Dãy số có giới hạn 0 mọi số d-ơng nhỏ bao nhiêu tùy ý cho tr-ớc, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số d-ơng đó... Ph-ơng pháp giải:
Trang 1Giới hạn
A Kiến thức sách giáo khoa
I Giới hạn của dãy số
1 Dãy số có giới hạn 0
mọi số d-ơng nhỏ bao nhiêu tùy ý cho tr-ớc, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở
đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số d-ơng đó
lim 0; lim 0 0 ; lim q 0 | q | 1
c Định lí: Cho hai dãy số
n n
n
| u | v
lim v 0
2 Dãy số có giới hạn hữu hạn
n
lim u L 0
lim u L lim u L 0
b Các định lí:
• Cho (un) mà un = c, n : lim un c
• limun = L n
3 3 n
lim | u | | L |
• Nếu lim un L, lim vn M thì:
n
lim u v L M; lim u v L.M; lim k.u k.L (k ); lim (M 0)
•
n
lim u L lim v lim w L L
• Dãy (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
Dãy (vn) giảm và bị chặn d-ới thì có giới hạn (3)
c Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn
•
n
1 q
S u u q u q u q u ;
1 q
•
n
u
1 q
S u u q u q u q limS lim u ;
1 q 1 q
3 Dãy số có giới hạn vô cực
Ta nói rằng dãy (un) có giới hạn +∞, kí hiệu limun = +∞, nếu với mỗi số d-ơng tùy ý cho tr-ớc, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số d-ơng đó
b Dãy số có giới hạn - ∞
Ta nói rằng dãy (un) có giới hạn là - ∞, kí hiệu limun = -∞, nếu với mọi số âm tùy ý cho tr-ớc, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó
c Các quy tắc tìm giới hạn vô cực
• Quy tắc nhân
n
lim u lim vn lim u v n n lim u n lim vn lim u v n n
• Quy tắc chia
n
lim u L 0 có dấu lim vn 0, vn 0 có dấu n
n
u lim v
Trang 2+ +
II Giới hạn của hàm số
1 Giới hạn hữu hạn
a Giới hạn hữu hạn
Cho x 0 a; b và f là hàm số xác định trên tập a; b \ x 0 Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là
số thực L, kí hiệu
0
x lim f x x L
, khi x dần đến x0(hoặc tại điểm x0), nếu với mọi dãy số x n trong tập a; b \ x 0 mà lim xn x0, ta đều có lim f x n L
b Giới hạn vô cực
0
x lim f x x
nếu mọi dãy x n trong tập a; b \ x 0 mà lim xn x0 thì lim f x n
2 Giới hạn của hàm số tại vô cực
số thực L khi x dần đến +∞, kí hiệu
x lim f x L
, nếu với mọi dãy số x n trong khoảng
a; mà lim xn , ta đều có lim f x n L
3 Các định lí
0
x lim f x x L
0
x lim g x x M L, M
0
x lim f x x g x L M
0
x lim f x g x x L.M
0
x lim k.f x x k.L k
0
x x
0
x lim f x x L
Khi đó:
•
0
x lim | f x | | L | x
•
0
3
3
x lim x f x L
• Nếu f x 0 với mọi x J \ x 0 , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x0 thì L 0 và
0
x lim x f x L
0
J \ x Khi đó:
0
x x
x J \ x : g x f x h x
lim f x L
4 Giới hạn một bên
a Định nghĩa:
số thực L khi x dần đến x0, kí hiệu:
0
x lim f x x L
, nếu với mọi dãy số x n trong khoảng x ; b 0
mà lim xn x0, ta đều có lim f x n L
• Giả sử hàm f xác định trên khoảng a; x 0, x 0 Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên trái là
số thực L khi x dần đến x0, kí hiệu:
0
x lim f x x L
, nếu với mọi dãy số x n trong khoảng a; x 0
