Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng toan 9 rut gon bieu thuc chua can

Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng:NÂNG CAO KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ 9 CHO HỌC SINH LỚP 9A2 TRƯỜNG THCS TÂN HỘI BẰNG PHÂN DẠNG BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨ

MỤC LỤC

I TÓM TẮT ĐỀ TÀI 2

II GIỚI THIỆU 3

1 Hiện trạng 3

2 Giải pháp thay thế 3

3 Một số đề tài gần đây 4

4 Vấn đề nghiên cứu 4

5 Giả thuyết nghiên cứu 4

III PHƯƠNG PHÁP 4

1 Khách thể nghiên cứu 4

2 Thiết kế 5

3 Quy trình nghiên cứu 6

4 Đo lường 16

IV PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ 16

1 Phân tích dữ liệu 18

2 Bàn luận kết quả 19

V BÀI HỌC KINH NGHIỆM 19

VI KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 20

VII TÀI LIỆU THAM KHẢO 22

VIII CÁC PHỤ LỤC CỦA ĐỀ TÀI 23

PHỤ LỤC 1: Bài kiểm tra trước tác động 23

PHỤ LỤC 2: Bài kiểm tra sau tác động 25

Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng:

NÂNG CAO KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ 9 CHO HỌC SINH

LỚP 9A2 TRƯỜNG THCS TÂN HỘI BẰNG PHÂN DẠNG BÀI TOÁN

RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI

Giáo viên nghiên cứu: Nguyễn Văn Trọng

Đơn vị: Trường THCS Tân Hội, Đức Trọng, Lâm Đồng

I TÓM TẮT ĐỀ TÀI

Rút gọn biểu thức là dạng bài tập quan trọng trong chương trình toán THCS Bắtđầu từ năm lớp 7, học sinh được làm quen với bài toán rút gọn biểu thức, dạng bài tậpnày tiếp tục được dạy kỹ hơn ở lớp 8, lớp 9 Nó có mặt hầu hết ở các đề thi học kỳ, thihọc sinh giỏi, thi vào các trường chuyên THPT,

Qua những năm giảng dạy tại trường THCS Tân Hội, Tôi nhận thấy rằng với bộmôn đại số toán 9 nhiều học sinh thường lúng túng khi làm loại toán này Đi theo kếtquả của bài toán rút gọn biểu thức còn có các dạng toán khác, cho nên các em gặp rấtnhiều khó khăn không chỉ đối với học sinh trung bình mà ngay cả học sinh khá, giỏicũng gặp nhiều sai sót khi trình bày lời giải Vậy làm cách nào để các em biết vậndụng các kiến thức đã học để làm tốt dạng toán này? Để từ đó học sinh tích cực, chủđộng, phát triển năng lực tự học Từ những thực tế nêu ra ở trên và từ kinh nghiệm

giảng dạy của bản thân, tôi chọn đề tài “ Nâng cao kĩ năng giải bài tập chương 1 đại

số 9 cho học sinh lớp 9A2 trường THCS Tân Hội bằng phân dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai”

Nghiên cứu được tiến hành trên hai nhóm tương đương (Hai lớp 9 trường THCSTân Hội): Lớp 9A2 (18 học sinh) làm lớp thực nghiệm; lớp 9A5 ( 18 học sinh) làm lớp

đối chứng Lớp thực nghiệm được ”Phân dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai” Kết quả cho thấy tác động đã có ảnh hưởng rõ rệt đến kĩ năng giải toán của

học sinh Điểm trung bình (giá trị trung bình) bài kiểm tra của lớp thực nghiệm là 6,89;của lớp đối chứng là 5,72 Kết quả kiểm chứng t-test cho thấy p = 0,0032 < 0,05 cónghĩa là có sự khác biệt lớn giữa điểm trung bình của lớp thực nghiệm và lớp đối

chứng Điều đó chứng minh rằng việc hướng dẫn cho học sinh cách ”Phân dạng bài

toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai” làm nâng cao kĩ năng giải bài tập chương

1 đại số 9 cho học sinh lớp 9A2 trường THCS Tân Hội

II GIỚI THIỆU

1 Hiện trạng

Chương 1 đại số 9 chỉ học trong 14 tiết, nhưng sách giáo khoa và sách bài tập toán lớp

9, tập 1 đưa ra rất nhiều bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai Để làm được

các bài tập ở chương này đòi hỏi phải phối hợp rất nhiều kĩ năng, nên nhiều học sinh

cảm thấy đuối sức khi tiếp cận chương này

Có nhiều nguyên nhân như:

- Học sinh chưa nắm chắc lí thuyết của chương

- Học sinh chưa nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đãđược học ở lớp 8

- Kỹ năng vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn

ở lớp 9 chưa thành thạo

- Học sinh ít tham khảo dạng toán này trong các sách nâng cao

- Học sinh chưa biết “phân dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa căn”

Như vậy để khắc phục những khó khăn trước mắt và giúp học sinh có những kĩ năngvận dụng kiến thức giải bài tập dạng này một cách có hiệu quả, tôi chọn nguyên nhân

“Do học sinh chưa biết phân dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa căn”

2 Giải pháp thay thế

Để khắc phục các nguyên nhân đã nêu ở trên, có rất nhiều giải pháp như:

- Ôn lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh

- Rèn kĩ năng vận dụng các hằng đẳng thức dưới dạng biểu thức chứa dấu căn

- Yêu cầu học sinh tìm đọc các sách nâng cao liên quan đến dạng này

- Giáo viên hướng dẫn cho học sinh “ phân dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa

căn ”

…

Như vậy có rất nhiều giải pháp để khắc phục được hiện trạng trên, tuy nhiên mỗigiải pháp đều có những ưu điểm cũng như những hạn chế nhất định Trong tất cả cácgiải pháp đó tôi chọn giải pháp “hướng dẫn học sinh phân dạng bài toán rút gọn biểuthức chứa căn” Giúp cho học sinh bước đầu có phương pháp và một số kĩ năng cơ bản

để giải loại bài tập này Với những lý luận trên, theo chủ quan cá nhân, tôi chia thànhcác dạng như sau:

*) Rút gọn biểu thức số

Dạng 1: Vận dụng hằng đẳng thức A 2 A

Dạng 2: Vận dụng các quy tắc khai phương, nhân chia các căn bậc hai

Dạng 3: Vận dụng trục căn thức ở mẫu bằng phương pháp nhân liên hợp

*) Rút gọn các biểu thức chứa biến, sử dụng kết quả rút gọn để:

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến

Dạng 2: Giải phương trình, bất phương trình (so sánh biểu thức với một số)

Dạng 3: Tìm các giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên

Dạng 4 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

3 Một số đề tài gần đây:

- Đề tài nghiên cứu KHSPƯD

“Sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai để rèn luyện kĩ năng,

phương pháp giải toán cho học sinh lớp 9 trường THCS Lê Khắc Cẩn, An Lão, Hải

Phòng” của tác giả: Nguyễn Phương Nam

- Đề tài: Rèn kĩ năng giải toán “ Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc haicho học sinh lớp 9” của tác giả: Nguyễn Thị Ngọc Diệp

4 Vấn đề nghiên cứu:

Việc hướng dẫn học sinh “phân dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc

hai ”, có nâng cao kĩ năng giải bài tập chương 1 đại số 9 cho học sinh lớp 9A2 trường

THCS Tân Hội không?

5 Giả thuyết nghiên cứu:

Có, việc hướng dẫn học sinh “phân dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa căn

bậc hai” làm nâng cao kĩ năng giải bài tập chương 1 đại số 9 cho học sinh lớp 9A2

trường THCS Tân Hội

III PHƯƠNG PHÁP

1 Khách thể nghiên cứu

Học sinh của hai lớp 9A2 và 9A5 Trường THCS Tân Hội Hai lớp được chọn thamgia nghiên cứu có nhiều điểm tương đồng nhau về tỉ lệ giới tính, học lực và thành phầndân tộc Cụ thể như sau:

Bảng 1: Học lực, giới tính, thành phần dân tộc học sinh 2 lớp 9 tr ường THCS Tân ng THCS Tân

H i ội.

Lớp Tổng số

Giới tính Học lực Năm 2014-2015 Dân tộc

Nam

Kết quả:

Bảng 2 Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương

Đối chứng Thực nghiệm Giá trị trung bình 5,56 5,67

p = 0,4004 > 0,05, từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương

Sử dụng thiết kế 2:

Kiểm tra trước và sau tác động đối với các nhóm tương đương (được mô tả ở bảng 3):

Bảng 3. Thi t k nghiên c u ết kế nghiên cứu ết kế nghiên cứu ứu

Thực nghiệm (9A2) O1

Hướng dẫn cho học sinh “phân dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc

3 Quy trình nghiên cứu

3.1 Các kiến thức về căn bậc hai

A B

A B  

 ( Với A  0, B  0 và A  B )

3.2 Phân dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai:

Giáo viên lưu ý cho học sinh:

- Khi biểu thức dưới dấu căn có dạng bình phương ta sử dụng kiến thức A2 A đểphá dấu căn, sau đó xét xem A  0 hay A < 0 để làm cơ sở bỏ dấu giá trị tuyệt đối

+) 2

A A = A nếu A  0

Do đặc điểm của bài toán có dạng giống hằng đẳng thức (a b a b ).(  )a2 b2

 Ta sử dụng hằng đẳng thức đó cho dạng toán trên, ta được :

2

A B A B  A B A B  A  B

c) Dạng A B  A B

Trong dạng toán trên cũng có dạng hằng đẳng thức (a b ) , (2  a b)2

Vì thế ta có thể làm như sau :

Từ đó suy ra T, xác định dấu của T bằng cách so sánh A B và A B

Dạng 2: Vận dụng các quy tắc khai phương, nhân chia các căn bậc hai:

712.7

24.2

712.7

33.2

d) 4 7 4 7  4 7 4   7  16 7  9 3

Giáo viên lưu ý cho học sinh:

- Nhân hoặc chia các căn bậc hai khi có thừa số không khai phương được

- Nếu biểu thức cần rút gọn là tổng các căn thức bậc hai thì ta đưa về các căn bậc hai đồng dạng và thực hiện cộng trừ các căn đồng dạng

Dạng 3: Vận dụng trục căn thức ở mẫu.

Ví dụ : Rút gọn

23

32:435

23

Giáo viên lưu ý cho học sinh:

- Thông thường ta sử dụng hằng đẳng thức (a b a b ).(  )a2 b2 để trục căn thức ởdưới mẫu

- Khi trục căn thức ở mẫu cần chú phương pháp rút gọn ( nếu có thể) thì cách giải sẽgọn hơn

3.2.2 Rút gọn các biểu thức chứa biến và các dạng toán có liên quan

Các bước thực hiện phần rút gọn:

Bước: Tìm ĐKXĐ của biểu thức (Nếu bài toán chưa cho)(Phân tích mẫu thành nhân

tử, tìm điều kiện để căn có nghĩa, các nhân tử ở mấu khác 0 và phần chia khác 0)

Bước :Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu được).

Bước :Quy đồng

Bước : Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.

Bước : Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.

Bước : Phân tích tử thành nhân tử (mẫu giữ nguyên).

Giải: BiÓu thøc A cã nghÜa    

1 0

x x x

2

x x

1 (

2 ) 1 ( 2 ) 1 (

x x

x

) 1 )(

1 (

2 2 2

x x x

) 1 )(

x x

) 1 )(

1 (

) 1 (

x x

1





x x

Bài toán rút gọn tổng hợp thường có các dạng toán liên quan:

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến



 Thay x = 3 + 2 2= ( 2 1) 2 vào biểu thức A ta được:

Chú ý : Biến đổi giá trị của biến về dạng hằng đẳng hoặc trục căn thức ở mẫu trước

khi thay vào biểu thức

Dạng 2: Giải phương trình, bất phương trình (so sánh biểu thức với một số)

Ví dụ1 : cho

1

x A

 x4 (TMĐK)

Vậy x = 4 thì A = 2

Cách giải:

Bước 1: Sử dụng tính chất a c ad bc

b d   để làm mất mẫu của phương trình

Bước 2: Giải phương trình vừa tìm được để tìm được x

Bước 3: Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí

Chú ý: Trong trường hợp nếu bài toán cho giá trị của P thì các em dựa vào yêu cầu

của nó để tìm P rồi tiến hành như bình thường

Bước 1: Chuyển m sang vế trái, để vế phải bằng 0

Bước 2: Quy đồng mẫu thức các phân thức rồi làm gọn vế trái

Bước 3: Xác định dấu của tử hoặc mẫu của vế trái, từ đó có được một bất phương

trình đơn giản (không chứa mẫu)

Bước 4: Giải bất phương trình trên để tìm được x

Bước 5: Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí

Chú ý:

Dạng 3 Bài toán tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên (nguyên dương)

Loại 1: Bài toán tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên

Cách giải:

Bước 1: Biến đổi biểu thức P về dạng P =

( )

n m

nguyên thì “f(x) phải là ước của n”

Bước 3: Giải các phương trình: f(x) = Ư(n) để tìm được x

Bước 4: Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí

Ví dụ : Cho 2

1

x P

Để P nguyên thì 3

1

x  phải nhận giá trị nguyên, mà

31

Vậy với x = 0, x = 4 hoặc x = 16 thì P nhận giá trị nguyên

Loại 2 Bài toán tìm các giá trị của x (x bất kì) để biểu thức P nhận giá trị nguyên.

