Một Số Kinh Nghiệm Trong Việc Giúp Học Sinh Giải Các Bài Tập Về Giới Hạn Của Hàm Số

Trong chương trình sách giáo khoa THPT thì không đưa ra quy tắc tìmgiới hạn dạng vô định, nhiều định lý, hệ thống bài tập loại này lại nhiều gây khókhăn cho cả giáo viên và học sinh , đa

MỤC LỤC

Chương 1 CƠ SỞ ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP 3

1.1 Sự cần thiết hình thành giải pháp 3

1.2 Mục tiêu của giải pháp 4

1.3 Tổng quan các vấn đề liên quan đến giải pháp 4

1.4 Các căn cứ đề xuất giải pháp 4

1.5 Phương pháp thực hiện 4

1.5.1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu 4

1.5.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 4

1.6 Đối tượng và phạm vi áp dụng 5

Chương 2 QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH VÀ NỘI DUNG GIẢI PHÁP 5

2.1 Quá trình hình thành 5

2.1.1 Giải pháp đề xuất 5

2.1.2 Áp dụng thử nghiệm 6

2.1.3 Những cải tiến cho phù hợp với thực tiễn phát sinh 7

2.2 Nội dung giải pháp 9

2.2.1 Cấu trúc, các thành phần của giải pháp 10

2.2.2 Các chỉ dẫn cụ thể, mô tả rõ từng giải pháp trong cấu trúc tổng thể để khắc phục những hạn chế của các giải pháp đã biết) 20

Chương 3 HIỆU QUẢ GIẢI PHÁP 29

3.1 Thời gian áp dụng 29

3.3 Khả năng triển khai, áp dụng giải pháp 29

Chương 4 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ 30

4.1 Kết luận 31

4.1.1 Tính mới 31

4.1.2 Tính khả thi 31

4.1.3 Lợi ích giải pháp đạt được và dự kiến đạt được 31

4.2 Đề xuất, kiến nghị 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO 33

MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG VIỆC GIÚP HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TẬP VỀ

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Chương 1 CƠ SỞ ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP 1.1 Sự cần thiết hình thành giải pháp:

Thực tế trong nhà trường THPT hiện nay, đặc biệt là trường có điểm đầuvào thấp như trường THPT Nguyễn Văn Cừ thì chất lượng học tập môn Toáncủa học sinh còn thấp, phần lớn là học sinh yếu kém nên khả năng học tập môntoán của các em còn yếu Mặt khác qua 6 năm giảng dạy tôi thấy chương giớihạn hàm số là một trong những chương khó ở lớp 11, các khái niệm về giới hạn,hàm số liên tục là khá trừu tượng, mới mẻ đối với học sinh THPT

Trong chương trình sách giáo khoa THPT thì không đưa ra quy tắc tìmgiới hạn dạng vô định, nhiều định lý, hệ thống bài tập loại này lại nhiều gây khókhăn cho cả giáo viên và học sinh , đa số học sinh rất khó tiếp thu, không biếtphân biệt được dạng để áp dụng và giải bài tập mà các bài toán về tìm giới hạnhàm số và ứng dụng của giới hạn hàm số giữ một phần rất quan trọng để xét tínhliên tục của hàm số, dùng định nghĩa để tính đạo hàm…

Vì vậy để giúp học sinh khối 11 học tốt phần bài tập giới hạn của hàm sốcũng như nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường tôi đã chọn đề tài “Một

số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 giải các bài tập về giới hạn của hàm số”

1.2 Mục tiêu của giải pháp:

Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh, tạohứng thú học tập cho học sinh

Làm cho học sinh hiểu rõ và phân loại được từng dạng bài tập giới hạnhàm số trong SGK, sách bài tập và mở rộng kiến thức để làm một số bài tập khó.

Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học

Trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm trong việc dạy bộ môn nhằm nâng cao hiệuquả giảng dạy

1.3 Tổng quan các vấn đề liên quan đến giải pháp

Khi học chương giới hạn và giải các bài tập liên quan đến giới hạn củahàm số học sinh cần nắm vững các định nghĩa, thuộc các định lý, công thức cũngnhư cách áp dụng công thức cho từng bài toán cụ thể

Cần nắm vững từng dạng bài tập mà lựa cách giải cho phù hợp

1.4 Căn cứ đề xuất giải pháp

Dựa trên thực trạng đa số các em học sinh rất khó tiếp thu khi học chươnggiới hạn, khi làm bài tập giới hạn hàm số không biết cách áp dụng và phân biệtdạng nào với dạng nào nên cần thiết phải có một tài liệu hướng dẫn các em giảiquyết những khó khăn đó và hỗ trợ các em học tập tốt hơn

1.5 Phương pháp thực hiện

1.5.1 Phương pháp nghiên cứu

- Được sự quan tâm của BGH nhà trường đến bộ môn, sự giúp đỡ của quýthầy cô trong tổ đã góp ý cho việc sưu tầm, biên soạn tài liệu ôn tập tốt hơn

- Thư viện nhà trường có nhiều tài liệu liên quan thuận lợi cho việc nghiêncúu tìm tòi

- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài, từ mạnginternet, học hỏi kinh nghiệm từ đồng nghiệp…

1.5.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

- Khi dạy chủ đề này, tôi cho học sinh photo tài liệu Kết hợp với bài giảngtrên lớp và bài tập mẩu trong tài liệu , tôi yêu cầu các em làm bài tập tương tựsau mỗi dạng toán tôi dạy Tùy theo khả năng của mình mà học sinh làm phầnbài tập tương ứng

- Ngoài ra khi dạy phần này, tôi cũng chỉ dẫn cho học sinh tham khảo các

đề thi học kỳ của Sở giáo dục Qua đó cho các em thấy được sức mình để màhọc tập

1.6 Đối tượng và phạm vi áp dụng

- Đề tài này chỉ nghiên cứu và áp dụng trong phạm vi kiến thức trọng tâmmôn toán cho học sinh lớp 11 ở học kỳ 2

- Học sinh khối 11 trường THPT Nguyễn Văn Cừ

Chương 2 QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH VÀ NỘI DUNG GIẢI PHÁP

2.1 Quá trình hình thành

2.1.1 Giải pháp đề xuất:

Trong những năm gần đây cùng với sự phát triển mạnh mẽ của đất nước thìnền giáo dục đã liên tục có những cải cách, đổi mới nhằm đáp ứng yêu cầu nângcao chất lượng giáo dục và đào tạo Điều đó dẫn tới việc giáo dục phải có nhữngphương pháp giảng dạy cho phù hợp, việc nghiên cứu kỹ từng bài dạy, từng đặcđiểm bộ môn và đối tượng người học để có sự kết hợp đa dạng các phương phápdạy học là việc cần làm ngay của mỗi giáo viên

Hơn nữa đa phần các em học sinh ở trường Nguyễn Văn Cừ vì điều kiệnkinh tế khó khăn phải dành nhiều thời gian phụ giúp gia đình, một số em chưathực sự phát tập trung cho việc học, nhiều em hổng kiến thức cơ bản từ lớp dưới

nên khi học chương khó có nhiều định lý và nhiều dạng bài tập như chương giớihạn thì các em thực sự lúng túng, không phân loại được từng dạng bài tập dẫnđến kết quả học tập là không cao.

- Vì vậy để giúp học sinh có thể dễ dàng tiếp thu, không ngại khó khăn khigiải các bài toán giới hạn, biết phân loại và tìm ra phương pháp giải từng dạngbài tập nhằm nâng cao kết quả học tập tôi đã tìm tòi tài liệu và dựa vào những

kinh nghiệm của các năm giảng dạy lớp 11 từ đó tiến hành soạn đề tài: “Một số kinh nghiệm trong việc giúp học sinh giải các bài tập về giới hạn hàm số’’

dùng cho học sinh khối 11 trường THPT Nguyễn Văn Cừ”

1.1.1 Áp dụng thử nghiệm

10/9/201515/10/2015 Xác định đề tài nghiên cứu

15/10/201510/11/2015 Xây dựng đề cương + Thu thập tài liệu

+nghiên cứu tài liệu15/11/201528/2/2016 Viết đề tài và Thực nghiệm sư phạm

01/3/201610/3/2016 Nghiên cứu lại các nội dung đã viết, chỉnh

sửa hoàn thiện đề tài

1.1.2 Những cải tiến cho phù hợp với thực tiễn phát sinh

a) Xác định đối tượng học sinh, phân loại bài tập để áp dụng cho từng đối tượng:

Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biệnpháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp

đỡ học sinh yếu kém Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biệnpháp rèn luyện tích cực giúp các em ngày càng tiến bộ Tuy nhiên ngoài việc dạytốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ từng đối tượng học sinh đểhọc sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, học sinh khá giỏikhông nhàm chán cụ thể :

- Với học sinh trung bình yếu thì yêu cầu học sinh cần đạt được được điểm 5-6

vì vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh giải được các dạng toán cơ bản ởmức độ nhận biết và suy luận đơn giản

- Với học sinh khá giỏi thì yêu cầu học sinh cần đạt được được điểm từ 6.5 trởlên Vì vậy ngoài những dạng toán cơ bản, học sinh cần phải nắm vững thêmnhững dạng toán nâng cao, toán khó Do đó người giáo viên cần hướng dẫnhọc sinh phải biết phân loại các dạng toán và phương pháp giải ở mức độthông hiểu và vận dụng

b) Xây dựng tài liệu học tập

-Tài liệu học tập được biên soạn dưới dạng tóm tắt kiến thức cơ bản của sáchgiáo khoa theo từng chủ đề, phân dạng toán và phương pháp giải và một số bàitập áp dụng

- Học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:

1 Giới hạn hữu hạn:

x  x





lim ( ) lim ( ) ( ) x xlim ( )

x x

x x

nếu L và g x cùng dấu

f x g x nếu L và  g x trái dấu

2.2 Nội dung giải pháp

Trong quá trình giải bài tập giới hạn của hàm số học sinh thường gặp 3dạng bài tập tìm giới hạn hàm số cơ bản sau:

- Tìm giới hạn của hàm số tại một điểm:    

x đang tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới hạn bên trái, giớihạn bên phải) mà phân loại cho học sinh dễ nhận biết dạng bài tập

Trong mỗi trường hợp nêu trên lại chia ra thành nhiều dạng bài tập nhấtđịnh Ở đây tôi sẽ khái quát phương pháp giải cụ thể, ví dụ minh họa vàmột số bài tập về giới hạn hàm số theo từng dạng như sau:

2.2.1 Tìm giới hạn của hàm số tại một điểm:

- Dạng này ta chỉ cần thay trực tiếp x0 vào biểu thức f(x)

- Cần lưu ý là chỉ thay x0 được khi f x  là hàm đa thức, hàm căn hoặc làdạng phân số khi thay x vào thì có mẫu khác 0

Phương pháp giải một số dạng loại này:

Dạng 1:

-Nếu f(x), g(x) là các hàm đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng 2 thì ta phântích các đa thức thành nhân tử rồi giản ước nhân tử chung Thế x0 vào tính

là xong

Chú ý: Nếu f(x), g(x) là đa thức bậc 2 ta có thể hướng dẫn học sinh sử

dụng máy tính bấm ra 2 nghiệm và áp dụng quy tắc sau để phân tich thànhnhân tử: Nếu f x( )ax2 bx c 

1 2

Dạng 2: Nếu f(x), g(x) là các hàm đa thức có bậc cao hơn 2 thì ta phân tích các

đa thức thành nhân tử, giản ước nhân tử chung rồi làm tương tự dạng 1

3 Ấn Calc rồi nhập các giá trị b,c,d,… được các kết quả chẳng hạn là e,f,g,

…đây là các hệ số của đa thức :

x x

a) Nếu f(x), g(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc thì nhân tử và mẫu cho

các biểu thức liên hợp Các biểu thức liên hợp thường gặp:

x x

2lim

a Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng

tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.

b Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.

c Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.

x x

3 2

4 4 1

3 x

) lim 9x x 4x +1

2.2.3 Tìm giới hạn một bên của hàm số:        

g x nên phương pháp giải chủ yếu là làm giống

dạng 2 (đã nêu ở trên) của phần giới hạn hàm số tại một điểm

2 23

Khi giải các dạng bài tập giới hạn học sinh cần vận dụng kỹ các dạng bài tập và

các phương pháp nêu trên và cần lưu ý đến các dạng vô định : 0

0,



,  – , 0.

để tìm cách khử dạng vô định( khi nào khử hết dạng vô định mới thôi) và sử

dụng phương pháp giải cho phù hợp nhằm mang lại kết quả tốt nhất

Chương 3 HIỆU QUẢ GIẢI PHÁP 3.1 Thời gian áp dụng và hiệu quả đạt được

Tôi đã áp dụng sáng kiến này vào dạy ở các năm trước và triển khai ngay từ đầuhọc kỳ 2 năm học 2015 – 2016 tại trường THPT Nguyễn Văn Cừ với 02 lớp11A3 và 11A5 với kết quả rất khả quan Cụ thể cùng 1 đề bài kiểm tra 45’ màkết quả thu được như sau:

+) Lớp 11A3 (lớp áp dụng sáng kiến): Có 16% điểm <5; 67% điểm đạt từ 5điểm đến 7.5; 17% đạt điểm giỏi

+) Lớp 11A5 (lớp không áp dụng sáng kiến): Có 37% điểm <5; 46% điểm đạt từ

5 điểm đến 7.5; 7% đạt điểm giỏi

3.2 Khả năng triển khai

Việc sử dụng tài liệu này tôi thấy các em học sinh tự tin hơn trong quá trình họctập, các em có xu hướng tự học, giải bài tập dễ dàng hơn và việc triển khai đề tàinày trong toàn khối 11 sẽ giúp các em học tập đạt kết quả tốt nhất

3.3 Kinh nghiệm thực tiễn khi áp dụng giải pháp

- Để giảng dạy tốt thì mỗi giáo viên cần đầu tư nhiều vào nghiên cứu mởrộng kiến thức cho mình đồng thời cũng biết tạo cho mình một bộ tài liệu riêngdành để phục vụ giảng dạy, lúc này mình sẽ tự tin hơn khi đứng lớp

- Cần tạo không khí trong lớp học thoải mái, tránh căng thẳng nặng nề trongcác tiết học và tạo thái độ học tập hứng thú, tích cực, độc lập, tự giác, sáng tạocho học sinh

- Để giải những bài toán giới hạn không chỉ phụ thuộc vào giáo viên màngay cả các em học sinh cũng phải có quyết tâm cao độ, luôn tìm ra phươngpháp học tập tốt nhất cho mình, học bằng chính sức mình, trình bày theo ý mình

dựa trên sự hướng dẫn của người thầy, có những suy luận đúng đắn, sáng tạothông qua những câu hỏi, bài toán

Chương 4 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ 4.1 Kết luận

Mặc dù năm nay chưa được áp dụng rộng rãi trong toàn khối nhưng qua thực

tế áp dụng đề tài trong những năm trước và thực tế áp dụng cho năm nay tôinhận thấy học sinh đã biết nhận dạng, có kỹ năng biến đổi các loại bài tập đongiản và đã biết cách xử lý các bài toán khó hơn một cách hợp lý Từ đó khuyếnkhích được lòng hăng say học tập của các em yếu kém và phát huy tối đa sự tìmtòi của các em khá giỏi

Tôi nhận thấy việc biên soạn bộ tài liệu ôn tập cho học sinh là hết sức cầnthiết, khi giáo viên biên soạn sẽ bám sát theo sách giáo khoa và áp dụng hợp lýcho từng đối tượng học sinh và để làm được điều này giáo viên cần nắm rõ đặcđiểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ các em, songsong với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu kém Việcnày cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháp rèn luyện tích cựcgiúp các em ngày càng tiến bộ

