Phòng giáo dục đao tạo vụ bảnChủ đề Biểu thức đại số Biên soạn : Trần Đại Thắng - Trường THCS Hiển Khánh Nguyễn Minh Đức – Trường THCS Hợp Hưng... Một số dạng bài tập thường gặp:1/ Loại
Trang 1Phòng giáo dục đao tạo vụ bản
Chủ đề
Biểu thức đại số
Biên soạn : Trần Đại Thắng - Trường THCS Hiển Khánh Nguyễn Minh Đức – Trường THCS Hợp Hưng
Trang 2A Một số dạng bài tập thường gặp:
1/ Loại 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa:
Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa là tìm điều kiện cho sự tồn tại của các biểu thức có trong bài toán và suất hiện trong quá trình biến đổi
Khi làm câu hỏi này cần chú ý:
+ Đối với phân thức có nghĩa B 0
B
+ Đối với căn thức A có nghĩa A 0
2/ Loai 2: Rút gọn biểu thức đại số:
- Khi rút gọn biểu thức đại số ta cần đặt điều kiện cho sự tồn tại của biểu thức
- Sử dụng thành thạo , linh hoạt các phép biến đổi
- Chú ý một số phương pháp :
* Thông thường một biểu thức cần rút gọn ở dạng
M = (
F
E D
C B
A
: )
- Trước hết cần rút gọn từng phân thức ( nếu có thể)
F
E D
C B
A
;
;
- Biến đổi , quy đồng , thực hiện phép tính
* Nếu a x2 + b x + c = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thì
a x2 + b x + c = a ( x – x1)( x- x2)
Ví dụ : CMR giá trị của biểu thức
không phụ thuộc vào biến số x
Bài làm
2
M
x x x x x x
x x x x
x x x x
Vậy M không phụ thuộc vào x
* Biến đổi biểu thức bên trong căn về dạng bình phương để khai phương
Ví dụ: Rút gọn biểu thức :
(a;b;c 0 )
A a b c ac bc a b c ac bc
Trang 3Bài làm
A a b a b c c a b a b c c
a b c a b c
2
2
a b khi a b c
c khi a b c
* Trong quá trình biến đổi biểu thức ta hay sử dụng các hằng đẳng thức sau:
a - b = ( a- b) ( a+ b)
a3 b3 = ( a b) ( a ab+ b)
( a b) 2 = a 2 ab + b
3/ Loại 3: Tính giá trị của biểu thức đại số.
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức số:
Chú ý: Nếu biểu thức có dạng A 2 B Trong đó A = a+b và B = a.b Thì
A 2 B = ( a b) 2
Ví dụ : 4 2 3 = ( 3 1 ) 2 3 1
5 24 = 5 2 6 ( 3 2 )2 3 2
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức đại số tại giá trị cho trước của biến (tính A(x) tại x
= a)
+) Bước 1: Rút gọn A(x) nếu có thể
+) Bước 2: Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn rồi thực hiện phép tính +) Bước 3: Kết luận
4/ Loại 4: Tìm điều kiện của biến số x để biểu thức A(x) thoả mn một điều kiện nào đó.
VD: +) Tìm x để A(x) = m (m R) (1)
+) Tìm a để A(x) > m hoặc A(x)< m… (2)
Việc tìm x chính là tìm nghiệm của (1); (2)
Mở rộng: A(x) = B(x); A(x) > B(x); A(x) < B(x)…
+) Tìm x để A(x) thoả mãn một số điều kiện khác như:
- Biểu thức A(x) nhận giá trị nguyên
- Biểu thức A(x) đạt giá trịlớn nhất, nhỏ nhất:
Chú ý: +) Khi tìm được giá trị của biến số ta cần kết hợp với điều kiện xác định của biểu thức để kết luận
+ Sử dụng tính chất chia hết để tìm giá trị nguyên của biểu thức:
Trang 4VD: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A = đạt giá trị nguyên.