Cách giải:

Bước 1 Nhân chéo rồi đặt x y ( y 0) để đưa biểu thức P về dạng một phương

trình bậc 2

có ẩn là y và tham số P

Bước 2 Tìm P để phương trình bậc hai ẩn y trên có nghiệm không âm

Bước 3 Chọn các giá trị P nguyên trong tập hợp các giá trị của P vừa tìm ở bước 2

Bước 4 Thay P vừa tìm được vào biểu thức đã cho để tìm được x

Bước 5 Đối chiếu ĐKXĐ chọn nghiệm hợp lí

Ví dụ: Cho biểu thức P =





 y P y

Trường hợp 2 Nếu P 0 phương trình (2) là một phương trình bậc hai ẩn y có:

P

a  ; b  6; c  P; 3

2'b 

b và '(b')2  ac(3)2  P.P 9 P2

Phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có hai nghiệm không âm:

30

09)

(01

06

09

00

0'

2 2

P P

a c a

131

321

Vậy với x = 0, x = 1, x =

2

5

7  , x = 17 12 2 thì biểu thức P nhận giá trị nguyên.

Dạng 4 Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

*)Khái niệm:

+) Nếu P(x)  m (m là hằng số) thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của P(x)

+) Nếu P(x)  k (k là hằng số) thì k gọi là giá trị lớn nhất của P(x)

Loại 1 Trường hợp biểu thức P có dạng là một đa thứcPaxb x c.

Cách giải:

Bước 1 Biến đổi biểu thức P về dạng P =  f(x)2 m ( f (x) là biểu thức

chứa

biến x và m là một hằng số)

Bước 2 Lập luận để có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Bước 3 Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”

Bước 4 Kết luận

*)Ví dụ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x 2 x3 ( x 0)

Dấu “=” xảy ra khi x 10 x1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 2 Đạt được khi x 1

Loại 2 Trường hợp biểu thức có dạng

c x b ax

k P

Bước 1 Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của mẩu thức: f(x)axb xc và

điều kiện dấu “=” xảy ra

Bước 2 Căn cứ vào dấu của hằng số k để suy ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của P

Bước 3 Kết luận

Lưu ý.

+) Nếu k  0 thì P đạt giá trị lớn nhất  f (x) đạt giá trị nhỏ nhất và ngược lại

+) Nếu k  0 thì P đạt giá trị lớn nhất  f (x) đạt giá trị lớn nhất và ngược lại

Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P (x 0)

Giải:

Ta có:

4

32

14

34

12

1 21

32

10

44314

321

11

4

12

10

b x a P

Bước 2 Biện luận:

Trường hợp 1 “n > 0”.

+) P đạt giá trị lớn nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất

+) P đạt giá trị nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất

(Vì: Để P đạt giá trị lớn nhất thì f (x n ) phải đạt giá trị lớn nhất tức là f(x) phải đạt

giá trị nhỏ nhất Còn để P đạt giá trị nhỏ nhất thì f (x n ) phải đạt giá trị nhỏ nhất

tức là f(x) phải đạt giá trị lớn nhất).

Trường hợp 2 “n < 0”.

+) P đạt giá trị lớn nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất

+) P đạt giá trị nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất

Bước 3 Tiến hành tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của f(x) để có được giá trị lớn

nhất hoặc nhỏ nhất của P

Bước 4 Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”

Bước 5 Kết luận

(với x  0) Tìm giá trị lớn nhất của P

Giải: Ta có: P =

1

211

21

11

2)1(1

x

x x

x x

x

Ta thấy: Vì ở đây n = 2 > 0 nên: Để P đạt giá trị lớn nhất thì x 1 phải đạt giá trị

nhỏ nhất

Vì: x  0  x1 1 Dấu “=” xảy ra khi x = 0

 Giá trị nhỏ nhất của x 1 là 1

 Giá trị lớn nhất của P là: 3

10

30







.Vậy: Giá trị lớn nhất của P là 3, đạt được khi x = 0

Loại 4 Trường hợp phân thức có dạng

n x m

c x b x a P

k x

Bước 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-sy cho hai số dương f (x) và f (x k ) rồi từ đó tìm

được

giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Bước 3 Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”

Bước 4 Kết luận

41

)1)(

1(1

4)1(1

x

x x

x

x x

x

( 2)

1

4)1

Áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dương ( x1) và

4)

1(21

4)1

x

 ( 2) 4 ( 2) 2

1

4)1

 A  2

1

4)1

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của A là 2, đạt được khi x = 1

3.4 Chọn đối tượng thực hiện: