Toán 9 Chuyên đề Hệ thức Vi Ét và ứng dụng45827

NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :1.. Dạng đặc biệt: Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau: 1.. Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm n

NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :

1 Dạng đặc biệt:

Bài tập áp dụng:

Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:

1 35x237x 2 0

2 2

7x 500x5070

3 x2 49x500

4 4321x221x43000

5 x2 – mx + m – 1= 0 ( m là tham số)

6 ax2 +bx – (a +b ) = 0 ( a, b là tham số; a 0

2 Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình :

Bài tập áp dụng:

1 Cho phương trình: x2 – 2(m-1)x +m2 -2 = 0 có 1 nghiệm bằng 1

Tìm m và tìm nghiệm thứ hai

2.Cho phương trình: x2 –mx + 27 = 0 có 2 nghiệm

Tìm m và tìm 2 nghiệm của phương trình biết nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia

3 Cho phương trình: x2 –x - 2m +5 = 0 Biết hiệu hai nghiệm bằng 1

Tìm m và tìm 2 nghiệm của phương trình

4 Tìm nghiệm của phương trình:

a) 5 x2  24 x  19  0 b) x2  ( m  5 ) x  m  4  0

II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x x1; 2

Bài tập áp dụng: Lập phương trình bậc hai biết nghiệm của chúng là x 1 ; x 2 thỏa mãn :

1 x1 = 8 vµ x2 = -3

2 x1 = 3a vµ x2 = a

3 x1 = 36 vµ x2 = -104

4 x1 = 1  2 vµ x2 = 1  2

2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước:

Cách 1:

+ Tính trực tiếp y1; y2 bằng cách: Tìm nghiệm x1; x2của phương trình đã cho rồi thay vào biểu thức tính y1; y2

Cách 2:

Không tính y1; y2 mà áp dụng Định lí Vi-et tính S  y1 y2;P y1y2 sau đó lập phương trình bậc hai có các nghiệm là y1; y2

Cách 1 chỉ thích hợp khi phương trình ban đầu có nghiệm x1; x2 là hữu tỉ do đó nên chọn

Cách 2 để việc tính toán đơn giản và nhanh hơn, cụ thể:

Bài tập áp dụng:

1/ Cho phương trình 2

3 x  5 x   6 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2 Không giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm 1 1

2

1

y x

x

  và 2 2

1

1

y x

x

0

6 2

6 y  5 y   3 0

2/ Cho phương trình : x 5x 1 0 có 2 nghiệm x x Hãy 1; 2 lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn y1 x1 và

4

2 2

y  x (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho)

(Đáp số : 2

727 1 0

y  y   ) 3/ Cho phương trình bậc hai: 2 2

x  x  m  có các nghiệm x x1; 2 Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y y1; 2 sao cho :

a) y1   x1 3 và y2  x2  3 b) y1 2 x1 1 và y2  2 x2 1

Đáp số : a) y2  4 y   3 m2  0 b) y2 2 y  (4 m2   3) 0

4/: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương trình x2  mx  2= 0 5/ Cho phương trình x2  2 x  m2  0 có hai nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm

1 2

;

1

1  x  y  x 

y

6/Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2thỏa mãn















26

2

3 2

3 1

2 1

x x

x x

III TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :

(điều kiện để có hai số đó là S2 4P  0 ) 2

0

* Lưu ý: không phải lúc nào ta cũng tìm được hai số thỏa mãn yêu cầu đề bài

* Lưu ý: Với trường hợp này ta cũng có thể nhận xét ngay

Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết tổng S và tích P

1 S = 3 và P = 2

2 S = 3 và P = 6

3 S = 9 và P = 20

4 S = 2x và P = x2 y 2

Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết

1 a + b = 9 và a2 + b2 = 41

2 a b = 5 và ab = 36

3 a2 + b2 = 61 v à ab = 30

IV TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức

1 Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1x2) và x x1 2

Bài tập áp dụng:

1 x12 x22 (   x1  x2 x1 x2=…….)

x  x x  x x  x  x  x  x  x  x x 

3 x14 x24 ( =  2 2 2 2 =…… )

x  x x  x

4 x16 x26 ( = 2 3 2 3  2 2 4 2 2 4= …… )

( x )  ( x )  x  x x  x x  x

1 2

1 2

x  x

1 1

1 1

 

9 x1 x2 10 x1  x2

giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm

a) Cho phương trình : 2

8 15 0

x  x  Không giải phương trình, hãy tính

1 x12  x22 2

1 2

1 1

x  x 3 1 2

2 1

1 2

x  x

b) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính: 1

1 2

x  x 2 2 2

x  x

2

8x 72x640

c) Cho phương trình : 2

14 29 0

x  x  Không giải phương trình, hãy tính: 1

1 2

1 1

x  x 2 2 2

x  x

d) Cho phương trình : 2

2x 3x 1 0 Không giải phương trình, hãy tính:

1

1 2

1 1

x  x 2 1 2

1 x 1 x

  

3 x12 x224 1 2

2 1 1 1

x  x

e) Cho phương trình 2

x  x  có 2 nghiệm x1 ; x 2 , không giải phương trình, tính

1 2 1 2

Q

x x x x





Nhận xét: Với dạng bài này ta không cần giải phương trình để tìm các nghiệm

V TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM

NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ

Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2(thường là a  0 và   0)

- Áp dụng hệ thức Vi-et viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2

Nhận xét:

- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm

- Sau đó dựa vào hệ thức Vi-et rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số

Bài tập áp dụng:

1 Cho phương trình : 2    

x  m  x  m   có 2 nghiệm x x1; 2 Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x x1; 2

sao cho x x1; 2 độc lập đối với m.

VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC ĐÃ CHO

Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2

(thường là a  0 và   0)

- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-et để giải phương trình

- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm

Nhận xét:

Ví dụ này khác ví dụ 11 ở chỗ hệ thức không chứa sẵn x1x2 và x x1 2 nên ta không thể áp dụng ngay hệ thức Vi –et để tìm tham số m

Bài tập áp dụng

1 Cho phương trình : 2  

1 5 6 0

x  m  x  m  

Tìm m để 2 nghiệm x và 1 x 2 thoả mãn hệ thức: 4x13x2 1

2 Cho phương trình : 2    

3x  3m2 x 3m 1 0

Tìm m để 2 nghiệm x và 1 x 2 thoả mãn hệ thức : 3 x1 5 x2  6

3 Cho phương trình : 2  

mx  m  x m   

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

4 Cho phương trình 2 2 (*) (x là ẩn số)

8x 8xm  1 0 Định m để phương trình (*) có hai nghiệm , thỏa điều kiện: x1 x2

1  2  1  2

5 Cho phương trình x2 – (m+1)x + m – 5 = 0

Xác định tham số m để phươg trình có hai nghiệm x1, x2thỏa mãn

1 2

3 3

1 2

4 32

x x

x x

 



  



6 Định m để phương trình x2 –(m-1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 là độ dài hai cạnh góc

vuông của một tam giác vuông có cạng huyền bằng 5

7 Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 (1)

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2thỏa mãn (x1 + m)(x2 + m) = 3m2 + 12

8 Cho phương trình 2 (1) (x là ẩn)

x  x   m

Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn

1 1 2 1 3 3

x   x  

9 Cho phương trình : x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 2

x + 2mx = 9

VII XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Cho phương trình: 2

0

ax  bx c   (a  0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….

tập áp dụng:

Bài 1: Tìm m để phương trình:

mx  m  x  m   có 2 nghiệm cùng dấu

3 mx  2 2 m  1 x m   0 có 2 nghiệm âm

3.  2

m  x  x m   có ít nhất một nghiệm không âm.

4 x2- (2m-3)x +m2 -3m = 0 có 2 nghiệm x x1, 2 thỏa mãn 1<x1 x2 6

Bài 2 Cho phương trình bậc hai : 2x2+(2m−1)x+m−1=0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m

b) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm đó

c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thõa mãn −1<x1<x2<1

d) Trong trường hợp pt có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 , hãy lập một hệ thứ giũa x1 và x2 không có m

VIII TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM

Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:

(trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số) (*)

A m C

k B





  



Thì ta thấy : Cm (v ì A0) minC  m A 0

(v ì )

Ck B0  max C    k B 0

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương

trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Bài tập áp dụng

1 Cho phương trình : 2    

x  m x m 

Tìm m để biểu thức  2

1 2

A x x có giá trị nhỏ nhất

2 Cho phương trình x22(m1)x  3 m 0

Tìm m sao cho nghiệm x x1; 2 thỏa mãn điều kiệnx12x22 10

3 Cho phương trình : 2 2

Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x x1; 2thỏa mãn

a) A x1 x23x x1 2 đạt giá trị lớn nhất

b) 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất

1 2 1 2

B  x x x x

4 Cho phương trình : x2 ( m  1) x m  2    m 2 0

Với giá trị nào của m, biểu thức 2 2 dạt giá trị nhỏ nhất

1 2

C x x

5 Cho phương trình x2 ( m    1) m 0

Xác định m để biểu thức 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất

1 2

phương trình x −mx+m−1=0.

Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phương trình Tìm GTLN , GTNN của biểu thức

2 21 2

x x A

x x x x





Ta có: Theo hệ thức Vi -ét thì : 1 2

1 2 1





B

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn

Ta biến đổi B như sau:

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương

trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm m để phương trình 2 2 có hai nghiệm thỏa mãn:

x  m x m   x x1; 2 a) A x1 x23x x1 2 đạt giá trị lớn nhất

b) 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất

1 2 1 2

Bx x x x

Bài 2: Cho phương trình x2(4m1)x2(m4)0 có hai nghiệm x x1; 2

Tìm m để 2 đạt giá trị nhỏ nhất

1 2

A  x  x

Bài 3: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT 2004 – 2005 )

m  x  m x  m  m  

a) Giải phương trình (1) khi m = 1

b) Gọi x x1; 2 là nghiệm của phương trình (1).Tìm giá trị lớn nhất của x1x2

Bài 4: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009)

(3 1) 2( 1) 0

x  m  x  m  

a) Giải phương trình (1) khi m = 2

b) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi m

c) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của (1), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

1 2

Ax x

Bài 5: Cho phương trình 2 Tìm m để hai nghiệm

2( 1) 3 0

x  m  x    m x x1; 2

thỏa mãn x12  x22  10

Bài 6: Cho phương trình 2 , với m là tham số

( 2) 8 0

x  m  x  

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức

Q = 2 2 có giá trị lớn nhất

(x 1)(x 4)