Tính giới hạn B = lim

x→−1

2x + 5 −√

2x2+ x + 8

x2+ 3x + 2 .Lời giải

2x2+ x + 8)

= lim

x→−1

2x2+ 19x + 17(x2+ 3x + 2)(2x + 5 +√

2x2+ x + 8)

= lim

x→−1

(x + 1)(2x + 17)(x + 1)(x + 2)(2x + 5 +√

2x2+ x + 8)

= lim

x→−1

2x + 17(x + 2)(2x + 5 +√

2x2+ x + 8)

=5

2.

BÀI 10 Tính giới hạn B = lim

x→1

√3x + 1 −√

x + 3

√

x + 8 − 3 .Lời giải

B = lim

x→1

√3x + 1 −√

x + 3 = 3.

BÀI 11 Tính giới hạn B = lim

x→1

√

x + 3 − 2

√4x + 5 −√

3x + 6.

3x + 6 = limx→1

(x − 1)(√

4x + 5 +√

3x + 6)(x − 1)(√

x + 3 + 2)

= lim

x→1

√4x + 5 +√

x + 6.Lời giải

x + 6 = limx→3

2(3 − x)(√

2x + 3 +√

x + 6)(x − 3)(√

1 − x) = 0.

BÀI 15 Tính giới hạn B = lim

x→1

4

√4x − 3 − 1

x − 1 .Lời giải

B = lim

x→1

4

√4x − 3 − 1

x − 1 = limx→1

4(x − 1)(x − 1)(p(4x − 3)4 3+p(4x − 3)4 2+√4

x→2

√2x2+ 1 −√

2x + 5

√

x2+ 1 −√

x + 3 .Lời giải

B = lim

x→2

√2x2+ 1 −√

2x + 5 =

2√5

3 .



√2x + 2 +√

5x + 4 − 5

x − 1 = limx→1

(√2x + 2 − 2) + (√

5x + 4 − 3)x

= lim

x→1

2(x − 1)

√2x + 2 + 2 +

5(x − 1)

√5x + 4 + 3

5

√5x + 4 + 3

ã

= 4

3.

BÀI 19 Tính giới hạn L = lim

ã

6.

BÀI 20 Tính giới hạn L = lim

BÀI 21 Tính giới hạn L = lim

2x − 1 − 3x + 1

x2− 2x + 1 .Lời giải

Ta có

L = lim

x→1

√4x − 3 +√

√4x − 3 − (2x − 1)(x − 1)2

ô

= lim

x→1

ñ2x − 1 − x2(x − 1)2 √

2x − 1 + x
+

4x − 3 − (2x − 1)2(x − 1)2 √

x→1

−3x − 7 + 4√x + 3 + 2√

2x − 1

x2− 2x + 1 .Lời giải

x + 3) +

4(2x − 1) − 4x2

2x + 2√

2x − 1(x − 1)2

= −17

16.

BÀI 25 Tính giới hạn L = lim

x→0

√4x + 4 +√

x→1

√6x + 3 + 2x2− 5x(x − 1)2 Lời giải

Ta có

L = lim

x→1

√6x + 3 + 2x2− 5x(x − 1)2 = lim

x→2

3

√4x − 2

x − 2 .Lời giải

x − 2 = x→2lim

4x − 8(x − 2)(√3

4x + 4

3.

BÀI 28 Tính giới hạn L = lim

Thực hiện phép nhân liên hợp ở cả tử và mẫu, ta có

√2x + 9 + 5

= lim

x→8

√2x + 9 + 5

2.

BÀI 34 Tính giới hạn E = lim

x→2

3

√8x + 11 −√

x + 7

x2− 3x + 2 .Lời giải

x→2

3

√8x + 11 −√

x + 7

x2− 3x + 2 = limx→2

3

√8x + 11 − 3

8x + 11 + 9 − limx→2

x + 7 − 9(x − 1) (x − 2) √

x + 7 + 3

= lim

x→2

8(x − 1)»3

(8x + 11)2+ 3√3

8x + 11 + 9 − limx→2

1(x − 1) √

x + 7 + 3

(x3+ 7)2+ 2√3

x3+ 7 + 4 − limx→1

x2+ 3 − 4(x − 1)Ä√x2+ 3 + 2ä

= lim

x→1

x3− 1(x − 1)»3

(x3+ 7)2+ 2√3

x3+ 7 + 4 − limx→1

x2− 1(x − 1)Ä√x2+ 3 + 2ä

x→2

3

√2x2+ 4x + 11 −√

x + 7

x2− 4 = limx→2

3

√2x2+ 4x + 11 − 3

(2x2+ 4x + 11)2+ 3√3

2x2+ 4x + 11 + 9 − limx→2

x + 7 − 9(x2− 4) √x + 7 + 3

= lim

x→2

2 (x − 2) (x + 4)(x2− 4)»3

(2x2+ 4x + 11)2+ 3√3

2x2+ 4x + 11 + 9 − limx→2

x − 2(x2− 4) √x + 7 + 3

= lim

x→2

2 (x + 4)(x + 2)»3

(2x2+ 4x + 11)2+ 3√3

2x2+ 4x + 11 + 9 − limx→2

1(x + 2) √

(8 + 3x)2+ 2√3

8 + 3x + 4 + limx→0

2(x + 1) √

n− b

m.

