BÀI TẬP TOÁN - GIỚI HẠN
Trang 1www.MATHVN.com
I Gi i h n c a dãy s
1 Gi i h n đ c bi t:
1
n ®+¥n = ; lim 1 0 ( )
k
n
+
®+¥ = < ; lim
n C C
®+¥ =
2 nh lí :
a) N u lim un = a, lim vn = b thì
· lim (un + vn) = a + b
· lim (un – vn) = a – b
· lim (un.vn) = a.b
· lim n
n
v = (n u b ¹ 0) b b) N u un ³ 0, "n và lim un= a
thì a ³ 0 và lim un = a
c) N u un £vn,"n và lim vn = 0
thì lim un = 0
d) N u lim un = a thì lim un = a
3 T ng c a c p s nhân lùi vô h n
S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1
1
u q
- (q <1)
1 Gi i h n đ c bi t:
lim n = +¥ limnk = +¥(kÎ ¢+) limqn = +¥(q> 1)
2 nh lí: a) N u lim u = +¥n thì lim 1 0
n
b) N u lim un = a, lim vn = ±¥ thì lim n
n
u
v = 0 c) N u lim un = a ¹ 0, lim vn = 0
thì lim n
n
u
v =
nn 0
neáu a v neáu a v
î d) N u lim un = +¥, lim vn = a thì lim(un.vn) = 0
0
neáu a neáu a
î
* Khi tính gi i h n có m t trong các d ng vô
đ nh: 00, ¥
¥, ¥ – ¥, 0.¥ thì ph i tìm cách kh
d ng vô đ nh
M t s ph ng pháp tìm gi i h n c a dãy s :
· Chia c t và m u cho lu th a cao nh t c a n
VD: a)
1 1
3
n
n
+
3
1
n
n
+
2
lim(n 4n 1) limn 1
n n
· Nhân l ng liên h p: Dùng các h ng đ ng th c
( a- b)( a+ b)= -a b; (3a-3b) (3a2 +3ab+3b2)= - a b VD: lim( n2-3n n- )= ( )( )
2
lim
3
=
2
3 lim
3
n
2
-
· Dùng đ nh lí k p: N u un £vn,"n và lim vn = 0 thì lim un = 0
Trang 2VD: a) Tính limsinn
n Vì 0 £
1
n = nên
sin
b) Tính 2
3sin 4 cos lim
n
-+ Vì
3sinn-4 cosn £ (3 +4 )(sin n+cos ) 5n =
nên 0 £ 3sin 24 cos 25
-£
5
2n +1= nên 2
3sin 4 cos
n
-= +
Khi tính các gi i h n d ng phân th c, ta chú ý m t s tr ng h p sau đây:
· N u b c c a t nh h n b c c a m u thì k t qu c a gi i h n đĩ b ng 0
· N u b c c a t b ng b c c a m u thì k t qu c a gi i h n đĩ b ng t s các h s c a lu
th a cao nh t c a t và c a m u
· N u b c c a t l n h n b c c a m u thì k t qu c a gi i h n đĩ là +¥ n u h s cao nh t
c a t và m u cùng d u và k t qu là – ¥ n u h s cao nh t c a t và m u trái d u
Bài 1: Tính các gi i h n sau:
a)
2 2
lim
- +
lim
n
+
3 2 3
lim
4
n
d)
4 2
lim
n
2 4
1 lim
n
+
4 2
3 2
lim
Bài 2: Tính các gi i h n sau:
a) lim1 3
4 3
n n
+
1
lim
n n
n n
+ +
lim
n n
+ + +
d)
1
lim
1 5
n n
n
+ +
lim
n n
lim
n n
n n+
-
Bài 3: Tính các gi i h n sau:
a)
2 2
lim
2 2
lim
2
+ -+ -+
c)
3
1 lim
1
-+ -+
d)
2 2
lim
+ +
2
lim
+ +
Bài 4: Tính các gi i h n sau:
1.3 3.5 (2n 1)(2n 1)
1 2
lim