mà lim xn x0, ta đều có lim f x n L
lim f x ; lim f x ; lim f x ; lim f x
đ-ợc phát biểu t-ơng tự nh- trên
b Định lí:
0
lim f x lim f x L lim f x L
Trang 3•
1
f x
5 Quy tắc tìm giới hạn vô cực
0
x lim f x x
0
x lim g x x L 0
có dấu
0
x lim f x g x x
0
x lim f x x L 0
có dấu
0
x lim g x x 0
g(x) có dấu
0
x x
f x lim
g x
6 Các dạng vô định
Khi tìm
f x
lim , lim f x g x , lim f x g x
g x khi x x ; x0 x ; x0 x ; x0 ; x ta gặp các dạng vô địn, kí hiệu 0, , 0 ,
0
, lúc đó ta không dùng đ-ợc các định lí về giới hạn cũng
nh- các quy tắc tìm giới hạn vô cực Phép biến đổi về các định lí và quy tắc đã biết gọi là phép khử các dạng vô định
B Các dạng toán cơ bản Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số
Ví dụ 1: Tìm:
2 3 2
8n 3n lim
n
Giải:
2
3
2
n n
2 2
2n 3n 1 lim
Giải:
2
2
3 1 2
n
lim n 1 n 1
Giải:
2
2
Dạng 2: Chứng minh lim u n 0
Cho hai dãy số
n n
n
| u | v
lim v 0
n
lim u L lim v lim w L L
1 cos n
n
Giải:
Ta có: n
1 cos n 1
và lim 1 0
n nên n
1 cos n
n
Dạng 3: Chứng minh lim u n tồn tại
Trang 4Ph-ơng pháp giải: Sử dụng định lí
Dãy (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
Dãy (vn) giảm và bị chặn d-ới thì có giới hạn
n
1 u
n n 1
có giới hạn
Giải:
Ta có
n 1
n
n n 1
Do đó dãy u n giảm Ngoài ra,
*
n
1
n n 1
nêu dãy u n bị chặn d-ới Vậy dãy u n có giới hạn
Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S ,| q | 1
1 q
Giải:
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với q 1 1
2
và u1 1 Vậy: u 1 1
1
1 q 1
2
Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực
Ví dụ: Tìm:
3 2
2n 4n 3 lim
3n 1
Giải:
Cách 1:
Ta có:
2
3
2
3 1 3n 1
n n
Lại có lim 2 42 33 2 0, lim 3 12 0
n
3
3 1
0 n
n n nên suy ra:
2
3
2
3 1 3n 1
n n
Cách 2:
Ta có:
3
2
2
2 2
1 1
3n 1
3
n 3
n n
Lại có
3
2
Dạng 6: Tìm giới hạn của hàm số
Ví dụ 1: Tính:
x 0
1 lim x.sin
x
Giải:
Xét dãy x n mà xn 0, n và lim xn 0 Ta có: n n n
n
1
f x x sin | x |
x
Vì lim | x | 0 n lim f x n 0. Do đó
x 0
1 lim x.sin 0
x
Trang 5Ví dụ 2: Tính: 2
x lim x x 1 x
Giải:
2
2
1 1
2
1 1
x x
x lim x 3x 1 x
Giải:
2
2
3 1
1
x x x
(Chú ý: khi x là ta xét x < 0, nên 2
x x )
Dạng 7: Chứng minh
0
x lim f x x 0
(Hoặc bằng L)
Giả sử J là một khoảng chứa x0 và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp J \ x 0 Khi đó:
0
x x
x J \ x : g x f x h x
lim f x L
Ví dụ: Chứng minh:
2 4 x
x sin x
1 x
Giải:
Ta luôn có: 2 4 24 24 24
Dạng 8: Tìm giới hạn một bên
với với Tìm
x lim f x 1
Giải:
Ta có:
lim f x lim 2x 3 2 1 3 1
(1)
3
lim f x lim x 1
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
x lim f x 1 1
1
x 1
x 1
f x
1
x 1
x 1
khi khi
a Tìm
x 2
lim f x
b Tìm
x 1
lim f x
Giải:
a
lim f x lim
x 1 3
b
x 1
lim f x
Trang 6Ta có:
lim f x lim ; lim f x lim lim f x lim f x
ra không tồn tại
x 1 lim f x
(Chú ý:
0
x lim f x x
tồn tại khi và chỉ khi
lim f x lim f x L
0
x lim f x x L
Dạng 9: Tìm giới hạn vô cực
x lim 4x 1
Giải:
lim 4x 1 lim x 4 lim | x | 4
Vì
x lim | x |
2
1
x
Dạng 10: Khử dạng vô định
Ph-ơng pháp giải
1 Khi tìm giới hạn dạng
0
x x
P x lim
Q x
x lim P x x x lim Q x x 0
• Với P(x), Q(x) là những đa thức nguyên theo x thì ta chia cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho
0
x x
• Nếu P(x), Q(x) chứa dấu căn thức theo x thì ta nhân cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho l-ợng liên hiệp
Ví dụ 1: Tìm:
2
x 2
x 9x 14 lim
x 2
Giải:
2
x 2 x 7
x 9x 14
Ví dụ 2: Tìm:
x 0
4 x 2 lim
4x
Giải:
Ví dụ 3: Tìm:
3
x 1
x 7 2 lim
x 1
Giải:
2
3 3
lim
12
x 7 2 x 7 4
Ví dụ 4: Tìm:
x 2
2x 5 3 lim
x 2 2
Giải:
3
Ví dụ 5: Tìm:
3
x 1
lim
x 1
Giải:
Trang 7
3
2
2
x 1
2 2 3x 2 1
3
x 1
x 2 1 lim
x 2 1
Giải:
t x 2 x 2 t x t 2, khi đó x 1 thì t 1 Do đó:
2
4
3
t 1 t t 1
4
x 2 1
Ví dụ 7: Tìm:
3
x 1
lim
x 1
Giải:
3
3 2
2
lim
x 1 x 3 2
lim
x 3 2
2 Khi tìm giới hạn dạng
x
P x lim
Q x
, ta l-u ý:
• Đặt x m (m là bậc cao nhất) làm nhân tử chung ở tử P(x) và mẫu Q(x)
• Sử dụng kết quả:
x
1
x
( với 0)
Ví dụ 1: Tìm:
2 2 x
3x 4x 1 lim
2x x 1
Giải:
2
2
4 1 3
x x
Ví dụ 2: Tìm:
2 x
x x 1 3x lim
2 3x
Giải:
1 1
2
x
Ví dụ 3: Tìm:
2 x
8x 3x 1 x lim
4x x 2 3x
Giải:
3
2
2
3 1
x x
C Bài tập tự luận
1 Tìm giới hạn của các hàm số sau:
Trang 81 22
x 3
x 5x 6
lim
x 8x 15
1 x 2
8x 1 lim
6x 5x 1
x 3
x 4x 4x 3 lim
x 3x
x 1
2x 5x 3x 1
lim
3x 8x 6x 1
x 1
x 3x 2 lim
x 4x 3
x 2
x 2x 4x 8 lim
x 8x 16
x 1
x 2x 1
lim
x 2x 1
x 0
1 x 1 2x 1 3x 1 lim
x
x 0
1 x 1 2x 1 3x 1 nx 1 lim
x
2 Tìm các giới hạn hàm số sau:
1
x 2
x 2
lim
2x 7 3 lim
x 3 2
2
x 0
1 x 1 lim
x
x 2
x 7 3
lim
3
x 2
4x 2 lim
x 2
2
x 0
1 x 1 lim
x
7
3 2 3
2
x 1
x 2 x 1
lim
x 1
3
x 0
x 1 lim
x 1
lim
x 2
10
x 0
1 x 1 x
lim
x
2
x 1
lim
x 3x 2
2x 2 3x 1 lim
x 1
13
2
x 3
lim
x 4x 3
x 9 x 16 7 lim
x
15
3 2 3
2
x 1
lim
x 1
3 Tìm giới hạn của các hàm số sau:
1 3 2
x 1
lim
x 3x 2
3
x 0
2 1 x 8 x lim
x
3 3
x 0
1 x 1 x lim
x
x 2
x 11 8x 43
lim
2x 3x 2
x 1
lim
x 1
2 3
x 1
lim
x 1
x 0
1 4x 1 6x 1
lim
x
x 0
1 2x 1 3x lim
x
4 Tìm giới hạn của các hàm số sau:
1
x
2x 3x 4x 1
lim
2 2 x
x x 1 lim
2x x 1
x
2x 3 4x 7 lim
3x 1 10x 9
50 x
2x 3 3x 2
lim
2x 1
2 2 x
x 2x 3x lim
4x 1 x 2
5x 3 1 x lim
1 x
5 Tìm giới hạn của các hàm số sau:
x lim x x 1 x x 1
x lim 2x 5 4x 4x 1
x lim x x 1 x
x lim x 2 x 1
x lim x 4x 5 8x 1
D Bài tập trắc nghiệm Dãy số có giới hạn 0
1 Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
a 1
n
d cos n n
2 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
a
n
5
3
n
1 3
n
5 3
n
4 3
3 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
a n
1, 012
1,901
4 Dãy số nào sau đây không có giới hạn?
a n
1
0,99
0,89
5 Gọi n
1
L lim
n 4
Khi đó L bằng
Trang 9a 1
5
4
6 Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
a 1
n 4 3
1 n
Dãy số có giới giạn hữu hạn
7 Cho un 1 4n
5n
Khi đó un bằng
a 3
5
5
8 Cho
n n
2 5
u
5
Khi đó limun bằng
5
9 Gọi L lim 9 cos 2n
n
thì L bằng số nào sau đây?
10 Tổng của cấp số nhân vô hạn n 1
n 1
1 1 1 , , , , ,
3
3
11 Tổng của cấp số nhân vô hạn n 1
n
1
1 1 1 , , , , ,
a 1
12 Tổng của cấp số nhân vô hạn n 1
n 1 1
1 1 1 , , , , ,
2 6 18 2.3
a 8
8
13 Tổng của cấp số nhân vô hạn: n 1
n 1
1
1 1 1
1, , , , , ,
a 2
3
Dãy số có giới hạn vô cực
14 Kết quả 3
L lim 5n 3n là
15 Biết 2
L lim 3n 5n 3 thì L bằng
16 3 2
lim 3n 2n 5 bằng
17 lim 2 3
4n 2n 1
bằng
4
18 lim 4 2
5n 2n 1 bằng
a 2
19
3
4
3n 2n 1
lim
4n 2n 1
bằng
7
Trang 1020 lim2n4 2n 2
4n 2n 5
bằng
11
21 lim 5n42 3n4
4n 2n 1
b»ng
a 3
4
4
22
3 2
2n 3n
lim
4n 2n 1
b»ng
a 3
23 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ?
n
n
n
n
u 3n n
24 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ - ∞?
n
n
n
n
u n 4n
25
2
lim
2n 1
b»ng
26 KÕt qu¶ lim n 10 n lµ
27 KÕt qu¶
2 2
3 2n 4n lim
4n 5n 3
lµ
3
28 NÕu lim un L th× lim un 9 b»ng
29 NÕu lim un L th×
3 n
1 lim
u 8 b»ng bao nhiªu?
a 1
1
1
1
L 8
30 lim 2n 3
2n 5
b»ng
a 5
31
4
4
10 n
lim
10 2n b»ng bao nhiªu?
32 lim1 2 3 n2
2n
b»ng bao nhiªu?
33
3 3
n n
lim
6n 2
b»ng
a 1
3 2
lim n n 1 n 3 b»ng bao nhiªu?
35 limn sin 2n
n 5
b»ng sè nµo sau ®©y?
a 2
Trang 1136 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 0?
a
2
n 2n
u
5n 3n
1 2n 5n 3n
2 2
1 2n 5n 3n
2
n 2 u
5n 3n
37 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ +∞?
a un n2 2n2
5n 5n
1 2n 5n 5n
2 n
1 n u
5n 5
2
n 2 u
5n 5n
38 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n +∞?
a
2
9n 7n u
n n
2007 2008n u
n 1
2 n
u 2008n 2007n d 2
n
u n 1
39 Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo b»ng – 1?
a
2 3
2n 3
lim
2n 4
2 2
2n 3 lim 2n 1
2
2n 3 lim
2n 2n
3 2
2n 3 lim 2n 1
40 Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo b»ng 0?
a
2 3
2n 3
lim
2n 4
3 2
2n 3n lim 2n 1
3 2
2n 3n lim
2n n
3 2
3 2n lim 2n 1
41 Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo lµ ?
a
2 3
2n 3
lim
n 4
2 2
2n 3n lim 2n 1
3 2
2n 3n lim
2n n
3 2
3 2n lim 2n 1
42 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 1
5?
a
2
n 2n
u
5n 5n
1 2n u
5n 5
2 n
1 2n u
5n 5
1 2n u
5n 5n
Llim n n 2 n 4
Llim n n 2 n 4
45
2
lim
2n 3
b»ng
46 lim cos 2n 9
3n b»ng
lim n 2n n 2n cã kÕt qu¶ lµ
50 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n 1
3
?
