Sau đây là một số cách xây dựng các dãy có giới hạn cho trước... Để tìm nghiệm của phương trình Fx = 0 thì chọn giá trị x0 tương đối gần với nghiệm đó và xây dựng dãy truy hồi... Nguồn:
Trang 1Bài toán Cho dãy số xn : x1= 2; x n+1 = 2+x n ,∀ ∈x N* Tìm lim xn?
Cách 1: Sử dụng tính đơn điệu và bị chặn:
Ta có x1 < 2 → hiển nhiên
Giả sử xk < 2 → ta chứng minh xk+1 < 2 ⇔ x k + < ↔ <2 2 x k 2 (đúng) Vậy x n < ∀ ∈2 n N*
Ta có x1 < x2 (đúng)
Giả sử xk-1 < xk ta chứng minh xk < xk+1
2+x k− < 2+x k ↔ x k− < →x k Đpcm
Vậy dãy {xn} đơn điệu tăng và bị chặn trên nên có giới hạn L Ta có phương trình tìm L: L= 2+ ⇔L L2 − − =L 2 0
2 1
L L
=
⇔ = −
Do {xn} dương nên giới hạn L = 2
Cách 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy sau đó sử dụng giới hạn cơ bản
+ Ta có 1 2 2 2
2
x = cos π = (đúng)
+ Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được xn 2.cos n 1, n N*
2 +
π
+ lim lim 2 1 2
2 +
Cách 3: Sử dụng nguyên lý kẹp
+ Ta chứng minh xn < 2 (như trên)
+ Ta chứng minh: 2 11 *
2 −
− n <x n ∀ ∈n N bằng quy nạp
với 1 2 1 2
1
= → − <
Giả sử bất đẳng thức đúng đến k ta có:
1
1
2
2 −
− k < x k ⇔ − k < +x k
Vì 2 1 2 2 11 4 12 12 4 11
− k < + − k ⇔ − k + k < − k
−
⇔ + < − ⇔ − + < − ⇔ > (đúng ∀k ≥ 2)
Mà 2 2 1k 1 2 xk
2 − + − < + → Điều phải chứng minh
Trang 2Vậy 2 1k 1 xn 2
2 −
− < <
1 lim 2 lim 2 2 limx 2
2 −
Cách 4: Sử dụng định nghĩa
+ ∀ξ > 0 bé tùy ý tồn tại N(ξ) sao cho ∀n > N(ξ) thì xn − < ξ2 (*)
+ Ta chứng minh xn < 2 (theo chứng minh trên)
+ (*) ⇔ 2 – xn < ξ
+ Chứng minh xn 2 n 11
2 −
> − (theo chứng minh trên)
Do đó: 2 xn 2 2 1n 1 n 11
2 − 2 −
− < − − ÷=
2
−
− < ξ ↔ > ⇔ − >
Chọn: N 1= +log21+1
ξ
Ta có: 2 x− n < ξ, ∀n > N → Điều phải chứng minh
Nhận xét 1: Từ các cách giải trên có thể phân tích để tìm chìa khóa của bài
toán đó là: giới hạn của dãy số trên nếu có được tìm từ phương trình:
L 2
L 0
>
Nhận xét 2: Từ cách giải (1) ta có thể mở rộng bài toán như sau:
Bài toán 1.1: Cho x1 = a > 0; xn = a x+ n 1− ∀ ≥n 2;n N∈ tìm lim xn (giải tương tự cách 1)
Bài toán 1.2:
Cho {xn} xác định với 1
x + a bx
=
với n ∈ N
*; a > 0; b > 0
Tìm lim xn (giải tương tự cách 1)
Bài toán 1.3: Chứng minh dãy {xn}
x = a + a + + a với ai > 1 i 1;n∀ = có giới hạn nếu:
limln(ln )a n ln 2
n <
Nhận xét 3: Từ cách giải (2) ta có thể giải bài toán sau:
Trang 3Bài toán 1.4: Cho
n
x = 2+ 2 + + 2 (n dấu căn) a) Tìm 1 2 n
n
x x x lim
2
b) Đặt n
n
y =2 2− 2+ 2 + + 2 Tìm lim yn?