BÀI 41 Tính giới hạn F = lim









C TÓM TẮT LÝ THUYẾT

D DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

{ DẠNG 2.3 Giới hạn của hàm số khi x → ∞

- Đối với dạng đa thức không căn, ta rút bậc cao và áp dụng công thức khi x → +∞

= lim

x→−∞

ñxÇ

xÅ

2 − 1x

1 + 2xã

xÅ

1 − 1x

ã = lim

x→+∞

1 + 2x

1 − 1x

BÀI 9 Tính giới hạn B = lim

Lời giải

B = lim

x→+∞

x2(2x + 4)(3x2− 4) (3x + 2) =x→−∞lim

x3

Å

2 + 4xã

ã = lim

x→−∞

2 + 4xÅ

3 − 4

x2

ã Å

3 + 2x

ã =

2 + 0(3 − 0)(3 + 0)=2

BÀI 12 Tính giới hạn B = lim

x→+∞

(4x + 3)3(2x + 1)4(3 + 2x)7

ã3Å

2 + 1x

ã4

x7

Å

2 + 3x

x→−∞

Å

4 + 3x

ã3Å

2 + 1x

ã4

Å

2 + 3x

ã20Å

3 + 2x

ã30

x50

Å

2 + 1x

x→−∞

Å

2 − 3x

ã20Å

3 + 2x

ã30

Å

2 + 1x

= 10 + lim

x→+∞

ñx

x→+∞

√2x4+ x2− 1

BÀI 18 Tính giới hạn C = lim

x→−∞

Äp4x2− 4x + 1 + 2x + 13ä.Lời giải

C = 13 + lim

x→−∞

Äp4x2− 4x + 1 + 2xä= 13 + lim

x→−∞

Å 4x2− 4x + 1 − 4x2

√4x2− 4x + 1 − 2x

ã

= 13 + lim

x→−∞

−4x + 1 

4 + 1xã

4 + 1xã

1 −

…

1 + 1xåô

=9

2.

BÀI 20 Tính giới hạn C = lim

x→−∞

Äp2x2+ 1 + xä

BÀI 21 Tính giới hạn C = lim

1 − 4

x− 1åô

xÇ

−

…

1 + 1

x+ 2å

xÅ

2 + 3x

1 + 1

x+

1

x2 − 1åô

BÀI 27 Tính giới hạn C = lim

1 +10x

=−1 + 1

BÀI 28 Tính giới hạn C = lim

x→−∞

Äp4x2− 9x − 21 −p4x2− 7x + 13ä

x→−∞

4x2|x| − 3x2+ 7x − 1(2x + 1)2·√x2+ 3x

ã2

· (−x)

…

1 + 3x

ã2

·

…

1 + 3x

…

3 − x

5 − 3x − x3

ô

1 − 1xã

Œ3

x− 15

Lời giải

C = 5 + lim

x→+∞

Çx

16 + 3

x− 4åô

 2x3+ x

x5− x2+ 3

!

BÀI 34 Tính giới hạn C = lim

√9x2− x + 3 − 5x − 3

Œ2x + 1x

x − 5x2 = lim

x→−∞

Å

2 − 1x

ã

· (−1)

…

1 − 3x1

= lim

x→+∞

2 + 1x

4x2+ x + 3 =x→−∞lim

8x + 36x − x

1 − x =x→−∞lim

1 − 2… 1

x2 − 2x1

x− 1

= −1

BÀI 36 Tính các giới hạn sau

= −2

1 + 2

x+

…

1 − 2x

å =1

x→+∞

27x3− x2− 27x3

Ä√327x3− x2ä2+ 3x√3

3

…

27 −1x

x→+∞

4x2− 4x2− 2x + 1Ä

2x +√4x2+ 2x − 1ä =

lim

x→+∞

−2x + 1Ç

2.

lim

x→+∞

Ä2x − 3 −p4x2+ 4x + 3ä= lim

x→+∞

(2x − 3)2− 4x2− 4x − 3Ä

x→−∞

4x4+ 3x2+ 1 − 4x4

√4x4+ 3x2+ 1 + 2x2 = lim

å =19

x→+∞

8x3+ 1 − (2x − 1)3

Ä√38x3+ 1ä2+ (2x − 1) ·√3

2 − 1x

ã2

= 1

3

√2x2< /small>+ 4x + 11 −

(2x2< /small>+ 4x + 11) 2< /sup>+ 3√3

2x2< /small>+ 4x + 11 + 9... 4)(√x + + 2)

= lim

x? ?2< /small>

x − 2( x − 2) (x + 2) (√

x + + 2) = limx? ?2< /small>

1(x + 2) (√

x + + 2) =

116

... 19x + 17(x2< /small>+ 3x + 2) (2x + +√

2x2< /small>+ x + 8)

= lim

x→−1

(x + 1)(2x + 17)(x + 1)(x + 2) (2x + +√

2x2< /small>+ x +