3
2
2
x x
Ư (1)
3
2
2
x
x
3
1 3
4 3
) 2 )(
2
2 2
2
x
Z x
x Z x
x x Z
x = 2 ; 2
Với x = 2 thì A = 0
Với x = -2 thì A = - 4
5/ Loại 5: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
số x
Chứng minh giá trị của biểu thức A(x) không phục thuộc vào biến sốx nghĩa là ta
đi rút gọn A(x) để kết quả sau khi rút gọn không chứa biến
6/ Loại 6: Chứng minh đẳng thức A(x)= B(x)
Thông thường ta biến đổi từ vế phức tạp về vế đơn giản
B Bài tập trắc nghiệm:
Một số các câu hỏi trắc nghiệm về chương căn
Câu 1: Căn bậc hai của (a-b)2 là:
A a- b B b- a C ab D a- b và b - a
Câu 2: Căn bậc hai số học của (a+ b)2 là:
A a + b B – (a + b) C ab D (a + b) và - (a+ b)
Câu 3: a/ Giá trị của x để 5 = 70 là
A x= 980 B x = 14 C x= 196 D – 196
b/ Giá trị của x để 5 x 3 là :
A x=2 B x= 16 C x = 1 D 8
c/ Giá trị của x để x < 3là
A x<3 B 0 x 3 C x>3 D x=3
d/ Giá trị của x để - 5x 10là
A x< 20 B x>20 C 0 < x< 20 D x > 4
Câu 4: Điều hệ thức hoặc cụm từ thích hợp vào chỗ trống.
a/ có nghĩa khi …
2
a
b/ a có nghĩa khi …
c/ 4a2 a4 1 có nghĩa …
d/ có nghĩa khi…
b
2
3
e/ 5 3x có nghĩa khi…
f/ a2 4 xác định khi…
g/ a2 1 xác định…
h/ 2 xác định khi…
4 a
Trang 5Câu 5: Kết quả của phép khai căn : (a 5 ) là
Câu 6: Kết quả của phép tính 9 4 5 là
A 3- 2 5 B 2 5 C 5 2 D cả 3 điều sai
Câu 7: Kết quả của phép tính : x-3 + x2 x6 9 với x< 3 là
Câu 8: Giá trị của x để (x 4 )2 4 x là:
Câu 9: Điền số thích hợp vào ô trống :
a/ 2 =
b/ + ( 2 3 ) 2
2
c/ 8 2 15 = -
Câu 10.Điền dấu (>,<,=) vào
a/ 25 16 25 16
b/ 16 9 16 9
c/ 2004 2006 2 2005
2
b
a
ab b0 ; 0
2
b
a
2
b
a
0
;
b
3
2
2
1
2
1 3
2
h/ - 27 -
3
1
12 2 1
f/ 5 10 6 9
i/ 3 2 3 20 2 3 5
k/ 3
3
3
2
3
Câu 11 Giá trị của biểu thức bằng
2 2 3
2 2
2 3
2
Câu 12: Giá trị của biểu thức
3
2 2 3
3
1 9
5 3 20
Trang 6A 5 B 9 C 6 D Cả A,B,C đều sai
Câu 14: Giá trị của biểu thức:
=
5
7
5
7
5 7
5 7
Câu 15: Giá trị của biểu thức: 15 6 6 15 6 6 bằng:
Câu 16: Giá trị của biểu thức: bằng:
3 2 3 2
3 2 3 2
3
1
Đáp án Câu1: D
Câu2:C
Câu 4:
e/ x 2 hoặca 2 f/ a 2 hoặca 2 g/ / a h// 2 a 2
Câu 5:C
Câu 6: C
Câu 7: B
Câu 8:C
Câu 10:
Câu11:C
Câu 12:A
Câu13:B
Câu14:B
Câu15:C
Câu16:
Trang 7C Bµi tËp tù luËn: Bµi 1: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a/
5 3
2 5
3
2
b/
1 5
5 5 5 3
1 5
3
1
c/ ( 4 15 ) 4 1510 6
d/
2
6
3
2
4
e/ 3 2 66 3 3
h/ 3 53 5 3 53 5
Bµi lµm:
a) 3
b) 1
2
d) 2
2
2( 3 5 3 5 )
Bµi 2 : Thùc hiªn phÐp tÝnh
Trang 8) 14 6 5 14 6 5
)
)
a
b
c
d
e
Bài 2 :
a
b
2
c) Nhân cả tử và mẫu với 2
d) Nhân cả tử và mẫu với 2
e) Tương tự như phần b
Bài 3 : Rút gọn biểu thức
A
B
C
Bài làm
.
a A
b B
c Ta chứng minh : Với a,b ,c khác 0, a+ b + c = 0 thì :
Trang 92 2 2
a b c a b c
Thật vậy :
2
2
2.
a b c a b c ab bc ca
a b c
Vậy :
Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được :
C
Bài 4: Rút gọn biểu thức:
x
x a a x
x a
2 2
2 2
Bài giải:
Với x > 0; a > 0 ta có:
A=
x
a x x a x
a x x
a 2 2 2 2
=
x
a x x
a
x )2 ( )2
=
x
a x a
x
- Nếu x athì x a x a
x
x
2
- Nếu 0 < x< a thì x a ax nên A =
x
a x
a
2
Trang 10Vậy A =
x a
a x x
0 2
≥ 2
nếu nếu
Nhận xét: Biểu thức A là một số dương có dạng AB ABnên có thể bình phương biểu thức A
Bài 5: Cho biểu thức
4
4 2
2 2
2
x
x x
x x
x
4 2
3
x x
a/ Tìm điều kiện xác định của A
b/ Rút gọn biểu thức A
Giải:
a/ Điều kiện xác định của A
9 4 0
0 3
0
4
0 2
0
x x x
x
x
x
x
b/ Rút gọn
A =
3
) 2 ( 2 )
2 )(
2 (
4 ) 2 ( ) 2
x
x x
x
x x
x
=
3
) 2 ( 2 ) 2 )(
2
(
4 8
x
x x
x
x x
=
3
) 2 ( 2 ) 2 )(
2
(
) 2 (
4
x
x x
x
x x
=
3
8
x
x
1
2
x
x
1
2 1
1
x x
a/ Rút gọn biểu thức A
b/ Tính giá trị của A biết x = 2000 - 2 1999
Giải:
a/ điều kiện x x0 ; 1
) 1 )(
1 (
2 1
1 ( : 1
2
1
x x
x x
x
x x
) 1 )(
1 (
2 1 :
1
)
1
x x
x x
x
x
2
2
1
) 1 )(
1 ( 1
) 1 (
x
x x
x
x
1
x
b/ Thay x = 2000 - 2 1999 vào biểu thức A ta được:
A = 2000 2 1999 1
Trang 11= ( 1999 1)2 1 = 1999 1 + 1 = 1999
Bài tập 7: Cho biểu thức P =
x
x x
xy x
x
x y
xy
x
1 2
2
2 2
a/ Rút gọn P với x > 0; y > 0; x 1; x 4y
b/ Tính giá trị của biểu thức P biết 2x2 + y2 – 4x – 2xy + 4 = 0 Giải:
) 2 )(
1 (
2 )
2
x y
x y
x
=
) 2 (
2 )
2
x y
x
y
x
=
) 2
(
2
y x
y
xy
x
=
y
x
b/ Ta có 2x2 + y2 – 4x – 2xy + 4 = 0
22 ( )2 0
(TMĐK)
0
0
2
y
x
x
2
Thay x = y = 2 vào biểu thức P ta được
P = = 1
2
2
x
x
2
1
1
x
x x x
x x
a/ Rút gọn biểu thức A
b/ Tìm x để A > - 6
Giải
a/ đkxđ: x > 0; x 1
Với x> 0; x 1 ta có:
) 1 )(
1 (
) 1 ).(
( ) 1 (
2
1
x x
x x x x
x x x
x
x
x x
x
x
x
2 2
4 1
4
2
1
Vậy với x> 0; x 1 thì A = 2 x
b/ A> - 6 2 x 6 x 3 0 x 9
Vậy 0 x 9 và x 1 thì A > - 6
Trang 12Bài tập 9: Cho biểu thức:
(đk: x>1)
3
x x A
x x x x x
a,Rút gọn biểu thức A
b,Tìm x để A 1
Bài giải:
a,Với x 0;x 1 ta có:
Vậy với x 1thì A x 2. x 1
2
1 0
1
5
x
x
x
x
x
x
không thoả mãn đk
1
thoả mãn đk
5
Vậy với x 5 thì A 1
Bài tập 10 : Cho biểu thức:
A
a,Rút gọn biểu thức A
b,Chứng minh rằng x 0;x 1 thì A 0
Bài giải:
a,Đkxđ:x 0;x 1
-Với x 0;x 1 ta có:
2 2
1 1
1
A
x
x x
x x
Trang 13
3
1
1
1
A
x
x x
x x
x
x x
Vậy với x 0;x 1thì
1
x A
x x
b,Với x 0;x 1 x 0
Vậy x 0 với mọi x 0;x 1
x x 1 > 0 với mọi x 0;x 1
với mọi
0 1
x
A
x x
Bài tập 11: Cho biểu thức:
1 :
x x x x x
A
x x x x x
a,Chứng minh
5 3
A x
b) Tìm xZ để biểu thức A nhận giá trị nguyên
Bài giải:
a,Đkxđ:x 0;x 9;x 25
Khi đó ta có:
Trang 14
1 :
1 :
9 5
:
3 5
:
.