a
n 3n u
9n n 1
2
2n n u
3n 5
n 2n 1 u
3n 2n 1
2
n 2n 5 u
3n 4n 2
Giíi h¹n cña hµm sè
51 2
x lim x 1 x 7
b»ng
x lim 3x 2 3x 8
b»ng
53
2
x 1
x 3x 2
lim
x 1
b»ng
54
3 2
3x x 2
lim
b»ng
Trang 12a 5 b 1 c 5
3
55
x 1
3x 2x
lim
5x 3x 1
b»ng
a 1
5
3
56 4 2 5
x 1
3x x
lim
x x 5
b»ng
a 4
7
57
2 3
2
x 2
x x
lim
x x 3
b»ng
a 4
9
58 44 55
x 1
x 2x
lim
2x 3x 2
b»ng
a 1
12
7
7
59
3
2
x 2
x x
lim
x x 1
b»ng
a 10
7
3
60 3
x lim 4x 1 2x 3
b»ng
61 3
3 2
x 1
x 1
lim
x 3 2
b»ng
3 1
4 2
2 3
62
4 x
lim
x 2x
63
4
4
x
3x 2x 3
lim
5x 3x 1
b»ng
64
4
x
3x 2x
lim
5x 3x 2
b»ng
a 2
5
65
x
3x 2x
lim
5x 3x 2
b»ng
5
66
x
3x 4x 2
lim
9x 5x 4
b»ng
3
67
2
x 2
lim
7x 9x 1
b»ng
a 1
Trang 1368 2
x 1
x 4x 3x
lim
x 16x 1
bằng
a 1
Giới hạn một bên
69
x 3
| x 3 |
lim
3x 6
bằng
a 1
70
3 2
x 1
1 x
lim
3x x
bằng
71
x 1
x 2
lim
x 1
bằng
a 1
2
72
2
x 1
x 1
lim
x 1
là
73
3
2
x 2
x 2x 3
lim
x 2x
bằng
8
74
x 0
2x x
lim
5x x
75
2
3 2
x 1
x 4x 3
lim
76 Cho hàm số: x2 3x 1 x 2
f x
với với Khi đó
x 2 lim f x
bằng:
77 Cho hàm số f x 2x33 2x x 1
với với
x 1 lim f x
bằng
78 Cho hàm số 2
x 1
x 1
y f x
1
khi x 1 8
khi
Khi đó
x lim f x 1
bằng
a 1
8
79 Cho hàm số:
2
x 1
x 1
với
với
Khi đó
x lim f x 1
bằng
80 Cho hàm số
2
2x
x 1
1 x
f x
với với
Khi đó
x 1 lim f x
bằng
Trang 14Một vài quy tăc tìm giới hạn vô cực (dạng vô định)
81 Cho
2 2
x 1
2x 3x 1
L lim
1 x
Khi đó
a L 1
2
4
4
2
82 Cho
2 2
x 2
x 4
L lim
2x 3x 2
Khi đó
a L 4
5
5
2
2
83
2
x 2
x 3x 2
lim
2x 4
bằng
2
84
2
x 2
x 12x 35
lim
x 5
bằng
5
85
2
x 5
x 12x 35
lim
5x 25
bằng
5
86
2
2
x
x 2x 3x
lim
4x 1 x 2
bằng
a 2
3
2
87 xlim x 1 x 3
bằng
x lim x x 5 x
bằng
x lim x x 2 x
bằng
90
4
t 1
t 1
lim
t 1
bằng
91
4 4
t a
t a
lim
t a
bằng
92
4
3
y 1
y 1
lim
y 1
bằng
3
93
2 5
4
x
3x x
lim
x 6x 5
bằng
x
lim
2x 7
bằng
Trang 1595
x 0
lim
x
bằng
2
96
3
2
x 1
x 1
lim
x 3 2
bằng
3
97
2
x 5
x 2x 15
lim
2x 10
bằng
98
2
x 5
x 2x 15
lim
2x 10
bằng
99
2
x 5
x 9x 20
lim
2x 10
bằng
a 5
2
2
100
4
x
3x 2x
lim
5x x 4
bằng
a 2
5
101
3
2
x 1
x 1
lim
bằng
102 3
x
x lim x 5
x 1
bằng
103
2
3
x 1
x 3x 2
lim
x 1
bằng
a 2
3
3
3
104
3
2
x
2x x
lim
x 2
bằng
105 xlim x 5 x 7
bằng
106
2
x 3
3x 7x
lim
2x 3
bằng
a 3
x 1
lim
1 x
bằng
a 1
8
108 Nối mỗi ý ở cột bên trái với mỗi ý ở cột bên phải để đ-ợc một khẳng định đúng
1
2
x 3
x 2x 15 lim
2x 10
7 2
2
2
x 5
x 3x 10 lim
2x 10