Giải:
a) Từ kết quả 2 os 1
2
+
=
Ta có
n
1 2 n
2 cos cos cos
+
=
n
n
n 1
2 cos cos cos sin
lim
2 sin
2
+
π
n
n 1
2
2 sin sin
2
+
π
π π π π
y 2 2 2cos 2 sin
+
+
n 1 n
n 1
sin 2 lim y lim
2
+ +
π
Nhận xét 4: Vấn đề đặt ra là làm thế nào để xây dựng các dãy có giới hạn
bằng α và có bao nhiêu dãy có cùng giới hạn bằng α Sau đây là một số cách xây dựng các dãy có giới hạn cho trước
Hướng 1: Từ phương trình tìm giới hạn ta có nghiệm L = 2 ta xây dựng các
dãy có giới hạn bằng 2 như sau:
+ Xuất phát từ L – 2 = 0 → (L – 2) (L + 1) = 0 ⇒ L2 – L – 2 = 0
⇒
= − +
Chọn L= 2 L+ đặt x1= 2;xn = 2 x+ n 1− , n N,n 2∀ ∈ ≥
(Không xét)
Trang 4Tìm lim xn (ta có ví dụ trên)
+ Hoặc (L – 2) (L + a) = 0 (với a > 0)
2
L (a 2)L 2a 0
L 2a (a 2)L
L 2a (a 2)L(không xét)
⇔
Ta chọn L= 2a (2 a)L+ −
Đặt x1 = 2a
xn = 2a (2 a)x+ − n 1− với n 2
n N
≥
∈
Tìm lim xn (ta có bài toán 1-2)
Hướng 2: ta có
2
α = → α = ⇒ α = ⇒ α = α + ⇐ α = α + ÷
Từ đó xét dãy số: x1 = α
n 1
2 − x −
Với cách tương tự ta xây dựng được dãy hội tụ tiến về căn bậc k của n như sau:
Dãy {xn}:
0
n 1
x
2 − x −−
= α
Một cách tương tự khi cần cho dãy có giới hạn bằng 2 ta xây dựng dãy số
0
2
n 1
n 2 x
x 1 x
n N 2
−
−
=
∀ ≥
(Điều phải chú ý là giá trị x0 và giá trị α trong các kiến thiết trên không phải lấy tùy ý)
Hướng 3: ta có thể dùng phương pháp xấp xỉ nghiệm Newton để xây dựng
các dãy số
Để tìm nghiệm của phương trình F(x) = 0 thì chọn giá trị x0 tương đối gần với nghiệm đó và xây dựng dãy truy hồi
n
n 1 n '
n
F(x )
F (x )
Trang 5Khi đó {xn} sẽ dần đến nghiệm của phương trình F(x) = 0
Chẳng hạn xét F(x) x= 2 −4 thì
2 '
F(x) x 4
F (x) 2x
−
= ta được:
2
n
+
(trùng với kết quả ở hướng 2)
Hướng 4: Xây dựng dãy truy hồi từ cặp nghiệm của phương trình bậc 2 giả sử
ta có phương trình: x2 + bx – 1 = 0 gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình, với
a ∈R, a ≠ 0 xét
x =a(x +x )⇒x =a x + +x + +2
x
a
+
+
2 n
n 1
x
a
+
Như vậy {xn} thỏa mãn công thức truy hồi (*)
Chọn a 1;b 4
2
Thì {xn} xác định như sau: 0 2
n 1 n
x 2
x + 2x 1
=
tìm số hạng tổng quát của dãy Tương tự nếu xét ( 3 n 3 n)
x =a x +x thì ta có
3 n
x
a
Thực chất là ta xây dựng dãy truy hồi tuyến tính bậc n đối với 2 nghiệm của phương trình bậc 2
Nguồn: Bồi dưỡng Giáo Viên SGD Nghệ An năm 2010