x x x x x x x
A
x x x x
x x x
x
x x
x x x
x
x x
x
x x x
b,Với x 0;x 1thì 5
3
A x
là ước nguyên của 5
3
A Z x
Mà Ư(5) = 1; 5
Ta có : =1 = -2 ( loại)
x +3 = -1 x = -4 (loại)
x 3= -5 x = -8 ( loại)
x 3= 5 x = 2
Ta thấy x= 4 thoả mãn điều kiện x 0;x 9;x 25
Kết luận : Vậy x = 4 thì A Z
Bài tập 12 : Cho biểu thức :
2
3
1
x A
x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó Bài giải :
a) ĐKXĐ : x 0;x 1
- Với x 0;x 1 ta có :
Trang 153
2
2
2
2
2
1
x A
x
x
x x x x
x x x x x
x x x x x
x
2
1 1
x x
x x
b) Với x 0;x 1 ta có : 2 1
1
A
x x
Ta thấy : 2 1 2 3 3 với mọi x
x x x
x x
Đẳng thức xảy ra khi 1 0 1 ( loại- không thoả mãn đk )
Vậy không tìm được giá trị của x để bểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất
Bài tập 13 : Cho biểu thức :
2 : ( )
a a b b b
A ab a b
a b a b
Chứng minh rằng biểu thức Akhông phụ thuộc vào a và b
Bài giải : ĐK : a 0;b 0;ab
Khi đó ta có :
2
2
2
1
b
a ab b ab a b
a b
b
a b
a b
a b
Trang 16Ta luôn có A = 1 với mọi a 0;b 0;ab.
Vậy là A không phụ thuộc vào a và b
Bài 14: Cho A a a b b a a b b : a b (a 0;b 0;a b)
a b a b a b
*) Rút gọn A
*) Tính giá trị của A khi a 2 3 ;b 2 3
Bài làm :
ab a b
a A
a b
a b
b Thay a b
A
Có : 2
A
2.
Bài 15 : Cho biểu thức :
9
x x x x
B
x
x x
a) Tìm ĐK của x để B xác định
b) Rút gọn B
c) Tìm xZđể biểu thức B nhận giá trị nguyên
Bài làm :
a) B xác định
0
0
9
x
x x
x x
3
x B x
3
B
x
Ư(2)
2
3 3
x
Trang 17( 25
1
TM x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm a để P > 2
Bài làm
a) P=1-a
x x Q
x x x x x
a) Rút gọnQ
b) Tính giá trị của Q khi x 33 8 2
c) CMR 1
3
Q
Bài làm : ĐK x 0,x 1
a)
Q
x x x
2
2
32 1
32 32 1 1
33 4 2
Trang 181 1
1 3
x Q
x
Hay Q
Dấu bằng xảy ra khi : x 1 x 1 (loại)
x
3
Q
2
A
x x x x x
*) CMR x 0;x 1 thì 0 A 2
*) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
Bài 19 : Cho C y y :2 xy
x y
x xy x xy
a) Tìm x , y để C có nghĩa
b) Rút gọn C
c) Tìm x , y để C = 1
Bài làm :
a) C có nghĩa
x y x y
b)
2 :
.
1
y y xy C
x y
x x y x x y
y x y y x y x y
x x y x y xy x
x
Vậy
1
0
x
y
Trang 19Bài 20 : Cho 3 9 3 1 1 2 : 1
1
x x P
x
a) Rút gọn P
b) Tìm số tự nhiên x để là số tự nhiên 1
P
c) Tính P khi x 4 2 3
Bài làm:
a) P xác định 0
1
x x
1
x x P
x
2
.
1
2
x x
x x
2
2
1
x
x 0( TMĐK)
Vậy x = 0 thì 1 N
P
c) Thay x 4 2 3 vào P ta được :
2
4
x x x P
x
x x x x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P = -1
Trang 20c) Tìm m để mọi x > 9 ta có m( x 3)P x 1
Bài làm
ĐK : x 0;x 4;x 9
:
:
4 3
P
x x
3
x
x
+ Nếu 4m 1 0thì tập nghiệm không thể chứa mọi giá trị của x >9
+Nếu 4m 1 0thì 1
x m
Do đó bpt thoả mãn với mọi x >9
1
18
m m
m
ab b ab a ab
a) Rút gọn N
b) CMR nếu 1 thì N có giá trị không đổi
5
a a
b b
Bài làm a)
N
b a b a b a ab
a a a b b b a b a b a b
ab a b b a
a a ab b ab b a b
ab a b
ab a b a b
b a
ab a b
b áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :