BÀI TẬP TOÁN 11

BÀI TẬP TOÁN 11

O DI N: TRUNG đ p trai -hehe

đề 2 Bài 1: Tỡm

a)

6

293

2 3

−

−+

x x x

1

3 2lim

1

x

x x

a) Ch ng minh (SAC) vuụng gúc v i (ABCD)

b) Ch ng minh tam giỏc SAC vuụng

c) Tớnh kho ng cỏch t S đ n (ABCD)

2 9 9 lim

Ch ng minh r ng: x.y – 2(y’ - cosx) + x.y” = 0

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân B và

ABC =1200, SA ⊥ (ABC) và SA = AB = 2a G i O là trung

đi m c a đo n AC, H là hình chi u c a O trên SC

+

=

−

x y

x 2

3s in22cos 3

−

=

+

x y

= 2 y=2x−2sinx

3 y=sin x + x2 4 1 tan2 1

2

y= x+

5 y=3sin2 x−cosx 6 y=tanx+2cosx

Bài 3 Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a các hàm s :

7 y= −7 3 sin3x 8 y= 5 2sin cos− 2 x 2x

Bài 4 Hãy xét s bi n thiên và v đ th các hàm s sau:

5 sin3x−cos2x=0 6 t an4 cot 2x x= 1

13 cos2 x+cos 22 x+cos 32 x=1

14 sin 22 cos 82 sin(17 10 )

2

15 cos4 x+sin6 x=cos2x

3 D ng và tính đ dài đo n vuông góc chung c a AB và

SD

4 Tính : d[CM , SA( )]

Bài 6 Cho hình l ng tr ABC.A′B′C′ có AA′ ⊥ (ABC) và AA′

= a, đáy ABC là tam giác vuông t i A có BC = 2a, AB = a 3

1 Tính kho ng cách t AA′ đ n m t ph ng (BCC′B′)

2 Tính kho ng cách t A đ n (A′BC)

3 Ch ng minh r ng AB ⊥ (ACC′A′) và tính kho ng cách

t A′ đ n m t ph ng (ABC′)

Bài 7 Cho hình l p ph ng ABCD.A’B’C’D’

1 Ch ng minh: B’D ⊥ (BA’C’); B’D ⊥ (ACD’)

2 Tính d (BA 'C'),(ACD')⎡⎣ ⎤⎦

3 Tính d (BC'),(CD')⎡⎣ ⎤⎦

1 OA và BC 2 AI và OC

Bài 2 Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O,

c nh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a Tính kho ng cách gi a hai

4 d[I , ABCD( )] v i I là trung đi m c a SC

Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a ,tam

giac SAD đ u và (SAD) ⊥ (ABCD) g i I là trung đi m c a Sb

2 cos 1

x x

8 cos2 3cos 4 cos2

x x

sin cossin cosx x + x x =

Bài 2 Tìm m đ ph ng trình sau có nghi m:

Bài 10 Cho tam giác ABC vuông t i A G i O, I, J l n l t là trung đi m c a BC và AB, AC T O k đo n th ng

OS ⊥ (ABC)

1 Ch ng minh: (SBC) ⊥ (ABC)

2 Ch ng minh: (SOI) ⊥ (SAB)

3 Ch ng minh: (SOI) ⊥ (SOJ)

Bài 11 Cho tam di n ba góc vuông Oxyz (3 tia Ox, Oy, Oz đôi

m t vuông góc) L n l t l y trên Ox, Oy, Oz các đi m B, C, A sao cho OA = a, OB = b, OC = c Các đ ng cao CH va BK c a tam giác ABC c t nhau t i I

1 Ch ng minh: (ABC) ⊥ (OHC)

2 Ch ng minh: (ABC) ⊥ (OKB)

3 Ch ng minh: OI ⊥ (ABC)

4 G i , , l n l t là góc t o b i OA, OB, OC v i OI

Ch ng minh: cos2 + cos2 + cos2 = 1

KHO NG CÁCH

Bài 1 Cho hình t di n OABC, trong đó OA, OB, OC = a G i I

là trung đi m c a BC Hãy d ng và tính đ dài đo n vuông góc chung c a các c p đ ng th ng:

1 Ch ng minh: (SBC) ⊥ (ABC)

2 Ch ng minh: (SOI) ⊥ (ABC)

Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông c nh a Tam

giác SAB đ u n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy I, J, K

l n l t là trung đi m c a AB, CD, BC

Bài 7 Cho t di n ABCD có c nh AD ⊥ (BCD) G i AE, BF

là hai đ ng cao c a tam giác ABC, H và K l n l t là tr c tâm

c a tam giác ABC và tam giác BCD

1 Ch ng minh: (ADE) ⊥ (ABC)

Trên đ ng th ng vuông góc v i mp (P) t i giao đi m O

c a hai đ ng chéo hình thoi ta l y S sao cho SB = a

1 Ch ng minh: ∆ SAC vuông

2 Ch ng minh: (SAB) ⊥ (SAD)

Bài 9 Cho hình vuông ABCD G i S là đi m trong không gian

sao cho SAB là tam giác đ u và (SAB) ⊥ (ABCD)

3 sin3x+ 3 cos3x= 2

4 2 cos2 x− 3 sin2x= 2

5 2sin2 cos2x x+ 3 cos4x+ 2 0=

6 cos7x−sin5x= 3(cos5x−sin7x)

7

4

1)4(cos

x x

8 tanx−3cotx=4(sinx+ 3 cos )x

4 (sinx+2cosx+3)m= +1 cosx

5 (cosm x−sinx− =1) sinx

2 3sin x 2 + 8sinxcosx + ( 8 3  9)cos x 0− 2 =

3 4sin x 3 sin2x – 2cos x 42 + 2 =

4 2sin x – 5sinx.cosx – cos x 22 2 = −

5 4sin2 3 3 sin 2 cos2 4

x

6 2sin2 x+6sin cosx x+2(1+ 3)cos2x= +5 3

7 sin3x+2sin cos2x x−3cos3x=0

8 4sin3x+3sin cos2 x x−sinx−cos3x=0

Bài 2. Tìm m đ ph ng trình sau có nghi m:

1 msin2x+2sin2x+3 cosm 2x=2

2 sin2x m− sin2x−(m+1)cos2 x= 0

D NG 5 PH NG TRÌNH I X NG – PH N X NG

Bài 1. Gi i các ph ng trình sau:

1 2(sinx+cos ) 3sin cosx + x x+ = 2 0

2  3 sinx cosx 2sin2x 3 0( + ) + + =

3 sin2x –12 sinx –cosx ( )= − 12

4 2 cosx sinx( + )=4sinxcosx 1+

5 cosx –sinx –2sin2x –1 0=

6 (1+ 2)(sinx+cos ) 2sin cosx − x x− −1 2 0=

7 sin3x+cos3x= −1 sin cosx x

8 sin3x+cos3x=2(sinx+cos ) 1x −

9 tanx+cotx= 2(sinx+cos )x

3 G i BE, DF là hai đ ng cao c a tam giác SBD Ch ng minh r ng: (ACF) ⊥ (SBC), (AEF) ⊥ (SAC)

Bài 2 Cho t di n ABCD có các m t ABD và ACD cùng vuông góc v i m t BCD G i DE ,BK là đ ng cao tam giác BCD và

BF là đ ng cao tam giác ABC

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh

a SA= SB= SC=a Ch ng minh :

1 (ABCD) ⊥ (SBD)

2 Tam giác SBD là tam giác vuông

Bài 4 Cho tam giác đ u ABC c nh a, I là trung đi m c a c nh

BC, D là đi m đ i x ng c a A qua I D ng đo n SD = 6

2 Ch ng minh: (SAD) ⊥ (SCD), (SAB) ⊥ (SBC)

10 sin cos cos2

Bài 2. nh m đ ph ng trình sau có nghi m:

1 sinx+cosx= +1 msin2x

2 sin2x−2 2 (sinm x+cos ) 1 6x + − m2 = 0

D NG 6 PH NG TRÌNH L NG GIÁC KHÔNG M U

M C Bài t p Gi i các ph ng trình sau:

1 sin sin2x x= −1

2 7cos2 x+8sin100x=8

3 sinx+cosx= 2(2 sin3 )− x

4 sin3x+cos3x= −2 sin4x

M T S THI I H C

1 (1 2sin ) cos+ x 2 x= +1 sinx+cosx

2 3 cos 5x−2 sin 3 cos 2x x−sinx= 0

3 sinx+cos sin 2x x+ 3 cos 3x=2(cos 4x+sin3x)

4 (1 2 sin ) osx 3(1 2 sin )(1 s inx)

x c x

5 sin 3x− 3 cos 3x=2 sin 2x

6 2 sin (1 cos 2 ) sin 2x + x + x= +1 2 cosx

7 sin3x− 3 cos3x=sin cosx 2x− 3 sin2xcosx

−

10 2 sin 22 x+sin 7x− =1 sinx

11 (1 sin+ 2x) cosx+ +(1 cos2x) sinx= +1 sin 2x

12 cos 3x+cos 2x−cosx− =1 0

13 cot sin (1 tan tan ) 4

16 1 sin+ x+cosx+sin 2x+cos 2x=0

17 cos 3 cos 22 x x−cos2x= 0

18 5sinx− =2 3(1 sin ) tan− x 2x

19 (2 cosx−1)(2 sinx+cos )x =sin 2x−sinx

20 cot tan 4 sin 2 2

2 G i J là trung đi m CD Ch ng t : (SIJ)⊥(ABCD) Tính góc h p b i SI và (SDC)

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm

Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông

t i B, AB = 2a, BC = a 3, SA ⊥ (ABC) và SA = 2a G i M là trung đi m c a AB

1 Tính góc [(SBC), (ABC)]

2 Tính đ ng cao AK c a ∆ AMC

4 G i d là đ ng th ng vuông góc v i (ABC) t i trung đi m

K c a BC tìm d (α )

- GÓC GI A NG TH NG VÀ M T PH NG

- GÓC GI A HAI M T PH NG

Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

c nh a, tâm O, SO ⊥ (ABCD), M, N l n l t là trung đi m c a

Bài 1. Có 25 đ i bóng tham gia thi đ u, c 2 đ i thì đá v i nhau

2 tr n ( đi và v ) H i có t t c bao nhiêu tr n đ u?

Bài 2

1 T các ch s 1, 2, 3, 4, 5 có th l p đ c bao nhiêu s

t nhiên có 5 ch s ?

2 T các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên có 3 ch s và là s ch n?

3 Có bao nhiêu s t nhiên có 6 ch s đôi m t khác nhau

1 Có th th m 1 b n nhi u l n?

2 Không đ n th m 1 b n quá 1 l n?

Bài 5 Có bao nhiêu cách x p 10 h c sinh thành m t hàng d c?

Bài 6 Có bao nhiêu cách x p 5 b n A, B,C,D,E vào m t gh dài

5 ch n u:

1 B n C ng i chính gi a

2 Hai b n A và E ng i hai đ u gh

Bài 7. T các ch s 1,2,3,4,5,6 có th thi t l p đ c bao nhiêu

s có 6 ch s khác nhau mà hai ch s 1 và 6 không đ ng c nh nhau?

Bài 8. Có 2 sách Toán khác nhau, 3 sách Lý khác nhau và 4 sách Hóa khác nhau.C n s p x p các sách thành m t hàng sao cho các sách cùng môn k nhau H i có bao nhiêu cách?

Bài 9. Gi i :

1 P2.x2 – P3.x = 8

2 1

1

16

−

=

3

1 2

4 15

+ <

n n

n

n

P P

Bài 12. Có 10 quy n sách khác nhau và 7 cây bút khác nhau

C n ch n ra 3 quy n sách và 3 cây bút đ t ng cho 3 h c sinh,

Bài 15 M t nhóm có 5 nam và 3 n Ch n ra 3 ng i sao cho

trong đó có ít nh t 1 n H i có bao nhiêu cách?

Bài 16. T 20 câu h i tr c nghi m g m 9 câu d , 7 câu trung

bình và 4 câu khó ng i ta ch n ra 10 câu đ làm đ ki m tra

sao cho ph i có đ c 3 lo i d , trung bình và khó H i có th

l p đ c bao nhiêu đ ki m tra ?

1 Xác đ nh m t ph ng α

2 Tính di n tích c a thi t di n c a t giác v i m t ph ng α

Bài 12 Cho tam giác đ u ABC có đ ng cao AH = 2a G i O là trung đi m c a AH Trên đ ng th ng vuông góc v i (ABC) t i

O, l y đi m S sao cho OS = 2a G i I là m t đi m trên OH, đ t

AI = x (a<x<2a), ( α ) là m t ph ng qua I và vuông góc v i OH

1 Xác đ nh (α )

2 Tìm thi t di n c a t di n SABC và α

3 Tính di n tích cua thi t diên theo a và x

Bài 14 Cho t di n SABC có hai m t ABC và SBC là 2 tam

5 Tam giác ABC là tam giác nh n các góc c a tam giác đ u

nh n

Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD đáy là tam giác đ u c nh a, SA

⊥ (ABC) G i O là tr c tâm tam giác ABC, H là tr c tâm tam

giác SBC, I là trung đi m c a BC

1 Ch ng minh: BC ⊥ (SAI) và CO ⊥ (SAB)

2 Ch ng minh: H = h/c O/(SBC)

3 G i N = OH SA Ch ng minh : SB ⊥ CN và SC ⊥

BN

Bài 9 Cho t di n S.ABC có SA⊥ (ABC) G i H, K l n l t

là tr c tâm c a các tam giác ABC và SBC Ch ng minh:

1 AH, SK, BC đ ng quy

2 SC ⊥ (BHK)

3 HK ⊥ (SBC)

Bài 10 Cho t di n S.ABC có tam giác ABC vuông cân đ nh B,

AB =a,SA ⊥ (ABC) và SA =a 3 L y đi m M tùy ý thu c

c nh AB v i AM =x (0<x<a) G i α là m t ph ng qua M và

vuông góc v i AB

1 Tìm thi t di n c a t di n và α

2 Tính di n tích c a thi t di n theo a và x

Bài 11 Cho t di n S.ABC có tam giác ABC vuông cân đ nh B,

AB =a, SA ⊥ (ABC) SA =a G i α là m t ph ng qua trung

đi m M c a AB và vuông góc vói SB

Bài 17. H i đ ng qu n tr c a m t công ty g m 12 ng i, trong

đó có 5 n T h i đ ng qu n tr đó ng i ta b u ra 1 ch t ch

h i đ ng qu n tr , 1 phó ch t ch h i đ ng qu n tr và 2 y viên

H i có m y cách b u sao cho trong 4 ng i đ c b u ph i có

n ?

Bài 18. i thanh niên xung kích c a m t tr ng ph thông có

12 h c sinh g m 5 h c sinh l p A, 4 h c sinh l p B và 3 h c sinh l p C Tính s cách ch n 4 h c sinh đi làm nhi m v sao cho 4 h c sinh này thu c không quá 2 trong 3 l p trên

Bài 19. M t h p đ ng 15 viên bi khác nhau g m 4 bi đ , 5 bi

tr ng và 6 bi vàng Tính s cách ch n 4 viên bi t h p đó sao cho không có đ 3 màu

Bài 20. M t l p h c có 30 h c sinh nam và 15 h c sinh n Có 6

h c sinh đ c ch n ra đ l p m t t p ca H i có bao nhiêu cách

ch n khác nhau

1 N u ph i có ít nh t là 2 n

2 N u ph i ch n tu ý

Bài 21 Có 5 tem th khác nhau và 6 bì th khác nhau Ng i ta

mu n ch n ra 3 tem th và 3 bì th r i dán 3 tem th vào 3 bì

Bài 24 Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n c a nh th c:

3

5 3

x x

Bài 25. Tìm s h ng th 31 trong khai tri n

40 2

Bài 26 Tìm s h ng đ ng gi a trong khai tri n

10 3 5

Bài 27. Tìm h s c a s h ng ch a x8 trong khai tri n nh th c

Niu-t n 13 5

n

x x

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O c nh a

SA ⊥ (ABCD) và SA=a 2 G i (α ) là m t ph ng qua A và vuông góc v i SC, c t SB, SC, SD l n l t H, M, K

1 Ch ng minh: AH ⊥ SB, AK ⊥ SD

2 Ch ng minh: BD // (α ) suy ra BD // HK

3 Ch ng minh: HK qua tr ng tâm c a tam giác SAC

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O

Bài 7 Cho t di n có OA, OB, OC đôi m t vuông góc v i nhau

G i H là hình chi u vuông góc c a đi m O trên (ABC) Ch ng minh:

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm

O, SA⊥ (ABCD) G i H,I,K l n l t là hình chi u vuông góc

c a đi m A trên SB, SC, SD

1 Ch ng minh: BC ⊥ (SAB) CD ⊥ (SAD) BD ⊥ (SAC)

2 Ch ng minh: AH ⊥ SC AK ⊥ SC suy ra AH, AI, AK

Bài 1 Gieo hai con xúc x c cân đ i đ ng ch t G i A là bi n c

“ t ng s ch m trên m t c a hai con xúc x c b ng 4 “

1 Li t kê các k t qu thu n l i c a bi n c A

2 Tính xác su t c a bi n c A

Bài 2 Ch n ng u nhiên 5 con bài trong b bài tú –l –kh :

1 Tính xác su t sao cho trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài đó thu c 1 b ( ví d : có 3 con 4)

2 Tính xác su t sao cho trong 5 quân bài đó có 4 quân bài thu c m t b

Bài 3. Gieo m t con xúc x c 2 l n Tính xác su t đ :

Bài 6. Cho m t h p đ ng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu

đ , 5 viên bi màu xanh L y ng u nhiên m i l n 3 viên bi Tính xác su t trong hai tr ng h p sau:

1 L y đ c 3 viên bi màu đ

2 L y đ c ít nh t hai viên bi màu đ

Bài 7 Gieo đ ng th i hai con súc s c Tính xác su t đ

1 T ng s ch m xu t hi n trên hai con là 9

2 T ng s ch m xu t hi n trên hai con là 5

3 S ch m xu t hi n trên hai con h n kém nhau 3

Bài 8 Gieo đ ng th i 3 con súc s c Tính xác su t đ

1 T ng s ch m xu t hi n c a ba con là 10

2 T ng s ch m xu t hi n c a 3 con là 7

Bài 13 M t lô hàng g m 100 s n phNm , trong đó có 30 s n

phNm x u L y ngNu nhiên 1 s n phNm t lô hàng

CH NG III QUAN H VUÔNG GÓC

VECT TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1 Ch ng minh r ng G là tr ng tâm t di n ABCD khi và

ch khi nó th a mãn m t trong hai đi u ki n sau:

1 GA GB  GC  GD 0+ + + =

2 OA OB  OC  OD 4OG+ + + = v i O là m t đi m tùy ý

Bài 2 Trong không gian cho 4 đi m tùy ý A, B, C, D Ch ng minh r ng: AB.DC BC.DA CA.DB 0+ + =

Bài 3 Cho hình h p ABCD.A’B’C’D’ G i P, R th t là trung

đi m AB, A’D’ G i P’, Q, Q’, R’ th t là giao đi m c a các

đ ng chéo trong các m t ABCD, CDD’C’, A’B’C’D’, ADD’A’ Ch ng minh r ng:

1 PP' QQ' RR' 0+ + =

2 Hai tam giác PQR, P’Q’R’ có cùng tr ng tâm

Bài 4 Cho t di n ABCD G i G, G’ l n l t là tr ng tâm t

di n ABCD và tam giác BCD Ch ng minh r ng: A, G, G’

th ng hàng

Bài 5 Cho hình l ng tr tam giác ABC.A’B’C’ G i I, J l n l t

là trung đi m BB’, A’C’ K là đi m trên B’C’ sao cho KC'= −2KB Ch ng minh b n đi m A, I, J, K th ng hàng

Bài 6. Cho hình h p ABCD.A’B’C’D’ có

BA=a BB =b BC= G i M, N l n l t là hai c đi m n m trên

AC, DC’ sao cho MC=n AC C N , ' =mC D '

1 Hãy phân tích BD theo các véct , ,' a b c

2 Ch ng minh r ng: (MN = m n a− ) + −(1 m b nc) +

3 Tìm m, n đ MN //BD’

Bài 7 Cho hình l p ph ng ABCD.A’B’C’D’

Bài 1. Cho hình l ng tr ABC.A’B’C’.G i I và I’ l n l t là

trung đi m c a các c nh BC và B’C’

1 Ch ng minh r ng AI // A’I’

2 Tìm giao đi m IA’ ∩ (AB’C’)

3 Tìm giao tuy n c a (AB’C’) ∩ (BA’C’)

Bài 2. Cho l ng tr tam giác ABC.A’B’C’ G i I , K , G l n l t

là tr ng tâm c a các tam giác ABC, A’B’C’ và ACC’ Ch ng

Bài 4. Cho l ng tr tam giác ABC.A’B’C’

1 Tìm giao tuy n c a (AB’C’) và (BA’C’)

2 G i M, N l n l t là hai đi m b t kì trên AA’ và BC Tìm

giao đi m c a B’C’ v i mp(AA’N ) và giao đi m c a MN

v i mp(AB’C’)

Bài 5. Cho hình h p ABCD.A’B’C’D’

1 Ch ng minh r ng (BA’C’) // (ACD’)

2 Tìm các giao đi m I = B’D ∩ (BA’C’); J = B’D∩ (ACD’)

Ch ng minh r ng 2 đi m I, J chia đo n B’D thành 3 ph n

1

2

)13(13

85

=

−+++

2

6

)12)(

1(

32

31

2 2

2

=

−++

4

3

)12)(

1(2)2(

321

2 2

3 3

3

=+++

3

)1()1()1(

4.33.22

n n

7 1.2+2.5+ +n(3n−1)=n2(n+1)

8

1)

1(

1

3.2

12.1

1

+

=++++

n

n n

n

9

14)14)(

34(

1

9.5

15.1

1

+

=+

−+++

n

n n

11) (

9

11)(

4

11(

Bài 3. Cho n là m t s nguyên l n h n 1.Hãy ch ng minh b t

đ ng th c

24

132

1

2

11

1

>

+++

34

n

n u n

−

=+

2 Gi s AB ⊥ CD thì MN QG là hình gì? Tính SMN PQ bi t

AM = x, AB = AC = CD = a Tính x đ di n tích này l n

nh t

HAI M T PH NG SONG SONG

Bài 1 Cho hai hình bình hành ABCD , ABEF có chung c nh

AB và không đ ng ph ng I, J, K l n l t là trung đi m c a các

c nh AB, CD, EF Ch ng minh:

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông

t i A và D; AD = CD = a ; AB = 2a, tam giác SAB vuông cân

t iA.Trên c nh AD l y đi m M t AM =x M t ph ng (α) qua

M và //(SAB)

1 D ng thi t di n c a hình chóp v i (α)

2 Tính di n tích và chu vi thi t di n theo a và x

Bài 5. Cho hai mp (P) và (Q) song song v i nhau và ABCD là

m t hình bình hành n m trong mp (P) các đ ng th ng song song đi qua A, B, C, D l n l t c t mp (Q) t i các đi m A', B', C', D'