4.1.1 Tính mới

Đề tài này là hệ thống các dạng bài tập hết sức cơ bản và cần thiết cho họcsinh và cũng là tài liệu hỗ trợ tốt cho giáo viên trong công tác giảng dạy So vớiviệc giáo viên giảng day từng bài trong sách giáo khoa rồi sửa từng bài tập thì sẽkhông phân loại được từng dạng bài tập, không chỉ ra được hết những phươngpháp mới như bấm máy tính để phân tích đa thức thành nhân tử, sử dụng sơ đồHoocner… nên học sinh sẽ thiếu hẳn những kỹ năng xử lý bài toán một cáchnhanh gọn lẹ

Khi áp dụng giải pháp này học sinh sẽ giải quyết được những điều trên vàgiải từng dạng bài tập một cách hiệu quả nhất.

4.1.2 Tính khả thi

Tôi nghĩ rằng khi phổ biến đề tài này rộng rãi cho học sinh toàn khối 11 thì

sẽ giúp các em học sinh học tập mau tiến bộ hơn và sẽ đạt được kết quả tốt nhấtthể hiện qua các bài kiểm tra trên lớp cũng như các bài kiểm tra học kỳ 2

Việc áp dụng đề tài là hoàn toàn có thể thực hiện được và thực sự cần thiếtđối với học sinh khối 11 trường Nguyễn Văn Cừ

4.1.3 Lợi ích của việc sử dụng đề tài

Hạn chế được số lượng lớn học sinh bị mất căn bản, các em học sinh trung bìnhyếu có thể làm được những dạng giới hạn cơ bản một cách dễ dàng, những phầnkhó hơn tí thì chỉ cần theo sự hướng dẫn của giáo viên, đọc tài liệu và những ví

dụ có sẵn rồi làm bài tương tự thì cũng có thể đạt được điểm 7 đến 8, những emkhá giỏi thì có thể đạt điểm 9, 10 Nếu nắm vững được tất cả các dạng toán trong

đề tài thì các em sẽ giải các đề thi học kỳ 2 của Sớ giáo dục và một số đề thikhác một cách dễ dàng, riêng câu khó về phần giới hạn trong các đề thi gần đâythì các em khá giỏi hoàn toàn có thể làm được

4.2 Đề xuất, kiến nghị:

- BGH cho phép triển khai trong những năm tới và áp dụng đề tài trên chohọc sinh toàn khối 11, đánh giá kết quả trong thời gian dài hơn, nhiều đối tượnghơn để phổ biến thành tài liệu ôn tập cho học sinh đạt kết quả cao trong học tập

- Tổ chuyên môn cần sắp xếp thời gian để có các buổi họp chuyên đề giúpcác thành viên trong tổ có điều kiện trao đổi chuyên môn, học tâp kinh nghiệmlẫn nhau

- Sở giáo dục và đào tạo cần tổ chức nhiều cuộc hội thảo về chuyên đề traođổi kinh nghiệm giảng dạy, trao đổi những chuyên đề về chuyên môn, nâng caotrình độ chuyên môn cho giáo viên…

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Nguyễn Cam – ThS Lê Văn Phước (2008) : Tuyển chọn 400 bài tập đại số vàgiải tích 11- NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội

2 Trần Văn Hạo (2007), Đại số và Giải tích 11 cơ bản, NXB Giáo dục

3 Trần Văn Hạo (2007), Đại số và Giải tích 11 cơ bản ( sách giáo viên ), NXBGiáo dục

4 Đoàn Quỳnh - Nguyễn Huy Đoan (2007), Đại số và Giải tích 11 nâng cao,NXB Giáo dục

5 Đoàn Quỳnh - Nguyễn Huy Đoan (2007), Đại số và Giải tích 11 nâng cao( sách giáo viên ), NXB Giáo dục