3
n
+ + +
2 2
lim
n n
Bài 5: Tính các gi i h n sau:
Trang 3a) lim( n2+2n n- - 1) b) lim( n2+ -n n2+2) c) lim 2(3 n n- 3+ - n 1)
d) lim 1( +n2- n4+3n+1) e) lim n( 2- -n n) f)
1 lim
g)
2 2
lim
3
1 lim
1
+
2
lim
+
-Bài 6: Tính các gi i h n sau:
a)
2 2
2 cos
lim
1
n
2 ( 1) sin(3 ) lim
n n n n
2 2 cos lim
n
-+ d)
2
lim
1
n
2
lim
2 3
n
2
lim
+
Bài 7: Cho dãy s (u n ) v i u n = 2 2 2
è øè ø è ø, v i " n ³ 2
a) Rút g n u n b) Tìm lim u n
n n+ + n+ n = n - n+ ("n Ỵ N
*
)
1 2 2 1 2 3 3 2+ + + + +n n+ +1 (n+1) n
c) Tìm lim u n
Bài 9: Cho dãy s (u n ) đ c xác đ nh b i: 1
1
1
1 ( 1) 2
u
ì = ï
a) t v n = u n+1 – u n Tính v 1 + v 2 + … + v n theo n
b) Tính u n theo n
c) Tìm lim u n
Bài 10: Cho dãy s (u n ) đ c xác đ nh b i: 1 2
ỵ
a) Ch ng minh r ng: u n+1 = 1 1
2un
- + , "n ³ 1
b) t v n = u n – 2
3 Tính v n theo n T đĩ tìm lim u n
II Gi i h n c a hàm s
Trang 4Gi i h n h u h n Gi i h n vơ c c, gi i h n vơ c c
1 Gi i h n đ c bi t:
lim
x x x x
® = ;
0
lim
x x c c
® = (c: h ng s )
2 nh lí:
a) N u
0
lim ( )
x x f x L
0
lim ( )
x x g x M
0
0
0
0
( ) lim
( )
x x
® = (n u M ¹ 0)
b) N u f(x) ³ 0 và
0
lim ( )
x x f x L
® = thì L ³ 0 và
0
x x f x L
c) N u
0
lim ( )
x x f x L
0
lim ( )
x x f x L
3 Gi i h n m t bên:
0
lim ( )
x x f x L
Û
lim ( ) lim ( )
x x f x x x f x L
1 Gi i h n đ c bi t:
x x
®+¥ = +¥; lim k
x
nếu k chẵn
®-¥
ì+¥
= í-¥
ỵ lim
x c c
®±¥ = ; lim k 0
x
c x
®±¥ =
0
1 lim
x ® - x= -¥;
0
1 lim
x ® + x= +¥
x ® - x =x ® + x = +¥
2 nh lí:
N u
0
lim ( )
x x f x L
0
lim ( )
x x g x
® = ±¥ thì:
0 0
0
lim ( )
x x
x x
nếu L và g x cùng dấu
f x g x nếu L và ® g x trái dấu
®
®
ì+¥
ï
= í-¥
ïỵ
0
0
( )
( )
x x
x x
g x
®
®
ï ï
ï ỵ
* Khi tính gi i h n cĩ m t trong các d ng vơ đ nh:
0
0,
¥
¥, ¥ – ¥, 0.¥ thì ph i tìm cách kh d ng vơ
đ nh
M t s ph ng pháp kh d ng vơ đ nh:
1 D ng 0
0
a) L =
0
( ) lim
( )
x x
P x
Q x
® v i P(x), Q(x) là các đa th c và P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0
Phân tích c t và m u thành nhân t và rút g n
VD:
2
4
x
-b) L =
0
( ) lim
( )
x x
P x
Q x
® v i P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x), Q(x) là các bi u th c ch a c n cùng b c
S d ng các h ng đ ng th c đ nhân l ng liên h p t và m u
4
-c) L =
0
( ) lim
( )
x x
P x
Q x
® v i P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x) là biêåu th c ch a c n khơng đ ng b c
Gi s : P(x) = mu x( )-nv x với u x( ) m ( )0 =nv x( )0 = a
Ta phân tích P(x) = (mu x( )-a) (+ a-nv x( ))
Trang 5VD:
0 3 2 3
lim
3 2 6
2 D ng ¥
¥: L =
( ) lim ( ) x
P x
Q x
®±¥ v i P(x), Q(x) là các đa th c ho c các bi u th c ch a c n
– N u P(x), Q(x) là các đa th c thì chia c t và m u cho lu th a cao nh t c a x
– N u P(x), Q(x) cĩ ch a c n thì cĩ th chia c t và m u cho lu th a cao nh t c a x ho c nhân l ng liên h p
VD: a)
2
2
2
x x
+
b)
2
2
3 2
1
x
-3 D ng ¥ – ¥: Gi i h n này th ng cĩ ch a c n
Ta th ng s d ng ph ng pháp nhân l ng liên h p c a t và m u
4 D ng 0 ¥:
Ta c ng th ng s d ng các ph ng pháp nh các d ng trên
2 2
4
x
x x
+
-Bài 1: Tìm các gi i h n sau:
a)
2 3 0
1
lim
1 x
x
®
2 1
lim
1 x
x
®+
2
sin
4 lim
x
x x
®
p
p
1 lim
3 x
x
®
2 2
1 lim
1 x
x
®
- +
2 1
lim
1 x
x
®
+
g)
1
8 3 lim
2 x
x x
®
+
3 2 2
lim
1 x
x
®
2 0
1 lim sin
2
x x
®
Bài 2: Tìm các gi i h n sau:
a)
3 2 2 1
1 lim
x
®
x
4
3 2 1
1 lim
®
5 3 1
1 lim
1 x
x x
®-+ + d)
3 2
4 2 3
lim
x
®
5 6 2 1
lim
(1 ) x
x
®
1 lim
1
m n x
x x
®
-g)
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1
lim
x
x
®
h)
2 1
lim
1
n x
x
®
4
3 2 2
16 lim
2 x
x
® -+
Trang 6Bài 3: Tìm các gi i h n sau:
lim
4 x
x x
®
+
3 3 1
1
x
x x
®
2 0
lim x
x x
®
-d)
2
2 2 lim
7 3 x
x
x
®
+
lim
1 x
x
®
2
0 2
1 1 lim
16 4 x
x x
®
+
-g) 03
lim
x
x x
®
+
3 2 lim
3 x
lim x
x
®
-Bài 4: Tìm các gi i h n sau:
a)
3 0
lim
x
x
®
3 2 2
lim
x
®
3 0
lim x
x
®
-d)
3 2 0
lim
x
x
®
e)
3 2 2
lim
x
®
3
2 1
lim
1 x
x
®
-g)
0
lim
x
x
®
-h)
3 0
lim x
x
®
-i)
3 0
lim x
x
®
-Bài 5: Tìm các gi i h n sau:
a)
2 2
1 lim
x
x
®+¥
+
2
lim
2 x
x
®±¥
- +
2
3 2
lim
x
x
®+¥
+
d)
2 2
lim
x
®±¥
+ +
e)
2 2
lim
x
®±¥
1 lim
1 x
x x
®+¥
+ + + g)
2 2
lim
5 x
®-¥
2 2
lim
x
®+¥
+ - +
i)
2 5 2 lim
x
x
®-¥
Bài 6: Tìm các gi i h n sau:
®+¥
2
®+¥
®+¥
®+¥
e) lim (32 1 32 1)
®+¥ - - + f) lim (33 3 1 2 2)
®-¥ - + +
lim
lim
+
Bài 7: Tìm các gi i h n sau:
a)
2
15 lim
2 x
x
x
+
®
15 lim
2 x
x x
-®
2 3
lim
3 x
x
+
®
-d)
2 2
4 lim
2 x
x x
+
®
2 lim
x
x
+
®
2 lim
x
x
-®
Bài 8: Tìm các gi i h n m t bên c a hàm s t i đi m đ c ch ra:
2
x
khi x
->
ïỵ
b)
2
x khi x
ì
ỵ
Trang 7c)
2 3 4
8
2
x
x
->
ïï
-ỵ
d)
2 2
1
1 2
x
>
ïỵ
Bài 9: Tìm giá tr c a m đ các hàm s sau cĩ gi i h n t i đi m đ c ch ra::
a)
ỵ
2 2
khi x
ì
ï
ỵ
0 3
khi x x
ï
³
ỵ
-ỵ
Trang 8
III Hàm s liên t c
1 Hàm s liên t c t i m t đi m: y = f(x) liên t c t i x 0 Û
x x f x f x
· xét tính liên t c c a hàm s y = f(x) t i đi m x 0 ta th c hi n các b c:
B1: Tính f(x 0 )
B2: Tính
0
lim ( )
x x f x
® (trong nhi u tr ng h p ta c n tính
0
lim ( )
x x f x
+
0
lim ( )
x x f x
B3: So sánh
0
lim ( )
x x f x
® v i f(x 0 ) và rút ra k t lu n
2 Hàm s liên t c trên m t kho ng: y = f(x) liên t c t i m i đi m thu c kho ng đĩ
3 Hàm s liên t c trên m t đo n [a; b]: y = f(x) liên t c trên (a; b) và
lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a f x f a x b f x f b
4 · Hàm s đa th c liên t c trên R
· Hàm s phân th c, các hàm s l ng giác liên t c trên t ng kho ng xác đ nh c a chúng
5 Gi s y = f(x), y = g(x) liên t c t i đi m x 0 Khi đĩ:
· Các hàm s y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên t c t i x 0
· Hàm s y = ( )
( )
f x
g x liên t c t i x 0 n u g(x 0 ) ¹ 0
6 N u y = f(x) liên t c trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì t n t i ít nh t m t s c Ỵ (a; b): f(c) = 0
Nĩi cách khác: N u y = f(x) liên t c trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì ph ng trình f(x) = 0 cĩ ít
nh t m t nghi m c Ỵ (a; b)
M r ng: N u y = f(x) liên t c trên [a; b] t m =
[ ];
min ( )
a b f x , M =
[ ];
max ( )
a b f x Khi đĩ v i m i T
Ỵ (m; M) luơn t n t i ít nh t m t s c Ỵ (a; b): f(c) = T
Bài 1: Xét tính liên t c c a hàm s t i đi m đ c ch ra:
a)
khi x
ì +
ỵ
1
4
x
khi x
-¹
ïỵ
c)
2 3 2
x x x khix
khi x
ỵ
d)
2
->
ï
ỵ
x khi x
ï
ỵ
Bài 2: Tìm m, n đ hàm s liên t c t i đi m đ c ch ra:
ỵ
b)
ì +
ỵ
Trang 9c)
x x
6
3
ïï
-ï
= ïỵ
d)
2
ỵ
Bài 3: Xét tính liên t c c a các hàm s sau trên t p xác đ nh c a chúng:
a)
3 3
1 ( )
3
x
f x
khi x
¹
= í
-ïỵ
ï í
ỵ
c)
khi x
-= í +
-ỵ
d)
khi x
-¹ ï
= í
ỵ
Bài 4: Tìm các giá tr c a m đ các hàm s sau liên t c trên t p xác đ nh c a chúng:
a)
2
ỵ
b)
ï í
ỵ
c)
ỵ
f x
ỵ
Bài 5: Ch ng minh r ng các ph ng trình sau cĩ 3 nghi m phân bi t:
a) x3-3x+ =1 0 b) x3+6x2+9x+ =1 0 c) 2x+6 13 - = x 3
Bài 6: Ch ng minh r ng các ph ng trình sau luơn cĩ nghi m:
Bài 7: Ch ng minh r ng ph ng trình: x5-5x3+4x- =1 0 cĩ 5 nghi m trên (–2; 2)
Bài 8: Ch ng minh r ng các ph ng trình sau luơn cĩ nghi m v i m i giá tr c a tham s :
a) m x( -1) (3 x-2) 2+ x- = 3 0 b) x4+mx2-2mx- =2 0
c) a x b x c b x c x a c x a x b( - )( - +) ( - )( - )+ ( - )( - ) 0= d) (1-m x2)( +1)3+x2- - = x 3 0 e) cosx m+ cos2x=0 f) m(2 cosx- 2) 2sin 5= x+ 1
Bài 9: Ch ng minh các ph ng trình sau luơn cĩ nghi m:
a) ax2+bx c+ =0 v i 2a + 3b + 6c = 0 b) ax2+bx c+ =0 v i a + 2b + 5c = 0 c) x3+ax2+bx c+ =0
Bài 10: Ch ng minh r ng ph ng trình: ax2+bx c+ =0 luơn cĩ nghi m x Ỵ 0;1
3
ë û v i a ¹ 0
và 2a + 6b + 19c = 0
Trang 10BÀI T P ÔN CH NG IV Bài 1 Tìm các gi i h n sau:
n3
1 2 3
lim
3
+ + + +
n
2 sin lim
2 lim
2
2
+ +
+
n n
n n
2 2
2 lim
+
n n
5 1
5 2
lim
+ +
+
n 1 n
( 1) 4.3 lim
( 1) + 2.3
-g) lim( n2-3n- n2+ 1) g) lim(3 3n +3n2 -n) h) lim 1+( n2- n4+n)
n
2 2
2 cos
lim
1
n
lim
l) lim( n2- -2 3n3+2n)
Bài 2 Tìm các gi i h n sau:
a)
x
2 2
3
lim
®
x
2 2 1 2
lim
®
3 2 2 3
lim
3
®
-d)
x
1
lim
®
3 4 1
lim
®
3 2
4 2 2
lim
®
g)
x
3
5
1
lim
®
x
x2 x 2
2 lim
®-+
x x
2 2 1
lim
1
-Bài 3 Tìm các gi i h n sau:
a)
x
x x 2
2 lim
®
x x
2 0
lim
®
-c) x
x
1
8 3 lim
®
+
-d)
x
x x 4
lim
2
®
x x 1
lim
3 2
®
+
x x
2
1 1 lim
®
+
g)
2 3
1
lim
1
x
x
®
x
0
lim
®
-i) x
x x
3 2
lim
2
®
-k)
x
x
x
3
0
1 lim
1
®
x x
3 2 2 0
lim
®
-m) x
x 2
lim
2
®
-Bài 4 Tìm các gi i h n sau:
a)
x
x
2 2
lim
2
+
x
x2 x 1
1 lim
-®
x
3 1
lim
1
+
+
d)
x
x
2 2 2
lim
( 2)
-®
x x 3
lim 3
+
®
+
0
lim
+
®
+
g)
x
x x 2
lim
2
+
x
2 2 3
lim
( 3)
-
x
x x
x2 2
4
+
-Bài 5 Tìm các gi i h n sau:
a)
x
3 2
lim
®-¥
2 2
1 lim
®+¥
+
lim
®+¥
d)
x
4 3
4 2
2 lim
®+¥
xlim x2 1 x
®-¥ + + f)
®-¥ + - +
Trang 11g)
x
x
2 1 lim
5 2
® -¥
+
xlim x2 x 3 x
x
x
lim
1
®-¥
-k)
x
2 2
lim
®-¥
+ - +
xlim x2 x 2x2 1
xlim x2 2x x
Bài 6 Xét tính liên t c c a hàm s :
a)
khi x x
2
3
ï
-î
trên R b)
x khi x x
f x
khi x 2
sin ( )
4
ì
-¹ ïï
= í
ïî
t i x = 0
c)
khi x 2
ï
= í - +
î
trên R d) f x x khi x
x khi x
( )
= í
Bài 7 Tìm a đ hàm s liên t c trên R:
a)
2
3 2
1 1
khi x x
ïïï
-ïî
b)
1
= í
î c)
2
-î
î
Bài 8 Ch ng minh r ng ph ng trình:
a) x3+6x2+9x+ =1 0 có 3 nghi m phân bi t
b) m x( -1) (3 x2-4)+x4- = luôn có ít nh3 0 t 2 nghi m v i m i giá tr c a m
c) (m2+1) –x4 x3–1 0= luôn có ít nh t 2 nghi m n m trong kho ng (-1; 2) v i m i m
d) x3+mx2- =1 0 luôn có 1 nghi m d ng
e) x4-3x2+5 –6 0x = có nghi m trong kho ng (1; 2)
Bài 9 Cho m > 0 và a, b, c là 3 s th c tho mãn: a b c
m+2+m+1+m=0 Ch ng minh r ng
ph ng trình: f x( )=ax2+bx c+ = có ít nh0 t m t nghi m thu c kho ng (0; 1)
HD: Xét 2 tr ng h p c = 0; c ¹ 0 V i c ¹ 0 thì f f m c
2 1
www.MATHVN.com